5.1　函数与它的表示法 课件 2024-2025学年青岛版数学九年级下册

第2课时　函数的自变量及函数值 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.函数 在同一个变化过程中,有两个变量x,y.如果对于变量x在可以取值的范围内每取一个确定的值,变量y都有　　 　确定的值与它对应,那么就说y是x的　　　　.  2.自变量的取值范围 对于用解析法表示的函数表达式,为确定其自变量可以取值的范围,必须使函数表达式有　　　　.在解决实际问题时,还要使　 　　　有意义.  唯一 函数 意义 实际问题 考点梳理 函数概念的再认识 [典例1]下列图象不能表示y是x的函数的是(　　) A B C D C 判断两个变量之间是否为函数关系,要看它们之间是否满足对应关 系,即对于自变量x在可以取值的范围内每取一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,否则就不是函数关系. [变式1](2024肥城期中)下列四个选项中,y不是x的函数的是(　　) [变式2]下列图象中,表示y是x的函数的是(　　) A B C D D D 自变量的取值范围及函数值的确定 [典例2]求下列函数中自变量x的取值范围: 解:(1)x取全体实数. (2)由题意,得4-x≠0,解得x≠4. (3)由题意,得x-2≥0且3-x≥0,解得2≤x≤3. 当函数表示式同时含有分式、二次根式,在求其自变量的取值范围 时,一定要考虑全面,必须同时满足分式的分母不等于0且二次根式的被开方数大于等于0. C x≠10 x>1 y=10-2x 2.5<x<5 栏目导航 基础巩固练 能力提升练 素养培优练 函数概念的再认识 1.(2024巨野月考)下列各曲线中,表示y是x的函数的是( ) 基础巩固练 B A B C D 2.下列两个变量之间不存在函数关系的是( ) A.圆的面积S和半径r B.某地一天的温度T与时间t C.某班学生的身高y与学生的学号x D.一个正数b的平方根a与这个正数b D ①③④⑥ 自变量的取值范围及函数值的确定 4.下列函数中,自变量x的取值范围为x>1的是( ) B C 6.(2024肥城月考)根据如图所示的程序计算函数y的值.若输入x的值是8,则输出y的值是-3;若输入x的值是-8,则输出y的值是( ) A.10 B.14 C.18 D.22 C 7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,设P为BC上任意一点,点P不与点B,C重合,且CP=x,S△APB=y. (1)求y关于x的函数表达式; (2)写出自变量x的取值范围. (2)自变量x的取值范围是0<x<8. 8.(2024邹城月考)已知一个长方体的体积是100 cm3,它底面的两条边长分别是y cm和10 cm,高是x cm. (1)写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (2)当x=2时,求y的值. 能力提升练 C 10. 已知一个矩形的周长为30 cm,一边长为y cm,它的邻边长为x cm,则y与x的函数关系式是( ) C A.y=15-x(x<15) B.y=15-x(x>0) C.y=15-x(0<x<15) D.y=15-x(0<x≤15) 11. 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点D在AC上运动(不与点A,C重合),设AD的长为x,△BCD的面积为y,则y关于x的函数表达式为　 　.  y=24-3x(0<x<8) 12.按照如图所示的程序计算,若输出y的值是2,则输入x的值是　 　. 1 13.“五一”期间,小刚和父母一起开车到距家100千米的景点旅游,出发前,汽车油箱内储油35升,当行驶80千米时,发现油箱余油量为25升 (假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的). (1)求该车平均每千米的耗油量,并写出行驶路程x(千米)与剩余油量Q(升)的关系式; 解:(1)该汽车平均每千米的耗油量为(35-25)÷80=0.125(升), ∴行驶路程x(千米)与剩余油量Q(升)的关系式为Q=35-0.125x. (2)当x=120时,求剩余油量Q; (3)当油箱中剩余油量低于3升时,汽车将自动报警,如果往返途中不加油,他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由. 解:(2)当x=120时, Q=35-0.125×120=20(升). 故当x=120时,剩余油量Q为20升. (3)他们能在汽车报警前回到家.理由如下: (35-3)÷0.125=256(千米). 由256>200知他们能在汽车报警前回到家. 素养培优练 (2)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)的值. 谢谢观赏！ 