培优专题04 概率统计（6大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

培优专题04 概率统计 题型1 非线性回归 1．（20243·安徽合肥·模拟预测）当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表： 套餐 A B C D E F 月资费x（元） 38 48 58 68 78 88 购买人数y（万人） 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近. (1)根据所给数据，求出关于的回归方程； (2)已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望= 【知识点】求回归直线方程、非线性回归、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据数据和最小二乘法公式求出a和即可； （2）因为是一家4口购买不同的套餐，套餐的种类只有6种，所以X的取值为2,3,4，按照超几何分布的模式写出分布列和数学期望. 【详解】（1）因为散点集中在一条直线附近，设回归方程为， 由，则， ，故变量关于的回归方程为.又， 故， 综上，关于的回归方程为； （2）由，解得， 而，所以即为“主打套餐”. 则四人中使用“主打套餐”的人数服从超几何分布，又：一共只有6种套餐，一家4口选择不同的套餐，所以X的取值只能是， 且， 分布列为 2 3 4 期望. 2．（2023·四川·三模）党的二十大报告提出，从现在起，中国共产党的中心任务就是团结带领全国各族人民全面建成社会主义现代化强国、实现第二个百年奋斗目标，以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴.高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务.加快实现高水平科技自立自强，才能为高质量发展注入强大动能.某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，其研发投入y（单位：亿元）的统计图如图1所示，其中年份代码x=1，2，…，10分别指2013年，2014年，…，2022年.    现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.67 表中． (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选模型，求出y关于x的回归方程；根据所选模型，求该公司2028年高科技研发投入y的预报值．（回归系数精确到0.01） 附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】(1)选择模型②，利用见解析 (2)，. 【知识点】求回归直线方程、非线性回归、残差的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）根据残差点的分布可得出结论； （2）令，可得出，利用参考数据可求出、的值，可得出关于的回归方程，然后将代入回归方程，可得出该公司年高科投研发投入的预报值. 【详解】（1）应该选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄， 所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型②比较合适. （2）根据模型②，令，研发投入与可用线性回归来拟合，有. 则，所以， 则关于的线性回归方程为， 所以关于的回归方程为， 年，即时，（亿元）， 所以该公司年高科技研发投入的预报值为（亿元）. 3．（2024·河南郑州·模拟预测）MCN即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的PGC（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商、短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使MCN机构的服务需求持续增长．数据显示，近年来中国MCN市场规模迅速扩大．下表为2018年—2022年中国MCN市场规模（单位：百亿元），其中2018年—2022年对应的代码依次为1-5． 年份代码 1 2 3 4 5 中国MCN市场规模 1.12 1.68 2.45 3.35 4.32 (1)由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程； (2)从2018年-2022年中国MCN市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为，求的分布列与期望． 参考数据： 2.58 0.84 46.83 15.99 其中，，． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为. 【知识点】求回归直线方程、非线性回归、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）两边取自然对数有，设，所以，则将非线性方程转化为线性方程，利用公式计算出， 代入样本中心点即可得到； （2）的取值依次为1,2,3，计算出每个对应的概率值，再利用期望公式即可得到答案. 【详解】（1）两边同时取自然对数得. 设，所以， 因为, 所以. 把代入,得,所以,所以, 即关于的回归方程为. （2）2018年-2022年中国MCN市场规模的5个数据中，与的差的绝对值小于1的数据有1.68, 2.45,3.35，共3个，所以的取值依次为1,2,3 所以的分布列为 1 2 3 . 4．（2024·安徽·模拟预测）纯电动汽车、混合电动汽车及燃料电池电动汽车均为新能源汽车，近几年某地区新能源汽车保有量呈快速增长的态势，下表为2018~2022年该地区新能源汽车及纯电动汽车的保有量（单位：万辆），其中2018~2022年对应的年份编号依次为： 年份编号 1 2 3 4 5 该地区新能源汽车保有量 1.5 2.6 3.4 4.9 7.8 该地区纯电动汽车保有量 1.3 2.1 2.8 4.0 6.4 (1)由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到0.1），并预测2023年该地区新能源汽车保有量能否超过10万辆； (2)从表中数据可以看出2018~2022年，该地区新能源汽车保有量中纯电动汽车保有量占比均超过80%，说明纯电动汽车一直是新能源汽车的主流产品．若甲、乙、丙3人从2018~2022年中各随机选取1个年份（可以重复选取），记取到满足的年份的个数为，求的分布列及数学期望． 参考数据： 1.25 22.62 1.1 1.5 11.4 其中，． 参考公式：对一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，． 【答案】(1)，预测2023年该地区新能源汽车保有量能超过10万辆 (2)分布列见解析，数学期望为 【知识点】非线性回归、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）设，由已知可得，利用最小二乘法结论求，由此可得回归方程，再利用回归方程进行预测，并判断结论； （2）由条件确定随机变量的所有可能取值，由条件可得结合二项分布的分布列和期望公式求解. 【详解】（1）由得， 设，则， 因为， ， ，， 所以． 又，所以， 所以，故， 所以， 则，又，， 所以， 即关于的回归方程为， 当时，， 所以预测2023年该地区新能源汽车保有量能超过10万辆． （2）的所有可能取值为，易知年中满足的年份有2个， 则每人取到满足的年份的概率为， 故， ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 ． 5．（2024·河北·模拟预测）为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，设，收集数据如下： 天数 1 2 3 4 5 6 繁殖个数 6 12 25 49 95 190 表（Ⅰ） 3.50 62.83 3.53 17.50 596.57 12.08 表（Ⅱ） (1)根据表（Ⅰ）在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断（，为常数）与（，为常数，且，）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）中的判断结果和表（Ⅱ）中的数据，建立关于的经验回归方程（结果保留2位小数）. 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 【答案】(1)散点图见解析；适宜. (2) 【知识点】绘制散点图、求回归直线方程、最小二乘法的概念及辨析、非线性回归 【分析】（1）由已知数据即可作出散点图，据此可判断出结论； （2）由最小二乘法计算和，可得，即可求得答案. 【详解】（1）由题意作出散点图如图： 由散点图可知，样本点是沿指数型曲线分布，不是分布在某直线附近， 故（，为常数，且，）适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型. （2）由题意知，故， 则， ， 则，故. 题型2 条件概率+全概率+贝叶斯公式 一、条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 二、全概率公式及其应用 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 三、贝叶斯公式及其应用 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 1．（2024·上海奉贤·三模）在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球． (1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率； (2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设： 假设1：各回合比赛相互独立； 假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为； 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？ 【答案】(1) (2)不合理,理由见详解 【知识点】游戏的公平性、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由全概率公式，即可求解； （2）由已知条件，求出第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，与比较，即可得到答案. 【详解】（1）设事件表示第一回合该中国队运动员赢球，事件表示第二回合该中国队运动员赢球， 事件表示第二回合比赛有运动员得分， 由已知，， ， 则 ， 即第二回合比赛有运动员得分的概率为. （2）设运动员甲先发球，记事件表示第i回合该运动员甲赢球， 记事件表示运动员甲先得第一分， 则， 则， 所以，即则第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于， 则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧制不合理. 2．（2023·江苏苏州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子. (1)计算主持人打开4号箱的概率； (2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据） 【答案】(1) (2)甲应该改选1号或3号箱. 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、乘法公式 【分析】（1）设出事件，根据已知条件得出事件的概率以及条件概率，然后根据全概率公式即可得出答案； （2）根据条件概率公式，求出抽奖人甲选择各个箱子，获得奖品的概率，即可得出答案. 【详解】（1）设分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品， 设分别表示主持人打开号箱子， 则，且两两互斥. 由题意可知，事件的概率都是，，，，. 由全概率公式，得. （2）在主持人打开4号箱的条件下，1号箱､2号箱､3号箱里有奖品的条件概率分别为， ， ， 通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱. 3．（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）分别求出与在第1,2,3轮对决且胜利的概率，最后相加即可； （3）求出没有与对决过且最后获得冠军的概率，再利用条件概率和全概率公式计算即可. 【详解】（1）夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为． 由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1． 所以七名运动员各自夺冠的概率均为． （2）记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，． 不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧． ， ， ， ， 所以. （3）记事件“与对决过”． 没有与对决过且最后获得冠军的概率． 由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决． 所以． 代入得：． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用全概率公式计算出相关概率. 4．（2024·江苏宿迁·模拟预测）在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件表示“机器人的前 次移动均未向雷达发送信息”. (1)求， (2)已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1. （i）证明：事件；“雷达会收到信息”的概率为1； （ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、求等比数列前n项和、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）根据题意直接计算得出结论； （2）（i），因此，即可证明结论； （ii）利用全概率公式可得结论. 【详解】（1）由题意，前2 次移动向雷达发送信息，则需要连续向左移动2次，则， 若机器人经过，则必不经过3，包括： 前两次都向左移动1个单位； 先向左移动1个单位，再向右移1个单位，再向左移动2个单位； 先向右移动1个单位，再向左移动3个单位， 则其概率， 若机器人经过3，则必不经过，包括：前3次连续向右移动，则其概率， 故； （2）（i），因此， ， ， 对于一系列无穷事件，存在正数，对于任意的n都有，， 则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1，即“中有事件不发生”的概率为1，即“雷达会收到信息”的概率为 （ii）设事件机器人从出发，运动至3首次发送信息， 根据（i），机器人发信息的概率为1，即它会从0运动至或3的概率为1， 再根据对称性，机器人初始位置为0，首次发信息在的概率与初始位置在1， 首次发信息在3的概率相等，即 设事件表示点移动到1，事件，表示点移动到0，设事件表示点移动到 易知事件与事件相互独立，故 又根据全概率公式，若机器人初始位置为0， 第一次移动后的位置为1 或，故， 故，① 若机器人初始位置为，第一次移动后的位置为0，故， 即，② 解①②，解得，从而雷达第一次收到信息时机器人位置为3的概率为 【点睛】关键点点睛：本题第二问有可得，利用不等式放缩可知，进而再放缩可得进而可得. 5．（24-25高二上·河南南阳·期末）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答． (1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； (2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】乘法公式、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，根据可得结果. （2）针对乙同学在A箱中选择的题目进行分类，结合全概率公式计算可得结果. 【详解】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”， 则． 在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以． 故． （2）设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“乙从A箱中取出2道几何题”， 则． 当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，； 当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，； 当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，． 由全概率公式可得． 6．（24-25高三上·湖北·开学考试）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.    (1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； (2)求的分布列和数学期望； (3)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率. 【答案】(1)或 (2)分布列见解析，1 (3) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得. （2）根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望. （3）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案. 【详解】（1）设“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”. 