专题06 双切线与四点共圆-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（重庆专用）

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题6双切线与四点共圆 双切线为中考的高频考察模型，常常出现在选择或填空题考察求角度、线段长度、弧长及结论判断等， 有时也会结合折叠进行考察。四点共圆为中考的考察模型，除了在选择或填空题中出现，还会在几何综合 解答题或函数综合解答题中进行考察。 目录导航 例题讲模型 2 模型1.双切线… .2 模型2.四点共圆.… .5 习题练模型 l0 1/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 例题讲模型 模型1.双切线 模型解读 条件：点P为外一点，PA,PB是OO的切线，切点分别为A,B. 结论：PA=PB A 0 B 模型证明 条件：点P为外一点，PA,PB是OO的切线，切点分别为A,B 结论：PA=PB 证明：如图，连接OA,OB,OP, :PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B, .OA=OB,∠OAP=∠OBP=90°， 在Rt△OAP与RtAOBP中， OA=OB .OP=OP :.RiAOAP≌Ri△OBP(HL) PA=PB」 2/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 模型运用 例1.如图，PA、PB分别是⊙0的切线，A、B为切点，AC是⊙0的直径，已知∠BAC=35°， ∠P的度数为(） B A.350 B.45o C.60° D.70° 【答案】D. 【解答】解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°， .∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55° 根据切线长定理得PA=PB, 所以∠PBA=∠PAB=55°， 所以∠P=70° 故选：D 例2.如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB=60°，O0的半径为3，则阴影部分的面积为一 【答案】9V3-3π 【解答】解：连接OA,OB,OP 根据切线长定理得∠APO=30°， 3/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :0P=20A=6,AP=0P.cos30°=3V3,∠A0P=60° 1 2S,40p=2×5×3×3V3=9V3 120元x9=3元 ∴.四边形的面积 2 ;扇形的面积是360 ·阴影部分的面积是9V3-3π 例3.如图，在aABC中，∠A=90.sin∠ABC 2.⊙0是△ABC的内切圆.分别与AC,AB, BC相切于点F,P,E. (1)∠EPF=°. (2)若BC=4,则AP= 0 【答案】(1)60：(2)V5-1. 【解答】解：(1) sin∠ABC=} .∠B=30° .∠A=90° ∠C=60°， 连接OE,OF, 4/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 图1 :⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC,AB,BC相切于点F,P,E, .OF⊥AC,OE⊥BC, .∠OFC=∠OEC=90°， .∠EOF=360°-∠C-∠0EC-∠OFC=120°， YEPr号∠E0F=60 故答案为：60： (2).BC=4,∠B=30° 4C=号BC=2.4B=2N5, 连接OP,则：OP⊥AB,OP=OF, C B 图2 .OF⊥AC,∠A=90°， :四边形OFAP为正方形， .AF=AP, 设AF=AP=X, 则：CE=CF=AC-x=2-x,BP=BE=AB-AP=2V3-x, 5/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.BC=CE+BE=2-x+2V3-x=4, 解得：x=V3-1: 即：AP=5-1: 故答案为： 3-1. 模型2.四点共圆 模型解读 条件：AB为△ABC和△ABD的公共边，点C,D在AB的同侧，且∠C=∠D 结论：点A,B,C,D在同一个圆上 D A B 6/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 条件：在四边形ABCD中，∠D+∠B=180 结论：点A,B,C,D在同一个圆上 D 0 B 模型运用 例1.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=38°，则∠B+∠E=() A.232° B.212° C.218° D. 228° 【答案】C. 【解答】解：如图，连接CE, :五边形ABCDE是圆内接五边形， ∴四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠B+∠AEC=180°， .∠CED=∠CAD=38° .∠B+∠AED=180°+38°=218°， 故选：C. 7147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 例2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，△ADC沿直线CD翻折至△ABC所在平 面 内得△ADC,AA与CD交于点B.若AC=V5,BC=25,则点A到AB的距离是() C E y D 24 12 24 12 A.5 B.5 C.25 D.25 【答案】B. 【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点， D=4D-8D-40 AC=5,BC=25. 4B-VAC+BC5)(25-5 :D=D 3 根据折叠的性质可得，AC=AC=√5AD=A'D=号 A'D=AD=AB 2 △AA'B为直角三角形， A、B、A'、C四点共圆， 8/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 以AB为直径，D为圆心作圆，过点A'作A'F⊥AB，,设CB与AA'交于点O,如图， C. A .