培优专题03 数列（5大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

培优专题03 数列 题型1 裂项相消复杂型 ①等差型 （1） （2） （3） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） ④等差裂和型 形如型，如果，则可以分子裂差： 1．（23-24高三上·上海静安·期中）等差数列中，，的前n项和为，满足. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，设是数列的前n项和，若存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立，求的最小值. (3)若对于任意，，不等式都成立，求正数k的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的首项和公差为，由题意可得，解方程求出，即可得出答案； （2）由裂项相消法求出，再根据的单调性求出，即可得出答案； （3）由等差数列的前项和公式求出，代入不等式，分离参数可得，令，换元法求出的最小值，即可得出答案. 【详解】（1）因为等差数列中，，， 设等差数列的首项和公差为， 所以，解得：， 故等差数列的通项公式为：. （2）， ，其中， 因为在上单调递增，所以， 又因为，所以， 因为存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立， 所以的最小值为. （3）因为，所以， 原不等式即，即， 由可得：，即， 令，令，所以， 所以， 当时，取得最小值为，即， 正数k的最大值为. 2．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设由构成的新数列为是等差数列，求的值； (3)对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，13. 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、数列不等式恒成立问题、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，进而求出，再由等差数列求出值. （3）由（1）（2）求出，并用裂项相消法求和求出及，再探讨的性质并求出最大项即得. 【详解】（1）等差数列中，，而， 则，是方程的两根，由公差，得， 于是，，，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， ，由数列是等差数列，得， 则，化简得，而，解得， 当时，，数列为等差数列， 所以. （3）由（1）（2）得， 则， 因此， ， ， 由，得， 当时，，，当时，， 因此，由对一切都成立， 得，而，则， 所以存在整数，使对一切都成立，的最小值为13. 3．（24-25高二上·上海·期中）已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式 (3)若数列前项和为，问的最小正整数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)72 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）先设函数，由等比数列的前n项和为求出，再求出，进一步求出公比，确定其通项公式； （2）分解因式为，结合条件判断为等差数列，再利用当，求. （3）裂项求得数列的前n项和为，求解关于n的不等式可得最小正整数. 【详解】（1）设指数函数，则，即，． ， ． 又数列成等比数列，，． 又公比，． （2）， 又，，， 故为首项为1、公差为1的等差数列，． 当，，当时也满足， （3），则 由 ，得，即， 则最小正整数为72 4．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知数列的前n项和为，若数列为等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）令，设数列公差为d，列式计算求出，可得，再根据与关系求出； （2）由（1）代入求出，利用分组求和和裂项相消法求得结果. 【详解】（1）记，设数列公差为d， 则，解之得 则，则， 当时，也符合， 则. （2）， 则 . 5．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的最大项； (3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】确定数列中的最大（小）项、数列不等式恒成立问题、由Sn求通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）利用可求得数列的通项公式； （2）分析可知，数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再分析数列的单调性，即可求得数列的最大项的值； （3）求得，利用裂项相法可求得，可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：数列的前项和为，且对任意正整数，都有， 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，. （2）解：因为， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，所以，， 所以，， 由可得，此时，数列单调递增，即， 由可得，即， 由可得，此时，数列单调递减，即， 所以，数列中的最大项为. （3）解：因为 ， 所以， ， 因为对任意的正整数，不等式恒成立，则. 因此，实数的取值范围是. 6．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）设，数列满足，数列的通项公式为. (1)已知，求的值； (2)若，以，求数列最大项及相应的值； (3)设为数列其前项和，令，数列的前项和为.证明：. 【答案】(1) (2)数列最大项为，相应的序数为57或58 (3)证明见解析 【知识点】确定数列中的最大（小）项、裂项相消法求和、判断或写出数列中的项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由已知代入即可求解； （2）由题，研究数列的单调性，确定其最大项即可； （3）利用裂项相消法求数列的前和，由此结论结论. 【详解】（1）因为，所以，所以； （2）若，则，所以， 所以， 所以当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 又，所以数列最大项为，相应的序数为57或58. （3）因为，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以，即， 所以，即， 即，所以. 7．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知数列满足，，，数列满足，. (1)证明：数列不是等比数列；并且求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)令，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据即可证明不是等比数列；根据等比数列的定义和通项公式计算即可求解； （2）方法一：根据和等差数列的定义和通项公式计算即可求解；方法二：根据累乘法计算即可求解； （3）由题意得，结合裂项相消法求和可得，即可证明. 【详解】（1）由题意，，因为， 数列的第一项为0，数列不是等比数列； 但是， 且， ∴数列是以2为首项以2为公比的等比数列. （2）方法一：因为，且 数列是以1为首项，以0为公差的等差数列. ，； 方法二：，用累乘可得，当时， ，……，，， 所以，即， 又，； （3）因为， 所以， 因为，. 题型2 错位相减法 1．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）记数列的前项和为，已知，数列是首项为2，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据等差数列的通项可求得，进而结合和的关系可得，即可得到数列是首项为，公比为3的等比数列，进而求解即可； （2）根据分组求和、错位相减法求和即可. 【详解】（1）由数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则，① 当时，，则； 当时，，② 则①②得，， 则，则， 又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 所以，则. （2）， 则 ， 设， 则， 所以 ， 所以，则. 【点睛】方法点睛：对于递推关系中同时含有和的时候，常常利用和的关系消去其中一个，进而结合等差、等比的定义求解即可. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【知识点】错位相减法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的单调性 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的基本量的运算列方程求公差、公比即可得解； （2）利用错位相减法求和即可； （3）化简，根据为奇数、偶数分类讨论后分离参数，求最值即可得解. 【详解】（1）为等差数列，为等比数列. 设公差为，公比为， 由，，， 可得，即， 又，解得， 可得，； （2）由（1）知， 设， ， 以上两式相减，得， 所以， 即数列的前项和为； （3）由题设可得，要使对任意的正整数，恒有， 即，即恒成立. 当为奇数时，恒成立， 而，故且； 当为偶数时，恒成立， 而，故且， 综上，存在实数，使得对任意的正整数，恒有. 3．（24-25高二上·上海·单元测试）已知数列，，点在曲线上，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)已知数列满足，记为数列的前n项和，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）求出与的关系式，再作差并结合托管人定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由点在曲线上，得，由，得， 则， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）得，于是， 则， 因此， 两式相减得， 即， 所以． 4．（2025·河北沧州·一模）若数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用和的关系求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）当时，，， 因为，当时，， 两式作差得：， 即，故， 又因为，所以，且 所以. （2）由（1）可知，， 故， ， 两式作差得：. 所以，因为，所以. 5．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）根据的关系，作差可得，即可根据等比数列的定义求解； （2）由（1）求得，利用错位相减法可求； （3）根据，可得；从而判断的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为且，所以， 由，可得：， 两式相减得：， 因为，所以，， 又，综上，，， 所以是首项和公比均为的等比数列. ∴. （2）由题意，， ① ② ①-②得 ∴ （3）由（1）可得，所以， 时，由，可得； 当时，，当时，， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 综上，或时，取得最大值. 6．（2022·山东临沂·二模）已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）已知与的关系求解通项公式即可； （2）由（1）得，从而得到，利用错位相减法求其前n项和即可. 【详解】（1）由，得（，）， ，（，）． 又，，，整理得． 数列是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的通项公式为． （2）由（1）得，．， 即，， 两式相减，得，． 7．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列前项的和． 【答案】(1)； (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用 【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出； （2）由（1）可知，利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，且，，成等比数列知： ，整理得：， 即或者，因为公差大于1，故. 且，故. 数列前项和为，并满足 ①， 且，解得， 故当时， ②， ①式减②式得：， 即，故是公比为2的等比数列， 则， 故； （2）由（1）可知， 故 则 故 故 则 题型3 并项求和法 1．（2023·上海虹口·一模）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2)6 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）将全部用代换，结合等比性质可求的通项公式； （2）化简得，结合分组求解法求出，由的单调性可求的最小值． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则由，，成等比数列及， 得，即，解得． 当时，，，构成等比数列，符合条件； 当时，，，不能构成等比数列，不符合条件． 因此，于是数列的通项公式为； （2）由（1）知，故，所以 易知在正整数集上严格递增，且，． 故满足的正整数的最小值为6． 2．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知数列满足：，；数列是各项都为正数的等比数列且满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列基本量求出的通项公式，设等比数列的公比为，即可得到方程组，解得、，从而求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故； 设等比数列的公比为，又，，所以， 解得或（舍去），所以. （2）由（1）可得， 所以 . 3．（23-24高三上·上海松江·期中）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】（1）等式两边同加2即可证明，再求出等比数列通项，最后移项即可. （2）利用分组求和法即可. 【详解】（1）由题意得，且， 则数列是以1为首项，公比为2的等比数列， 则，则. （2）， 则 . 4．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】（1）由关系消得递推关系，再构造等差数列求通项； （2）由等差与等比数列特点分组求和. 【详解】（1）由① 当时，，所以                  当时，② ①②式相减得，即     两边同除以得，， 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ，则 （2），可知数列是以为首项，为公差的等差数列， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 5．（21-22高三下·上海黄浦·阶段练习）对于给定数列，如果存在实常数、使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”． (1)若，，，数列、是否为“类数列”？ (2)若数列是“类数列”，求证：数列也是“类数列”； (3)若数列满足，，为常数．求数列前2022项的和． 【答案】(1)是； (2)证明见解析； (3). 【知识点】分组（并项）法求和、数列新定义、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定的数列，利用“类数列”的定义直接判断作答. （2）利用“类数列”的定义推理作答. （3）根据给定的递推关系，利用并项求和法及等比数列前n项和公式求解作答. 【详解】（1）因为，有，则，， 故数列是“类数列”，对应的实常数分别为1，2． 因为，有，则，， 故数列是“类数列”，对应的实常数分别为2，0． （2）若数列是“类数列”，则存在实常数、， 使得对于任意都成立， 显然对于任意都成立， 因此对于任意都成立， 故数列也是“类数列”，对应的实常数分别为、． （3）因为，则，，，， 数列前2022项的和 ． 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据与的关系可得；（2）根据分组法求前项和. 【详解】（1）当时，得， 当时，，得， 故数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 故. （2）由（1）可知 当为奇数时，， 故 ， 故. 题型4 奇偶数列问题 1、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 2、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设数列公差为，数列公比为，利用等差数列通项公式和等比数列通项公式将条件转化为的方程，解方程求，再利用等差数列通项公式，等比数列通项公式求结论； （2）由（1）可得，分别在为偶数和奇数条件下，利用分组求和法，裂项相消法及等比数列求和公式求结论. 【详解】（1）设数列公差为，数列公比为， 由，得解得． 所以． 由于，即，又，， 所以，解得或（舍去） 所以； （2）由（1）得： 所以 所以 所以 当为偶数时： 当为奇数时： . 2．（24-25高二上·湖北·期末）记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列方程组，求出，即得数列通项； （2）利用求和公式求出，解不等式求得的范围，取整即得； （3）将所求和式按照为奇数和偶数进行分类，利用并组求和法与等差数列求和公式计算即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，，解得， 所以. （2）由（1）可得， 由可得，解得或， 因为，故正整数的最小值为. （3）因 当为偶数时， ； 当为奇数时， . 所以数列的前项和为：. 3．（24-25高二上·重庆·期末）已知公差为的等差数列和公比为的等比数列满足：. (1)求的值； (2)若，且，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用等差数列和等比数列项之间的关系建立等量关系，解方程组即可得到的值； （2）将和代会（1）中求得，从而求得以及，从而知道，对进行奇偶讨论，分别出对应的数列的前项和. 【详解】（1）∵， ∴， 即，即， 因为，所以解得. （2）将，代入（1）中等式可得，∴， 由得， ∴， 则， 当为奇数时， ， 当为偶数时， 综上所述 4．（24-25高一上·上海·期末）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据等差数列的定义分析怎么，再根据等差数列通项公式求； （2）分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法运算求解. 【详解】（1）因为，且，可知， 可得，即， 可知数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以. （2）由（1）可知：， 若n为偶数，则； 若n为奇数，则； 综上所述：. 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用定义求等差数列通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质可得，即可得到等差数列的通项公式，从而可得等比数列的公比，再由等比数列的通项公式，即可得到结果； （2）根据题意，结合等差数列以及等比数列的求和公式代入计算，由分组求和法，即可得到结果； （3）根据题意，分为奇数与为偶数讨论，结合并项求和法，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由为等比数列可得，即， 即，解得或（舍）， 所以， 又的前三项为，即，即， 公比，所以. （2）因为， 则 . （3）因为，即， 设数列的前项和为， 当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 综上所述，. 6．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知在数列中，，且满足. (1)求证：数列是等比数列. (2)设数列满足，求最小实数，使得对一切正整数均成立. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定的递推公式，取倒数变形，结合等比数列定义推理得证. （2）由（1）求出通项公式，再利用分组求和及裂项相消法求和，并借助单调性求出范围即可得解. 【详解】（1）依题意，，由，得，则， 由，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，数列， 当为奇数时，，当为偶数时，， 因此 ， 而数列是递减数列，则数列是递增数列， 因此恒成立，又恒成立，则， 所以m的最小值为. 题型5 插入数或项构成新数列问题 1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 1．（24-25高三上·天津宝坻·阶段练习）在正项等比数列中已知 (1)求数列的通项公式； (2)令，若，求． (3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）得数列是首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的前项和公式求解即可； （3）利用分组求和即可. 【详解】（1）设正项等比数列的公比为， 因为，所以由题意可得，解得， 又，解得， 所以，即数列的通项公式. （2）由（1）得，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，且当时，当时，， 设数列的前项和为，则，， 所以. （3）根据题意可得 2．（24-25高二下·吉林白山·开学考试）已知数列的前n项和为，，且，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，若表示不超过x的最大整数，求. 【答案】(1) (2). (3)4 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、累乘法求数列通项、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用以及构造等比数列的方法来求得. （2）利用累乘法来求得. （3）先求得中分别的项，然后利用分组求和法来求得正确答案. 【详解】（1）由已知可得，当时，，， 两式相减得.又因为，所以，满足上式， 所以.又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）又因为，所以，所以. 又，所以当时，，，，，， 等式两边同时相乘，可得， 所以. （3）设在100项中，来自数列中的有m项.若第100项来自， 则应有，整理可得， 该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自于，则应有，整理可得. 当时，有，不满足题意，， 故，所以数列中含有10项数列中的项，含有90项数列中的项， 所以 . 故. 【点睛】易错点睛： 在利用与的关系求时，要注意的条件，并且一定要验证时是否满足所得递推式,构造新数列时要准确计算出新数列的首项和公比. 累乘法中要注意各项的分子分母约分情况，确保化简结果正确，同时不要遗漏的取值范围. 判断新数列中来自原数列的项数时，建立的方程和不等式要准确反映新数列的构成规律，计算项数时要细心，分组求和时要正确运用等差、等比数列求和公式，防止计算错误，求对数的整数部分时要准确计算对数的值. 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知等比数列的公比，，是，的等差中项．等差数列满足，． (1)，求数列的前项和； (2)将数列与的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、错位相减法求和 【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，求出，的通项公式，再利用错位相减法求和； （2）利用（1）的结论，确定新数列前项中，数列所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答. 【详解】（1）依题有， 因为，解得，. 数列是等差数列，设其公差为，，解得，. 数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. （2）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为， 所以数列的前项由中的前项和中的前项构成， 所以 . 4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1）法一：应用的关系求得、，根据等比数列的定义写出通项公式；法二：应用等比数列的通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由已知可得，再应用错位相减法求，即可证结论. 【详解】（1）法一：由，则时，故，则， 所以是公比为2的等比数列，又当时，解得， 所以； 法二：设公比为q，则，解得（舍）或， 由，则，所以； （2）因为，所以，则， ， ， 所以， 所以. 5．（24-25高二上·贵州黔西·期末）若数列的首项，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求的前n项和； (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【知识点】求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据给定的条件，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）由（1）的信息求出，再利用错位相减法，结合等比数列前n项和公式求解. （3）根据给定条件，结合（1）的结论求出数列的通项，再利用等差中项以及等比中项的性质推理得证. 【详解】（1）由，得， 而，则，又， 所以数列是等比数列，，. （2）由（1）知，， ，则， 两式相减得， 所以 （3）依题意，，即，解得， 假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列，则， 即，则，由成等差数列，得， 因此，整理得，则，与互不相等矛盾， 所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列 【点睛】方法点睛：错位相减求和适用于数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和的问题，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 6．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为. ①求数列的通项公式； ②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②不存在，理由见解析. 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、等差中项的应用、等比中项的应用 【分析】（1）由可得； （2）①由等差数列可得，进而可得； ②根据错位相减法可得，进而可得，由，，得，进而可得. 【详解】（1）当时，，得， 当时，，得， 故为首项为，公比为的等比数列，故. （2）由题意，得，得. 由可得， 故， ， 上面两式相减可得， 得， ， 由题意，， 得， 得，化简得，得， 这与成等差数列相矛盾， 故不存在这样的3项. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题03 数列 题型1 裂项相消复杂型 ①等差型 （1） （2） （3） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） ④等差裂和型 形如型，如果，则可以分子裂差： 1．（23-24高三上·上海静安·期中）等差数列中，，的前n项和为，满足. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，设是数列的前n项和，若存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立，求的最小值. (3)若对于任意，，不等式都成立，求正数k的最大值. 2．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设由构成的新数列为是等差数列，求的值； (3)对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二上·上海·期中）已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式 (3)若数列前项和为，问的最小正整数是多少？ 4．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知数列的前n项和为，若数列为等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 5．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的最大项； (3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）设，数列满足，数列的通项公式为. (1)已知，求的值； (2)若，以，求数列最大项及相应的值； (3)设为数列其前项和，令，数列的前项和为.证明：. 7．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知数列满足，，，数列满足，. (1)证明：数列不是等比数列；并且求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)令，记数列的前项和为，求证：. 题型2 错位相减法 1．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）记数列的前项和为，已知，数列是首项为2，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 3．（24-25高二上·上海·单元测试）已知数列，，点在曲线上，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)已知数列满足，记为数列的前n项和，求． 4．（2025·河北沧州·一模）若数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 5．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 6．（2022·山东临沂·二模）已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 7．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列前项的和． 题型3 并项求和法 1．（2023·上海虹口·一模）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 2．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知数列满足：，；数列是各项都为正数的等比数列且满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 3．（23-24高三上·上海松江·期中）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 4．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 5．（21-22高三下·上海黄浦·阶段练习）对于给定数列，如果存在实常数、使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”． (1)若，，，数列、是否为“类数列”？ (2)若数列是“类数列”，求证：数列也是“类数列”； (3)若数列满足，，为常数．求数列前2022项的和． 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 题型4 奇偶数列问题 1、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 2、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 2．（24-25高二上·湖北·期末）记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 3．（24-25高二上·重庆·期末）已知公差为的等差数列和公比为的等比数列满足：. (1)求的值； (2)若，且，求数列的前项和. 4．（24-25高一上·上海·期末）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 6．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知在数列中，，且满足. (1)求证：数列是等比数列. (2)设数列满足，求最小实数，使得对一切正整数均成立. 题型5 插入数或项构成新数列问题 1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 1．（24-25高三上·天津宝坻·阶段练习）在正项等比数列中已知 (1)求数列的通项公式； (2)令，若，求． (3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列求数列的前项和． 2．（24-25高二下·吉林白山·开学考试）已知数列的前n项和为，，且，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，若表示不超过x的最大整数，求. 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知等比数列的公比，，是，的等差中项．等差数列满足，． (1)，求数列的前项和； (2)将数列与的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此数列的前项和． 4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 5．（24-25高二上·贵州黔西·期末）若数列的首项，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求的前n项和； (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 6．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为. ①求数列的通项公式； ②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$