专题06 双切线与四点共圆-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（重庆专用）

专题6 双切线与四点共圆 双切线为中考的高频考察模型，常常出现在选择或填空题考察求角度、线段长度、弧长及结论判断等，有时也会结合折叠进行考察。四点共圆为中考的考察模型，除了在选择或填空题中出现，还会在几何综合解答题或函数综合解答题中进行考察。 2 模型1.双切线 2 模型2.四点共圆 5 10 模型1.双切线 条件：点P为外一点，，是的切线，切点分别为A，B. 结论：. 条件：点P为外一点，，是的切线，切点分别为A，B. 结论：. 证明：如图，连接，，， ∵，是的切线，切点分别为A，B， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴. 例1．如图，、分别是的切线，A、B为切点，是的直径，已知， 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：根据切线的性质定理得， ∴． 根据切线长定理得， 所以， 所以． 故选：D． 例2．如图，、切于A、B两点，若，的半径为3，则阴影部分的面积为　 　． 【答案】． 【解答】解：连接，，． 根据切线长定理得， ∴，，． ∴四边形的面积；扇形的面积是， ∴阴影部分的面积是． 例3．如图，在中，，．是的内切圆．分别与，， 相切于点F，P，E． （1）　 　°． （2）若，则　 　． 【答案】（1）60；（2）． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵是的内切圆，分别与，，相切于点F，P，E， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：60； （2）∵，， ∴，， 连接，则：，， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴， 设， 则：，， ∴， 解得：； 即：； 故答案为：． 模型2.四点共圆 条件：为和的公共边，点C，D在的同侧，且 结论：点A，B，C，D在同一个圆上. 条件：在四边形中， 结论：点A，B，C，D在同一个圆上. 例1．如图，在的内接五边形中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：如图，连接， ∵五边形是圆内接五边形， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 例2．如图，中，，点D为边的中点，沿直线翻折至所在平面 内得，与交于点E．若，，则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：在中，，点D为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴A、B、、C四点共圆， 以为直径，D为圆心作圆，过点作，设与交于点O，如图， ∵， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， 在中，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 即点到的距离是． 故选：B． 例3．如图，已知等腰中，，，点D、E分别为、边上任意点， 以为直径作圆正好经过点C，与交于点F，则面积最大值为 　 　． 【答案】． 【解答】解：连接， 由题意得，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 作交延长线于点G，则， ∴， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为． 双切线 1．如图，、是的切线，切点为A、B，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C． 【解答】解：∵、是的切线， ∴，． 又∵，， ∴， ∴， ∴，． 故选：C． 2．如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为 （　　） A．8 B．6 C．4 D．5 【答案】C． 【解答】解：设， ∵与它的内切圆分别相切于点D、E、F， ∴，，， 则， ∵周长为20， ∴，即：， 解得：，即． 故选：C． 3．如图，，分别与相切于A，B两点，点C在上，，则的度数为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：在优弧上取点D，连接，，如图， ∵，分别与相切于A、B两点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】A． 【解答】解：连接DO，EO， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，，，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， 设， 则， 在中，由勾股定理得： ， 故， 解得：， ∴，， ∴， 故选：A． 5．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（　　） A．25 B．26 C．30 D．34 【答案】D． 【解答】解：如图所示，为四个全等的直角三角形其中之一，，，，．，． 易得四边形和均是矩形． 由于“弦图”为中心对称图形，故依次连接四个全等直角三角形的内切圆圆心，构成的四边形为正方形． 根据题意，，，则． 根据对称性可得． 设，，． 在中，为内切圆，易得四边形为边长等于6的正方形． 由切线长定理可得，． ∴，即． 又∵，， ∴． ∴． 在中，，即． 整理得：． ∵，． ∴，解得． 故答案为：D． 6．如图：、是的两条切线，B、C是切点，A、D是上两点，如果，， 则的度数是　 　度． 【答案】99． 【解答】解：∵、是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：99． 7．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与 相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为8cm，则图中的长为 　 　cm．（结果保留） 【答案】． 【解答】解：，分别与相切于点C，D，如图，连接，， ∴， 又∵，的半径为8cm， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，是的直径，，是的切线，A，C为切点，，， 则的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：∵是的切线，为的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵，是的切线，A，C 为切点， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 如图，连接，则． 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若， 则　 　°． 【答案】68． 【解答】解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，是的切线，切点为A，D， ∴， ∴， ∴， 故答案为：68． 10．