安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高二下学期3月检测数学试题

2025年合肥八中高二第二学期数学统一3月检测 教师版 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若曲线在点处的切线斜率为2，则  （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查导数的定义，导数的几何意义，属于基础题. 由导数的几何意义得，再根据导数的定义即可求解. 【解答】 解：由导数几何意义得， 由导数定义可知： 故选： 2.若函数，则  A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查导数的运算，简单复合函数的导数，属于基础题. 利用导数的运算法则即可求解. 【解答】 解：若函数， 则， 故选： 3.若函数在内无极值，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查根据函数的极值求参数，属于一般题. 由题意可知在在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【解答】 因为函数在内无极值， 所以在在内无变号零点， 根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增， 所以或即可， 解得或， 故选： 4.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的单调区间，最值，属于中档题. 求导，利用导数求函数的单调区间，最小值，从而得到，可求得a的取值范围. 【解答】 解：依题意，令，则 令，则令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故，则， 故实数a的取值范围为 故选 5.直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为     A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数在某个区间上的最值，属中档题. 首先根据已知将问题转化为，在 上的最小值问题，然后利用导数求其最小值即可. 【解答】 解：设A、B两点的坐标为、， 则，， 则， 令，， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， ， 故的最小值为，故选 6.已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了运用导数研究函数的单调性，构造函数的思想，考查了分析能力和转化能力，属于中档题. 令，则在上恒成立，得到为R上的减函数，再根据，得到，由等价于， 然后结合单调性即可得到不等式的解集. 【解答】 解：令， 则， ，， 在上恒成立， 为R上的减函数， 又， ， 等价于， 为R上的减函数， ，等价于， 不等式的解集为， 故选 7.已知，，，则      A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用导数比较大小，利用导数判断或证明已知函数的单调性，属于较难题. 先构造函数，利用导数研究单调性比较a，c，再构造函数，利用导数研究单调性比较a，b即可. 【解答】 解：，，， ①  令， 则， 故在上单调递增， 故， 即， 即 ②  令， 则 ， ， 令， 则 ， 令，得， 令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 即， 即， 故 故选： 8.设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则a的取值范围是    A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究存在性问题，涉及利用导数研究函数的单调性及最值、函数图象的应用，属于中档题． 设，，将问题转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，研究的单调性及最值，在同一坐标系画出两个函数图象，数形结合可得限制条件，列出关于a的不等式求解可得．  【解答】 解：设，， 由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，取最小值， 当时，，当时，， 直线恒过定点且斜率为a， 如图，在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象： 若存在唯一的整数使得在直线的下方， 由图可知需要：， 且，解得，即a的取值范围为 故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题是  A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点 C. 在处切线的斜率小于零 D. 在区间的单调递增 【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数极值的应用.属于基础题. 根据的导函数的图象，判断出在上为减函数，上为增函数，因此可判断A，B，根据导数的几何意义判断在处切线的斜率与0的大小关系.即可判断 【解答】 由导函数的图象，可得时，或， 当时， 当时， 当时， 所以可得出在上为减函数，上为增函数， 由上述条件可判断： A.是函数的极值点，故A正确; B.时函数取得最小值，故B错误; C.在处切线的斜率即为，应大于零，故 C错误; D.在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD 10.设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是  A. B. C. D. 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了学生的分析能力，属于基础题. 由题意根据函数的几何意义，以及单调性和图象依次判断排除即可. 【解答】 解：由知，在R上单调递增，则，故A正确； ，R，恒有，即， 所以的图象是向上凸起的， 如图所示， 由导数的几何意义知，随着x的增加， 的图象越来越平缓，即切线斜率越来越小， 所以，故B正确； 又， 所以由图易知，故D正确，C错误． 故选 11.已知，则下列结论正确的是(    ) A. 若在上单调递增，则a的取值范围是 B. 若满足，则 C. 当时，若有三个零点，则b的取值范围是 D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查利用导数由函数的单调性求参、利用导数研究函数的零点或方程的根、利用导数研究恒成立与存在性问题、利用导数求已知函数的极值或极值点含参、函数的对称性，属于难题. 由在上恒成立，即在上恒成立，从而可以判断A选项，根据 推断函数的对称性，进而可以求得的值判断B选项，将代入，并求导求极值， 有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可判断C选项，利用导数在函数单调性中的应用，先分 和讨论函数的单调性，得到且，此时可得 的表达式，结合，再化简即可得到答案. 【解答】 解：对于A，因为， 所以， 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以，故A错误; 对于B，满足， 根据函数的对称性可知的对称点为， 将其代入，得 ， 解得，故B错误; 对于C，因为  ， 当时， ，   ， 令，解得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增; 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 有三个零点，，解得，故C正确; 对于D，因为 ， ， 当，在R上单调递增，无极值点; 当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增; 存在极值点，， 由 得，① 因为，化简得， 因为，所以，② 把①代入②中化简得可得，即，故D正确. 故选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为________. 【答案】13  【解析】【分析】 本题考查了函数求极值和最值，是基础题. 先由可得a，再根据函数的导数判断函数的单调性结合表格可得最大值. 【解答】 解：因为， 当时，函数有极值， ， ，， 令解得或 当x变化时，，的变化情况如表所示： x 1 + 0 - 0 + 8 递增 13 递减 递增 4 函数在上的最大值为 故答案为： 13.函数在R上单调递增，则a的取值范围为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 求出的导数，由题意可得恒成立，设，即有，运用二次函数的性质即可得到所求范围． 【解答】 解：函数的导数为， 由题意可得恒成立， 即为， 即有， 设，即有， 有，解得， 故答案为 14.已知实数，满足 ， ，则 =          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查指对互换、利用导数研究函数的单调性，属于较难题. 由条件令，则，根据条件，则，得构造函数，求导可判断单调递增.故方程只有一个解，可得，即可求得的值. 【解答】 解：由条件得，， 令，，则， 由条件， 则，得， 令，， 则，显然当时，，单调递增. 故由，可得， 故答案为： 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知函数在处取得极值 求实数a，b的值; 求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】解：， 依题意有 解得 此时，， 当时，，在上单调递增; 当时，，在上单调递减， 在处取得极大值， 因此，； 由知，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以在上的最大值为6，最小值为  【解析】本题考查函数的极值、最值问题，考查导数的应用，属于基础题． 求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可； 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可． 16.本小题12分 已知函数，其中 若，求函数的图象在点处的切线方程； 讨论函数的单调性． 【答案】解：当时，，则，， 函数的图象在点处的切线的斜率为， 又点在切线上．且， 函数的图象在点处的切线方程为 的定义域为，对求导可得 ， ①若即时，则，在上单调递增， ②若，即时， 当时．；当，时，， 在上单调递减，在，上单调递增． ③若即时， 当时，；当，时，， 在上单调递减，在，上单调递增． 综上：时，在上单调递减，在，上单调递增， 时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在，上单调递增．  【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及导数的应用，考查分类讨论思想，转化思想，属于较难题． 代入a的值，求出函数的导数，计算，求出切线方程即可； 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可． 17.本小题12分 已知函数 Ⅰ求函数的极值；    Ⅱ证明： 【答案】解：Ⅰ函数，，则， 由可知在R上单调递增，且， 故当时，，当时，， 故函数有极小值，无极大值： Ⅱ证明：依题意对，，即， 设，则， 设， 因为，所以在R上单调递增， 又因为，， 所以在内有唯一解，记为，即， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 设，， 则，所以， 所以，即，  【解析】本题考查了利用导数求已知函数的极值和利用导数证明不等式，是中档题. Ⅰ直接求导，利用导数研究单调性可得极值； Ⅱ依题意对，，即，设，利用导数研究其单调性和最值，即可得证. 18.本小题12分 已知函数 若恒成立，求实数k的取值范围； 证明： 【答案】解：函数的定义域为，， ①当时，恒成立，则函数单调递增， ，不恒成立； ②当时，令，解得， 若，，函数单调递增； 若，，函数单调递减； 则， 若恒成立，则只需即可， 化简可得，，的取值范围是 证明：由知，时，有不等式对任意恒成立， 当且仅当时取“=”号．时，恒成立， 令，代入上面不等式可以得到：， 即，  【解析】求出导函数，①当时，判断函数的单调性，说明结果； ②当时，求解函数的单调区间，求出函数的最大值，列出不等式，求解即可． 证明时，恒成立，构造函数，利用放缩法，结合数列求和，转化求解证明即可． 本题考查函数导数的应用，函数的最值的求法，单调区间的求法，放缩法以及数列求和等知识点，是难题． 第19页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年合肥八中高二第二学期数学3月检测 考试说明：1.考查范围：选择性必修第二册第五章 一元函数的导数及其应用； 2.试卷分值:130分；考试时间:100分钟； 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第I卷（选择题） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.若曲线在点处的切线斜率为2，则(     ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 2.若函数，则  A. B. C. D. 3.若函数在内无极值，则实数a的取值范围是(     ) A. B. C. D. 4.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为(     ) A. B. C. D. 5.直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为     A. B. C. D. 6.已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 7.已知，，，则      A. B. C. D. 8.设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则a的取值范围是    A. B. C. D. 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题是  A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点 C. 在处切线的斜率小于零 D. 在区间的单调递增 10.设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是  A. B. C. D. 11.已知，则下列结论正确的是(     ) A. 若在上单调递增，则a的取值范围是 B. 若满足，则 C. 当时，若有三个零点，则b的取值范围是 D. 若存在极值点，且，其中，则 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为________. 13.函数在R上单调递增，则a的取值范围为________. 14.已知实数，da3f25d2b0b32a902bcd6d8a14db4a43满足 ， 1e9c846704f729a7376230e306e2c0e2，则 =________. 四、解答题：本大题共4小题，共57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分） 已知函数在处取得极值 求实数a，b的值; 求函数在区间上的最大值和最小值. 16.本小题14分 已知函数，其中 若，求函数的图象在点处的切线方程； 讨论函数的单调性． 17.本小题15分 已知函数 Ⅰ求函数的极值；    Ⅱ证明： 18.（本小题15分） 已知函数 若恒成立，求实数k的取值范围； 证明： 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$