培优专题01 三角函数与解三角形（6大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

培优专题01 三角函数与解三角形 题型1 三角函数中零点问题 第一类：零点个数问题 ①转换：将零点的个数问题转换为交点个数问题 ②换元：令并求出的取值范围 ③画图：画出的图象 ④画，找到符合题意交点个数的情况 第二类：零点代数和问题 ①通过第一类的操作找到符合焦点个数的图象 ②根据对称性求出的值； ③回代：将，回代后，求出 1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】（1）根据三角恒等变换的知识化简的解析式，根据周期性求得，再利用整体代入法求得单调区间. （2）根据三角函数图象变换求得， 【详解】（1） ， ∵图象中两条相邻的对称轴之间的距离为， ∴，，由， ∴，， 令得， ∴的单调递减区间为. （2）图象向左平移个单位长度得， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得， 由①， ，令， 则， ∴，∴或（舍）． 由，∴，令，， 则，②， 在区间，结合正弦函数对称性可得，方程②有个根， 和分别关于、对称， 则所有根之和， 所以方程①的个根，满足. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【详解】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据三角函数图象变换可得解析式，进而可得； （2）以为整体，结合正弦函数零点可得，运算求解即可. 【详解】（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到； 再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到； 所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以a的取值范围为. 4．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知函数的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再由函数的周期确定的值即得函数解析式； （2）先根据平移伸缩变换求得的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象性质即得的值域； （3）先求出函数的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象，即可判断方程的解的个数，求得，再根据图象的对称性化简计算即得参数的值. 【详解】（1）由 ， 因相邻两对称轴间的距离为，则，解得， 故. （2）函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），即得的图象. 当时，， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，即时，取得最小值， 当时，即 时，取得最大值， 故函数的值域为. （3）， 由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象， 由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的图象性质的应用，属于较难题. 解决此类问题的关键是先利用三角恒等变换确定三角函数解析式，再将看成整体角，借助于正弦函数的图象的性质即可求解. 5．（24-25高三上·上海·开学考试）设，函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴． (1)求函数的表达式； (2)函数，求函数在上的值域； (3)将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后得到函数的图象，设，为正整数，且函数在区间内恰有个零点，求与的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由函数的最小正周期得，由是其图象的一条对称轴得，进而求出函数的表达式； （2）求出，求导，利用导数求出的单调区间和极值，最后求出最大值和最小值，即可得到函数在上的值域； （3）根据题意得，进而整理得，在区间内恰有个零点，令，得，根据判别式得关于的二次方程必有两不等实根且异号，再分①，，②，，③，，④时， ，四种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由题意，得，． 因为直线是函数图象的一条对称轴， 所以，得， 又，可得， 因此，． （2）由（1）得，则，因为， 当时，，则函数在单调递增， 当时，，则函数在单调递减， 当时，，则函数在单调递增， 故当时，函数取得极大值， 故当时，函数取得极小值 又， 因为 故函数在上的最大值为，最小值为， 所以在上的值域为 （3）由题意，． 因为． 当时，即． 令，且． 关于的方程，其判别式，设该方程的两个不相等的实数根为，有． ①当且时，方程和在区间上均有偶数个实数根， 从而关于的方程在区间上也有偶数个实数根，不合题意． ②当且时，类似于情形①可得，不合题意． ③当时，，此时． 方程区间上有一个实数根，方程在区间上有两个实数根， 故方程在区间上有三个实数根． 因为，所以方程在区间上有个实数根． 又方程在区间上只有一个实数根，而在区间上无实数根， 方程在区间上无实数根，而在区间上有两个实数根， 故方程在区间上有个实数根，此时． ④当时，，此时． 类似于情形③，可知方程在区间上有个实数根， 在区间上有个实数根，不合题意． 综上，，． 6．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、向量新定义 【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解. （2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解. （3）分离参数得，将函数在上有四个零点 转化成 则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解. 【详解】（1）因为，所以的互生向量. （2）由题意可得，所以， 令，解得， 因为，所以， 所以函数在上的严格增区间为. （3）由题，则， 若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根， 则函数与在上的图象有四个交点， 因为， 所以， 则由三角函数性质作其函数图象如图所示， 由三角函数图象及性质可知k的取值范围为. 【点睛】思路点睛：分离参数和数形结合是解决函数零点问题基本方法，所以对于函数在上有四个零点求参数k，先分离参数得，从而将零点问题转化成函数与在上的图象有四个交点，再数形结合利用三角函数性质作出函数图象，由图象即可得解. 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数. (1)某同学打算用“五点法”画出函数再某一周期内的图象，列表如下： x 0 0 1 0 0 0 0 0 请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； (2)若函数，将图象上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点的个数. 