培优专题06 导数（7大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

培优专题06 导数 题型1 恒(能）成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 4、最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 5、值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 2．（24-25高三上·上海·期中）设. (1)当时，求曲线在点(2,3)处切线的方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)设函数的定义域为，若对任意的成立，求 的取值范围. 3．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 5．（2025·河北保定·一模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 6．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数. (1)若，，求函数在点处的切线方程； (2)若，，点是函数上的动点，设点处切线的倾斜角为，求倾斜角的取值范围； (3)若，对任意的，，都有，求实数的取值范围. 7．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性及极值； (3)若，任意且，都有成立，求实数m的取值范围． 题型2 函数的零点方程的根 1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 1．（2024·上海·模拟预测）函数，且. (1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (2)，且在上有零点，求的取值范围. 2．（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，试判断的零点个数并证明． 3．（2025·四川巴中·一模）已知函数 (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若，其中，讨论函数的零点个数． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若方程有负实数根，求实数的取值范围． 6．（24-25高三上·福建·期中）已知函数，满足，. (1)若为上的增函数，求的取值范围. (2)证明：与的图象关于一条直线对称. (3)若，且关于的方程在内有解，求的取值范围. 7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)当时，若，满足，求证：； (3)已知，证明：当，方程在有两个实根. 题型3 隐零点问题 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 1．（24-25高三上·江西吉安·期末）函数，． (1)求证：函数有且仅有一个零点； (2)讨论函数在区间上的单调性． 2．（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数 (1)探究在定义域内是否存在极值点； (2)求在定义域内的零点个数. 3．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 5．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知函数，． (1)当时，证明：恒成立； (2)设表示不超过x的最大正整数，若，且关于a的方程有实数根，记b的最小值为t，求的值． 题型4 双变量问题 一、双变量能成立问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 二、双变量单调性问题 一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增. 三、双变量相等问题 值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围. 2．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知函数． (1)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (2)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围． 3．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若；求证：； (3)设，是函数的两个极值点，求证：. 4．（24-25高三下·甘肃白银·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设、是函数的两个极值点，若，求的最大值． 5．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间内无零点，求的最小值； (3)若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围. 6．（24-25高三上·北京·阶段练习）设函数．其中． (1)求函数的单调区间； (2)当时．对于，不等式恒成立，求的取值范围． 题型5 极值点偏移问题 一、极值点偏移（对称化构造法） 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 二、极值点偏移（差值代换法） 差值代换法（韦达定理代换令.） 差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 三、极值点偏移（比值代换法） 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 1．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 2．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 3．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若存在两个不同的正数，使得，证明：． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 5．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 6．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 7．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 题型6 导数与数列 1．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数有两个不同的零点. (1)证明：； (2)当时，求的最大值； (3)若，数列满足，证明：. 2．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程： (2)对，点都在双曲线C上，且，记． （i）证明数列是等比数列，并求通项公式； （ii）设，数列的前n项和为，求证：． 3．（24-25高三上·山西运城·期末）在数列中，，，且 (1)证明：是等差数列; (2)求数列的前n项和 (3)求证：. 4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立； (3)设，数列的前n项和为．证明：． 5．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知数列和满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)证明：． 题型7 导数中的新定义问题 1．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 2．（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 4．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. 5．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 6．