如图，是的内接三角形，过外一点P作的两条切线和，点A，B为切点． 点D在上，点E在上，点F在上，且，．若， 则　 　度． 【答案】75． 【解答】解：连接，， ∵，是的两条切线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：75． 11．已知：如图，为的直径，、为的切线，D、B为切点，交于点E， 的延长线交于点F，连接、．以下结论：①；②点E为的内心；③； ④．其中正确的结论有　 　． 【答案】①②④． 【解答】解：设、交于点G，连接，，， ∵与是的切线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 即是的角平分线， ∵平分， ∴E为的内心， 故②正确； 若，则应有， 应有， 应有， 而与不一定相等， 故③不正确； 由②可知， 又∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． ∴正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 12．如图，在中，是的平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径的与 边相切，与边相交于点D，连接． （1）求证：是的切线； （2）若时，的半径为3，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：过点O作于点E． ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∵， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 根据勾股定理可得：． 四点共圆 1．如图，、是的切线，切点为A、B，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C． 【解答】解：∵、是的切线， ∴，． 又∵，， ∴， ∴， ∴，． 故选：C． 2．如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为 （　　） A．8 B．6 C．4 D．5 【答案】C． 【解答】解：设， ∵与它的内切圆分别相切于点D、E、F， ∴，，， 则， ∵周长为20， ∴，即：， 解得：，即． 故选：C． 3．如图，，分别与相切于A，B两点，点C在上，，则的度数为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：在优弧上取点D，连接，，如图， ∵，分别与相切于A、B两点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】A． 【解答】解：连接DO，EO， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，，，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， 设， 则， 在中，由勾股定理得： ， 故， 解得：， ∴，， ∴， 故选：A． 5．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（　　） A．25 B．26 C．30 D．34 【答案】D． 【解答】解：如图所示，为四个全等的直角三角形其中之一，，，，．，． 易得四边形和均是矩形． 由于“弦图”为中心对称图形，故依次连接四个全等直角三角形的内切圆圆心，构成的四边形为正方形． 根据题意，，，则． 根据对称性可得． 设，，． 在中，为内切圆，易得四边形为边长等于6的正方形． 由切线长定理可得，． ∴，即． 又∵，， ∴． ∴． 在中，，即． 整理得：． ∵，． ∴，解得． 故答案为：D． 6．如图：、是的两条切线，B、C是切点，A、D是上两点，如果，， 则的度数是　 　度． 【答案】99． 【解答】解：∵、是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：99． 7．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与 相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为8cm，则图中的长为 　 　cm．（结果保留） 【答案】． 【解答】解：，分别与相切于点C，D，如图，连接，， ∴， 又∵，的半径为8cm， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，是的直径，，是的切线，A，C为切点，，， 则的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：∵是的切线，为的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵，是的切线，A，C 为切点， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 如图，连接，则． 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若， 则　 　°． 【答案】68． 【解答】解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，是的切线，切点为A，D， ∴， ∴， ∴， 故答案为：68． 10．如图，是的内接三角形，过外一点P作的两条切线和，点A，B为切点． 点D在上，点E在上，点F在上，且，．若， 则　 　度． 【答案】75． 【解答】解：连接，， ∵，是的两条切线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：75． 11．已知：如图，为的直径，、为的切线，D、B为切点，交于点E， 的延长线交于点F，连接、．以下结论：①；②点E为的内心；③； ④．其中正确的结论有　 　． 【答案】①②④． 【解答】解：设、交于点G，连接，，， ∵与是的切线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 即是的角平分线， ∵平分， ∴E为的内心， 故②正确； 若，则应有， 应有， 应有， 而与不一定相等， 故③不正确； 由②可知， 又∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． ∴正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 12．如图，在中，是的平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径的与 边相切，与边相交于点D，连接． （1）求证：是的切线； （2）若时，的半径为3，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：过点O作于点E． ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∵， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 根据勾股定理可得：． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 双切线与四点共圆 双切线为中考的高频考察模型，常常出现在选择或填空题考察求角度、线段长度、弧长及结论判断等，有时也会结合折叠进行考察。