【答案】(1)表格见解析， (2)，3037 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据数据确定参数的值，即可得函数解析式，即可完善表格； （2）根据三角函数图象的变换求出的表达式，即可求得的表达式，结合方程的解的情况，分类讨论，确定其解，结合题意以及正弦函数的周期性，即可求得答案. 【详解】（1）由表中数据可得，，解得， 故， 故令； 令，此时， 则表格如下： x 0 0 1 0 0 0 0 0 （2）由题意函数，将图象上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图象， 则，故，周期为， 当时，令， 考虑方程的解的情况，， 即在R上必有两个不同的实数根，设为， 在上恰有奇数个零点， 则或， 若，则，在共有4个不同的实数根， 在共有0个或2个不同的实数根， 则在上有个根或个根， 此时与题意不符合； 若，则在共有2个不同的实数根， 在共有0个或2个不同的实数根， 则在上有个根或个根， 此时与题意不符合； 同理，也不符合题意； 故或， 若，代入，则； 此时的根为，方程在共有3个不同的实数根， 在上，有2个不同的实数根，此时无解， 故在上有个根，不符合题意； 若，代入，则； 此时的根为，方程在共有3个不同的实数根， 在上，此时无解，有1个实数根， 故在上有个根，符合题意， 综上，，零点的个数为3037. 【点睛】难点点睛：本题考查了三角函数性质的综合应用，综合性强，难点在于（3）中函数零点个数的确定，解答时要分类讨论，结合正弦函数的周期性以及正弦函数的零点进行解答. 题型2 三角函数中能成立与恒成立问题 第一类：有解（有两解）问题 ①换元：令并求出的取值范围 ②画图：画出的图象 ③有解则取的值域；具体有几个解则有几个交点 第二类：恒成立问题 ①恒成立 ②恒成立 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)； (3)2个 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、函数新定义、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）由新定义知识判断即可； （2）结合新定义及取特殊值求解即可； （3）当时，，再结合函数的图象进行求解． 【详解】（1）令， 故， 则不具有性质P． （2）若函数具有性质P， 则， 又，则取，有， ， 则有， 即， ， 又． （3） 当时， 具体如图所示    则方程的解的个数为2个． 【点睛】关键点点睛：第三问中，要求出当时函数解析式，并画出函数的图象进行求解，要充分利用． 2．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1， (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、函数不等式恒成立问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可； （2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解. 【详解】（1）当时，, 所以当，即 时，所以  ,此时 ； （2）因为 为偶函数，所以, 所以, 所以 ， 又因为在上恒成立， 即在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 ，且 在上恒成立， 因为，所以，所以， 解得 所以 m 的取值范围为; （3）因为过点，所以 所以， 又因为,所以, 所以 ， 又因为对任意的，，都有成立， 所以， 因为，所以 ， 设 , 则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线， 当 时，在 上单调递增，所以 , 所以，解得 所以； 当 时， 在上单调递减， 所以 , 所以，解得 所以; 当时，, 所以，解得所以, 综上所述：所以实数 a 的取值范围为 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 3．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知向量 (1)当时，求的值 (2)当时，方程有解，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求正数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】基本不等式求和的最小值、数量积的坐标表示、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据题意求出解析式，再将代入计算即可； （2）由可求得，令，则转化为当时，方程有解，即，然后根据对勾函数的性质可求得结果； （3）将问题转化为在上恒成立，其中，再由正弦函数的性质可得，求出的范围，则可得的范围，从而可求出正数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， （2）令，因为，所以， 所以，即， 又因为当时，方程有解， 所以当时，方程有解， 所以， 又因为，当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以实数的取值范围是， （3）由（1）知 ， 所以 其中， 因为恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又因为， 所以， 令，解得， 所以， 所以， 因为为正实数，所以正数的取值范围为 4．（24-25高一下·湖北宜昌·阶段练习）已知函数，其中，，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为. (1)求和的值； (2)若，求的单调递增区间； (3)若，且方程有解，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【知识点】求cosx(型)函数的值域、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用周期求，把代入求出； （2）对利用复合函数单调性法则列不等式，求出单调递增区间； （3）先求出若时，的值域，即可求出k的范围. 【详解】（1）依题可得：，则， 又函数图像的一个对称中心为， 所以，则，， 又，则； （2）由（1）知， 当时，由，得，， 得函数单调递增区间为； （3）若，， 由得， ，，， 要在时有解，则. 5．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若方程在区间上有两个解，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为； (2). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式及辅助角公式化简函数式，再根据正弦型函数的性质求最小正周期和单调递减区间； （2）由题设有，结合的性质求各单调区间的值域，由方程解的个数求参数范围. 【详解】（1）由题设， 所以其最小正周期为， 令，，可得， 所以单调递减区间为； （2）在上有， 对于在上单调递减，对应值域为； 在上单调递增，对应值域为； 所以方程在区间上有两个解，只需. 