事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态， 故，解得或. （2）由题知， 时分3类情形， ①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态； ②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态， 通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态； ③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态， 所以， 同理， ， 所以所求的分布列为 X 0 1 2 P 所以所求数学期望. （3）设“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒于通过2号门后处于上旋状态的粒于个数为2个”， 则， ， 则. 故. 题型3 二项分布概率最大问题 若，则 则二项分布概率最大分布模型： 1．（23-24高三下·上海·期中）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第一天的直播中有超过万人次的观看． (1)已知小李第１天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，求小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率； (2)若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万人次的观看的概率为，记这天中每天有超过万人次观看的天数为． （i）比较与的大小，其中； （ii）记，求. 【答案】(1) (2)（i）当时，；当时，；（ii）. 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、服从二项分布的随机变量概率最大问题、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）先求出小李第二天和第三天都没有观看虚拟主播直播的概念，然后利用正难则反原则即可求解； （2）（i）由已知服从二项分布，则，进而可得，然后利用比值与1比较大小即可求解； （ii）因为，所以可能取值为1或，然后结合（i）分别求出和的概率即可得解. 【详解】（1）由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为； 所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为； （2）（i）由已知服从二项分布，所以， 当时，，所以，即； 当时，，所以，即. （ii）因为，所以或， 当时，， 当时，， . 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解服从二项分布，由二项分别公式利用与1进行比较大小，由，得到可能取值为1或是所对应的值，结合二项式定理化简得到答案. 2．（2025·云南昭通·一模）为提升大学生环保意识，牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，某生物多样性保护与绿色发展基金会举办了“2024年大学生环保知识竞赛”．为了了解大学生对相关知识的掌握情况，随机抽取2000名大学生的竞赛成绩（单位：分），并以此绘制了如图的频率分布直方图． (1)从竞赛成绩在内的学生中随机抽取80名学生，用表示这80名学生中恰有名学生竞赛成绩在的概率，其中，1，2，…，80．以样本的频率估计概率． ①从这80名学生中任取一人，求这个学生的竞赛成绩在的概率； ②当最大时，求． (2)若学生中男生人，其成绩平均数记为，记方差为，女生为人，其成绩平均数为，记方差为，把总体样本数据的平均数记为，方差记为，证明：． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【知识点】计算条件概率、服从二项分布的随机变量概率最大问题、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）①记事件A为抽取的任一学生的竞赛成绩在内，记事件B为抽取的任一学生的竞赛成绩在内，由条件概率的公式计算即可； ②利用二项分布的概率公式表示出概率，再解不等式组即可； （2）由方差的公式推导化简即可； 【详解】（1）①记事件A为抽取的任一学生的竞赛成绩在内， 记事件B为抽取的任一学生的竞赛成绩在内. 从这80名学生中任取一人，这名学生的竞赛成绩在内的概率为 ②：用X表示这80名学生中抽取的学生的成绩在的人数， 经分析服从二项分布， 由,得，即， 解得 又因为，所以. 即当时，最大. （2）证明：根据方差的定义，记男生的成绩为 记女生的成绩为则总体的方差为 由 同理 则同理 3．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 (1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； (2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析，90． (2)①；②12 【知识点】完善列联表、独立性检验解决实际问题、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值 【分析】（1）根据表格中已有数据进行分析，完善列联表，并计算出卡方，得到不等式，结合为30的整数倍，故的最小值为90； （2）①设出事件，得到20名同学中1人晋级的概率，得到，利用二项分布期望公式求出答案； ②得到，根据，求出取最大值时的取值为12． 【详解】（1）列联表如下： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 先提出统计假设为：性别与满意度没有关系， 根据上表可知，， 因为性别与满意度有关系，所以，解得， 由题意可知，为30的整数倍，故的最小值为90； （2）①设（，，）分别表示3道题目答对事件， 令该年级的20名同学中1人晋级的事件为， 则 ， 由题意可知，，则； ②，，，，，，， 最大，则 解得，， 所以， 即取最大值时的取值为12． 4．（2024·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. (1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； (3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 【答案】(1)，平均时间为小时 (2)分布列见解析，期望 (3) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据频率和为，可得，再根据平均数公式直接计算平均数即可； （2）分别计算时间在，的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望； （3）根据频率分布直方图可知运动时间在内的频率，根据二项分布的概率公式可得，根据最值可列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知，解得， 所以平均数为 . （2）这名高中学生户外运动的时间分配， 在，两组内的学生分别有人，和人； 所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人， 所以随机变量的可能取值有，， 所以，， 则分布列为 期望； （3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为， 则， 若为最大值，则， 即， 即，解得， 又，且，则. 5．（23-24高二下·吉林长春·期末）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 (1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值 的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； (2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为 ；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. (3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为.事件“”的概率为 ，求使 取得最大值时的值. 参考公式：，其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)6. 【知识点】完善列联表、独立性检验解决实际问题、计算条件概率、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）补充完善列联表，进行独立性检验即可. （2）利用条件概率公式结合全概率公式求解即可. （3）利用二项分布的性质求解最值即可. 【详解】（1）列联表见图， 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 零假设:假设食堂就餐与性别无关， 由列联表可得， 根据小概率的独立性检验推断不成立， 即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关. （2）记事件：小林同学星期三选择了①号套餐， 事件：小林同学星期五选择了②号套餐, 由全概率公式可得 （3）由题意可知，抽取的10名学生， 喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项分布， 且喜欢饭堂就餐的频率为,则, 且， 设 ，若,即 即解得， 若即解得 所以当时, 当时, 因为 所以, 即使取得最大值的值为6. 