四点共圆为中考的考察模型，除了在选择或填空题中出现，还会在几何综合解答题或函数综合解答题中进行考察。 2 模型1.双切线 2 模型2.四点共圆 5 10 模型1.双切线 条件：点P为外一点，，是的切线，切点分别为A，B. 结论：. 条件：点P为外一点，，是的切线，切点分别为A，B. 结论：. 证明：如图，连接，，， ∵，是的切线，切点分别为A，B， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴. 例1．如图，、分别是的切线，A、B为切点，是的直径，已知， 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：根据切线的性质定理得， ∴． 根据切线长定理得， 所以， 所以． 故选：D． 例2．如图，、切于A、B两点，若，的半径为3，则阴影部分的面积为　 　． 【答案】． 【解答】解：连接，，． 根据切线长定理得， ∴，，． ∴四边形的面积；扇形的面积是， ∴阴影部分的面积是． 例3．如图，在中，，．是的内切圆．分别与，， 相切于点F，P，E． （1）　 　°． （2）若，则　 　． 【答案】（1）60；（2）． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵是的内切圆，分别与，，相切于点F，P，E， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：60； （2）∵，， ∴，， 连接，则：，， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴， 设， 则：，， ∴， 解得：； 即：； 故答案为：． 模型2.四点共圆 条件：为和的公共边，点C，D在的同侧，且 结论：点A，B，C，D在同一个圆上. 条件：在四边形中， 结论：点A，B，C，D在同一个圆上. 例1．如图，在的内接五边形中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：如图，连接， ∵五边形是圆内接五边形， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 例2．如图，中，，点D为边的中点，沿直线翻折至所在平面 内得，与交于点E．若，，则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：在中，，点D为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴A、B、、C四点共圆， 以为直径，D为圆心作圆，过点作，设与交于点O，如图， ∵， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， 在中，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 即点到的距离是． 故选：B． 例3．如图，已知等腰中，，，点D、E分别为、边上任意点， 以为直径作圆正好经过点C，与交于点F，则面积最大值为 　 　． 【答案】． 【解答】解：连接， 由题意得，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 作交延长线于点G，则， ∴， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为． 双切线 1．如图，、是的切线，切点为A、B，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 2．如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为 （　　） A．8 B．6 C．4 D．5 3．如图，，分别与相切于A，B两点，点C在上，，则的度数为 （　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 5．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（　　） A．25 B．26 C．30 D．34 6．如图：、是的两条切线，B、C是切点，A、D是上两点，如果，， 则的度数是　 　度． 7．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与 相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为8cm，则图中的长为 　 　cm．（结果保留） 8．如图，是的直径，，是的切线，A，C为切点，，， 则的长为 　 　． 9．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若， 则　 　°． 10．如图，是的内接三角形，过外一点P作的两条切线和，点A，B为切点． 点D在上，点E在上，点F在上，且，．若， 则　 　度． 11．已知：如图，为的直径，、为的切线，D、B为切点，交于点E， 的延长线交于点F，连接、．以下结论：①；②点E为的内心；③； ④．其中正确的结论有　 　． 12．如图，在中，是的平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径的与 边相切，与边相交于点D，连接． （1）求证：是的切线； （2）若时，的半径为3，求的长． 四点共圆 1．如图，、是的切线，切点为A、B，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 2．如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为 （　　） A．8 B．6 C．4 D．5 3．如图，，分别与相切于A，B两点，点C在上，，则的度数为 （　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 5．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（　　） A．25 B．26 C．30 D．34 6．如图：、是的两条切线，B、C是切点，A、D是上两点，如果，， 则的度数是　 　度． 7．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与 相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为8cm，则图中的长为 　 　cm．（结果保留） 8．如图，是的直径，，是的切线，A，C为切点，，， 则的长为 　 　． 9．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若， 则　 　°． 10．如图，是的内接三角形，过外一点P作的两条切线和，点A，B为切点． 点D在上，点E在上，点F在上，且，．若， 则　 　度． 11．已知：如图，为的直径，、为的切线，D、B为切点，交于点E， 的延长线交于点F，连接、．以下结论：①；②点E为的内心；③； ④．其中正确的结论有　 　． 12．如图，在中，是的平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径的与 边相切，与边相交于点D，连接． （1）求证：是的切线； （2）若时，的半径为3，求的长． 15 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$