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 7．（24-25高三上·上海·期中）设函数的定义域为开区间.若存在，使得曲线在处的切线与曲线只有唯一的公共点，则称切线是函数的一条“切线”. (1)求证：直线是函数的一条“切线”； (2)设，求证：函数存在无数条“切线”； (3)设，.若曲线在处的切线是函数一条“切线”，求的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题06 导数 题型1 恒(能）成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 4、最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 5、值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，根据斜率之积为求解即可； （2）求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间； （3）利用导数确定，分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又在处的切线与直线垂直，所以， 即，所以. （2），. ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，令，得，又，所以. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由，得在上恒成立. 令，，则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 则在上恒成立. 令，， 则 . 因为，所以，则， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 2．（24-25高三上·上海·期中）设. (1)当时，求曲线在点(2,3)处切线的方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)设函数的定义域为，若对任意的成立，求 的取值范围. 【答案】(1). (2)上是严格增函数，上是严格减函数. (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解. （2）求出导数，判断导数值正负求出单调区间. （3）先探求不等式成立的必要条件，再证明充分性即可，证明时构造函数利用导数求函数的最小值即可证明. 【详解】（1）当时，，求导 ，则， 所以切线方程为，即. （2）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上严格增函数，在上严格减函数. （3）函数定义域为， 不等式恒成立，即恒成立， 当时，必成立，则， 令，求导得 ， 而，则当时，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：在定义域上恒有成立求的范围，首先根据恒成立探求其成立的必要条件，由可知必有，证明充分性时，令，利用导数求出恒成立，即可求解，属于难题. 3．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程； （2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可； （3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解． 【详解】（1）因为，所以，则切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； （2），， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时， 综上，的值为或； （3）函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， 则，所以， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减， 所以当时，， 因为恒成立， 所以，则的最大值为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 5．（2025·河北保定·一模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 【答案】(1)的极大值为，无极小值 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）通过求导来分析函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）分类讨论，得到单调性，求出函数最值，根据最值满足的条件来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由题得2a）， 当时，，不符合题意； 当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 由 得，解得； 当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由， 得，解得. 综上，的取值范围为. 6．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数. (1)若，，求函数在点处的切线方程； (2)若，，点是函数上的动点，设点处切线的倾斜角为，求倾斜角的取值范围； (3)若，对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】（1）根据，，得，则，求出，所以过P切线斜率为，写出切线方程即可. （2）若，,，，所以点处切线斜率范围为，根据直线斜率与倾斜角的关系进而求出倾斜角的取值范围. （3）若，则，对任意的，，不妨设，由得即，构造，则在上单调递增，则在上恒成立，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）若，，则，得，P点坐标为，过P切线斜率为，所以切线方程为. （2）若，,则，，设函数上的动点， 则处切线斜率范围为，当且仅当即时取等号； 所以切线倾斜角的正切值，所以角的范围为. （3）若，则，对任意的，，不妨设，由得即， 令，则在上单调递增，则在上恒成立， 即，由当时取最大值1， 所以. 7．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性及极值； (3)若，任意且，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分和讨论求函数单调性和极值； （3）代入值，将问题转化为恒成立，构造函数，转化为导函数不小于零恒成立，继续构造函数求最值即可. 【详解】（1）当时，，， 则，又， 所以函数在点处的切线方程为； （2）由题知 当时，，函数在上单调递减，无极值； 当时，令得或，函数单调递增， 令得，函数单调递减， 此时函数的极大值为， 极小值为； 综上：当时，在上单调递减，无极值； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为； （3）当时，，由（2）得函数在上单调递减， 不妨设，则， 故由得， 即， 设，则单调递增， 则恒成立， 所以对恒成立， 设，，则， 令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 故， 所以. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题要学会转化，其中我们可以构造函数，转化为函数的最值问题来解答. 题型2 函数的零点方程的根 1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 1．（2024·上海·模拟预测）函数，且. (1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (2)，且在上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由题意解出的值，再利用单调性的定义证明即可； （2）转化问题为在上有解，则有解，利用导函数求的单调性，进而求得取值范围即可. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以， 在上单调递增，证明如下： 任取，则， 因为在上单调递增，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）得， 在上有零点，即在上有解，则有解， 令，则， 令解得，令解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，没有最大值， 所以. 2．（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，试判断的零点个数并证明． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)两个零点，证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）先判断是的一个零点，利用分类讨论法，对进行分类讨论，或利用分离参数法，结合导数来确定正确答案. 【详解】（1）由题知，， 当时，． 令，得或（舍去）． 当时，，故的单调递减区间为． 当时，，故的单调递增区间为． （2）解法一：因为，故有一个零点是2． 令，解得（舍去），． 当时，，故单调递减． 当时，，故单调递增． 当时，，． ． 下面先证明当时，． 令，， 故在上单调递增， 所以． 因为，所以． 易知，所以在上存在唯一的零点， 所以当时，有两个零点，为2和． 解法二：当时，，故2是的一个零点． 令，又，所以． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的极小值点． 当时，，所以． 下证． 令，则． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 从而， 所以当时，， 所以， 即． 令，则有，则． 易得当时，，所以在上有唯一解． 综上，当时，有两个零点． 解法三：令， 当时，，故2是的一个零点． 当时，． 令， 易得在和上均单调递减． 因为（洛必达法则）， 所以当时，且单调递减， 故当时，在上有唯一解． 而当时，， 故当时，无解． 综上可知，当时，有两个零点. 【点睛】方法点睛： 求函数单调区间时，先求函数的导数，令导数为求出关键点，再根据导数在不同区间的正负确定函数的单调区间，这是解决函数单调性问题的基本方法. 判断函数零点个数，先找出一个已知零点，再通过求导确定函数的单调性和极值，然后构造函数证明相关不等式，进而判断在其他区间是否存在零点，这种方法综合运用了函数的导数性质和不等式证明. 3．（2025·四川巴中·一模）已知函数 (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若，其中，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)，无极大值 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的极值； 不等式等价于，，令，，利用导数证明即可； 讨论的零点个数问题，先对x分类讨论去绝对值，易得在上总有唯一的零点；当时，对求导，再对t分类讨论，结合导数知识及零点存在性定理判断即可． 【详解】（1），令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，无极大值． （2）证明：原不等式等价于：，， 即，， 令，，下证：， 则，设，则，等号当且仅当时成立， 所以在上单调递增，，等号当且仅当时成立， 所以在上单调递减，，即原不等式成立． （3）等价于的零点个数问题： ①当时，，显然在上单调递增， 又，，所以在上总有唯一的零点； ②当时，， 则， Ⅰ若，则在上恒成立，在上单调递增， ，在上无零点； Ⅱ若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，令，得 若，则在上无零点； 若，则在上有唯一零点； 若，则，又， 又由知，得，得， 由零点存在性定理可知，在，上各有一个零点． 综上所述：当时，有一个零点：当时，有两个零点；当时，有三个零点． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式的证明，函数零点个数的判断，去绝对值分类讨论是关键. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，再分和讨论求解； （2）由（1）知时，在上单调递增，不符合题意，可知，若有两个零点，由（1）知，即，令求解. 【详解】（1）由题知， 当时，，单调递增. 当时，若，即，则，故在上单调递增； 若，即，则，故在上单调递减, 综上，当时，在上单调递增； （2）当时，在上单调递减，在上单调递增. 由（1）可知，当时，在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意. 故，且根据指数函数与一次函数的增长速度可知，当时，，当时，. 由（1）知，若有两个零点， 则， 即. 令， 则在上单调递减， 且，则当时，； 当时，. 所以实数的取值范围为. 【点睛】易错点点睛：本题第二问，容易忽视分析，当时，，当时，，仅仅由去求解. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若方程有负实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究方程的根 【分析】（1）对和两种情况分类讨论，即可得到结果； （2）对，和分类讨论，即可得到到的取值范围是． 【详解】（1）①若，则对有，所以在上单调递减，满足条件. ②若，取为和中更小的一个，则，且对有. 从而此时，所以在上单调递增，不满足条件. 综合①②两方面，可知的取值范围是. （2）设，则对有，所以在上递减，从而对有，即. ①若，取为和中更大的一个，则，且对有. 从而此时，所以在上单调递减，故. 而当时，利用之前证明的，有. 所以根据零点存在定理，可知一定有一个负实数根，满足条件； ②若，则对有. 所以在上单调递增，从而对有，故一定没有负实数根，不满足条件； ③若，则对有. 所以在上单调递增，从而对有，故一定没有负实数根，不满足条件. 综合①②③，可知的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对求导工具的灵活运用. 6．（24-25高三上·福建·期中）已知函数，满足，. (1)若为上的增函数，求的取值范围. (2)证明：与的图象关于一条直线对称. (3)若，且关于的方程在内有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数对称性的应用、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求导，利用对恒成立，可求的取值范围； （2）求得的解析式，根据可得结论； （3）可得，结合已知可得在内有解，结合（1）的单调性可得，构造函数可得的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 因为为上的增函数，所以对恒成立， 所以对恒成立，所以对恒成立， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以，所以的取值范围为. （2）因为，， 所以 即，所以， 函数关于对称的函数为， 再把向右方平移2个单位得到， 所以函数与关于对称； （3）由（2）可得， 又因为在内有解， 所以在内有解， 所以在内有解，， 由（1）可知时，为上的增函数， 所以，所以在内有解， 令，求导可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，又，， 所以， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于有解问题，往往利用函数的单调性转化为两自变量的值相等问题解决，从而转化为函数的值域问题或两函数图象有交点问题解决. 7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)当时，若，满足，求证：； (3)已知，证明：当，方程在有两个实根. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根 【分析】（1）函数单调递增即导函数大于等于零，转化成不等式恒成立求参数范围； （2）当时，单调递增，将要证明的式子等价转化成即证，构造新函数，利用导数求解函数最值即可证明. （3）将方程在有两个实根等价转化成在有两个零点，多次求导研究函数的单调性结合零点存在性定理即可证明. 【详解】（1）由题意可得：，因为在上单调递增， 则在上恒成立，即，令，， 则，由得， 可得在上单调递减，则，所以， 故实数的取值范围. （2）当时，，则，所以单调递增， 因为，，所以，要证，需证， 即证，即证，只需证， 令， 则，令， 则，所以在上单调递增， 所以，所以，所以在上单调递减， 所以， 即，所以，得证； （3）令，，即， 即，令，则， 当时，，，则，在上单调递减， 当时，令，则， 此时单调递增，又，， 由零点存在性定理得在上存在唯一零点，即，使得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 当时，令，则， 所以在上单调递减，又，， 由零点存在性定理得在上存在唯一零点，即，使得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，所以在上恒成立， 所以在上单调递增. 综上，当时，单调递减；当时，单调递增； 又因为，所以，由上可知， 即，所以， 当时，单调递增， 又， 则范围缩小为，令，， 则，所以在上单调递减， 所以， 所以，所以当时，，， 所以当时，存在唯一零点，当时，存在唯一零点， 即方程在有两个实根. 【点睛】方法点睛：①对于不等式的证明，一般通过构造函数，求函数最值来证明；②对于求导一次不能解决问题的，可再求一次导来解决. 题型3 隐零点问题 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 1．（24-25高三上·江西吉安·期末）函数，． (1)求证：函数有且仅有一个零点； (2)讨论函数在区间上的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、零点存在性定理的应用 【分析】（1）先求导函数得出单调递增，再根据当时，，结合零点存在定理证明即可； （2）根据导函数判断单调性结合平移判定单调区间即可. 【详解】（1）∵，∴单调递增， 当时，，∵，又，∴，． ∴使，∴有且仅有一个零点． （2） ， 令，则函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图象． 由（1）知，，当时，，当时，，其中，． ∴当时，，当时，． ∴当时，，，，则，函数单调递增． ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 2．（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数 (1)探究在定义域内是否存在极值点； (2)求在定义域内的零点个数. 【答案】(1)存在极大值点 (2)0 【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）求导，分析可知在区间上单调递减且存在零点，进而可得的符号以及的单调性，结合单调性分析极值； （2）根据（1）结合零点代换可得，再根据对勾函数性质即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：， 因为函数和在上单调递减，可知在区间上单调递减. 且，， 可知存在，使得，即， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以在定义域内存在极大值点. （2）由（1）可得： ， 即， 由对勾函数的性质可得在区间上单调递增，且， 可知，即， 故的零点个数为 3．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，令导函数大于0，可求函数的增区间. （2）（ⅰ）求导，结合换元法，把问题转化成二次函数有两个不等正根可求参数的取值范围. （ⅱ）利用（ⅰ）中的有关结论，把化成，设，问题转化成证明.利用导数，分析函数单调性，即可证明结论. 【详解】（1）当时，， 由，所以. 故单调递增区间为. （2）（ⅰ），令，即 令，，则是方程的两个正根， 则，即， 有，，即. 所以的取值范围为：. （ⅱ） 令 则． 令，则， 则在上单调递减， 又 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减 则， 又，故 即. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化为隐零点问题求解. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求的零点，分类讨论的单调性及最大值即可； （2）法一：利用分离参数法将问题进行转化，构造函数，并利用导数求新函数的最小值，运用隐零点的关系式，求得，从而得解；法二：构造函数，将问题转化为函数的最小值问题，构造函数，利用导数证明，证明函数可以取到最小值，即可得解. 【详解】（1）由题可得，令，得． ①若，即，则， 当时，，在上单调递减，． ②若，即，则， 当时，，在上单调递增，． ③若，即，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，． 综上所述， 当时，在上的最大值为； 当时，在上的最大值为； 当时，在上的最大值为． （2）法一：当时恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则，所以在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得（☆）， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则． 由（☆）得， 设，则，易知在上单调递增， 所以，得，（由，得，故）， 故， 因此，故的取值范围为． 法二：当时恒成立，即恒成立， 令，则，而， 令，则，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故，即，当且仅当时取等号． 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立． 令，则在上单调递增，又，， 所以存在，使得，当时，取得最小值1． 因此，故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：与和相关的常见同构模型： （1），构造函数（或，构造函数）； （2），构造函数（或，构造函数）； （3），构造函数（或，构造函数）． 5．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知函数，． (1)当时，证明：恒成立； (2)设表示不超过x的最大正整数，若，且关于a的方程有实数根，记b的最小值为t，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数分别研究的最值，即可证结论； （2）根据题设有，构造，，并应用导数求函数最小值的范围，即可得结果. 【详解】（1）若时，且定义域为，， 令，则， 因为，所以恒成立，在上单调递增， 又，所以当时，，时，， 即当时，，时，， 所以时，单调递减，时，单调递增， 所以在时取最小值e， 又因为，当时，，当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以在时取最大值e，从而恒成立． （2）因为关于a的方程有实数根，所以， 设，， 所以在上单调递增，且，， 所以存在点，使得，即，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以． 题型4 双变量问题 一、双变量能成立问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 二、双变量单调性问题 一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增. 三、双变量相等问题 值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3) 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究方程的根、由函数在区间上的单调性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）根据奇偶函数的定义，即可判断； （2）首先根据极值点的定义求，并利用函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值，再利用函数的图象，结合函数有3个零点求参数的取值范围； （3）首先根据函数的的单调性去绝对值，再变形不等式，转化为函数在递减；在递增，再利用函数的导数和单调性的关系，转化为参变分离，求最值问题，即可求解. 【详解】（1）当时，，满足为偶函数； 当时，，且为非奇非偶函数. （2）函数在处有极值， 可得，解得， 所以 当时，递减；当或时，递增， 可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为， 的方程有3个不同的实根，等价为， 即有的取值范围是. （3）在递减，可得时，， ，即为， 即 即为 即对任意且时恒成立. 所以在递减；在递增. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， 在上单调递增，即，则. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， ，当时等号成立，则，则. 综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第3问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即可求解. 2．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知函数． (1)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (2)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究方程的根、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）首先根据极值点的定义求，并利用函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值，结合函数有3个零点求参数的取值范围； （2）首先根据函数的的单调性去绝对值，再变形不等式，转化为函数在递减；在递增，再利用函数的导数和单调性的关系，转化为参变分离，求最值问题，即可求解. 【详解】（1）函数在处有极值， 可得，解得，经检验，满足题意， 所以 当时，在单调递减； 当或时，在上单调递增， 可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为， 方程有3个不同的实根，等价为， 即有的取值范围是. （2）在递减，可得时，， ，即为， 即 即为 即对任意且时恒成立. 所以在递减；在递增. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， 在上单调递增，即，则. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， ，当时等号成立，则，则. 综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第2问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即可求解. 3．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若；求证：； (3)设，是函数的两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数证明不等式、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）由题意得恒成立，参变分类求最值即可； （2）求导，确定其单调性得到，构造函数，求导确定其单调性得到，即可求证； （3）化简，将转化成，再构造函数，通过讨论其单调性即可求证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即的取值范围是. （2）证明：若，，所以， 令，解得，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 令，，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，又等号不同时成立， 所以. （3）证明：由题意可知， 因为有两个极值点，， 所以，是方程的两个不同的根， 则且 所以 ， 所以要证，即证， 即证，即证，即证. 令，则证明， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 4．（24-25高三下·甘肃白银·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设、是函数的两个极值点，若，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）首先对函数进行求导，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （2）分析方程方程的两根为、，且，可求出的取值范围，利用韦达定理可得出，由已知条件变形得出，令，设，利用导数分析函数在上的单调性，即可求出的最大值. 【详解】（1）函数的定义域为， ， ①当时，令，得，令，得， 所以的增区间为，减区间为； ②当时，令，得或，令，得， 所以的增区间为、，减区间为； ③当时，则，所以，函数的增区间为，无减区间； ④当时，令，得或，令，得， 所以的增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，的增区间为，减区间为； 当时，的增区间为、，减区间为； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为、，减区间为. （2），则的定义域为， ，若有两个极值点、， 则方程的判别式，且，，得， 所以 因为，所以， 令，设， 由，得在上单调递减， 所以，所以，即，所以的最大值为． 【点睛】思路点睛：在求含有参数的函数单调性时，结合导函数的形式，对参数进行讨论是解题的关键，极值点问题通常可以转化为零点问题进行求解，遇到证明恒成立问题，根据函数的形式，采用构造新函数的方法可以达到事半功倍的效果. 5．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间内无零点，求的最小值； (3)若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1); (2); (3). 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数来求出切线斜率，从而求出切线方程； （2）利用在区间内的连续函数无零点，结合端点值效应，可判断函数在该区间内恒大于，从而利用分离参变量法，构造函数求最值，最后可求出参数的最小值； （3）借助导数思想，先求出变量时，的值域，再把问题转化为在内有两个不同的变量的值属于，再次借助导数思想来研究，最后研究区间的最值，通过最值与的比较就可以得到参数的取值范围. 【详解】（1）当时， 有， 则，即， 又， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即，整理得：； （2）根据对数函数可知： 当时，， 所以函数，满足当时，， 因为函数在区间内无零点，即恒成立， 不等式等价于， 令，，则， 再令，，则 由此时，可知， 即有在区间上单调递增， 所以， 由，即在区间单调递减， 所以，再根据恒成立， 可知 综上，若函数在区间内无零点，则的最小值是； （3）由求导得：， 当时，，函数在区间上单调递增， 当时，，函数在区间上单调递减， 又因为 所以函数在上的值域为， 由对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立， 所以当时，是单调递减函数，不满足题意，故舍去； 则当时，由求导得：， 当时，， 由题意可知，在上不单调， 故，解得： 此时，当变化时，的变化情况如下： 负 正 递减 最小值 递增 又因为当时，由，， 而， ， 再由对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，结合函数在上的值域为， 则当且仅当满足下列条件： ，即有， 令，， 求导得：， 令，得， 所以当时，，故在区间上递增， 所以当时，，故在区间上递减， 则， 所以不等式对任意恒成立， 而解不等式得：，又因为， 所以综上，满足上述不等式组的的取值范围是 即当的范围是 时，对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立． 【点睛】方法点睛：函数在区间内无零点，通过端点值分析，转化为不等式恒成立问题来求解，再利用通性通法（分离参变量法）来构造函数求最值，最后即可求出参数的范围. 6．（24-25高三上·北京·阶段练习）设函数．其中． (1)求函数的单调区间； (2)当时．对于，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) 答案见解析； (2). 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导可得，令，可得或，分，，讨论可求单调区间； （2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，由题意可得，进而分类讨论可求的取值范围． 【详解】（1）由， 可得， 令，可得，解得或， 当时，， 若，，函数在上单调递增， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增； 当时，，此时，函数在上单调递增； 当时，， 若，，函数在上单调递增， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增； 综上所述： 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 因为对于，不等式恒成立， 所以， 由成立，所以①成立， 故时，可得对于，不等式恒成立， 当时，对于，不等式恒成立， 若时，也有①恒成立，满足题设； 以下讨论且， 此时，只需， 即， 令，所以， 令，所以， 所以，即， 所以在上单调递增，又， 所以时，成立， 综上所述：的取值范围为． 题型5 极值点偏移问题 一、极值点偏移（对称化构造法） 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 二、极值点偏移（差值代换法） 差值代换法（韦达定理代换令.） 差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 三、极值点偏移（比值代换法） 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 1．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)上单调递增，上单调递减. (2)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数中的极值偏移问题、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性； （3）利用切割线放缩证明. 【详解】（1）,, ,, 上单调递增，上单调递减. （2）,, 在上单调递增，上单调递减. ， ， 因为，所以函数在区间上为上凸函数， 函数在区间的图象如图所示. 不妨设，则.      连接和点的直线l2的方程为：, 当时，, 由图可知,所以要证明，只需证明，即只需证明， 连接的直线的方程为,设函数的图象的与平行的切线是直线， ，， 直线的方程为,即， 令,得直线与直线的交点横坐标为, 由图可知，， 故要证不等式成立. 2．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. （3）因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 3．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若存在两个不同的正数，使得，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）利用导数求函数的最大值，转化为最大值小于等于1，即可求解； （2）不等式转化为证明，即证明，构造函数，利用导数证明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1），当时，单调递增； 当时，单调递减．所以， 解得，即的取值范围为． （2）证明：不妨设，则，要证， 即证，则证，则证， 所以只需证，即． 令，则，． 当时，，则， 所以在上单调递减，则．所以． 由（1）知在上单调递增，所以，从而成立． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用分析法，转化为证明. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【答案】(1)无最大值，最小值为； (2)证明见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导数知识可得函数的最值； （2）由题可得，要证，即证，然后通过研究：单调性可完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为． 令，解得；令，解得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以无最大值，最小值为； （2），． 因为有两个不同的极值点，所以，． 欲证，即证，又， 所以原式等价于①. 由，, 得②. 由①②知原问题等价于求证， 即证． 令，则，上式等价于求证． 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即． 【点睛】关键点睛：对于涉及双变量不等式的证明，常利用两变量的差或者商，将双变量问题转变为单变量问题. 5．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到，构造，利用导函数得到其单调性，极值和最值情况，得到； （2）转化为有2个不同的实数根，构造，得到其单调性，得到，且，求出，换元后即证，构造，求导后得到在上单调递增，，得到证明. 【详解】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立. 令，则， 令，则，所以在内单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取极大值也是最大值. 因此，即实数的取值范围为. （2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根. 令，则，当时，解得. 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值为. 又因为，当时，，当时，. 且时，. 所以，且. 因为是方程的2个不同实数根，即. 将两式相除得， 令，则，，变形得，. 又因为，，因此要证，只需证. 因为，所以只需证，即证. 因为，即证. 令，则， 所以在上单调递增，， 即当时，成立，命题得证. 【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 6．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据极值求参数、导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）根据极小值的定义计算即可； （2）把问题转化为，进而转化为，令，只需证明即可. 【详解】（1）定义域均为， ，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且； 又，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且 所以，解得：. （2）令，因为，所以， 由可得：， （1）—（2）得：，所以， 要证：，只要证：， 只要证：， 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只需证：， 令， 所以在上单调递增，所以， 即有成立，所以成立. 【点睛】方法点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，难度较大，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 本题使用的解法是对数平均不等式即证明：，称为的对数平均数. 7．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，构造函数，借助导数求出其在上的最小值即可得； （2）由题意结合导数可得，，即可得， ，通过作差消去变量，得到，从而可得，再通过换元法令，得到函数，利用导数计算其单调性即可得解. 【详解】（1）由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故，即； （2），令， 由函数有两个极值点， 则有两个变号零点， ， 当时，，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 又当时，，则， 故此时此时至多存在一个零点，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 有，则，故， 则有，， 则，即，同理， 则，故， 即， 由的最大值为，令，则有， 即，令，， 则 ， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，则， 则，故在上单调递增， 则. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于利用，，通过作差消去变量，得到，从而可得，再通过换元法令，从而将多变量问题转化为单变量问题. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）①根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围； ②根据题意，将问题转化为，再由①中的结论，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①等价于有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在，上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. ②因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由（2）中①知，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 【点睛】关键点睛：第2问的第①小问关键在于将变形，结合的单调性，将问题转化为有两个零点，然后利用导数讨论单调性，结合零点存在性定理即可求得的取值范围.第②小问关键在于取对数转化目标不等式，再通过换元将二元问题转化为一元问题即可得证. 题型6 导数与数列 1．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数有两个不同的零点. (1)证明：； (2)当时，求的最大值； (3)若，数列满足，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2); (3)证明见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求等比数列前n项和 【分析】（1）应用导数研究的区间单调性，结合零点个数有，即可证结论； （2）由，设且，进而得到，则，再利用导数求右侧的最大值即可； （3）构造并应用导数研究其单调性，进而有且，进一步得到，最后应用累加及等比数列前n项和公式证明结论. 【详解】（1）由题设，的定义域为，且， 由，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且趋向于0或正无穷时，均趋向于负无穷， 要使有2个零点，只需，得证； （2）由已知，，设，由，则， 将代入，则，结合， 所以， 设，则， 设，则，， 由，则，即在上单调递增，， 所以，则在上单调递增，则， 所以的最大值； （3）由题意， 设，所以， 对于，则，显然有，有， 在上单调递增，在上单调递减，则， 所以，故， 所以在上单调递增， 所以，，，依此类推有， 从而，整理得， 当时，，则（当且仅当时取等号）， 所以 ，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用导数研究的单调性，进而得到为关键. 2．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程： (2)对，点都在双曲线C上，且，记． （i）证明数列是等比数列，并求通项公式； （ii）设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、根据双曲线的渐近线求标准方程、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据渐近线设双曲线方程，代入即可求解， （2）根据点在曲线上，代入曲线方程，进而可得，即可利用等比数列的定义求解， （3）利用放缩法可得，进而可得，构造函数，求导得函数的单调性求解. 【详解】（1）由题设双曲线方程为， 过点，所以，所以双曲线方程为，即， （2）（i）由题有，作差得：，              ， 又， 所以，         所以，即，         由， 由，             所以数列是首项等比数列，则, （ii）,             所以 所以, 要证，只证， 只证， 令， 只证对恒成立．              设，则， 恒成立，所以在单调递增， 所以时，，所以不等式得证． 【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式 （1）转化为常数，则数列是等差数列． （2）转化为常数，则数列是等差数列． （3）转化为常数，则数列是等差数列． （4）转化为常数，则数列是等差数列． （5）转化为常数，则数列是等差数列． （6）转化为常数，则数列是等差数列． 3．（24-25高三上·山西运城·期末）在数列中，，，且 (1)证明：是等差数列; (2)求数列的前n项和 (3)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和、利用导数证明不等式、判断等差数列 【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可； （2）先利用累加法和等差数列的前项和公式求得，在利用裂项相消法求和即可； （3）问题转化为证，令构造函数，即可. 【详解】（1）因为在数列中，，，且， 所以， 所以是首项为，公差为2的等差数列. （2）由（1）得， 则， 所以，即， 又符合， 所以（或）， 故， 所以. （3）由（2）可得， 欲证： 即证： 即证： ， 即证： 令构造函数： 则 ， 又因为， 故当时，，当且仅当时等号成立， 令，所以成立. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的证明，数列与不等式，属于较难题. （1）推出，即可； （2）利用裂项相消法即可求解； （3）问题转化为证，再令构造函数：，即可. 4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立； (3)设，数列的前n项和为．证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、零点存在性定理的应用、裂项相消法求和 【分析】（1）求函数的定义域和导函数，分和，求及的解，结合单调性与导数的关系可得结论； （2）令，证明在上单调递减，利用导数结合零点存在性定理研究函数在的零点的个数，由此证明结论； （3）由（1）可得当时，，令，可得，由此可证结论. 【详解】（1）函数的定义域为， 若恒成立，在上单调递增． 若时，单调递增； 时，单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：令， 则 因为， 所以，在区间上单调递减． 令，则， 所以，时，单调递减， 时，单调递增， 所以，， 又，所以，，所以恒成立， 又因为，所以，． 同理可得，， 由（时等号成立）得，，即（时等号成立）， 又，所以，所以恒成立， 又因为，所以，， 所以，区间上存在唯一实数，使得， 所以对任意，存在唯一的实数，使得成立； （3）证明：当时，由（1）可得，在上单调递减． 所以，时，，即． 令，则， 即，即， 令，则，所以， 所以，． 【点睛】关键点点睛：第三小问解决的关键在于确定不等式与不等式的关系，及不等式与函数的关系. 5．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知数列和满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）构造得，再求出首项即可证明其为等比数列； （2）求得，代入裂项得，再利用利用裂项求和即可； （3）由（1）知，再对分奇偶讨论即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以， 即，又， 所以是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知，所以， 所以 ． （3）由（1）知，所以． 当为偶数时，． 所以． 当为奇数时，， 而，所以． 综上可知原命题成立． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行奇偶讨论，再合理放缩即可. 题型7 导数中的新定义问题 1．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)的取值范围为；证明见解析. 