精品解析：浙江省金华市义乌市义乌市七校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024学年第一学期期末检测 九年级数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 任意掷一枚硬币，正面朝上 B. 若、是实数．则 C. 两数相乘，积为正数 D. 运动员投篮时，连续两次投进篮筐 2. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形的正面，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，则卡车水平方向所经过的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（ ） A. 外 B. 上 C. 内 D. 不能确定 6. 如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，线段的端点坐标分别为、，以为位似中心，将线段放大到原来的两倍得到线段，则点、点的坐标分别为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（ ） A. 3 种 B. 2种 C. 1种 D. 全部错误 9. 二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 无论取何值，都有 10. 如图，正方形的边长为4，点是边上的动点，连结，作的中垂线交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，是的切线，为切点，连结、，若，则__________． 12. 现有、两种帽子和、两款围巾，那么小明同学刚好选中他所喜欢的种帽子和款围巾穿戴的概率是__________． 13. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2． 14. 如图，点、、是正方形网格上的三个格点，以为圆心，为半径作，点是圆上任意一点，且是锐角，则的值为__________． 15. 如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆__________条． 16. 如图，是边上一点，且，，若，，则__________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）若，求的值． （2）． 18. 有三张卡片，卡片上分别标有数字“2”，“3”和“4”，它们的背面完全相同，现在三张卡片背面朝上． （1）从中任意抽取一张卡片，则抽出数字为偶数的卡片的概率________． （2）若第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字，此卡片放回，第二次再从三张卡片中随机抽取一张，求两张卡片的数字之和大于5的概率，请用列表法或画树状图的方法说明． 19. 已知二次函数与轴交于A、两点，与轴交于点． （1）求线段的长； （2）点在轴上方，当时，求点的坐标． 20. 如图，点分别是边上的中点，将绕着点逆时针旋转角度，得到图，其中，连接． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 21. 如图，为了计算风筝的垂直高度的长，现测得如下数据：放出的风筝线长，风筝的仰角． （1）求的长； （2）收回一部分风筝线后，风筝从下降到了的位置，在的正下方，此时风筝的仰角，求收回的风筝线长．（结果精确到，参考数据：，，） 22. 如图，是矩形的对角线，，交、于点、，点为的中点，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 已知二次函数过点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最小值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值． 24. 如图，在等腰中，以底边为直径作，分别交边、于点、，点在直径下方的圆弧上，连结，，过点作交的延长线于点，已知． （1）证明：； （2）当，时，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期末检测 九年级数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 任意掷一枚硬币，正面朝上 B. 若、是实数．则 C. 两数相乘，积为正数 D. 运动员投篮时，连续两次投进篮筐 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意； B、若a、b是实数．则，是必然事件，故B符合题意； C、两数相乘，积为正数，是随机事件，故C不符合题意； D、运动员投篮时，连续两次投进篮筐，是随机事件，故D不符合题意； 故选：B． 2. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入抛物线解析式，求出相应的的值，即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 故抛物线与y轴的交点坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征；解答本题的关键是明确抛物线与y轴的交点就是时的值． 3. 如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形的正面，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看立体图形，找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：这个组合体的俯视图如下： 故选：D． 4. 一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，则卡车水平方向所经过的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 如图：过点B作垂足为C，在中，利用直角三角形的性质以及勾股定理求解即可解答． 【详解】解：如图：过点B作垂足为C， 在中，， ∴， ∴， ∴卡车水平方向所经过的距离为， 故选：D． 5. 已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（ ） A. 外 B. 上 C. 内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为5，， ∴， ∴点A在内． 故选：C． 6. 如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系．利用圆周角定理求得，推出，由，得到，据此计算求得答案即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，线段的端点坐标分别为、，以为位似中心，将线段放大到原来的两倍得到线段，则点、点的坐标分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，利用中点坐标公式求出点、点的坐标即可． 【详解】解：由题意， 设，， ∵，，， ∴，， ∴；， ∴，． 故选：A． 8. 如图，在的边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（ ） A. 3 种 B. 2种 C. 1种 D. 全部错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，作已知角的平分线，圆内接四边形性质，相似三角形的判定等知识，综合性强﹒①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形，证明，结合，即可证明；②由尺规作图可得，结合，即可证明；③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， 证明，得到，即可证明﹒ 【详解】解：①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由尺规作图可得， 又∵， ∴； ③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴﹒ 故选：A 9. 二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 无论取何值，都有 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解． 【详解】解：二次函数图象如下图所示： A、，则，故A是错误的； B、当时，，故B是正确的； C、若，如图所示：则，故C是正确的； D、∵，， ∵， ∴， 故D是正确的； 故选：A． 10. 如图，正方形的边长为4，点是边上的动点，连结，作的中垂线交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、不等式的性质等知识点，掌握不等式的性质是解题的关键． 正方形的性质可得，如图：过Q作于E，设，（），则，，，进而得到；再运用勾股定理可得；设，则，可得，然后根据不等式的性质可得，即的最大值为，进一步求得的最大值即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， 如图：过Q作于E，设，（），则，， ∵的中垂线交， ∴， ∵， ∴，整理得：， 设，则， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故选B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，是的切线，为切点，连结、，若，则__________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，根据圆的切线的性质可得是解题的关键． 