24 A.y=2x-7 B.y= C.y=x2 D.y=± (1)y=x2-2; (2)y=;(3)y=+;(4)y=. (4)由题意,得x+2≥0且-2≠0, 解得x≥-2且x≠2. [变式3](1)(绥化中考)若式子+x-2在实数范围内有意义,则x的取值范围是(　　) A.x>-1 B.x≥-1 C.x≥-1且x≠0 D.x≤-1且x≠0 (2)(2023云南)函数y=的自变量x的取值范围是　　　　.  (3)(2023达州)函数y=的自变量x的取值范围是　　　　.  [变式4]若一个等腰三角形的周长为10 cm,底边长为y cm,腰长为x cm,则y关于x的函数表达式为　　　　　,自变量x应满足　　　　　. 3.下列六个表达式:①y=|x|;②y=±;③2x-3=y;④y=x2-3;⑤y2=x;⑥y=.其中y是x的函数的是　 　.(填序号)  A.y= B.y= C.y= D.y=(x-1)0 5.(2023黄石)函数y=的自变量x的取值范围是( ) A.x≥0 B.x≠1 C.x≥0且x≠1 D.x>1 解:(1)∵BC=8,CP=x,∴BP=8-x, ∴S△APB=BP·AC=×(8-x)×6=24-3x, 即y关于x的函数表达式为y=24-3x. 解:(1)由题意,得y×10·x=100, ∴y=(x>0). (2)把x=2代入,得y==5. 9.(黄石中考)函数y=+(x-2)0的自变量x的取值范围是( ) A.x≥-1 B.x>2 C.x>-1且x≠2 D.x≠-1且x≠2 14.已知f(x)=,其中f(a)表示当x=a时对应的函数值,如:f(1)= =1-;f(2)==-;f(3)==-;f(a)==-. 请根据该函数反映出的上述规律解决下列问题: (1)根据上述规律写出f(4); 解:(1)f(4)==-. 解:(2)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024) =1-+-+-+…+- =1- =. $$第3课时　分段函数 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.一次函数的图象是一条　　　　,依据一次函数图象上　　　 点的坐标可求出一次函数表达式.  2.分段函数:函数关系是　　　　给出的.  直线 两 分段 考点梳理 确定一次函数的表达式 [典例1](2023山西)一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体,不挂物体时弹簧的长为12 cm,每挂重1 kg物体,弹簧伸长0.5 cm,在弹性限度内,挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数表达式为( ) A.y=12-0.5x B.y=12+0.5x C.y=10+0.5x D.y=0.5x B [变式1](2023济南)学校提倡“低碳环保,绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学,两人各自从家同时同向出发,沿同一条路匀速前进.如图所示,l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s(km)和时间t(h)的关系,则出发　　 　　h后两人相遇.  0.35 求实际问题中自变量的取值范围时,不仅要使函数表达式有意义,还要使实际问题有意义. 分段函数 [典例2](2023贵州)今年“五一”假期,小星一家驾车前往黄果树旅 游,在行驶过程中,汽车离黄果树景点的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数关系的图象如图所示,下列说法正确的是( ) A.小星家离黄果树景点的路程为50 km B.小星从家出发第1小时的平均速度为75 km/h C.小星从家出发2小时离景点的路程为125 km D.小星从家到黄果树景点的时间共用了3 h D [变式2](2023哈尔滨)一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进,到达B码头后,停留一段时间,然后原路匀速返回A码头,在整个过程中,这条小船与B码头的距离s(单位:m)与所用时间t(单位:min)之间的关系如图所示,则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为( ) D A.15 m/min,25 m/min B.25 m/min,15 m/min C.25 m/min,30 m/min D.30 m/min,25 m/min 栏目导航 基础巩固练 能力提升练 素养培优练 确定一次函数的表达式 1.某市的出租车收费标准如下:3千米以内(包括3千米)收费8元,超过3千米后,每超1千米就加收2元.若某人乘出租车行驶的距离为x(x>3)千米,则需付费用y(元)与x(千米)之间的关系式是( ) A.y=8+2x B.y=2+2x C.y=2x-8 D.y=2x-3 基础巩固练 B 2.已知某地的地面气温是20 ℃,若每升高1 000 m 气温下降6 ℃,则气温t(℃)与高度h(m)的函数关系式为　 　.  3.汽车由A地驶往相距约120千米的B地,它的平均速度是60千米/时,则汽车距B地的路程s(千米)与行驶时间t(小时)的函数关系式及自变量的取值范围是　 　.  t=-0.006h+20 s=120-60t(0≤t≤2) 分段函数 4.如图所示的是某复印店复印收费y(元)与复印面数(16开纸)x(面)的函数图象,那么从图象中可看出,复印超过100面的部分,每面收费( ) A.0.4元 B.0.45元 C.0.47元 D.0.5元 A 5.为积极响应市委、市政府提出的“绿色发展,赛过江南”的号召,某市园林队在某公园进行绿化,中间休息了一段时间.已知绿化面积S(单位:平方米)与工作时间t(单位:小时)的函数关系的图象如图所示,则休息后园林队每小时绿化面积为　 　平方米.  40 6.在某服装批发市场,某种品牌的时装当季即将来临时,价格呈上升趋势,设这种时装开始时定价为20元,从第二周开始每周涨价2元,从第6周开始保持30元的价格平稳销售,从第12周开始,当季即将过去时,平均每周减价2元,直到第16周周末,该服装不再销售.试建立售价y(元)与周次x之间的函数关系式. 能力提升练 D 8.(2023自贡)如图①所示,小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球,再去报亭看报,最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图②所示.下列结论错误的是( ) A.小亮从家到羽毛球馆用了7 min B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75 m C.报亭到小亮家的距离是400 m D.小亮打羽毛球的时间是37 min D ① ② 9.(苏州中考)一个装有进水管和出水管的容器,开始时,先打开进水管注水,3分时,再打开出水管排水,8分时,关闭进水管,直至容器中的水全部排完.在整个过程中,容器中的水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示,则图中a的值为　 　.  10.国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是: ①稿费不高于800元的不纳税; ②稿费高于800元,但低于4 000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税; ③稿费为4 000元或高于4 000元的应缴纳全部稿费的11.2%的税. 试根据上述纳税的计算方法作答: (1)若王老师获得的稿费为2 400元,则应纳税　　　　元,若王老师获得的稿费为4 000元,则应纳税　　　　元;  解:(1)224　448 (2)若王老师获稿费后纳税420元,则这笔稿费是多少元? 解:(2)∵王老师纳税420元,∴由(1)可知王老师的这笔稿费高于800元,但低于4 000元. 设王老师的这笔稿费为x元. 根据题意,得14%(x-800)=420, 解得x=3 800. 答:王老师的这笔稿费为3 800元. 素养培优练 11.如图所示,在矩形MNPQ中,MN=6,PN=4,动点R从点N出发,沿N→P→Q →M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x,△MNR的面积为y. (1)当x=3时,y=　　 　;当x=12时,y=　　 　;当y=6时, x=　 　　; ① ② (2)分别求当0<x<4,4≤x≤10,10<x<14时,y与x的函数关系式. 谢谢观赏！ 22 解:依题意,可建立的函数关系式为 y= 即y= 7.已知函数y=当函数值y=15时,自变量x的值是 ( ) A.5 B.-2 C.2或5 D.-2或5 解:(1)如图①所示,当x=3时, y=MN×RN=×6×3=9. 如图②所示,当x=12时, y=MN×MR=×6×2=6. 当y=6时,x=2或12. 故答案为:9;6;2或12. 解:(2)当0<x<4时,点R在PN上运动, y=MN×RN=×6×x=3x; 当4≤x≤10时,点R在QP上运动, y=MN×PN=×6×4=12; 当10<x<14时,点R在QM上运动, y=MN×RM=×6×(14-x)=42-3x. $$5.1　函数与它的表示法 第1课时　函数的表示法 第5章　对函数的再探索 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.用来表示　　 　　的数学式子叫做函数表达式.用　　　　 . 表示函数关系的方法叫做解析法;用　　　 　表示函数关系的方法叫做列表法;用　　　　表示函数关系的方法叫做图象法.  2.函数的三种表示方法:　　　　　、列表法和　　　　　.  函数关系 函数表达式 表格 图象 解析法 图象法 考点梳理 用列表法和解析法表示函数 [典例1](2024潍坊质检)如图所示,小林同学在保养自己的自行车时发现,自行车每节链条的长度为2.5 cm,交叉重叠部分的圆的直径为 0.8 cm. (1)观察图形填写下表: 链条节数(节) 1 2 3 4 5 6 链条长度(cm) 解:(1)填表如下: 链条节数(节) 1 2 3 4 5 6 链条长度(cm) 2.5 4.2 5.9 7.6 9.3 11 (2)如果x节链条的总长度是y cm,那么y与x之间的表达式为　　　　. (3)如果小林同学的自行车的链条(安装前)由80节这样的链条组成,那么这根链条安装到自行车上后,总长度是多少? 解:(2)y=1.7x+0.8 (3)∵自行车上的链条为环形,安装到自行车上后这根链条的长度还要缩短0.8 cm,∴这根链条安装到自行车上后,总长度为1.7×80=136(cm). 用图象法表示函数 [典例2](温州中考)小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示,他离家的路程为s米,所经过的时间为t分.下列选项中的图象,能近似刻画s与t之间关系的是(　　) A B C D A 函数的表示方法有三种,分别是解析法、列表法和图象法,并且它们之间可以相互转化. [变式](2023攀枝花)如图所示,正方形ABCD的边长为4,动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动,设点P运动的路程为x,△PAB的面积为y,下列图象能表示y与x之间函数关系的是(　　) D A B C D 栏目导航 基础巩固练 能力提升练 素养培优练 用列表法和解析法表示函数 1.某省遭受台风袭击,大部分地区发生强降雨,某河受暴雨袭击,一天的水位记录如表所示,观察表中数据,水位上升最快的时段是( ) 基础巩固练 D 时刻/时 0 4 8 12 16 20 24 水位/米 2 2.5 3 4 5 6 8 A.8时～12时 B.12时～16时 C.16时～20时 D.20时～24时 2.小明家距离学校3千米,上学时小明骑自行车以10千米/时的速度行了x小时,这时离学校还有y千米.写出y关于x的函数表达式:　 　. 3.某工程队承建一条长为60 km的乡村公路,预计工期为120天,若每天修建公路的长度保持不变,则还未完成的公路长度y(km)与施工时间x (天)之间的关系式为y=　 　.  y=3-10x 用图象法表示函数 4.(2023贵州)今年假期,小星一家驾车前往西柏坡旅游,在行驶过程 中,汽车离西柏坡景点的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数关系的图象如图所示,下列说法正确的是( ) A.小星家离西柏坡景点的路程为50 km B.小星从家出发前1 h的平均速度为25 km/h C.小星从家出发2 h离景点的路程为125 km D.小星从家到西柏坡景点共用了3 h D 5.如图所示的是一个沙漏在计时过程中所剩沙子质量y(克)与时间x (小时)之间关系的图象,则从开始计时到沙子漏光所需的时间为　 . 小时.  6.如图所示的是某物体的抛射曲线图,其中s(m)表示物体与抛射点之间的水平距离,h(m)表示物体的高度.那么此次抛射过程中,该物体达到的最大高度是　 　m.  3 7.甲骑自行车,乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地,行驶过程中路程 y(km)与时间x(min)的关系如图所示,根据图象解答下列问题: (1)谁先出发?先出发多长时间?谁先到达终点?先到多长时间? 解:(1)由题图,知甲先出发,先出发10 min;乙先到达终点,先到5 min. (2)分别求出甲、乙两人的行驶速度. (3)在什么时间段内,两人均行驶在途中?(不包括起点和终点) (3)当10<x<25时,两人均行驶在途中. 能力提升练 8.(乐山中考)甲、乙两位同学放学后走路回家,他们走过的路程s(千米)与所用的时间t(分)之间的函数关系如图所示.根据图中信息,下列说法错误的是( ) A.前10分,甲比乙的速度慢 B.经过20分,甲、乙都走了1.6千米 C.甲的平均速度为0.08千米/分 D.经过30分,甲比乙走过的路程少 D 9.(2023浙江)如图所示是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图,现向水槽匀速注水,下列图象中能大致反映水槽中水的深度(y)与注水时间(x)关系的是( ) D A B C D 10.农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分,某县某村要铺设一条全长为1 000米的“雨污分流”管道,现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道长度y米之间的关系用表格表示如下,则施工8天后,未铺设的管道长度为　 　米.  840 时间 x/天 1 2 3 4 5 … 管道长度y/米 20 40 60 80 100 … 11.一个有进水管和出水管的容器,从某时刻开始 4 min 内只进水不出水,在随后的8 min内既进水也出水,每分的进水量和出水量是两个常数,容器内的水量 y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示,则每分的出水量为　 　L.  3.75 12.若某地打长途电话3分之内收费18元,3分以后每增加1分(不到1分按1分计算)加收0.5元,当通话时间t≥3分时,电话费y(元)与通话时间t(分)之间的关系式为　 　.  y=0.5t+16.5 素养培优练 13.如果规定[x]表示不大于x的最大整数,例如 [2.3]=2,那么函数y= x-[x]的图象为( ) A 谢谢观赏！ 24 60-x 解:(2)甲的行驶速度为=0.2(km/min), 乙的行驶速度为=0.4(km/min). $$