题型4 数学期望 1．（24-25高二上·上海·期末）某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会； ②依次参加游戏. ③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金. 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是乙参加每一个游戏获胜的概率都是甲、 乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：    (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏? 并说明理由. (2)在（1）的基础上，解答下列两问： （i）求该运动员能参加游戏的概率. （ii）设4次游戏结束后有种不同的奖金额，记：为该运动员最终获得的奖金额，为获得元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为求该运动员最终获得奖金的期望. 【答案】(1)甲运动员，理由见解析； (2)（i）；（ii） 【知识点】互斥事件的概率加法公式、由频率分布直方图估计中位数、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式 【分析】（1）结合频率分布直方图，结合中位数的意义判断甲乙中位数的大小即可得结论； （2）（i）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即可； （ii）按游戏共使用次数，求出的值及对应的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】（1）解：甲运动员的成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80， 而乙运动员成绩位于的频率为0.6，则其中位数小于80， 所以：甲运动员参加第二阶段游戏； （2）解：(i)若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会， ①游戏共使用2次机会，则概率； ②游戏共使用3次机会，则概率； 所以甲能参加游戏的概率为； (ii)因为甲参加每一个游戏获胜的概率都是， 所以参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为， ①游戏使用4次机会，则或； ②游戏使用3次机会，游戏使用1次机会，则或； ③游戏使用2次机会，游戏使用2次机会，则或； ④游戏使用2次机会，游戏使用1次机会，则或； ⑤游戏使用1次机会，游戏使用3次机会，则或； ⑥游戏使用1次机会，游戏使用2次机会，则或； ⑦游戏使用1次机会，游戏使用1次机会，则或或； 其中有两种情况：参加游戏第一次成功，第二次失败和第一次失败，第二次成功， 所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以 . 2．（23-24高三上·上海普陀·阶段练习）某学校组织竞赛，有A，B两类问题可供选择，其中A问题答对可得5分，答错0分，B问题答对只可得3分，但答错有2分，现小明与小红参加此竞赛，小红答对2种问题的概率均为0.5，小明答对A，B问题的概率分别为0.3，0.7 (1)小红一共参与回答了2题，记X为小红的累计得分，求X的分布列 (2)小明也参与回答了2道问题，记Y为小明的累计得分，求该如何选择问题，使得E[Y]最大． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据离散型变量分布列的概念求分布列；（2）按照所答类题的个数讨论，分别求对应期望的值. 【详解】（1）由题意：可能的值为：0，2，3，4，5，6，7，8，10. ，， ，， ，， ，， . 所以的分布列为： 0 2 3 4 5 6 7 8 10 （2）小明答一个类题的得分期望为：，答一个类题的得分期望为：. 所以：小明答两个类题的得分期望为：； 答一个类题，一个类题的得分期望为：； 答两个类题的得分期望为：. 所以：小明应该答两个类题，才能使得得分的期望最大. 【点睛】离散型随机变量的分布列问题，第一，一定要把所有的情况考虑周全，要做到不重不漏；第二，所有概率之和为1. 3．（24-25高三·上海·随堂练习）袋中装有3个大小和质地相同的白球，编号为1、2、3，从袋中依次取出两个球，用、表示第一个及第二个球的编号，在以下两种情况下分别求随机变量、和的期望，并研究、和的关系． (1)有放回地依次取出两个球； (2)不放回的依次取出两个球． 【答案】(1)，，； (2)，，． 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）分别求出分布列，再求出期望，验证关系即可. （2）分别求出分布列，再求出期望，验证关系即可. 【详解】（1）由题意得可能取的值是1、2、3， 易得， 则随机变量的分布为， 而， 同理，随机变量的分布为， 则， 可能取的值是2、3、4、5、6， ，，， ，， 又随机变量的分布为， 则， 则； （2）由题意得可能取的值是1、2、3， 易得， 则随机变量的分布为， 而， 同理，随机变量的分布为， 则， 又可能取的值是3、4、5， ， 随机变量的分布为， 则，则． 4．（2024·上海青浦·二模）垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表： 男生 女生 总计 A等级 40 20 60 B等级 20 20 40 总计 60 40 100 (1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？ 附：，其中，． (2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问． （i）求比赛只进行3局就结束的概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望． 【答案】(1)无关 (2)（i）；（ii）分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、卡方的计算 【分析】（1） 计算的值，再与进行比较即可得结论； （2）（i）由相互独立事件概率的乘法公式可直接求出答案； （ii）先由相互独立事件概率的乘法公式求出，则分布列可得，再由期望公式求数学期望即可. 【详解】（1）提出原假设:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关， 确定显著性水平，由题意得， 可得， 由，且， 所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关. （2）（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为 比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为， 故比赛只进行3局就结束的概率为； （ii）的可能取值为， ，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故， ，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢， 故， ，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢， 故 ， ，即最后甲赢得比赛，由概率性质得， 所以分布为 0 1 2 3 故数学期望为. 5．（2025·吉林长春·一模）有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． (1)，，，如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出入员数目的分布列和数学期望； (2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由． 【答案】(1)①；②分布列见解析，数学期望为； (2)先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式 【分析】（1）①根据独立性事件乘法公式即可得到答案； ②可取1，2，3，再分别计算出其对应概率，再利用数学期望公式即可得到答案； （2）首先分析出前两人应从A和B中选，C最后派出，再分类讨论作差比较两种方案即可. 【详解】（1）①设按照A、B、C的顺序先后进入，任务被完成为事件， 则 . ②可取1，2，3， ，， ， 所以其分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. （2）若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为，，， 其中，，是，，的一个排列， 结合（1）②知， 由，得要使X最小，前两人应从A和B中选，C最后派出， 若先派A，再派B，最后派C，则； 若先派B，再派A，最后派C，则， 而，所以先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出期望表达式，再分析C最后派出，最后分类讨论并比较大小即可. 6．（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 【答案】(1) (2) (3)，，选择方案二更合适 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据全概率公式，即可求解； （2）利用全概率公式和条件概率公式，即可求解； （3）根据两种不同的方案，结合题意，写出不同的期望，比较后即可判断. 