精品解析：福建省永春第二中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

永春二中2026届高二下学期第一次月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 计算的值为（ ）． A. 1 B. 0 C. 20 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】结合公式，进行求解． 【详解】计算得． 故选：D． 2. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】解：因为， 所以，即， 所以， 故选：B 3. 某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果. 【详解】原来有4个广告，则这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告， 则有5种方法； 插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告， 共5个元素，它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告， 则有6种方法； 由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有种. 故选：C 4. 在的展开式中的系数是（    ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：C． 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求导得到，从而得到，再利用导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】由，得， 所以，得，所以，， 所以，切点为. ， 所以所求切线方程为，即. 故选：A 6. 某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种 A. 36 B. 40 C. 32 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合插空法与捆绑法代入计算，即可 【详解】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有种情况， 3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，还剩3个空，小品选其一，有种， 所以共有种排法. 故选：A 7. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可. 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 8. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为，令，由，利用函数的单调性求解. 【详解】解：原不等式等价于， 设，则. 又，所以在上单调递增， 则，即. 设，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的阶乘公式以及性质依次判断各个选项的正误即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：CD. 10. 用n种不同的颜色给如图所示的四块区域A，B，C，D涂色，要求相邻域涂不同颜色，不同的涂色方法的总数记作，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】计算出后逐项计算即可得. 【详解】使用种不同颜色时，对区域涂色可用种， 由、相邻，故对区域可用种， 由、、相邻，故对区域可用种， 由、相邻，故对区域可用种， 故不同的涂色方法的总数种， 种，种， 种，种， 故A、B错误，C、D正确. 故选：CD. 11. 若奇函数在上可导，当时，满足，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，令，解出即可；对于B、C、D，构造函数，由题意求导研究函数性质即可. 【详解】对于A，令，则，所以， 所以选项A错误； 对于B，构造函数，则当时，， 所以在单调递增；所以， 所以，所以选项B正确； 对于C，构造函数，由时，， 所以，由， 又由选项B可知在单调递增，所以当时，， 即当，，所以在上单调递增， 所以选项C正确； 对于D，构造函数，当时，由选项B可知在单调递增， 又知，所以当，，在，； 即当时，在为负，在为正； 由为奇函数，所以当时， 在为负，在为正， 所以不等式的解集为：，所以选项D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：构造函数，由在的正负，进而研究在的正负；再根据函数的奇偶性由图形的对称性得出的正负. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用赋值法求所有项系数之和. 【详解】令，则. 故答案为：16 13. 若函数在内有最小值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 函数，，若对，，使得成立，则实数的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别求函数和得到最小值，根据题意转化为，即可求解. 【详解】，得， 所以当时，，在单调递增，的最小值为， ，在区间单调递增，的最小值为， 由题意可知，，即，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将不等式恒能成立问题，转化为最值问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 计算下列各式． （1）解方程：. （2）证明： 【答案】（1）或. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据组合数的计算性质即可求解， （2）根据组合数的阶乘形式的公式即可化简求解. 【小问1详解】 因为，由可得或，解得或. 【小问2详解】 证明： 16. 现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； （2）名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； （3）名老师之间必要有男女学生各人． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【小问1详解】 由题意可得共种不同的站法． 【小问2详解】 先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． 【小问3详解】 先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 17. 已知函数在处取得极大值． （1）求a的值； （2）若有且只有3个零点，求实数b的取值范围． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，可求出的值，然后就的值进行检验，即可得出实数的值； （2）分析函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 因为函数在处取得极大值，则，解得或. 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在上递减，在上递增， 则在处取得极小值，不合题意； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在上递增，在上递减， 则在处取得极大值，合题意. 综上，. 【小问2详解】 由（1），，， 函数的增区间为，，减区间为. 所以，函数极大值，极小值， 又因为有且只有3个零点，则， 解得，且满足，，满足题意. 因此，实数的取值范围是. 18. 某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加． （1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ （2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 【答案】（1）540种； （2）65种. 【解析】 【分析】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加； （2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得. 【小问1详解】 若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案； 该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案． 【小问2详解】 若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案； 若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案； 若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案； 若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案； 所以总共有种不同的参赛方案． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何性质求解即可. （2）首先求导得到，再分类讨论，，，情况的单调性即可. 【小问1详解】 由已知，则， 当时，，， 则曲线在处的切线方程为，即 【小问2详解】 由（1）知，， ①当时，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ②当时，由，得， （ⅰ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； （ⅱ）当时，，，在单调递增； （ⅲ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； 综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减； ②当时，在，单调递增，在单调递减； ③当时，在单调递增； ④当时，在，单调递增，在单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春二中2026届高二下学期第一次月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 计算的值为（ ）． A. 1 B. 0 C. 20 D. 21 2. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 4. 在的展开式中的系数是（    ） A. B. C. D. 7 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种 A. 36 B. 40 C. 32 D. 42 7. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 10. 用n种不同的颜色给如图所示的四块区域A，B，C，D涂色，要求相邻域涂不同颜色，不同的涂色方法的总数记作，则（ ） A. B. C. D. 11. 若奇函数在上可导，当时，满足，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则________． 13. 若函数在内有最小值，则实数的取值范围是______. 14. 函数，，若对，，使得成立，则实数的范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 计算下列各式． （1）解方程：. （2）证明： 16. 现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； （2）名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； （3）名老师之间必要有男女学生各人． 17. 已知函数在处取得极大值． （1）求a的值； （2）若有且只有3个零点，求实数b的取值范围． 18. 某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加． （1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ （2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $