培优专题02 立体几何（5大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

培优专题02 立体几何 题型1 线面角（含最值范围）问题 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①； ②. ③最值或范围问题常涉及到基本不等式，二次函数，求导等方法求最值或范围 1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足． (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取得最大值时的正切值； (3)若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (3)设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 3．（24-25高二上·上海·期中）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，N是的中点，动点P在直线上，且满足． (1)指出直线与平面的位置关系（不需说明理由） (2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围 (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，可以通过以直线AO为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点D在线段AB上，求CD与平面AOB所成角的最大值. 5．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，圆台的轴截面为等腰梯形为底面圆周上异于的点 (1)若是线段的中点，求证：平面 (2)若，设直线为平面与平面的交线，点与平面所成角为，求的最大值. 6．（22-23高二下·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上． (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的大小； (2)求与平面所成角的最大值． 题型2 二面角（含最值范围）问题 （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） ③常涉及到基本不等式，二次函数，求导等方法求最值或范围 1．（24-25高二上·上海·期中）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，N是的中点，动点P在直线上，且满足． (1)指出直线与平面的位置关系（不需说明理由） (2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围 (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值 2．（22-23高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知直三棱柱中，且分别为的中点，为线段上一动点. (1)求与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离； (3)求锐二面角的余弦值的最大值. 4．（22-23高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，点E是线段AD的中点，点F在线段AP上且满足，面ABCD. (1)当时，证明：//平面； (2)当为何值时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小？ 5．（22-23高二下·上海徐汇·阶段练习）如图，已知直三棱柱中，且，、、分别为、、的中点，为线段上一动点. (1)求与平面所成角的正切值； (2)证明：； (3)求锐二面角的余弦值的最大值. 6．（24-25高二上·上海·期中）如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 题型3 线面角中的探索问题 （1）若点在线段上，常设；若点在平面内，则直接假设点的坐标 （2）结合线面角公式求解 ①； ②. 1．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）在边长为2的正方体中，已知点是棱上的动点（包含端点）. (1)若为的中点（图1），求点到平面的距离； (2)若点与点重合（图2），求证：与平面的交点为等边的中心； (3)是否存在点使得与平面的所成角是，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由. 2．（2024·上海黄浦·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面.    (1)求证：点E是棱PD的中点； (2)若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小. 3．（23-24高二上·上海·期中）在正方体中，求：    (1)二面角的大小 (2)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，判断点位置并说明理由 4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且． (1)若点为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（23-24高二上·上海闵行·期中）在直角梯形中，，，，如图1把沿翻折，使得平面平面（如图2）． (1)； (2)若点为线段的中点，求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为?若存在，求出点的具体位置；若不存在，请说明理由． 6．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 7．（24-25高三下·山东·开学考试）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，已知，，三棱锥的体积为 (1)设平面CAB与平面的交线为l，证明： (2)在线段上是否存在一点P，使得直线AP与平面ABC所成角的正弦值为若存在，指出P点的位置;若不存在，说明理由. 题型4 二面角中的探索问题 （1）若点在线段上，常设；若点在平面内，则直接假设点的坐标 （2）结合线面角公式求解 如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 1．（24-25高二上·上海杨浦·期末）如下图所示正四棱锥，其中O为底面ABCD的中心. (1)求证：平面； (2)设E为上的一点，. ①若，求直线与平面所成角的大小. ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长. 2．（23-24高二上·上海·期末）在如图所示的直三棱柱中，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若为直角三角形，，，求直线与平面所成角的大小； (3)若为正三角形，，问：在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 3．（23-24高二上·上海·期中）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．    (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； (2)无论点E在边BC的何处，PE与AF所成角是否都为定值，若是；若不是，请说明理由； (3)若PD与平面ABCD所成角是30°，当BE等于何值时，二面角P﹣DE﹣A的大小为45°． 4．（23-24高三上·上海嘉定·期中）如图，在正四棱柱中，，，点、、、分别在棱、、、上，，，． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积； (3)点在棱上，当二面角大小为时，求线段的长． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，为线段上一点．    (1)求证：； (2)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 6．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）如图1在矩形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2. (1)求证：平面； (2)若点是线段上的一动点，且，当二面角的正弦值为时，求的值. 7．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）如图，在圆台中，，分别是上、下底面的直径，，线段是的一条直径，且，为线段的中点，．    (1)证明：平面； (2)若点为圆台上底面圆周上一点，且平面与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 题型5 点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 2．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点． (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与半面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点.    (1)证明：平面； (2)若，， ①求直线与平面所成角的大小； ②线段上是否存在点，使点到平面的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.N是的中点，M是的中点. (1)求证平面；（此问传统立体几何方法和空间向量两种方法都可使用） (2)求平面与平面所成二面角的余弦值；（此问使用空间向量的方法） (3)求点B到平面的距离.（使用空间向量的方法） 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，，点E为中点. (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求点P到平面的距离. 6．（24-25高三上·上海嘉定·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点.    (1)证明：； (2)若点是棱的中点，求二面角的平面角的正切值； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题02 立体几何 题型1 线面角（含最值范围）问题 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①； ②. ③最值或范围问题常涉及到基本不等式，二次函数，求导等方法求最值或范围 1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足． (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取得最大值时的正切值； (3)若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)，2 (3)位于的延长线上，且到的距离为1 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由已知，以为原点，建立空间直角坐标系，可得，，得，证得； （2）取平面的法向量，由则，即可得到当时，直线与平面所成的角最大，此时的正切值为2； （3）由平面与平面所成的锐二面角为，利用坐标运算求出，即可确定点的位置． 【详解】（1）因为三棱柱的侧棱与底面垂直， 底面，则， 由， 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 又， 是的中点，是的中点， 点在直线上，且满足， 则，，， ，， ，． （2）取平面的法向量，， 则， 当时，，此时，． （3）设平面的一个法向量，，， 则，， 令，则， ， 解得， 位于的延长线上，且到的距离为1． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (3)设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求点面距离、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直，即可得知点到平面的距离为，结合等边三角形性质可得解； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可两平面夹角； （3）利用坐标法可得平面的法向量，进而可得线面夹角正弦值的取值范围，即可得线面夹角的范围. 【详解】（1）平面，且，平面， ，， ，，且，平面， 平面， 平面， 平面平面， 是中点，且， ，， 平面平面，平面， 平面， 点到平面的距离； （2） 由，可知，，两两垂直， 所以以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 又易知平面的一个法向量， ， 即平面与平面所成的锐二面角余弦值为； （3）设，， 又是中点，则， 即，，，， 所以， 设平面法向量， 则，令，得， 则，， 所以直线与平面夹角满足， 当时，， 当，，且， 所以， 综上所述， 因为，所以. 3．（24-25高二上·上海·期中）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，N是的中点，动点P在直线上，且满足． (1)指出直线与平面的位置关系（不需说明理由） (2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围 (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值 【答案】(1)与平面共面或平面 (2) (3)；-2 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法、与二次函数相关的复合函数问题、判断线面平行 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可说明直线与平面的位置关系； （2）如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由题意得平面的法向量为，则，利用二次函数的性质求出的范围，继而即可求出的取值范围； （3）根据空间向量的坐标运算表示出二面夹角的余弦值，利用换元法及二次函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）当点与重合时，与平面共面， 当点不与重合时， 因为分别是，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2） 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设，由，得， 所以，则， 所以， 设平面的法向量为， 直线与平面所成的角为， 则， ， 所以， 所以的取值范围为. （3） 由（2）知， ， ， 设平面的法向量为， 则，取， 为平面的法向量， 平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， 令，则， 则， 函数，当时，， 所以， 即当时，. 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，可以通过以直线AO为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点D在线段AB上，求CD与平面AOB所成角的最大值. 【答案】 【知识点】线面角的向量求法、反三角函数、面面垂直证线面垂直、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】先应用面面垂直得出线面垂直，再应用空间向量法计算线面角，最后应用二次函数最小值得出线面角的最大值. 【详解】由题意可得，，平面平面AOC， 平面平面，平面AOB，所以平面AOC， 如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，. 动点D在线段AB上，设，，， 而，，可得，解得， 即，则，由题意，平面AOB的法向量为， 设CD与平面AOB所成角为，则， 对于，开口向上，对称轴为， 可得当时，取到最小值为， 所以的最大值为， 注意到，则， 故CD与平面AOB所成角的最大值为. 5．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，圆台的轴截面为等腰梯形为底面圆周上异于的点 (1)若是线段的中点，求证：平面 (2)若，设直线为平面与平面的交线，点与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，然后根据线面平行的判定定理完成证明； （2）延长交于点，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可. 【详解】（1）取中点，连接，如图， 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）延长交于点，作直线，则直线即为直线， ，则， 以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为， 因为，所以为的中位线， 则， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则有：， 令，则， 当时，，此时， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最大值为. 6．（22-23高二下·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上． (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的大小； (2)求与平面所成角的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）建系，利用空间向量求异面直线夹角； （2）设可得，利用空间向量求线面夹角结合二次函数分析运算. 【详解】（1）由题意可得：，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 若为的中点，则， 可得， 设异面直线与所成角， 则. 故异面直线与所成角的大小. （2）若动点在线段上，设， 则，可得，解得， 即，则， 由题意可知：平面的法向量为， 设与平面所成角为， 则， 对于开口向上，对称轴为， 可得当时，取到最小值， 所以的最大值为， 注意到，则， 故与平面所成角的最大值. 题型2 二面角（含最值范围）问题 （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） ③常涉及到基本不等式，二次函数，求导等方法求最值或范围 1．（24-25高二上·上海·期中）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，N是的中点，动点P在直线上，且满足． (1)指出直线与平面的位置关系（不需说明理由） (2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围 (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值 【答案】(1)与平面共面或平面 (2) (3)；-2 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法、与二次函数相关的复合函数问题、判断线面平行 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可说明直线与平面的位置关系； （2）如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由题意得平面的法向量为，则，利用二次函数的性质求出的范围，继而即可求出的取值范围； （3）根据空间向量的坐标运算表示出二面夹角的余弦值，利用换元法及二次函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）当点与重合时，与平面共面， 当点不与重合时， 因为分别是，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2） 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设，由，得， 所以，则， 所以， 设平面的法向量为， 直线与平面所成的角为， 则， ， 所以， 所以的取值范围为. （3） 由（2）知， ， ， 设平面的法向量为， 则，取， 为平面的法向量， 平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， 令，则， 则， 函数，当时，， 所以， 即当时，. 2．（22-23高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证； （2）利用空间向量法求点到面的距离； （3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域. 【详解】（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则， 由题意可知平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 且，，平面，所以平面. （2）在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形， 由平面，平面，可得，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. （3）因为， 设，，则， 可得，，，即， 可得， 由（2）知：平面的一个法向量 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则， 可得， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知直三棱柱中，且分别为的中点，为线段上一动点. (1)求与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离； (3)求锐二面角的余弦值的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、求线面角 【分析】（1）利用直线与平面所成角的概念求解； （2）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离； （3）利用空间向量的坐标运算表示出二面夹角的余弦值，根据二次函数的性质讨论最值. 【详解】（1）由直三棱柱中，可知平面， 所以点在平面的投影为， 所以为与平面所成角， 所以, 所以与平面所成角的正切值为· （2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, 因为,所以平面与平面是同一个平面， ,, 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，所以， 所以点到平面的距离. （3）设 设平面的一个法向量为， 则，令，则所以 设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角， 故， 令，， 而函数在时单调递增， 所以当时，有最小值， 即当，时，有最大值，最大值为. 4．（22-23高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，点E是线段AD的中点，点F在线段AP上且满足，面ABCD. (1)当时，证明：//平面； (2)当为何值时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小？ 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）建系，利用空间向量求二面角，并结合二次函数分析运算. 【详解】（1）设， 因为//，则， 若，即，可得， 所以//， 平面，平面， 故//平面. （2）连接， 由题意可得：， 在中，由余弦定理， 即，可得，则， 且面ABCD，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设点，则， 因为，则，解得，即， 可得， 设平面BFE的法向量为，则， 令，则，即， 由题意可得：平面的法向量， 设平面BFE与平面PBD所成的二面角为， 则， 由题意可知：，则有： 当时，则； 当时，则， 因为，则， 关于的二次函数开口向上，对称轴， 当，即时，取到最小值，即， 可得； 综上所述：. 所以当时，取到最大值，取到最小值. 即当时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小. 5．（22-23高二下·上海徐汇·阶段练习）如图，已知直三棱柱中，且，、、分别为、、的中点，为线段上一动点. (1)求与平面所成角的正切值； (2)证明：； (3)求锐二面角的余弦值的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求线面角、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由线面夹角的定义结合图形线面关系即可得与平面所成角的正切值； （2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证明； （3）根据空间向量坐标运算分别求解平面与平面的法向量，由二面角的夹角余弦公式结合函数关系即可得最值. 【详解】（1）由直三棱柱，知面，即在的投影为， 所以为与平面所成角， 所以， 因此，与平面所成角的正切值为； （2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 如图：则，，，，，，，， 故，为线段上一动点. 设，则，故， 所以，，故， 所以，即； （3）由（2）可知：，，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则，，则， 设平面的法向量为，则， 即，则，令，则，则， 故设二面角的平面角为，结合图形，为锐角， 故， 令，，， 而函数在时单调递增，故时，取最小值， 即当，即，时，取得最大值为. 6．（24-25高二上·上海·期中）如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、面面角的向量求法 【分析】（1）作出辅助线，得到当平面平面时，点P到平面ABCM的距离最大，利用勾股定理求解即可； （2）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，从而得到； （3）作出辅助线，得到为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到 ，结合的取值范围求出余弦值的最小值即可. 【详解】（1） 由题意可知，当平面平面时， 点P到平面ABCM的距离最大， 因为，，点是边的中点， 所以，取的中点为，连接， 则，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以P到平面ABCM的最大距离为. （2） 取中点，连接，， 则因为为中点，所以为的中位线， 所以且， 因为为的中点，四边形为矩形， 所以且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 所以. （3）连接， 因为，所以， 所以为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 过作于点，由题意得平面， 设，所以，， 所以，所以， ， 设平面的法向量为， 则， ， 令，则， 设平面的法向量为， 因为， 则， 可得， 令，则， 设两平面的夹角为， 则 ， 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为. 题型3 线面角中的探索问题 （1）若点在线段上，常设；若点在平面内，则直接假设点的坐标 （2）结合线面角公式求解 ①； ②. 1．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）在边长为2的正方体中，已知点是棱上的动点（包含端点）. (1)若为的中点（图1），求点到平面的距离； (2)若点与点重合（图2），求证：与平面的交点为等边的中心； (3)是否存在点使得与平面的所成角是，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【知识点】已知线面角求其他量、点到平面距离的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案； （2）由三垂线定理，可证平面，然后由可得结论； （3）设，由题及空间向量知识可得关于y的表达式，即可得答案. 【详解】（1）以为原点､方向作为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设为平面的法向量，则，即. 所以点到平面的距离为. （2）证明：当点与点重合时，为在平面上的投影， 由于，结合三垂线定理，所以，同理可得. 由于和是平面上相交于点的直线，所以平面. 所以平面，故， 由于，所以， 即，即为的外心. 又由于为等边，则为的中心. （3）若存在这样的点，设，所以 故， 解得，所以存在，此时 2．（2024·上海黄浦·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面.    (1)求证：点E是棱PD的中点； (2)若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、已知线面角求其他量 【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点是BD的中点，得到证明； （2）方法一：作出辅助线，得到就是PC与平面ABCD所成角，从而根据正切值得到，证明出线面垂直，得到是二面角的平面角，求出各边长，从而得到； 方法二：作出辅助线，得到就是PC与平面ABCD所成角，建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小. 【详解】（1）连接BD，它与AC交于点，连接EF，   四边形ABCD为矩形， 为BD的中点， 平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于， ， 又点是BD的中点， 点是棱的中点. （2）方法一：∵PA⊥平面，平面， 且就是PC与平面ABCD所成的角， 故，解得. 四边形ABCD为矩形， ，又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线， 平面PAD. 在平面PAD内作，垂足为，连接GF，则， 是二面角的平面角. 在直角三角形PAD中，，点是PD的中点，   ，且， 平面平面， ，故，所以， 故二面角的大小为. 方法二：∵PA⊥平面，平面， 且就是PC与平面ABCD所成的角， 又四边形ABCD为矩形，， 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，    设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为， 由，可得， 则， 故， 解得且，所以， 又是平面AED的一个法向量，且为锐角， 故，可得. 所以二面角的大小为. 3．（23-24高二上·上海·期中）在正方体中，求：    (1)二面角的大小 (2)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，判断点位置并说明理由 【答案】(1) (2)点在棱上，且 【知识点】已知线面角求其他量、面面角的向量求法 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角大小即得. （2）由（1）中坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）设正方体棱长为1，以分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，    则 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为, 由，得，即，令，得， 设的夹角为，，由图知二面角为锐二面角， 所以二面角大小为. （2）设，则，平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，，即， 所以当时，与平面所成角的正弦值为. 4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且． (1)若点为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】证明线面平行、已知线面角求其他量 【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明； （2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可. 【详解】（1） 取中点，连接，， 因为分别为中点， 所以，， 因为四边形为菱形，为中点， 所以，， 所以，，则四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以∥平面. （2）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，， 因为，四边形为菱形， 所以三角形为等边三角形， 因为为中点， 所以，， 所以两两垂直， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， ， 所以， 所以线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时. 5．（23-24高二上·上海闵行·期中）在直角梯形中，，，，如图1把沿翻折，使得平面平面（如图2）． (1)； (2)若点为线段的中点，求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为?若存在，求出点的具体位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】已知线面角求其他量、点到平面距离的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）可先证明，利用平面平面，可得平面，利用线面垂直的性质可得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出面的法向量，利用向量法可求点到平面的距离； （3）假设在线段上存在点，使得与平面所成的角为，设出，求出，利用向量的夹角公式列方程求解即可. 【详解】（1）由已知可得，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面， ； （2）以为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图， 由已知得， ， 设平面的法向量为， 则，取，得 点到平面的距离. （3）假设在线段上存在点，使得与平面所成的角为， 设， 则， ， ， 整理得，该方程无实数解， 故在线段上不存在点，使得与平面所成的角为 6．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【知识点】已知线面角求其他量、面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）构造平行四边形，转化为证明线线平行； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法二面角的余弦值； （3）首先设，，根据线面角的坐标系，即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， ，且，，分别是、的中点， ，且， ，且，故四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面；    （2），平面，，平面， ，， 设，， 又因为，，所以， 所以、、两两垂直， 如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设点，则，， ，可得， 解得，，，      设平面的法向量为， 由，得， 取，得， 故平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为； （3）设，， ， ， ， 设与平面所成角为， 则，， ， 整理得：，解得或（舍）， 存在满足条件的点，，且长为. 7．（24-25高三下·山东·开学考试）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，已知，，三棱锥的体积为 (1)设平面CAB与平面的交线为l，证明： (2)在线段上是否存在一点P，使得直线AP与平面ABC所成角的正弦值为若存在，指出P点的位置;若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P是线段的中点 【知识点】已知线面角求其他量、线面平行的性质 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得线线平行； （2）由体积公式求得到平面的距离，过C向平面作垂线，垂足为H，证得H为四边形的中心（即正方形的对称线交点），以H为坐标原点，HA，HB，HC分别为x轴，y轴，z轴建立如图坐标系，设，用空间向量法求线面角确定参数值得出结论． 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，又因为平面，平面， 所以平面，因为平面CAB，平面平面，所以 （2）由题意知，，设三棱锥的高为h， 因为三棱锥的体积为，所以， 过C向平面作垂线，垂足为H，，取AB，的中点，分别为E，F，连接HE，HA，CE，因为，，所以，，因为平面， AH，平面，所以，，在直角中，，， 所以，在直角中，，，所以，因为，，， 满足，所以，所以H在AB的中垂线EF上，且， 所以H为四边形的中心， 以H为坐标原点，HA，HB，HC分别为x轴，y轴，z轴建立如图坐标系， ，，，，， 设，则， 由可得：，即，所以， 假设线段上存在一点P，使得直线AP与平面ABC所成角的正弦值为， 设，因为C，，P三点共线，所以设，即， 则，则，， 设平面ABC的法向量为，所以即 令，则，，所以， 设直线AP与平面ABC所成角为， 则， 解得，，此时，P是线段的中点，所以，当P是线段的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正弦值为 题型4 二面角中的探索问题 （1）若点在线段上，常设；若点在平面内，则直接假设点的坐标 （2）结合线面角公式求解 如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 1．（24-25高二上·上海杨浦·期末）如下图所示正四棱锥，其中O为底面ABCD的中心. (1)求证：平面； (2)设E为上的一点，. ①若，求直线与平面所成角的大小. ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)①直线与平面所成角为；② 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量、证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得平面； （2）①以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据求出点坐标，再求出、平面的一个法向量，根据线面角的向量求法可得答案；②设，根据求出点坐标，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）因为底面是正方形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）①，如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得 ， ，， 由得， 所以，，由四棱锥是正四棱锥， 可得平面，平面，所以， 由，平面， 所以平面， 因为平面，即平面， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， ， 由，得， 所以直线与平面所成角为； ②，同①以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，得 ， ， 由得， 所以，， 设为平面的一个法向量， 则得，令得， 所以，因为平面， 所以是平面的一个法向量， 设平面与平面所成锐二面角的大小为，得， 由， 解得，即. 2．（23-24高二上·上海·期末）在如图所示的直三棱柱中，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若为直角三角形，，，求直线与平面所成角的大小； (3)若为正三角形，，问：在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且为中点 【知识点】证明线面平行、求线面角、已知面面角求其他量 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形可得，结合线面平行的判定定理可完成证明； （2）取中点，连接，先证明平面，然后判断出线面角为，最后结合线段长度求解出结果； （3）先证明平面，然后建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面和平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值的结果求解出的值，则结果可知. 【详解】（1）取中点，连接， 因为为的中点，所以， 又因为为的中点，所以， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面；    （2）取中点，连接， 因为四边形为矩形，且为的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以 因为几何体为直三棱柱， 所以平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 因为为中点， 所以，且， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的大小为；    （3）设存在满足条件， 连接，因为为正三角形，所以也是正三角形， 因为为中点，所以， 因为几何体为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 以为原点，以方向为轴正方向，在平面内过点垂直于方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，    则，设， 所以，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 取平面的一个法向量， 所以, 解得或（舍去）， 此时由图可知，二面角的平面角为钝角， 所以当为中点时，二面角的大小为. 3．（23-24高二上·上海·期中）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．    (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； (2)无论点E在边BC的何处，PE与AF所成角是否都为定值，若是；若不是，请说明理由； (3)若PD与平面ABCD所成角是30°，当BE等于何值时，二面角P﹣DE﹣A的大小为45°． 【答案】(1)EF∥平面PAC，理由见解析 (2)是，定值90° (3) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、异面直线夹角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）线与面的位置关系有三种相交、平行与在面内，由题设中的条件E，F为中点可得EF∥PC，由此可判断出EF与平面PAC的位置关系是平行，再由线面平行的判定定理证明说明理由； （2）方法一：由题设条件及图形可得出AF⊥平面PBE，由线面垂直的定义可得出无论点E在边BC的何处两线都垂直． 方法二：建立如图示空间直角坐标系，给出各点的坐标，求出PE与AF所对应的向量的坐标，验证其数量积为0即可得出直线所成的角是直角； （3）方法一：先作出二面角的平面角，令其大小是45°，设BE=x，在直角三角形DCE中用勾股定理建立方程求x值． 方法二：先求出两平面的法向量，再由公式求出两个平面的夹角． 【详解】（1）    当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行． ∵在△PBC中，E、F分别为BC，PB的中点， ∴EF∥PC又EF⊄平面PAC 而PC⊂平面PAC ∴EF∥平面PAC． （2）方法一：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD． EB⊥PA 又 EB⊥AB，AB∩AP=A，AP⊂平面PAB ∴EB⊥平面PAB， 又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE． 又PA＝AB＝1，点F是PB的中点， ∴AF⊥PB， 又∵PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE． ∴AF⊥平面PBE ∵PE⊂平面PBE， ∴AF⊥PE，即无论点E在边BC的何处， PE与AF所成角都是定值90°． 方法二：建立图示空间直角坐标系，则P（0,0,1）B（0，1，0），， 设BE＝x，则E（x，1,0）＝ ∴AF⊥PE即PE与AF所成角是定值90° （3）方法一：过A作AG⊥DE于G，连PG，又， 则DE⊥平面PAG， 则∠PGA是二面角P﹣DE﹣A的平面角， ∴∠PGA＝45°， ∵PD与平面ABCD所成角是30°，∴∠PDA＝30°， ∴，PA＝AB＝1． ∴AG＝1，，设BE＝x，则，， 在Rt△DCE中，，． 方法二：设平面PDE的法向量为，由，得： ∵二面角P﹣DE﹣A的大小是45°，所以cos45°＝， 得或（舍）． 4．（23-24高三上·上海嘉定·期中）如图，在正四棱柱中，，，点、、、分别在棱、、、上，，，． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积； (3)点在棱上，当二面角大小为时，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、已知面面角求其他量、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）计算出的面积以及点到平面的距离，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积； （3）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【详解】（1）解：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ，， 又不在同一条直线上，. （2）解：，点到平面的距离为， 故. （3）解：设， 则， 设平面的法向量， 则， 令，得， ， 设平面的法向量，则， 令，得，， ， 化简可得，，解得或， 或，. 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，为线段上一点．    (1)求证：； (2)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，再用菱形性质得到，通过面面垂直的性质得到平面，运用线面垂直性质进而证明，最后使用线面垂直定理得证； （2）以的中点为坐标原点，过O作射线,以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，记平面的法向量求出和平面的法向量，再根据二面角的余弦公式建立方程求解即可. 【详解】（1）连接，因为在三棱柱中，所以四边形为平行四边形， 因为，所以四边形为菱形， 所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以; （2）如图，以的中点为坐标原点，过O作射线,则可以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    因为， 则， ， 设， 则， 记平面的法向量， 则， 即， 得， 易得平面的法向量， 由题意：， 解得：或，经验证，或均符合题意． 所以或. 6．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）如图1在矩形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2. (1)求证：平面； (2)若点是线段上的一动点，且，当二面角的正弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而根据面面垂直得到线面垂直，故，结合，得到线面垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，作出辅助线，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据二面角的正弦值得到方程，求出. 【详解】（1）证明：因为在矩形中，为的中点， 所以，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以⊥平面； （2）取中点，连接， 为的中点，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 取的中点，连接，则， 由（1）知，，所以⊥， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 由（1）知平面， 则平面的一个法向量可设为， 因为且，所以， ， . 设平面的法向量为，则， 即，取，则. 即平面的一个法向量为. 因为二面角的正弦值为 所以， 因为，解得. 7．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）如图，在圆台中，，分别是上、下底面的直径，，线段是的一条直径，且，为线段的中点，．    (1)证明：平面； (2)若点为圆台上底面圆周上一点，且平面与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量、空间垂直的转化、面面角的向量求法 【分析】（1）先证明平面平面，即可证平面，结合证明，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设点S的坐标，利用空间角的向量求法，即可求出S点坐标，从而求得答案. 【详解】（1）证明：因为平面平面， 所以平面平面，   因为，，， 所以≌， 所以， 所以， 又因为平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面，   又因为，，所以四边形为菱形， 在直角梯形中，， 则，故， 所以为等边三角形， 又因为为中点，所以，   又因为平面平面，且平面， 所以平面． （2）解：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 结合（1）可知，    则，，，， 所以，   由（1）知平面，所以平面的一个法向量可取为， 设，则， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，   设平面与平面所成的角为， 因为，所以， 所以， 所以，所以，， 所以点的坐标为或，   此时． 题型5 点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】已知线面角求其他量、点到平面距离的向量求法、求空间图形上的点的坐标 【分析】（1）由题意可得，再根据，即可求得点的坐标； （2）由（为平面的法向量），求解即可； （3）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）解：如图所示： ， 故， 因为， 所以； （2）解：因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时， 故， 即，解得； （3）解：， 设平面的法向量为， 则有 取， 则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. 2．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点． (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与半面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)不垂直；证明见解析 (2)； (3)不存在，理由见解析 【知识点】线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明，，由此可得结论； （2）求平面的法向量，利用向量方法求直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，，求出的坐标，再求平面的法向量及，利用向量方法求点到平面的距离，列方程求即可. 【详解】（1）结论：直线与平面不垂直， 以为坐标原点，，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， ， 所以直线与平面不垂直． （2）设平面的一个法向量， ，， ， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）假设存在，，使得点到平面的距离是， 由（1）知，，，所以， 所以，又，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离是， 故在线段上不存在点，使得点到平面的距离是． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点.    (1)证明：平面； (2)若，， ①求直线与平面所成角的大小； ②线段上是否存在点，使点到平面的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在，或 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）取中点E，连接，由三角形全等可得，再由三角形中位线的性质和线面平行的判定定理证明即可； （2）①建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间线面角公式求解即可； ②设，求出，再代入到空间点到面的距离公式，然后由向量的模长计算即可； 【详解】（1）    取中点E，连接， 又正方形中M是中点，由几何关系可得， 所以， 又，所以， 所以， 又，另外中位线，三棱柱中，得， 平行线，确定了平面，且，平面， 则平面，即平面. （2）①由，，即，所以； 又，平面，所以平面， 平面，所以， 又正方形中，以A原点，建立空间直角坐标系，   ，，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 因此直线与平面所成角大小为； ②不妨设，，则，， 点T到平面的距离， 即，解得或， 当时，； 当时，； 所以或. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.N是的中点，M是的中点. (1)求证平面；（此问传统立体几何方法和空间向量两种方法都可使用） (2)求平面与平面所成二面角的余弦值；（此问使用空间向量的方法） (3)求点B到平面的距离.（使用空间向量的方法） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、证明线面平行、求平面的法向量 【分析】（1）取的中点，连接，根据中位线的性质可得四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可； （3）利用空间向量法求解点面距即可. 【详解】（1）取的中点，连接，则且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，得， 又平面，平面， 所以平面. （2）建立如图空间直角坐标系， 则， 有， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则， 令，得， 所以， 则， 即平面与平面所成角的余弦值为. （3）由，平面的一个法向量为， 得， 即点到平面的距离为. 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，，点E为中点. (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求点P到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由线面角的大小求长度、点到平面距离的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）取的中点，连接，由中位线的性质证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面角的定义证明，再建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，再代入空间点到面的距离公式求解即可； 【详解】（1）    取的中点，连接， 由题意可得且， 由四边形为直角梯形且，， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 又，即， 平面，所以平面， 所以为与平面所成的角，即，所以， 又，所以两两垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，   ， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以点P到平面的距离为. 6．（24-25高三上·上海嘉定·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点.    (1)证明：； (2)若点是棱的中点，求二面角的平面角的正切值； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得. （2）利用向量法求得二面角的平面角的正切值. （3）根据直线与平面所成角的正弦值确定点的坐标，再利用点到面的距离公式求得点到平面的距离. 【详解】（1）依题意，底面是正方形，，由于平面， 平面，所以， 由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 所以， 设，， 所以，所以.    （2）若点是棱的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设二面角为，由图可知，为锐角， 所以，则， 则. （3），， 设平面的法向量为， 则，故可设， 由于直线与平面所成角的正弦值为， 所以， ，， 解得或（舍去）.则，，， 所以点到平面的距离为：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$