【详解】（1）记事件分别表示第一次抽到A类，B类，C类小正方体， 亊件表示第一次投掷后向上的面为奇数，事件表示第二次投掷后向上的面为奇数. （2）续投掷两次向上的面均为奇数的概率为 故所求概率为 （3）若选择方案一、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为200，100， 则 ， ， 所以. 若选择方案二、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为300，100. ①若第一次抽到的是A类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 ； ②若第一次抽到的是B类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 所以， 则， 所以， 所以， 则， 所以选择方案二更合适. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并正确使用条件概率公式和全概率公式，求解概率. 题型5 概率与导数 1．（2025·河北邯郸·一模）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响. (1)已知. ①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率； ②求甲同学答对1道题的概率. (2)记甲同学的答题个数为，求的最大值. 【答案】(1)①；②； (2). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）①②应用独立事件乘法公式及互斥事件加法求对应概率即可； （2）根据题意有并求出对应概率，应用期望的求法求，再由导数求期望的最大值. 【详解】（1）①由题意，甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为； ②甲同学答对1题的情况如下， 第一轮答对1题，第二轮答对0题，则概率为； 第一轮答对0题，第二轮答对1题，则概率为； 所以甲同学答对1道题的概率为； （2）由题意，， 且， ， ， ， 所以 ，又， 令，则， 令，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 又，，则在上， 所以在上恒成立，即在上单调递减， 所以，故最大为. 2．（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， (2) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，利用条件概率公式可求得的值； （ii）由题意可知，的取值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，利用独立重复试验的概率公式可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，即可得出的最小值. 【详解】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件， 则． （ii）根据题意可知的取值可能为、、、． 则，， ，． 则的分布列为： 所以． （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为， 则 ，其中， 因为，所以在单调递增． 注意到，所以，故的最小值为． 3．（2025·黑龙江·二模）为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. (1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)． 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）确定的可能值为，分别求出概率得分布列，然后由期望公式得期望．（也可用二项分布的性质求解）； （2）由独立重复事件的概率公式求得套中的奖品个数为3的概率，然后利用导数求得最大值． 【详解】（1）由题意随机变量的可能值为，， ，．， 的分布列为： 0 1 2 ； （2）由题意两人总共套中的奖品个数为3的概率为： ， 设，，则， 时，递增，时，，递减， 所以时，， 所以所求最大值为． 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）投篮测试中，某同学投篮5次，每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立. (1)当时，随机变量表示该同学投篮命中的次数，求的概率分布与数学期望； (2)设该同学投篮5次恰好有3次投中的概率为，求的最大值及此时的值. 【答案】(1)分布列见解析， (2)最大值为， 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）求出的所有可能值，利用二项分布概率公式求出概率，列出分布列并求出期望. （2）求出的函数关系，利用导数求出最大值. 【详解】（1）的所有可能值为：0，1，2，3，4，5，显然， ， ，，， ，，， 所以的概率分布为 X 0 1 2 3 4 5 P . （2）依题意，，求导得， 当时，；当时，， 函数在单调递增，在单调递减， 所以当时，的最大值为. 5．（2025·山东·模拟预测）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率； (2)求在一轮中乙摸出红球的概率； (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不同意乙的观点，理由见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、独立事件的乘法公式、服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）先利用全概率公式求出乙从袋中摸球的概率，再利用乘法概率公式求解即可； （2）利用全概率公式求解即可； （3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布，利用二项分布的概率公式可得3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为，令，利用导数求最大时，的值即可. 【详解】（1）设“甲从袋中摸球”，“乙从袋中摸球”，“乙摸出的是红球”， 由全概率公式知，乙从袋中摸球的概率， 所以在一轮中，乙从袋中摸出红球的概率为． （2）在一轮中，乙摸出红球的概率． （3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布， 则3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为， 设，则， 令，解得， 则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点． 题型6 概率与数列 1．（2025·四川成都·二模）某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）证明：存在实数，使得数列为等比数列. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【知识点】由定义判定等比数列、利用全概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算得解. （2）（i）将第3轮答题结束时挑战未终止的事件进行分拆，再利用互斥事件的加法公式及相互独立事件的乘法公式求出，同理求出；（ii）利用概率的加法公式及乘法公式列出递推公式，再利用构造法求解得证. 【详解】（1）设事件“一轮答题中系统派出通识题”，事件“该选手在一轮答题中答对”， 依题意，，， 因此， 所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为. （2）（i）设事件“该选手在第轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立， 由（1）知，， 当时，挑战显然不会终止，即， 当时，则第1、2轮至少答对一轮，， 由概率加法公式得； 同理. （ii）设事件“第轮答题结束时挑战未终止”， 当时，第轮答题结束时挑战未终止的情况有两种： ①第轮答对，且第轮结束时挑战未终止； ②第轮答错，且第轮答对，且第轮结束时挑战未终止， 因此第轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为， 则，而各轮答题正确与否相互独立， 因此， 当时，，设存在实数，使得数列为等比数列， 当时，，整理得， 而，则，解得或， 当时， 因此当时，数列是首项为，公比为的等比数列； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以存在实数或，使得数列为等比数列. 2．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用对立事件的概率公式求概率、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 3．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为. (1)若，求甲以获胜的概率； (2)求与的关系； (3)证明：. 【答案】(1)0.176； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】构造法求数列通项、利用全概率公式求概率、确定数列中的最大（小）项、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再结合已知求出概率. （2）根据给定条件，利用全概率公式列式即可. （3）由（2）的结论，利用构造法，结合等比数列定义求出通项，再作差判断单调性即可推理得证. 【详解】（1）依题意，甲以获胜，在接下来的比赛中的情况为：甲乙甲甲或乙甲甲甲， 所以甲以获胜的概率为. （2）设 “在第球比赛中甲获胜”为事件，“在第球比赛中甲获胜”为事件， ，，， 依题意，， 所以. （3）由（2）知，， 而，则， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此，即， 由，得，则数列递增， 所以. 【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键. 4．（2025高三·全国·专题练习）马尔可夫链是概率论中的一种数学模型，用于描述一系列状态之间的转移概率，在天气预报中具有重要的应用．在天气预报中，可以将天气状态分为多种，例如晴天、阴天、雨天、雪天等，根据以往的天气状态数据，可以计算出每种状态之间的转移概率，即从一种状态转移到另一种状态的概率，进而可以得到转移概率矩阵，在测评天气时，可以从当前的天气状态开始，根据转移概率矩阵计算出下一个可能的天气状态，以此类推，就可以测评未来几天的天气情况．某城市准备在冬季的某段时间举行一场大型户外活动，现需要用马尔可夫链模型来测评天气情况，从而决定具体的举办日期，假设该城市冬季的天气只有三种状态：晴天、阴天、雨天．根据以往的天气状态数据得到如下转移概率矩阵：           第天 第天 晴天 阴天 雨天 晴天 阴天 雨天 (1)假设第1天是晴天的概率为，求第2天是雨天的概率； (2)假设第1天是晴天的概率为，求第4天是晴天的概率； (3)在马尔可夫链模型中，稳态分布为该模型可以演变到平衡状态的分布，当一个马尔可夫链处于稳定状态时，变量的概率分布将趋近于稳定，并且与初始状态无关．在这个天气预报问题中，不论第1天是晴天、阴天、雨天的概率分别是多少，第（足够大）天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于一个常数，试证明该结论，并求出这三个常数． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，，， 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）设第1天是阴天、雨天的概率分别为，求得，从而利用关系求得第2天是雨天的概率； （2）设第天是晴天、阴天、雨天的概率分别为，根据转移概率矩阵得到的递推关系式，根据递推关系式得到是等比数列，求出的通项公式，得到结果； （3）根据（2）得到，利用对立事件的概率计算公式得到（），利用极限思想得到结果. 【详解】（1）设第1天是阴天、雨天的概率分别为，则，得， 因此第2天是雨天的概率． （2）设第天是晴天、阴天、雨天的概率分别为，由转移概率矩阵可得． 又，所以，即， 由可得，（点拨：令，利用待定系数法求出的值，从而得到） 所以数列是公比为的等比数列． 又，所以，因此， 故第4天是晴天的概率． （3）当时，由（2）知数列是公比为的等比数列， 所以， 因此． 根据（2）可知， 又， 所以，得， 所以， 因此． 所以． 因为单调递减，且，当时，， 所以当时，， ，． 当时，易知，，． 综上，不论的取值如何变化，第（足够大）天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于一个常数，且第天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于，，． 【点睛】考点与方法点睛：试题巧妙地将数列融入概率问题中，重在考查学生的逻辑思维能力，考查学生对事件进行分析、分解和转化的能力，对学生的知识串联能力要求较高，有助于学生构建完整的知识体系． 概率与数列的交汇问题，多以概率的求解为主线，建立递推关系．解决此类问题的基本步骤如下： 第一步：精准定性明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率模型的依据，也是建立递推关系的准则 第二步：准确建模通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题 第三步：解决模型递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列等问题求解，求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式. 5．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）口袋中有大小相同、质地均匀的3个白球和3个黄球.甲乙两人进行摸球游戏，规则如下：每次摸2个球，观察颜色后放回，若颜色相同时，则摸球人继续摸球；否则由对方摸球.第一次由甲开始摸球，记第n次由甲摸的概率是 (1)求，； (2)证明：数列是等比数列，并求 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列 【分析】（1）代表的是第2次由甲摸球，所以第一次甲摸得球颜色相同，代表的是第3次由甲摸球，这个时候有两种情况； （2）根据题意得到与的关系式，即可证明为等比数列，再根据等比数列的通项公式得到. 【详解】（1）第一次由甲开始摸，， 表示第二次由甲摸球的概率，， 表示第二次由甲摸球或第二次由乙摸球后， 第三次由甲摸球的概率， 所以， （2）当时，表示第次由甲摸球后或由乙摸球后，第 n次由甲摸球的概率， 所以， 即， 所以， 因为，即， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. 即，， 当时，满足， 所以 6．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）甲、乙、丙、丁相约进行台球比赛，约定每轮比赛均将四人分成两组，进行一对一对打，第1轮比赛甲、乙对打，丙、丁对打，每轮比赛结束后，两名获胜者组成一组在下一轮比赛中对打，两名负者组成一组在下一轮比赛中对打，每组比赛均无平局出现．已知甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为，每组比赛的结果相互独立． (1)求在第3轮比赛中，甲、丙对打的概率； (2)求在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率及甲、丙对打的概率； (3)求在第n轮比赛中，甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】构造法求数列通项、利用全概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）对前三轮逐一分析，结合全概率公式及条件概率公式，互斥事件的加法公式即可求解； （2）设在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为，利用全概率公式得出之间的关系，从而转化为的递推公式，最后再利用构造法求的通项； （3）利用第二问的结论结合全概率公式即可求解； 【详解】（1）因为第1轮比赛甲、乙对打，所以第2轮比赛甲、乙不可能对打，则第2轮比赛甲只能和丙或丁对打． 因为第3轮比赛甲、丙对打，所以第2轮比赛甲、丙不可能对打，则第2轮比赛甲只能和丁对打． 第2轮比赛甲、丁对打的概率为． 若第3轮比赛甲、丙对打，则第2轮比赛中甲胜丁，丙胜乙，或丁胜甲，乙胜丙． 故所求概率为． （2）设在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为， ①． 在第轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为， 若在第轮比赛中，甲、乙对打，则在第n轮比赛中，甲、丙对打，乙、丁对打，或者甲、丁对打，乙、丙对打， 所以②．同理可得③，④ 由①②可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ③-④得，设，则， 因为，所以，即， . （3）设在第n轮比赛中，甲获胜的概率为，． 【点睛】关键点点睛；本题属于概率与数列相结合的综合题，本题的关键点是如何利用全概率公式得出之间的表达式，其次是如何得出的递推式，比较抽象，难度较大. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题04 概率统计 题型1 非线性回归 1．（20243·安徽合肥·模拟预测）当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表： 套餐 A B C D E F 月资费x（元） 38 48 58 68 78 88 购买人数y（万人） 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近. (1)根据所给数据，求出关于的回归方程； (2)已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为. 2．（2023·四川·三模）党的二十大报告提出，从现在起，中国共产党的中心任务就是团结带领全国各族人民全面建成社会主义现代化强国、实现第二个百年奋斗目标，以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴.高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务.加快实现高水平科技自立自强，才能为高质量发展注入强大动能.某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，其研发投入y（单位：亿元）的统计图如图1所示，其中年份代码x=1，2，…，10分别指2013年，2014年，…，2022年.    现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.67 表中． (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选模型，求出y关于x的回归方程；根据所选模型，求该公司2028年高科技研发投入y的预报值．（回归系数精确到0.01） 附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 3．（2024·河南郑州·模拟预测）MCN即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的PGC（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商、短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使MCN机构的服务需求持续增长．数据显示，近年来中国MCN市场规模迅速扩大．下表为2018年—2022年中国MCN市场规模（单位：百亿元），其中2018年—2022年对应的代码依次为1-5． 年份代码 1 2 3 4 5 中国MCN市场规模 1.12 1.68 2.45 3.35 4.32 (1)由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程； (2)从2018年-2022年中国MCN市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为，求的分布列与期望． 参考数据： 2.58 0.84 46.83 15.99 其中，，． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 4．（2024·安徽·模拟预测）纯电动汽车、混合电动汽车及燃料电池电动汽车均为新能源汽车，近几年某地区新能源汽车保有量呈快速增长的态势，下表为2018~2022年该地区新能源汽车及纯电动汽车的保有量（单位：万辆），其中2018~2022年对应的年份编号依次为： 年份编号 1 2 3 4 5 该地区新能源汽车保有量 1.5 2.6 3.4 4.9 7.8 该地区纯电动汽车保有量 1.3 2.1 2.8 4.0 6.4 (1)由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到0.1），并预测2023年该地区新能源汽车保有量能否超过10万辆； (2)从表中数据可以看出2018~2022年，该地区新能源汽车保有量中纯电动汽车保有量占比均超过80%，说明纯电动汽车一直是新能源汽车的主流产品．若甲、乙、丙3人从2018~2022年中各随机选取1个年份（可以重复选取），记取到满足的年份的个数为，求的分布列及数学期望． 参考数据： 1.25 22.62 1.1 1.5 11.4 其中，． 参考公式：对一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，． 5．（2024·河北·模拟预测）为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，设，收集数据如下： 天数 1 2 3 4 5 6 繁殖个数 6 12 25 49 95 190 表（Ⅰ） 3.50 62.83 3.53 17.50 596.57 12.08 表（Ⅱ） (1)根据表（Ⅰ）在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断（，为常数）与（，为常数，且，）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）中的判断结果和表（Ⅱ）中的数据，建立关于的经验回归方程（结果保留2位小数）. 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 题型2 条件概率+全概率+贝叶斯公式 一、条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 二、全概率公式及其应用 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 三、贝叶斯公式及其应用 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 1．（2024·上海奉贤·三模）在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球． (1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率； (2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设： 假设1：各回合比赛相互独立； 假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为； 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？ 2．（2023·江苏苏州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子. (1)计算主持人打开4号箱的概率； (2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据） 3．（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 4．（2024·江苏宿迁·模拟预测）在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件表示“机器人的前 次移动均未向雷达发送信息”. (1)求， (2)已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1. （i）证明：事件；“雷达会收到信息”的概率为1； （ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率. 5．（24-25高二上·河南南阳·期末）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答． (1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； (2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率． 6．（24-25高三上·湖北·开学考试）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.    (1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； (2)求的分布列和数学期望； (3)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率. 题型3 二项分布概率最大问题 若，则 则二项分布概率最大分布模型： 1．（23-24高三下·上海·期中）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第一天的直播中有超过万人次的观看． (1)已知小李第１天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，求小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率； (2)若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万人次的观看的概率为，记这天中每天有超过万人次观看的天数为． （i）比较与的大小，其中； （ii）记，求. 2．（2025·云南昭通·一模）为提升大学生环保意识，牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，某生物多样性保护与绿色发展基金会举办了“2024年大学生环保知识竞赛”．为了了解大学生对相关知识的掌握情况，随机抽取2000名大学生的竞赛成绩（单位：分），并以此绘制了如图的频率分布直方图． (1)从竞赛成绩在内的学生中随机抽取80名学生，用表示这80名学生中恰有名学生竞赛成绩在的概率，其中，1，2，…，80．以样本的频率估计概率． ①从这80名学生中任取一人，求这个学生的竞赛成绩在的概率； ②当最大时，求． (2)若学生中男生人，其成绩平均数记为，记方差为，女生为人，其成绩平均数为，记方差为，把总体样本数据的平均数记为，方差记为，证明：． 3．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 (1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； (2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 4．（2024·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. (1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； (3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 5．（23-24高二下·吉林长春·期末）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 (1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值 的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； (2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为 ；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. (3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为.事件“”的概率为 ，求使 取得最大值时的值. 参考公式：，其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 题型4 数学期望 1．（24-25高二上·上海·期末）某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会； ②依次参加游戏. ③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金. 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是乙参加每一个游戏获胜的概率都是甲、 乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：    (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏? 并说明理由. (2)在（1）的基础上，解答下列两问： （i）求该运动员能参加游戏的概率. （ii）设4次游戏结束后有种不同的奖金额，记：为该运动员最终获得的奖金额，为获得元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为求该运动员最终获得奖金的期望. 2．（23-24高三上·上海普陀·阶段练习）某学校组织竞赛，有A，B两类问题可供选择，其中A问题答对可得5分，答错0分，B问题答对只可得3分，但答错有2分，现小明与小红参加此竞赛，小红答对2种问题的概率均为0.5，小明答对A，B问题的概率分别为0.3，0.7 (1)小红一共参与回答了2题，记X为小红的累计得分，求X的分布列 (2)小明也参与回答了2道问题，记Y为小明的累计得分，求该如何选择问题，使得E[Y]最大． 3．（24-25高三·上海·随堂练习）袋中装有3个大小和质地相同的白球，编号为1、2、3，从袋中依次取出两个球，用、表示第一个及第二个球的编号，在以下两种情况下分别求随机变量、和的期望，并研究、和的关系． (1)有放回地依次取出两个球； (2)不放回的依次取出两个球． 4．（2024·上海青浦·二模）垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表： 男生 女生 总计 A等级 40 20 60 B等级 20 20 40 总计 60 40 100 (1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？ 附：，其中，． (2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问． （i）求比赛只进行3局就结束的概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望． 5．（2025·吉林长春·一模）有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． (1)，，，如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出入员数目的分布列和数学期望； (2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由． 6．（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 题型5 概率与导数 1．（2025·河北邯郸·一模）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响. (1)已知. ①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率； ②求甲同学答对1道题的概率. (2)记甲同学的答题个数为，求的最大值. 2．（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 3．（2025·黑龙江·二模）为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. (1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）投篮测试中，某同学投篮5次，每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立. (1)当时，随机变量表示该同学投篮命中的次数，求的概率分布与数学期望； (2)设该同学投篮5次恰好有3次投中的概率为，求的最大值及此时的值. 5．（2025·山东·模拟预测）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率； (2)求在一轮中乙摸出红球的概率； (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 题型6 概率与数列 1．（2025·四川成都·二模）某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）证明：存在实数，使得数列为等比数列. 2．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 3．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为. (1)若，求甲以获胜的概率； (2)求与的关系； (3)证明：. 4．（2025高三·全国·专题练习）马尔可夫链是概率论中的一种数学模型，用于描述一系列状态之间的转移概率，在天气预报中具有重要的应用．在天气预报中，可以将天气状态分为多种，例如晴天、阴天、雨天、雪天等，根据以往的天气状态数据，可以计算出每种状态之间的转移概率，即从一种状态转移到另一种状态的概率，进而可以得到转移概率矩阵，在测评天气时，可以从当前的天气状态开始，根据转移概率矩阵计算出下一个可能的天气状态，以此类推，就可以测评未来几天的天气情况．某城市准备在冬季的某段时间举行一场大型户外活动，现需要用马尔可夫链模型来测评天气情况，从而决定具体的举办日期，假设该城市冬季的天气只有三种状态：晴天、阴天、雨天．根据以往的天气状态数据得到如下转移概率矩阵：           第天 第天 晴天 阴天 雨天 晴天 阴天 雨天 (1)假设第1天是晴天的概率为，求第2天是雨天的概率； (2)假设第1天是晴天的概率为，求第4天是晴天的概率； (3)在马尔可夫链模型中，稳态分布为该模型可以演变到平衡状态的分布，当一个马尔可夫链处于稳定状态时，变量的概率分布将趋近于稳定，并且与初始状态无关．在这个天气预报问题中，不论第1天是晴天、阴天、雨天的概率分别是多少，第（足够大）天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于一个常数，试证明该结论，并求出这三个常数． 5．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）口袋中有大小相同、质地均匀的3个白球和3个黄球.甲乙两人进行摸球游戏，规则如下：每次摸2个球，观察颜色后放回，若颜色相同时，则摸球人继续摸球；否则由对方摸球.第一次由甲开始摸球，记第n次由甲摸的概率是 (1)求，； (2)证明：数列是等比数列，并求 6．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）甲、乙、丙、丁相约进行台球比赛，约定每轮比赛均将四人分成两组，进行一对一对打，第1轮比赛甲、乙对打，丙、丁对打，每轮比赛结束后，两名获胜者组成一组在下一轮比赛中对打，两名负者组成一组在下一轮比赛中对打，每组比赛均无平局出现．已知甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为，每组比赛的结果相互独立． (1)求在第3轮比赛中，甲、丙对打的概率； (2)求在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率及甲、丙对打的概率； (3)求在第n轮比赛中，甲获胜的概率． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$