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. (1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值. (3)利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 【答案】(1),图象如图所示 (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用已知条件依次确定的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得； （2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值； （3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得. 【详解】（1）设函数的最小正周期为，由题意，， 且，解得，则，即有， 将点代入，化简可得，则， 即，因，故得，即. 取函数在一个周期上的五点列表如下： 0 2 0 0 在直角坐标系中作图如下： （2）依题意，是偶函数， 故，解得，即， 因，则得，则时，取得最小值为 . （3）由（2）分析可得，因，则， 结合余弦函数的图象性质可得，故得， 因对任意的，恒有成立，故得， 解得或，即的取值范围为. 题型3 三角形中面积的最值与范围 利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，实质是实现边角的转化和面积公式，解题的思路是： 1、根据题干已知等式选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧利用面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） ③（为外接圆的半径） ④ 1．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即. （2）由（1）可知， 所以或. 在中，由余弦定理得 ， 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 综上所述，的面积最大值为. 2．（2023·上海闵行·三模）如图，是边长为2的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.    (1)若，求的长； (2)用表示的面积，并求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理直接计算即可； （2）由正弦定理求出AP，然后代入三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围. 【详解】（1）由，且是边长为2的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以； （2）由，则，则， 在中，由正弦定理有，得， 所以 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 3．（24-25高一上·上海·期末）在中，已知， (1)若，求该三角形的外接圆半径； (2)当时，求该三角形面积的最大值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式对式子进行化简可解得角，再利用正弦定理即可求解的外接圆半径； （2）由结合正弦定理及三角形内角和定理，可得和，代入三角形面积公式，根据二倍角公式、辅助角公式及正弦函数的性质即可求解三角形面积的取值范围. 【详解】（1），， 即，. ，，或，解得或. 或2，该三角形的外接圆半径或1. （2），，，. ， ，， . ，，， 即该三角形面积的最大值为. 4．（23-24高三上·上海·期中）锐角的内角，，的对边分别为，，，设. (1)求证：内角； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理，二倍角公式，，得到，求出； （2）由正弦定理和面积公式得到，结合为锐角三角形，求出，从而求出的面积的最大值. 【详解】（1）因为， 故，即， 所以， 因为为锐角三角形，所以，故， 所以，即， 因为为锐角三角形，所以，故， 所以，解得； （2）由（1）知，，又， 故， 所以， 故 ， 因为为锐角三角形，所以， 且，解得， 故，则，， 则. 的面积的最大值为. 5．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据给定条件，利用正余弦定理边化角结合和角的正弦求解作答. （2）由正弦定理用角的三角函数表示出三角形面积，再借助三角函数性质求解作答. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 即，而，即，因此， 所以. （2）在锐角中，，则，又， 由正弦定理得，即 而，即，则，，因此， 于是面积， 所以面积的取值范围是. 题型4 三角形中周长的最值与范围 ①基本不等式+余弦定理 利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②化角： 利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 1．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理将转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ∴， ∵，则，∴，又，∴； （2）因为，， 由余弦定理，即， ∴，解得， ∴； （3）在中，由正弦定理， ∴， ∴ ， 又为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， 故周长的取值范围为 2．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知、、分别为内角的对边，已知且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的值； (3)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简求解； （2）由面积公式得，再根据余弦定理求的值； （3）根据，，将周长化为三角函数求最值． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 所以， ，则，所以，即， ，则，故，因此，． （2）由三角形的面积公式可得， ，由余弦定理可得： ， 即 因此． （3）由正弦定理可得， 故， 所以， 所以 ， ，所以，则，所以， 所以， 因此，的周长的取值范围是． 3．（23-24高一下·辽宁·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】条件等式求最值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理、基本不等式及三边关系求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 又，所以 （2）由余弦定理，即， 所以，又，所以，显然， 所以，当且仅当时取等号， 又，所以， 所以周长的取值范围为. 4．（23-24高一下·广东·期末）已知的三个内角所对的边分别为，满足． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）边化角，将变形为的形式，进而求得，可得； （2）法一，应用正弦定理将转化为，结合为锐角三角形，求得，即可得解；法二，由为锐角三角形，采用余弦定理得到，求出，求得，即可得解. 【详解】（1）已知， 由正弦定理得：， ， 得， 又，即， 即， 又因为，所以，且， 所以，即． （2）法一：由正弦定理得：，即，且， ，即． 而由为锐角三角形，，，得， 所以，即． 所以，且， 所以的周长的取值范围为． 法二：由，不妨设，则， 由为锐角三角形，只需，由余弦定理得：， 即． 又．（*） 所以，得：，解得． 由（*）式得：， 所以，且， 所以的周长的取值范围为． 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，求周长的最大值 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，得到，即可求解； （2）设的外接圆的半径为，求得，结合三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以. （2）解：由（1）知且， 设的外接圆的半径为，可得， 又由正弦定理得， 因为，则，可得， 所以 ， 因为，可得， 当时，即时，取得最大值，最大值为， 所以周长的最大值为. 题型5 三角形中边长代数和的最值与范围 ①基本不等式+余弦定理 利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②化角： 利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角的三角函数关系可得； （2）由正弦定理边化角结合两角和的正弦表示出，再结合正弦和正切的单调性求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. （2）由正弦定理可得，， 所以， 因为在均为单调递增， 所以在为单调递减， 所以当时，最大值为；所以当时，最小值为； 所以的取值范围为. 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、辅助角公式、余弦定理解三角形 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将化为正弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，则； （2）由，则、， 则 ， 由为锐角三角形，可得，解得， 则，则， 故. 3．（23-24高一下·上海·假期作业）在中，已知，且. (1)试确定的形状； (2)求的值． 【答案】(1)直角三角形； (2) 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理角化边化简已知等式可得，结合两角和差的余弦公式以及正弦定理化简可得，即可推出，从而可判断三角形形状； （2）由（1）可得，运算即可得解. 【详解】（1）在中，设其外接圆半径为R， 根据正弦定理得，， 代入，得，所以①， 因为，所以， 所以， 由正弦定理，得，所以②， 把②代入①得，，即， 所以是直角三角形； （2）由（1）知，即，所以， 又，所以，所以. 4．（24-25高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由正弦定理化简得出的值，结合为锐角三角形可得出角的值； （2）求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为为锐角三角形，则，， 所以，，即，所以，. （2）因为为锐角三角形，可得，解得， 则， 因为，则,所以，可得， 即，所以的取值范围为. 5．（24-25高三上·湖北·期末）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)已知边，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据已知等式和正弦定理，化简即可求解. （2）利用正弦定理得，又为锐角三角形，解得，从而得到的取值范围，从而得解. 【详解】（1）由， 可得， 即， 所以，即， 因为，所以，又，所以； （2）由正弦定理可得， ， 因为为锐角三角形，则，解得， ， 所以的取值范围是 6．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由余弦定理可得出，求出角的取值范围，利用正弦定理结合两角和的正弦公式求出的取值范围，再利用双勾函数的基本性质以及反比例函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即，即， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）由（1）得， 所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 则， 因为双勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当或时，， 所以，函数在上的值域为， 因为，则， 故. 因此，的取值范围为. 7．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、与二次函数相关的复合函数问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再利用诱导公式即正弦的和角公式求解； （2）把转化为的函数，利用余弦定理及三角函数单调性分析的范围 ，最后再利用二次函数的单调性求范围. 【详解】（1）根据正弦定理可知：， 因为，所以，所以. （2）由余弦定理可知：，因为，所以，，， 因为，所以，， 由正弦定理得：， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以时，取得最小值， 并且， 所以的范围是. 题型6 几何图形与计算 1．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【知识点】几何图形中的计算、距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）作于，利用直角三角形结合已知求出. （2）利用余弦定理建立不等式求解即得. （3）根据给定条件，可得公路连接点到点的距离和最小，推得，通过旋转确定点位置并计算得解. 【详解】（1）依题意，，则，由，得， 作于，则，， 所以. （2）在中，， 由是钝角及余弦定理，得， 即，于是，整理得， 解得，所以的取值范围是. （3）最佳方案：工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 由公路建设成本和公路长度成正比，得当且仅当公路长度最短时，公路建设成本最低， 即三岔路口到点的距离和最小，此时必有，否则令点在上的投影为， 则有与最小矛盾， 将绕点逆时针旋转得，则为正三角形， ，显然， 则，当且仅当点共线时取等号， 此时必有，， 显然，由（1）得， ，而， 令交直线于点，则，， ， 所以工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 2．（23-24高二下·上海·期末）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，. (1)求BC的长度； (2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（B，D在两侧），其中，为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度?（精确到0.01km） 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用余弦定理求得； （2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道的最长路程，由此求得增加的长度. 【详解】（1）联结，在中，由余弦定理可得， ， 所以的长度为； （2）记，则在中，由余弦定理可得： ，即， 从而 所以，则，当且仅当时，等号成立； 新建健康步道的最长路程为， 故新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加 3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道． (1)若，，求休闲步道总长（精确到米）； (2)若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、几何图形中的计算 【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理得求得，再由弧长公式，求得的长，进而求得总周长，得到答案. （2）若选择面积最小：设，得到，在中，由正弦定理，求得，，根据三角形的面积公式，结合三角恒等变换的公式，得到，结合三角函数的性质，即可求解； 若选择周长最长：由正弦定理，求得，，利用三角恒等变换的公式，化简得到周长为，结合三角函数的饿性质，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，，所以，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以，又由弧长公式，可得的长， 所以总周长为：. （2）解：若选择面积最小： 设，因为，可得， 由正弦定理知， 所以， ， 所以 ， 因为，所以， 所以，当时，即时，面积取得最大值，最大值为， 又因为， ， 所以，. 若选择周长最长： 设，因为，可得， 由正弦定理知， 所以， ， 则的周长为 ， 其中， 因为的最大值为，所以的周长的最大值为， 即时，即时， 所以时， 的周长的最大值为. 4．（2023·上海浦东新·一模）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，. (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1)247.4m (2)应使得，来修建观赏步道. 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）由三角形面积公式求出，得到，利用余弦定理求出m； （2）解法一：先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，利用正弦定理得到，由面积公式得到，结合，得到面积的最大值，及，得到答案. 解法二：先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，，由余弦定理得到，结合基本不等式求出，，此时，得到结论. 【详解】（1）， 解得：， 因为C是钝角，所以. 由余弦定理得： ， 故需要修建247.4m的隔离防护栏； （2）解法一：， 当且仅达时取到等号，此时m，设，， 在中，， 解得：， 故 ， 因为，所以， 故当，即时，取的最大值为1， ， 当且仅当时取到等号，此时 答：修建观赏步道时应使得，. 解法二：， 当且仅达时取到等号，此时， 设，.则由余弦定理， ， 故由平均值不等式，， 从而， 等号成立当且仅当. 答：修建观赏步道时应使得，. 5．（2023·上海徐汇·一模）近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. (1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; (2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 【答案】(1)(米) (2)2022万元 【知识点】三角函数与解三角形综合、三角函数在生活中的应用、几何图形中的计算、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度; (2)将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可. 【详解】（1）解:由题, ,同理,故, 由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上, 则, , 因为,, 所以为等边三角形, 则, 因此三条街道的总长度为（米）. （2）由图可知, , , , 在中由余弦定理可知: , 则, 设三条步行道每年能产生的经济总效益,则 , 当即时取最大值, 最大值为. 答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元. 6．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】（1）由余弦定理直接计算即可； （2）在中，直接利用正弦定理可得出关于的表达式； （3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围. 【详解】（1）由，且是边长为的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以. （2）由，则，则， 在中，由正弦定理有， 得， （3）由三角形的面积公式得 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题01 三角函数与解三角形 题型1 三角函数中零点问题 第一类：零点个数问题 ①转换：将零点的个数问题转换为交点个数问题 ②换元：令并求出的取值范围 ③画图：画出的图象 ④画，找到符合题意交点个数的情况 第二类：零点代数和问题 ①通过第一类的操作找到符合焦点个数的图象 ②根据对称性求出的值； ③回代：将，回代后，求出 1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 2．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 4．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知函数的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 5．（24-25高三上·上海·开学考试）设，函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴． (1)求函数的表达式； (2)函数，求函数在上的值域； (3)将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后得到函数的图象，设，为正整数，且函数在区间内恰有个零点，求与的值． 6．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数. (1)某同学打算用“五点法”画出函数再某一周期内的图象，列表如下： x 0 0 1 0 0 0 0 0 请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； (2)若函数，将图象上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点的个数. 题型2 三角函数中能成立与恒成立问题 第一类：有解（有两解）问题 ①换元：令并求出的取值范围 ②画图：画出的图象 ③有解则取的值域；具体有几个解则有几个交点 第二类：恒成立问题 ①恒成立 ②恒成立 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 2．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 3．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知向量 (1)当时，求的值 (2)当时，方程有解，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求正数的取值范围. 4．（24-25高一下·湖北宜昌·阶段练习）已知函数，其中，，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为. (1)求和的值； (2)若，求的单调递增区间； (3)若，且方程有解，求的取值范围. 5．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若方程在区间上有两个解，求实数的取值范围． 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. (1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值. (3)利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 题型3 三角形中面积的最值与范围 利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，实质是实现边角的转化和面积公式，解题的思路是： 1、根据题干已知等式选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧利用面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） ③（为外接圆的半径） ④ 1．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 2．（2023·上海闵行·三模）如图，是边长为2的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.    (1)若，求的长； (2)用表示的面积，并求的取值范围. 3．（24-25高一上·上海·期末）在中，已知， (1)若，求该三角形的外接圆半径； (2)当时，求该三角形面积的最大值. 4．（23-24高三上·上海·期中）锐角的内角，，的对边分别为，，，设. (1)求证：内角； (2)若，求的面积的最大值． 5．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 题型4 三角形中周长的最值与范围 ①基本不等式+余弦定理 利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②化角： 利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 1．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 2．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知、、分别为内角的对边，已知且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的值； (3)求周长的取值范围． 3．（23-24高一下·辽宁·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 4．（23-24高一下·广东·期末）已知的三个内角所对的边分别为，满足． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，求周长的最大值 题型5 三角形中边长代数和的最值与范围 ①基本不等式+余弦定理 利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②化角： 利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 3．（23-24高一下·上海·假期作业）在中，已知，且. (1)试确定的形状； (2)求的值． 4．（24-25高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 5．（24-25高三上·湖北·期末）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)已知边，求的取值范围. 6．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 7．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 题型6 几何图形与计算 1．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 2．（23-24高二下·上海·期末）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，. (1)求BC的长度； (2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（B，D在两侧），其中，为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度?（精确到0.01km） 3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道． (1)若，，求休闲步道总长（精确到米）； (2)若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状． 4．（2023·上海浦东新·一模）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，. (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 5．（2023·上海徐汇·一模）近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. (1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; (2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 6．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$