由切线的性质证明，则，因为，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵是的切线，为切点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 现有、两种帽子和、两款围巾，那么小明同学刚好选中他所喜欢的种帽子和款围巾穿戴的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图，可知小明所有可能选中的结果有4种，他所喜欢的结果有1中，进而可得出概率． 【详解】解：树状图如图． 共有4种等可能的情况，小明好选中她所喜欢的种帽子和款围巾穿戴有一种， 则概率为． 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】∵圆锥的底面半径长为4cm，母线长为5cm， ∴圆锥的侧面积＝×4×5＝20cm2， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 14. 如图，点、、是正方形网格上的三个格点，以为圆心，为半径作，点是圆上任意一点，且是锐角，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值等知识点，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半成为解题的关键． 根据题意求出，根据圆周角定理求出的度数，再根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：由题意和正方形的性质得，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆__________条． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答． 令，求出的值，然后结合实际情况得出结论． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴， ∵相邻支撑杆之间的距离为，，， ∴在轴右侧，共7条， 同理在轴左侧最多安装7条， ∴最多可安装支撑杆14条， 故答案为：14． 16. 如图，是边上一点，且，，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点，则，，所以，则，因为，，所以，求得，则，，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）若，求的值． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质、特殊角的三角函数值、实数的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）由已知条件可得，设、，然后代入化简即可解答； （2）先根据乘方、特殊角的三角函数值、算术平方根、零次幂化简，然后再计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 设， ∴． 【小问2详解】 解： ． 18. 有三张卡片，卡片上分别标有数字“2”，“3”和“4”，它们的背面完全相同，现在三张卡片背面朝上． （1）从中任意抽取一张卡片，则抽出数字为偶数的卡片的概率________． （2）若第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字，此卡片放回，第二次再从三张卡片中随机抽取一张，求两张卡片的数字之和大于5的概率，请用列表法或画树状图的方法说明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用树状图法求概率、概率公式等知识点，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先根据题意画出树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两张卡片的数字之和大于5的结果有6种，再运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有三张卡片，卡片上分别标有数字“2”，“3”和“4”，其中 “2”和“4”是偶数， ∴从中任意抽取一张卡片，则抽出数字为偶数的卡片的概率． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意可画树状图如下： 由树状图知，共有9种等可能的结果，其中两张卡片的数字之和大于5的结果有6种， ∴两张卡片的数字之和大于5的概率为． 19. 已知二次函数与轴交于A、两点，与轴交于点． （1）求线段的长； （2）点在轴上方，当时，求点的坐标． 【答案】（1）6 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与几何的综合的关系等知识点，将求点坐标的问题转化为解一元二次方程的问题成为解题的关键． （1）令，然后得到方程求解确定，然后根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）先确定，再结合题意可知点P的横坐标为5，令得到方程求解，即可确定点P的坐标． 【小问1详解】 解：令，则，解得：，， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵点在轴上，， ∴点P的横坐标为5， 令，则，解得：，， ∴的坐标为，． 20. 如图，点分别是边上的中点，将绕着点逆时针旋转角度，得到图，其中，连接． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点分别是边上的中点， ∴，， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由线段中点的定义得，即得，又由旋转得，再根据相似三角形的判定即可求证； （）由相似三角形的性质得，再根据勾股定理解答即可求解； 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 21. 如图，为了计算风筝的垂直高度的长，现测得如下数据：放出的风筝线长，风筝的仰角． （1）求的长； （2）收回一部分风筝线后，风筝从下降到了的位置，在的正下方，此时风筝的仰角，求收回的风筝线长．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和直角三角形的性质， （1）根据正弦的定义得代入计算即可； （2）先根据余弦定义求得，由题意得，可得，结合收回的风筝线长为计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴收回的风筝线长为． 22. 如图，是矩形的对角线，，交、于点、，点为的中点，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，，再得出，然后证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得证； （2）取的中点，连接，先根据相似三角形的性质可得的长，再根据三角形的中位线定理可得，根据平行线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由（1）已得：， ∴， 解得， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴， 则在中，． 23. 已知二次函数过点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最小值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值． （1）依据题意，由在的图象上，可得，则，进而可以得解； （2）依据题意，由二次函数为，从而当时，y取最大值为8，结合当时，；当时，，进而可以判断得解； （3）根据对称轴直线在范围内外分情况讨论，分别求出最值，再利用二次函数的最大值与最小值的和为6列方程，求出t即可判断得解． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数为， ∴当时，y取最大值为8， 当时，， 当时，， ∴时，当时，二次函数的最小值； 【小问3详解】 解：当对称轴直线在范围内时，，即， 由（2）得，当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的和为6， ∴当或时，有最小值为，即， 解得， 当时，不满足； 当时，，不满足； ∴当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6， ∴范围在直线的一边， ∴当、时，函数有最大值或最小值， ∴， 解得，． 即的值为2或． 24. 如图，在等腰中，以底边为直径作，分别交边、于点、，点在直径下方的圆弧上，连结，，过点作交的延长线于点，已知． （1）证明：； （2）当，时，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连结，由是直径，得，由AG⊥FC，得，则，而，，即可根据证明，得； （2）延长，交于点，可证明，再结合（1）得，，，则，，，由得即，再由勾股定理得，即，求得，，所以，，由勾股定理得，再根据即可得解； （3）由（2）可得，，，根据勾股定理得到，，得到，代入． 【小问1详解】 解：连结， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 设，，则，，， ∵， ∴， ∴，即， 在中，，即， 解得，，（负数已舍去） ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $