培优专题05 解析几何（6大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

培优专题05 解析几何 题型1 面积定值问题 一、三角形面积问题 直线方程： 二、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 1．（23-24高三下·上海·开学考试）在直角坐标系中，曲线的方程为，直线过定点，且倾斜角为． (1)写出直线的参数方程； (2)令，时直线与曲线分别交于，和，四点，求由，，，为四个顶点的四边形的面积． 2．（2023·上海嘉定·一模）把半个椭圆与圆的一段圆弧拼凑于一起，我们把这种曲线称之为“扁圆”.现有半椭圆与圆弧组成扁圆，其中为的右焦点，分别为“扁圆”与轴的左右交点，分别为“扁圆”与轴的上下交点，已知，过的直线与“扁圆”交于两点. (1)求出与的方程； (2)当时，求； 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知既是双曲线的两条渐近线，也是双曲线的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线交于点，求的值； (3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于两点，证明：的面积为定值，并求出该定值． 4．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆．记椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于不同的两点、． (1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程和离心率； (2)设，若直线过点，且以线段为直径的圆过点，求直线的方程； (3)设，若，求的面积． 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，双曲线的离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与有两个公共点、，动点满足，求点的轨迹方程； (3)若直线与只有一个公共点，且直线与的两条渐近线分别交于、两点，则的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 题型2 面积最值范围问题 首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论） （2） 当且仅当时，等号成立 （3） 当且仅当时等号成立. （4） 当且仅当时，等号成立 (5) 当且仅当时等号成立. 1．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形的面积的最大值． 2．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知椭圆：. (1)求椭圆的离心率e； (2)设、分别为的左、右顶点，E为椭圆上一点且在第一象限内，若，求点E的坐标； (3)设椭圆的右焦点为F，过点F的直线与椭圆相交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，且直线不与x轴平行.求证：直线过x轴上的定点并求面积的最大值. 3．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆，点，点是椭圆上的三个动点. (1)若，求的值； (2)已知，若，求的取值范围； (3)已知，请研究面积的最大值. 4．（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 5．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）如图1，已知抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于两点为坐标原点. (1)若，求的面积的大小； (2)的大小是否是定值？证明你的结论； (3)如图2，过点分别作抛物线的切线和（两切线交点为），分别与轴交于，求面积的最小值. 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，直线与交于A，B两点，直线与交于D，E两点，的最小值； (3)为曲线上一点，且的横坐标大于4．过作圆的两条切线，分别交轴于点、，求三角形面积的取值范围. 题型3 圆锥曲线中定点问题 1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量，视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 1．（2024·上海·三模）阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点. (1)求椭圆的标准方程； (2)点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标； (3)直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 2．（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 3．（2024·上海松江·二模）如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上. (1)求线段的长； (2)若线段的中点在轴上，求的面积； (3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由. 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知抛物线，动直线l经过定点且与抛物线交于A、B两点． (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)时，求线段的长度的最小值； (3)若抛物线上存在一定点D，使得以为直径的圆恒过点D，求a、b满足的关系式． 5．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点． (1)求双曲线的离心率； (2)设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围； (3)过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型4 圆锥曲线中定值问题 1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法： （1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 （2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数. 2. 定值问题的处理技巧： （1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向. （2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢 （3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的长轴长为4，焦距为．设的左顶点为A，过定点（）作与轴不重合的直线交于，两点，直线、分别交轴于、两点． (1)求的方程； (2)设．若以为直径的圆经过的右焦点，求直线的方程； (3)是否存在点，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 2．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 4．（2024·上海徐汇·一模）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 5．（24-25高三上·上海松江·期末）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点． (1)求双曲线的方程； (2)延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； (3)若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．（23-24高三上·上海·期中）已知直线与曲线交于两点. (1)当时，有，求曲线的方程； (2)当时，求的面积的最大值； (3)当实数为何值时，对任意，都有为定值?指出的值. 题型5 圆锥曲线中定直线问题 定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等． 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是    (1)求的值 (2)若直线过点，求证：为定值； (3)设直线与轴的交点为，（为常数且，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 3．（23-24高三下·上海·开学考试）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 4．（贵州省六校联考2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）已知双曲线（，）的焦距为，曲线C的一条渐近线与直线垂直． (1)求曲线C的方程； (2)数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点（）在曲线C上，求证：； (3)过点的直线l交曲线C的右支于A，B两点，在线段上取异于A，B的点R，且满足，证明点R在定直线上． 5．（2025·四川成都·二模）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 题型6 圆锥曲线中向量问题 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为．过点的直线l交椭圆E于P、Q两点． (1)若E的离心率为，求b的值； (2)若为等腰三角形，且P在第一象限，求点P的坐标； (3)设直线交椭圆E于另一点R，若，求b的取值范围． 2．（2024·上海·模拟预测）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 3．（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 4．（2024·上海闵行·一模）已知圆，双曲线，直线，其中． (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点； (3)设与轴交于点，与圆交于点、，与双曲线的左右两支分别交于点、，四个点从左至右依次为、、、．当时，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 5．（24-25高三上·上海·期中）设， 椭圆与双曲线的离心率分别为 (1)若 ，求的值； (2)当时，过双曲线的右顶点作两条斜率分别为的直线 分别交双曲线于点（不同于右顶点），若 ，求证：直线的倾斜角为定值，并求出该定值； (3)当时，设点， 若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且 ，求实数的取值范围. 6．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知和是椭圆Γ： 上两点，O是坐标原点. (1)求椭圆Γ的离心率； (2)若过点P的直线交Γ于另一点B，且的面积为9，求直线的方程： (3)过中点的动直线与椭圆Γ有两个交点M，N，试判断在轴上是否存在点使得 .若存在，求出点纵坐标的取值范围； 若不存在，说明理由. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题05 解析几何 题型1 面积定值问题 一、三角形面积问题 直线方程： 二、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 1．（23-24高三下·上海·开学考试）在直角坐标系中，曲线的方程为，直线过定点，且倾斜角为． (1)写出直线的参数方程； (2)令，时直线与曲线分别交于，和，四点，求由，，，为四个顶点的四边形的面积． 【答案】(1)（为参数）； (2) 【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、直线的参数方程 【分析】（1）直接由已知写出直线的参数方程； （2）分别写出两直线方程，分别与椭圆方程联立，求得与，再由三角形面积公式求解． 【详解】（1）直线过定点，且倾斜角为， 直线的参数方程为（为参数）； （2）当时，直线过，且斜率为1， 直线方程为，即； 当时，直线过，且斜率为， 直线方程为，即． 联立，得，，，， 则； 联立，得， 设，，，，则，， ， 又， 由，，，为四个顶点的四边形的面积为．    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2．（2023·上海嘉定·一模）把半个椭圆与圆的一段圆弧拼凑于一起，我们把这种曲线称之为“扁圆”.现有半椭圆与圆弧组成扁圆，其中为的右焦点，分别为“扁圆”与轴的左右交点，分别为“扁圆”与轴的上下交点，已知，过的直线与“扁圆”交于两点. (1)求出与的方程； (2)当时，求； 【答案】(1)的方程为，的方程为. (2) 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由圆心（或半径）求圆的方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）确定，得到为圆的圆心，，，得到答案. （2）确定，根据平行得到方程为，联立方程解得坐标，再计算面积得到答案. 【详解】（1）如图所示，根据椭圆的几何性质，可得， 即为圆的圆心，所以，即， 又因为，可得，所以，则， 所以椭圆的方程为，圆的方程为. （2）椭圆：，圆，， 可得， 则，，直线的方程为， 联立方程组，整理得，解得或， 所以的面积为. 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知既是双曲线的两条渐近线，也是双曲线的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线交于点，求的值； (3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于两点，证明：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定值为 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题 【分析】 （1）根据题意确定，求出，即可得双曲线的方程； （2）设，，分别联立与、联立与、联立与的方程可得、、，由可得答案； （3）延长、分别交渐近线于、两点，设，，求出、的方程与的方程联立解得、，可得，设的倾斜角为，利用正切的二倍角公式和三角形面积公式可得答案． 【详解】（1） 依题意，根据双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍，可得， 即，故双曲线的标准方程为； （2） 不妨设，则设，    联立，可得，联立可得， 联立可得， 从而； （3） 证明：如图，延长，分别交渐近线于，两点，    由（2）可知，则， 设,，则，联立， 解得， 而，联立，解得， 从而， 设的倾斜角为，则，而，故， 则，因此． 故的面积为定值. 4．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆．记椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于不同的两点、． (1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程和离心率； (2)设，若直线过点，且以线段为直径的圆过点，求直线的方程； (3)设，若，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）可将已知点代入椭圆方程求出，进而得到标准方程和离心率； （2）可先设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和向量垂直的条件求解； （3）可根据向量坐标关系，设出题中向量与横轴所成的角和他们的模长，用之表示的坐标，代入椭圆方程，进而求得角和模长，然后利用面积割补思想求得要求三角形的面积. 【详解】（1）已知椭圆过点， 将点代入椭圆方程可得：，解得，则椭圆的标准方程为. 又因为，所以，，则离心率. （2）当时，椭圆方程为，. 当斜率不存在时，此时，，，，则.满足题意. 当斜率存在时，设直线的方程为，，. 联立，消去得： 则，即. 由韦达定理得，. 因为以线段为直径的圆过点，所以. ，，则. ，代入上式可得： ， ， ， 将，代入上式得： ， ， ， ，解得，满足. 所以直线的方程为，即. 故直线的方程为或. （3）当时，椭圆的方程为，即， 焦点坐标. 设轴正方向转到与向量相同的方向所转过的角为，根据椭圆的对称性，不妨设. 再设，由得，且同向. 则向量， 所以， 分别代入椭圆方程， ， ， 整理得， ， 由，分别解得， 所以， 解得，所以，， 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，双曲线的离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与有两个公共点、，动点满足，求点的轨迹方程； (3)若直线与只有一个公共点，且直线与的两条渐近线分别交于、两点，则的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（或）； (3)是，定值为 【知识点】求平面轨迹方程、由双曲线的离心率求参数的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题 【分析】（1）利用双曲线的离心率公式可求出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设点、、，将直线的方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由求出的取值范围，利用平面向量的坐标运算化简可得出点的轨迹方程； （3）先证明出双曲线在点处的切线方程为，设点、，将切线方程与双曲线的渐近线方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为，解得，因此，双曲线的方程为. （2）设点、、， 联立可得，则， 解得或， 由韦达定理可得，， 则， 因为，即， 则，， 因此点的轨迹方程为（或） （3）设直线与的切点的为，其中， 先证明出双曲线在点处的切线方程为， 联立得，整理可得，则， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 设点、，双曲线的渐近线方程可写为， 联立可得，由韦达定理可得， 易知双曲线的渐近线为，，易知， 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 题型2 面积最值范围问题 首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论） （2） 当且仅当时，等号成立 （3） 当且仅当时等号成立. （4） 当且仅当时，等号成立 (5) 当且仅当时等号成立. 1．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】相同离心率的椭圆的方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据条件求解，即可求椭圆方程； （2）首先求，联立直线与椭圆方程，并利用韦达定理表示四边形的面积，即可求解面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由已知得，得，，， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可得，，则， 设，，直线的方程为， 代入，整理为， 由，解得：， 且，， 四边形的面积 ， 当时，. 2．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知椭圆：. (1)求椭圆的离心率e； (2)设、分别为的左、右顶点，E为椭圆上一点且在第一象限内，若，求点E的坐标； (3)设椭圆的右焦点为F，过点F的直线与椭圆相交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，且直线不与x轴平行.求证：直线过x轴上的定点并求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、数量积的坐标表示、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由椭圆方程求出a，b，c的值，即可求解椭圆离心率； （2）设点E的坐标为，依题意列出方程组，求解方程组即可求出点E的坐标； （3）设直线的方程，联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，再表示出直线的方程，令，结合韦达定理可证明直线过定点；设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理表示出的面积，由基本不等式即可求解. 【详解】（1）由椭圆方程可知，则， 所以，则，所以椭圆的离心率. （2）由（1）可得，，设，，， 则，，因为， 则，解得，即点E的坐标为. （3） 由（1）可得， 依题意直线的斜率不为0，则设直线的方程为， 联立，消去x得， 由直线过点F，则恒成立，设，，则， 则，， 因为，则直线的方程为， 令，则， ， 所以直线过x轴上的定点． 因为直线过定点，则设直线的方程为， 联立，消去x得， ，即， 由韦达定理得，， 则 ， 点F到直线的距离， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时， 所以面积的最大值为. 【点睛】思路点睛： 设出直线的方程，直曲联立，利用韦达定理，表示出直线的方程，得到直线过x轴上的定点，再设出直线的方程，再直曲联立，利用韦达定理表示出的面积，由基本不等式即可求解. 3．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆，点，点是椭圆上的三个动点. (1)若，求的值； (2)已知，若，求的取值范围； (3)已知，请研究面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数、求椭圆的切线方程 【分析】（1）由，得到 代入椭圆方程求解； （2）设 ，由 ，得到 ，再由 代入椭圆方程化简得到 ，再利用基本不等式求解； （3）假设直线MN的斜率存在，设直线MN为 代入椭圆方程，由 ，结合韦达定理，得到 ，由点P与点 不重合，得到 然后求得弦长 和点P到直线MN的最大距离即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 代入椭圆得 ， 即 ； （2）设 ，由题意可知 ，则 . 又有 代入椭圆得 ， 化简得 ，所以 . 因为 ，所以 . （3）如图所示： 假设直线MN的斜率存在， 设直线MN为 . 将 代入椭圆得， . 由韦达定理得 ，则 ， 由题意可知， ，则 ， 化简得 代入得 ， 得 ，因为点P与点 不重合，所以 所以 ， 下面求点P到直线 的最大距离: 设平行于直线 的椭圆切线 ， 将 代入椭圆得 ， 即 ，切线1到直线 的距离为 . 当点P在这条切线上时，点P到直线 的距离最大， . 所以 面积的最大值 . 若直线 的斜率不存在，则 . 由 ，得到 ，化简得 ，所以 . 所以直线 . 所以 ，且当点 时，点P 到直线MN 的距离最大， . 所以 面积的最大值 . 综上所述： 面积的最大值 . 【点睛】思路点睛：当直线MN的斜率存在时，设直线MN为 ，与椭圆方程联立，根据 ，结合韦达定理得到 ，由点 与点 不重合，得到从而表示弦长 ，再设平行于直线MN的椭圆切线 ，当点P为切点时，点P到直线MN的距离最大而得解. 4．（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆的离心率，抛物线； (2)； (3)存在，最小面积为8. 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）根据椭圆方程写出离心率和右焦点坐标，依题意得，可得抛物线方程； （2）由题设，联立椭圆并应用韦达定理得，进而有，即可得中点坐标； （3）讨论直线的斜率，斜率存在时，设直线为，则直线为，分别联立椭圆、抛物线，应用韦达定理及弦长公式、三角形面积公式得到关于的表达式，即可得结论. 【详解】（1）由题设的离心率为，且右焦点，即为的焦点， 所以，所以， 综上，椭圆的离心率，抛物线； （2）由题设，知，联立，则， 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为. （3）    依题意，若直线斜率为0，则，此时； 若直线斜率不为0，设直线为，则直线为，且， 联立与，得，且， 则，，所以， 联立与，得，且， 则，，所以， 所以 ，而，即等号不成立， 结合对勾函数性质知：在上递增，即； 综上，，且直线斜率为0，面积取得最小值为8. 5．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）如图1，已知抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于两点为坐标原点. (1)若，求的面积的大小； (2)的大小是否是定值？证明你的结论； (3)如图2，过点分别作抛物线的切线和（两切线交点为），分别与轴交于，求面积的最小值. 【答案】(1)1 (2)是定值，证明见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据韦达定理求参数、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）求得的坐标，进而求得的面积. （2）通过证明来得到的大小是定值. （3）利用导数求得切线方程，求得的坐标，进而求得面积的表达式，并根据二次函数的性质求得其最小值. 【详解】（1）当时，直线的方程为， 由解得， 所以的面积为. （2）由（1）中发现为等腰直角三角形，猜测. 证明：， 得，即，， 所以，所以为定值. （3），对函数求导得到， 所以方程为，整理得， 同理方程为， 分别令得到， ，解得， 由第（2）小题，，得到， 所以， 所以面积的最小值为. 【点睛】求直线和圆锥曲线交点的坐标，可以通过联立方程组来进行求解，如果含有参数，则可以考虑利用根与系数关系来对问题进行求解，此时如果直线和圆锥曲线有两个不同的公共点，则需要利用判别式来进行确认. 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，直线与交于A，B两点，直线与交于D，E两点，的最小值； (3)为曲线上一点，且的横坐标大于4．过作圆的两条切线，分别交轴于点、，求三角形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】抛物线中的参数范围问题、利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 【分析】（1）根据抛物线的定义计算可得； （2）设，并设直线的方程设为，利用焦半径公式可得弦长，同理设出直线的方程，再利用焦半径公式也可得弦长，最后根据基本不等式求得的最小值. (2)设出点坐标及的直线方程,求出两点坐标,根据与圆相切,建立等式,根据两个等式形式统一,可化为关于的二次函数且为其两根,利用韦达定理写出之间的关系,写出面积公式,将之间的关系代入化简可得关于的式子，即可求出取值范围. 【详解】（1）依题意该动圆的圆心到点与到直线的距离相等， 又点不在直线上， 根据抛物线的定义可知该该动圆圆心的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线， 所以曲线的方程. （2）设， 依题意直线、的斜率存在且不为，不妨设为、，且， 直线的方程为， 联立方程，得，显然， ∴， 同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线的定义可知： ， 当且仅当（或）时取等号. 的最小值.    （3）由题设，则且，直线、的斜率存在且不为， 设，令可得， 设，令可得， 由于直线与圆相切，所以， 化简可得:， 由于直线与圆相切， 同理可得:， 故是关于的方程的两个根， 所以，，且， 故 因为， 所以 因为，所以，所以， 所以，即当时取最小值，最小值为， 所以三角形面积的取值范围为.    【点睛】方法点睛： 解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 题型3 圆锥曲线中定点问题 1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量，视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 1．（2024·上海·三模）阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点. (1)求椭圆的标准方程； (2)点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标； (3)直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)直线恒过定点 【知识点】直线过定点问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得，求出，即可求出椭圆的标准方程； （2）设（为参数），根据点到直线的距离公式表示出R到直线PQ的距离为，由正弦函数的性质确定d的最小值，即可求解； （3）设直线，，进而写出为两点坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标. 【详解】（1）由题意知，椭圆的面积知，得， 又，所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由题意得，直线方程为，即，设（为参数）， 则点到直线的距离为， 当即即时，取得最小值，且最小值为， 所以的面积的最小值为， 此时. （3）设直线，，则，， 三点共线，得 ， 直线与椭圆交于两点，， ，， 由，得， ， ，代入中， ，， 当，直线方程为，则重合，不符合题意； 当时，直线，所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 2．（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）设点，直接计算，结合点在椭圆上化简即得； （2）设，由向量线性运算的坐标表示得出，再利用在椭圆上，可求出（或）的坐标，然后可得直线方程； （3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），直线方程椭圆方程整理后应用韦达定理得，把它代入可求得的确定值，从而得定点坐标． 【详解】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为， 设点，则 . （2）设，由已知可得，， 由得，化简得 代入可得， 联立解得 由得直线过点，， 所以，所求直线方程为. （3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（）， 联立，可得， 由，得. 由韦达定理，得.，. 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的直线过定点问题，一般可设直线与圆锥曲线的交点为，设出直线方程为或，直线方程代入圆锥曲线方程后化简整理后应用韦达定理得（或），代入题中关于交点的其他条件化简可得出（或）的关系，从而得出定点坐标． 3．（2024·上海松江·二模）如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上. (1)求线段的长； (2)若线段的中点在轴上，求的面积； (3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)或. 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的通径问题、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据已知求出点的横坐标，根据对称性可得线段的长；； （2）线段PQ的中点在轴上，得点纵坐标，代入椭圆方程得点横坐标，此时轴，易得其面积； （3）假设存在，为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上，设，，，由平行四边形对角线互相平分把点坐标用点坐标表示，然后把坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出的关系，结合起来可得或，再分别代入求得，得结论． 【详解】（1）由可得：，，从而， 所以令，则，解得：， 所以. （2）线段的中点在轴上，则，所以，即轴， 所以令，则，解得：， 所以； （3）， 假设存在以，为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上， 设，，，， 因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以， 则，，所以， 都在椭圆上，，变形得①， 又，所以，即， 则②， ②代入①得，解得：或， 若时，，，此时与重合，点坐标为； 若时，联立， 消去可得：，解得：， 因为，所以， 所以存在满足题意的点，其纵坐标为或. . 【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中探索性问题，求解步骤如下： 第一步：假设结论存在； 第二步：结合已知条件进行推理求解； 第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设； 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范． 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知抛物线，动直线l经过定点且与抛物线交于A、B两点． (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)时，求线段的长度的最小值； (3)若抛物线上存在一定点D，使得以为直径的圆恒过点D，求a、b满足的关系式． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为． (2) (3) 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据标准方程直接写出焦点和准线； （2）设AB的方程为，可得是方程的两根，利用韦达定理及弦长公式建立的函数关系式，即可求得最小值； （3）设，因而是方程的两根，根据韦达定理可得到，由恒成立可得对于一切实数m恒成立，求解即可得到a、b满足的关系式. 【详解】（1）根据抛物线标准方程可得：焦点坐标为，准线方程为． （2）直线AB必不垂直于y轴，所以设AB的方程为， 所以是方程的两根，化简得， 所以 ； 则， 当且仅当时等号成立．所以线段AB长度的最小值为． （3）设，直线AB必不垂直于y轴，所以设 是方程的两根， 所以； 由题意恒成立 所以， 化简得 将式代入即对于一切实数m恒成立， 所以．因此. 【点睛】思路点睛：本题抛物线中满足某条件的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系； ④通过讨论所得关系可确定定点. 5．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点． (1)求双曲线的离心率； (2)设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围； (3)过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)不存在满足题意的点P，理由见解析 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据双曲线的方程直接得出a、b，结合公式和计算即可求解； （2）易知直线l的斜率不为0，设，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，根据平面向量的坐标表示化简可得，求出的取值范围即可求解； （3）设，由渐近线方程和点线距公式建立方程，解得，与题意中的矛盾，即可下结论. 【详解】（1）由题意知，，则， 所以，得， 即双曲线的离心率为2； （2）由（1）知，， 若直线l的斜率为0，则直线l与双曲线的两个交点分布在左、右支各一点，不符合题意； 所以直线l的斜率不为0，设， ，消去x，得， ， ， 则， 所以， 又，则，由，得， 所以，有，所以， 即，所以的取值范围为； （3）由题意可知双曲线的渐近线方程为， 即，设， 则点P到直线的距离为，点P到直线的距离为， 所以， 又点P位于直线的上方且直线的下方，所以， 则，解得， 又点P在双曲线上，则，与矛盾， 故不存在点P使得. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用设线法得到韦达定理式，再代入计算出由向量得出的式子里，从而得出范围，第三问的关键是根据点与直线的位置关系去绝对值得到方程，解出方程即可. 题型4 圆锥曲线中定值问题 1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法： （1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 （2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数. 2. 定值问题的处理技巧： （1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向. （2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢 （3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的长轴长为4，焦距为．设的左顶点为A，过定点（）作与轴不重合的直线交于，两点，直线、分别交轴于、两点． (1)求的方程； (2)设．若以为直径的圆经过的右焦点，求直线的方程； (3)是否存在点，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意求出即可得到椭圆方程； （2）由题意知，求出点的坐标即可知道直线的斜率，进而可得直线方程； （3）联立直线和椭圆得到韦达定理，求出点的坐标，进而可求，代入化简，结合=即可求出的值. 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，焦距为, 所以, 解得, 则植圆的方程为； （2）由（1）可知椭圆的右焦点为， 设，因为且以为直径的圆经过椭圆的右焦点， 所以， 又点Q在椭圆上，，联立解得 ，不妨设 则， 此时直线的方程为， 由圆和椭圆的对称性可知也满足题意， 故直线的方程为. （3）易知直线的斜率存在且不为0，, 设直线的方程为,), 联立,消去并整理得 此时 由韦达定理得, 直线方程为, 令，解得，可得，同理得, 所以 若,解得或， 当时,，解得或,满足条件； 当时,恒成立. 所以存在点，使得等于定值, 此时或. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将用坐标来表示，进而可用韦达定理整体代入，体现的是设而不求的思想. 2．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)或； (2)或； (3)的面积为定值，该定值为. 【知识点】椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数、数量积的坐标表示、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得或； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）利用点差法计算可得，设直线的方程为，联立椭圆方程并根据韦达定理可得，再根据弦长公式以及点到直线距离可得. 【详解】（1）易知，设点， 可得，可得， 则， 所以，解得， 可得， 即或 （2）设直线的方程为，， 联立并整理可得， 所以， 易知的面积为 ， 解得，即； 所以直线的方程为或. （3）根据题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，，则，如下图所示： 易知，两式相减可得； 由，所以可得， 即，又，可得； 即， 联立整理可得， ，可得； 可得； 所以， 整理可得，即； 易知 ； 原点到直线的距离为， 所以的面积为； 所以的面积为定值，该定值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据弦中点问题利用点差法表示出斜率关系，再根据弦长公式和韦达定理表示出面积公式，化简即可得出结论. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）由题意可得，由面积可得，再结合，即可得出答案. （2）直线的方程为，联立方程解出，进而可求面积； （3）设，直线的方程为，联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系、斜率公式即可求得为定值. 【详解】（1）依题意可知， 当为短轴顶点时，取到最大值， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程. （2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，设， 若，则直线， 联立方程，消去可得，解得或， 所以的面积. （3）由（2）可设，则， 设直线的方程为，此时， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 则， 不妨设，因为三点共线，则， 可得，则， 因为三点共线，则， 可得，则， 可得， 则，可得， 所以，即. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 4．（2024·上海徐汇·一模）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是，定值为 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】(1)利用双曲线的渐近线方程可设出双曲线的方程，再将点的坐标代入即可求解； (2)要证，只需证即可； (3)构造直角三角形，利用锐角三角函数即可求出定值. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 则， 所以双曲线的方程为，即. （2）由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ， 所以，即得证. （3）由(2)可知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 5．（24-25高三上·上海松江·期末）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点． (1)求双曲线的方程； (2)延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； (3)若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由见解析 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求直线与双曲线的交点坐标、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案； （2）设，由，可得，代入方程与方程联立，即可求得点P的坐标； （3）讨论当重合时，；不重合时，设出直线的方程为，与双曲线方程联立，消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值. 【详解】（1）根据题意双曲线， 因为，解得， 双曲线的方程为； （2）    由（1）知，，， 设， 已知，又， 所以， 由点Q在椭圆上，则， 又点为双曲线上任意一点，则， 联立，解得，或， 所以点P的坐标为或或； （3）当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下， 当重合时，由题意，则，则， 当不重合时，，设直线的方程为，， 由得， 因为双曲线的渐近线方程为， 又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以， 由韦达定理得，， 所以 ， 所以存在实数，使得. 【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定值. 6．（23-24高三上·上海·期中）已知直线与曲线交于两点. (1)当时，有，求曲线的方程； (2)当时，求的面积的最大值； (3)当实数为何值时，对任意，都有为定值?指出的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）联立直线与曲线方程求出坐标，然后利用向量夹角公式列式计算即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，韦达定理求弦长，点到直线距离求高，进而求出三角形面积表达式，利用基本不等式求解最值即可； （3）联立方程，韦达定理结合数量积的坐标运算得，利用系数成比例求出参数a和定值即可. 【详解】（1）当时，将直线代入得，由题意， 解得，所以不妨设，则， 因为，所以 ，所以，所以曲线的方程为，即； （2）当时，曲线，设， 则由可得， 此时恒成立，则， ， 到的距离为， 故的面积， 当且仅当，即时，等号成立； （3）设，则由可得， 此时，则， ，要使为定值，则需，即，此时， 当时，，满足，符合题意， 所以当时，，. 题型5 圆锥曲线中定直线问题 定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等． 