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用定义及导数的计算法则计算即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【详解】（1）是，理由如下： 根据条件易知， 又，可得， 显然，符合“双中值函数”定义， 即函数是否是上的“双中值函数”； （2）①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，且时，,时，， 所以，所以，即的取值范围为； ②证明：不妨设， 则，，即，． 要证，可证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 2．（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义、利用导数证明不等式 【分析】（1）由对恒成立，可得结论； （2）由题意可得对恒成立，令，，求导求得的最大值与的最小值，可求的取值范围. （3）直线和函数相切于，则，进而构造函数再证明即可. 【详解】（1）因为对恒成立， 所以存在一条分界线. （2）对恒成立，则对恒成立. 令，则 解得，则在上严格增，在上严格减， 得，所以 令，则，则在上严格单调递增， 得，所以， 进而 （3）画两个函数的大致图像，利用计算器猜想： 两个函数与的一个交点是， 再猜想：直线和函数相切于，则 下面从两个角度去证明该直线是分界线： 一方面：， 所以 另一方面：令 则，解得，则在上严格增，在上严格减， 所以，即所以 所以对恒成立. 【点睛】方法点睛：把新定义转化为不等式恒成立，再通过构造函数求得函数的最值可求范围，求分界线，先通过作图，猜想分界线，再证明即可． 3．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】零点存在性定理的应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由题意结合函数零点存在定理即可证明； （2）先求导函数，再由题意将问题转化为存在，使得恒成立，进而得恒成立，求出在上的即可得解. （3）先由相依区间定义求得，从而将所需证明的问题转化为证明，，再构造函数结合导数证明即可. 【详解】（1）证明：当时，函数， 所以， 所以，即， 又函数在上处处相依， 所以导函数在上有零点； （2）因为， 所以， 因为函数在上处处相依， 所以存在，，使得， 故由题意存在，使得恒成立即恒成立， 所以恒成立， 又， 所以.所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数在的相依区间， 所以，则， 因为，单调递减；，单调递增； 所以，则， 要证，即证，即证，即证，， 令， 则， 令， 则， 因为，，， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，即证得，， 从而得证. 【点睛】关键点睛：本题第三问的解题关键是根据相依区间的定义得到，进而结合条件利用分析法将问题转化为，，再构造函数证明即可. 4．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【知识点】求已知函数的极值、根据极值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、导数新定义 【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【详解】（1）当时，（）， 则 当时，，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. （2）的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为； （3）由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究. 5．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】利用导数证明不等式、函数新定义 【分析】（1）根据“T点”的性质可求的值； （2）根据“T点”的性质可得在上有三个不同的解，利用换元法可求参数的值； （3）若存在一个包含“和谐T点”的区间，则在上有解，利用导数可证该结论错误. 【详解】（1），由可得，而 因为为函数在区间上的“T点”，故. （2）， 因为函数在区间上恰有3个“T点”， 所以在上有三个不同的解， 故在上有三个不同的解， 设，则， 则在上有两个不同的根， 且其中有且只有一个根为或或， 若一个根为，则，此时另一个根为， 此时有一根，在上有两个不同的解， 故此时在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时另一个根为， 同理可得在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时在上仅有一个根，舍； 综上，. （3）， 若存在含“和谐T点”的区间，则， 其中， 整理得到：即， 设，故，设， 则，故在上为增函数，故， 故，故不成立， 故函数的定义域内不存在一个包含“和谐T点”的区间 【点睛】思路点睛：对于导数背景下的多变量的存在性问题，注意根据方程组的形式合理消元，从而构建较为简单的函数，而后者可以利用导数来处理. 6．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点、函数新定义 【分析】（1）判断点的位置，求出过此点的切线方程，结合“类点”的定义判断即可. （2）求出过点的切线方程，并代入的坐标并结合“类点”的定义求出值，验证即可得解. （3）假定存在，并设出点的坐标，由过点的切线方程建立等式，分离参数构造函数，利用导数探讨方程根的情况导出矛盾得证. 【详解】（1）函数，，点在上，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 由切线过，得，,解得或， 因此切线方程为，所以点为的“类点”. （2）函数，求导得，设切点为， 切线方程为，即， 切线过，则， 依题意，方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为， ， 因此，则，，则， 当时，，不过， 所以的值为2. （3）假设轴上存在函数的“类点”，记为，设坐标为， 求导得，设切点为，切线方程为， 即，由切线过，得，此方程至少有两个不同解， 设，则，由，得或， 当时，，函数是上的严格减函数， 当时，为上的严格增函数， 函数的极小值，极大值，又， 当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解， 当时，在上，其余情况下在外，则， 设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为， 则，由， 得，则有， 由，得异号，不妨设， 由均值不等式知，， 则，与矛盾，即不存在， 所以轴上不存在的“类点”. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 7．（24-25高三上·上海·期中）设函数的定义域为开区间.若存在，使得曲线在处的切线与曲线只有唯一的公共点，则称切线是函数的一条“切线”. (1)求证：直线是函数的一条“切线”； (2)设，求证：函数存在无数条“切线”； (3)设，.若曲线在处的切线是函数一条“切线”，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据“切线”定义，及导数的几何意义判断直线是函数的一条“切线”即可； （2）问题化为证明，对任意均为函数的“切线”. （3）由题意，有唯一零点，讨论参数a研究的零点求参数范围. 【详解】（1）由于，设曲线在点处的切线为， 则，，， 所以，， 故直线是曲线在处的切线. 令，则，当且仅当时等号成立. 故函数在上严格减，知函数有唯一零点， 因此直线是函数的一条“切线”. （2）由于，故曲线在处的切线方程为. 下面证明：对任意，上述切线均为函数的“切线”. 令，则. 由于是严格减函数，且， 在上，函数单调递减； 在上，函数单调递增. 由于，故当时，恒有. 因此有唯一零点，即直线是的“切线”. 因此函数存在无数条“切线”. （3）函数的定义域，由于， 故. 令，直线是函数的一条“切线”，即有唯一零点. ，且， （i）若，则，在上， 故在上严格增，满足要求. （ii）若，在上，严格减，得. 由于，且函数的图象是连续曲线， 因此函数在上存在零点，不满足要求. （iii）若，在上，严格减，得. 令，则，且，于是. 由于函数的图象是连续曲线， 因此函数在上存在零点，不满足要求. 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为研究有唯一零点为关键. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$