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是    (1)求的值 (2)若直线过点，求证：为定值； (3)设直线与轴的交点为，（为常数且，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)直线与直线的交点落在定直线上． 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线 【分析】（1）利用斜率公式结合点在椭圆上代换化简求解； （2）设直线为：与椭圆联立，将韦达定理代入斜率乘积的表达式化简求解即可； （3）设与椭圆联立，联立直线和，得交点横坐标，并将韦达定理代入化简即可求解. 【详解】（1）设，由于 因为点在椭圆上，，于是 （2）设直线为：， 由得, 易知， ， 为定值； （3）设 由 得： 则 和方程联立得，， 即 即 即直线与直线的交点落在定直线上． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中定值定点问题，关键是利用韦达定理代换化简解决第三问. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)离心率为，标准方程为 (2) (3)证明见解析 【知识点】椭圆中的定直线、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据椭圆的有界性求范围或最值、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的离心率及其标准方程； （2）设，利用两点间距离公式得，然后根据、分类讨论求解即可； （3）设直线的方程为，、，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得，写出直线、的方程，进而求解即可； 【详解】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 3．（23-24高三下·上海·开学考试）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【知识点】求平面轨迹方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定直线、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆的焦点三角形，即可结合余弦定理求解， （2）（i）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理，即可根据中点坐标公式可得，从而即可得证；（ii）进一步根据向量的坐标运算即可得证. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，. 在中，由余弦定理得， 解得，则，故椭圆的方程为； （2）（i） 当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为， 联立得. 因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交. 设，由韦达定理得， 所以. 因为为线段中点， 所以，此时，则. 要证，只需证明， 而， 所以点轨迹方程为； （ii）联立得，则. 不妨设，所以，. 不妨设，由得 ， 即. 因为，， 所以. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 当直线斜率为0时，轴，此时,. 因为，所以，则， 故点在定直线上； 当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴， 所以点在轴上，则. ∵，所以，即，则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点；若直线方程为 (为定值),则直线过定点 4．（贵州省六校联考2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）已知双曲线（，）的焦距为，曲线C的一条渐近线与直线垂直． (1)求曲线C的方程； (2)数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点（）在曲线C上，求证：； (3)过点的直线l交曲线C的右支于A，B两点，在线段上取异于A，B的点R，且满足，证明点R在定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析． 【知识点】求双曲线的焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由垂直得渐近线的斜率，由焦距及渐近线斜率列方程组求得得双曲线方程； （2）点的坐标代入双曲线方程后相减结合，得，再利用的中点与原点连线斜率得证； （3）设直线的方程为，，且，直线方程与双曲线方程联立消元应用韦达定理得，然后把用坐标表示，并整理再代入韦达定理的结论得出，然后代入所设直线方程可得结论． 【详解】（1）由已知，则，所以， 一条渐近线与直线垂直，则渐近线的斜率为2，所以， 由，解得（负值舍去）， 所以曲线C方程为； （2）由题意点都在第一象限， ，作差整理得， 而，所以， 设的中点为，所以， 而双曲线的渐近线为，所以， 所以； （3）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，且， 由，得， 由，所以，， 又，同理，，， 由得，化简得， 所以，整理得， 代入并化简得， 所以点在直线上．    【点睛】方法点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件 ，明确确定直线、双曲线的条件； （2）强化有关直线与双曲线方程联立得出一元二次方程的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形面积等问题． 5．（2025·四川成都·二模）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）根据双曲线过的点以及渐近线方程列出方程组求解双曲线方程； （2）（i）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （ii）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上。 【详解】（1）由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得故的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为，与联立得. 设，由题意，得解得. （i）解：因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）证明：设直线的方程为，令，得. 同理可得，. 因为为中点，所以，即. 又因为点都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 参数法：参数解决定点问题的思路： ①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 题型6 圆锥曲线中向量问题 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为．过点的直线l交椭圆E于P、Q两点． (1)若E的离心率为，求b的值； (2)若为等腰三角形，且P在第一象限，求点P的坐标； (3)设直线交椭圆E于另一点R，若，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据韦达定理求参数、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据离心率以及椭圆方程计算可得； （2）画出图形，由为等腰三角形，验证与、与是否相等，数形结合易知，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，结合判别式即可求解. 【详解】（1）当椭圆焦点在轴上时，，则，因此； 当椭圆焦点在轴上时，，解得. 综上，当椭圆焦点在轴上时，；椭圆焦点在轴上时，. （2）当时，椭圆，其中， 如下图所示： 设点，且， 因为为等腰三角形，且在第一象限，已知， 由椭圆对称性和点位置可知，， 若，则， 所以，可得， 又因为在椭圆上，所以，即， 将代入中，得到9， 展开并化简可得：， 即，进一步变形为， 则此方程无实数解；故； 若，则， 将代入可得，展开并化简： ，即， 因式分解为，解得或（舍去）， 将代入椭圆方程可得，所以. （3）设直线的方程为， 将代入椭圆方程，得到， 展开并整理可得， 由得 由韦达定理可得， 因为与关于原点对称，所以， 又，则， 根据向量数量积求解：已知，则， 将代入上式可得： 整理得 将代入上式可得： ，即， 因为，所以， 所以，又，所以. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 2．（2024·上海·模拟预测）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为. 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求平面两点间的距离、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 3．（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)存在；或 (3) 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的参数及范围、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）求出点坐标后，根据椭圆定义可求得结果； （2）根据三角形面积可求得点到直线的距离为，利用平行直线间距离公式可求得到直线的距离为的直线方程，与椭圆方程联立可求得点坐标； （3）将问题转化为，结合韦达定理可表示出之间的关系，结合可构造出关于的不等式，解不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. （2）由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. （3）由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积、参数取值范围的求解问题；本题求解参数范围的关键是能够根据向量数量积关系，将问题转化为，从而利用两点间距离公式和韦达定理化简该等量关系. 4．（2024·上海闵行·一模）已知圆，双曲线，直线，其中． (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点； (3)设与轴交于点，与圆交于点、，与双曲线的左右两支分别交于点、，四个点从左至右依次为、、、．当时，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中存在定点满足某条件问题、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】（1）根据离心率公式即可； （2）联立双曲线和直线方程，根据韦达定理即可证明； （3）联立圆和直线方程，得到韦达定理式和判别式，再联立双曲线方程和直线方程，得到韦达定理和判别式，再将向量点乘式化成横坐标关系，再代入化简即可. 【详解】（1）由题意，，所以，， 因此，双曲线的离心率. （2）由直线与圆相切，得，即， 联立得， 即， 该一元二次方程的判别式， 因此有两个不相等的实数根， 且两根之积为，因此两根一正一负， 即与双曲线的左右两支各有一个公共点. （3）设， 联立，得，得， 由可得. 联立得，得 且分别交于左右两支可得， 又，又、、、四个点在同一直线上， ， ，还可得， ， 即，化简后可得:， 代入后化简可得:，解得，由，得. 经检验，此时与两支分别有交点， 为唯一满足条件的实数. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是多次联立，得到韦达定理，再将向量式化简得，即，再代入韦达定理式计算即可. 5．（24-25高三上·上海·期中）设， 椭圆与双曲线的离心率分别为 (1)若 ，求的值； (2)当时，过双曲线的右顶点作两条斜率分别为的直线 分别交双曲线于点（不同于右顶点），若 ，求证：直线的倾斜角为定值，并求出该定值； (3)当时，设点， 若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且 ，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 (3) 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的定值问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的离心率的计算公式，得到，，再结合条件，即可求解； （2）设设的方程分别为，，,联立，求得，，结合条件，可得，即可求解； （3）设，直线方程为，联立，通过消元及韦达定理，得到，，结合条件得到，再利用，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为, 双曲线，即的离心率为， 由题知，解得. （2）由（1）可知，双曲线的右顶点为，又，所以， 设的方程分别为，，, 由，消得到， 由韦达定理得到，得到，所以，得到， 同理可得， 所以， 又，所以，故直线的倾斜角为. （3）因为，所以， 设，直线方程为， 由，消整理可得， 由，解得. 由韦达定理知， 由，消整理可得， 由韦达定理知， 设直线中点为，则， 由点在直线上得， 又点在直线上，得到，则， 又因为 ， 所以， 由题有，解得且， 所以，即实数的取值范围. 【点睛】方法点晴：解答直线与椭圆、双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 6．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知和是椭圆Γ： 上两点，O是坐标原点. (1)求椭圆Γ的离心率； (2)若过点P的直线交Γ于另一点B，且的面积为9，求直线的方程： (3)过中点的动直线与椭圆Γ有两个交点M，N，试判断在轴上是否存在点使得 .若存在，求出点纵坐标的取值范围； 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 或 (3)存在， 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中存在定点满足某条件问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可；（2）以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；（3）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）由题意得，解得，椭圆方程为：. 所以. （2），则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. （3）椭圆方程为：. 若过中点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则， 此时需，两者结合可得. 故这个点纵坐标的取值范围为 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$