∠A'CO=∠BAO .∠A'OC=∠BOA, .△A'OC∽△BOA, A'C OC OA' .AB OA OB, 设0C=x,则OB=BC-OC=25-x, 5x= OA .50A2W5-x. 0A=v5x. 04r=2-5J 在Rt△AOC中，OC2+AC2=OA, +(5=(5x月 x=5-5 解得：2或2（舍去）， :04=2-563 0B=2N5-5_35 522, 22 在RLAOA'B中， 4-os-月- 9/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设DF=a,则 D-DF-- 在RtaA'DF中， 4r=4D-r-（-a2 在Rt△A'BF中， 4r=g-8即=-（3 （-8j 7 q= 解得：”10」 号 12 即点A'到AB的距离是5. 故选：B 10147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 例3.如图，已知等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC=8,点D、E分别为AB、BC边上任意点， 以DE为直径作圆正好经过点C,与AC交于点F,则△CFE面积最大值为 B 【答案】2V3 【解答】解：连接DC, 由题意得，四边形CFDE是圆内接四边形， .∠CFD+∠CED=180°， .∠DEB+∠CED=180°. .∠CFD=∠DEB. ,∠ACB=120°， .∠EDF=60°， DE为圆的直径， .∠DFE=∠DCE=90°，∠DEF=∠FCD=30°， :∠ACB=120°，AC=BC=8. ∠A=∠B=30°， .∠FCD=∠B=30°， .△FCD∽△EBD, FC CD .EB BD =sinB=sin30°=} =2 CF=BE=4-1 设CE=x,则BE=8-x, 2 作EG L AC交AC延长线于点G,则∠CEG=120°-90°=30°， 11/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EG=CE-cos30°= x 2 1 (x-4)2+2V5 8 “当x=4,即CE=4时，Scr有最大值，最大值为2V3 G B 习题练模型 双切线 1.如图，PA、PB是⊙0的切线，切点为A、B,若OP=4,PA=2V3,则∠AOB的度数为 A.60° B.90° c.120° D.无法确定 【答案】C. 【解答】解：：PA、PB是OO的切线， .∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO, 又OP=4,PA=2V3 12/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 cos∠APO=PA_V3 OP 2, ∴∠APO=30° .∠APB=60°，∠AOB=120°」 故选：C 2.如图，△ABC与它的内切圆O0分别相切于点D、E、F.若△ABC周长为20，BC=6,则AD长为 D E A.8 B.6 C.4 D.5 【答案】c. 【解答】解：设AD=a, :△ABC与它的内切圆OO分别相切于点D、E、F, .AD=AF=a,CE=CF,BE=BD. 则BC=BE+CE=BD+CF=6: :△ABC周长为20， .AD+AF+CF+BC+BD=20,即：a+a+6+6=20, 解得：a=4,即AD=4. 故选：C 3.如图，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，点C在AB上，∠APB=70°，则∠ACB的度数为 13147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.125° B.110° C.100° D.70° 【答案】A. 【解答】解：在优弧上取点D,连接DA,DB,如图， D :PA,PB分别与⊙O相切于A、B两点， .OA⊥PA,OB⊥PB ∠OAP=∠OBP=90°， .∠AOB+∠APB=180°， :∠APB=70°， .∠A0B=180°-∠APB=180°-70°=110°、 ∠D=1∠40B=550 2 .∠C+∠D=180° .∠C=180°-55°=125°， 故选：A. 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙0是△ABC的内切圆，三个切点分别为D,E,R,若BF=4, AF=6,则△ABC的面积是() D 0 C E A.24 B.28 C.32 D.36 【答案】A. 14/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【解答】解：连接DO,EO, B 0 C E A ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F, .OE⊥AC,OD⊥BC,CD=CE,BD=BF=4,AF=AE=6, .AB=AF+BF=6+4=10, 又∠C=90° .四边形OECD是矩形， 又.EO=DO 矩形OECD是正方形， 设EO=x, 则EC=CD=x, 在Rt△ABC中，由勾股定理得： BC2+AC2=AB2. 故(x+4}+(x+6}=102 解得：x=2. .BC=6,AC=8. S.= ×6×8=24 故选：A. 5.如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 形，若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为170，则大正方形的边长为( 15/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.25 B.26 C.30 D.34 【答案】D. 【解答】解：如图所示，△ACB为四个全等的直角三角形其中之一，DH⊥AB,EG⊥AB, DI⊥EG,EF∥AB,DJ⊥AC,DK⊥CB 易得四边形EFGB和DHGI均是矩形. 由于“弦图”为中心对称图形，故依次连接四个全等直角三角形的内切圆圆心，构成的四边形为正方形 根据题意，EF=DH=IG=6,OE=OD=V170,则DE=V20E=285 根据对称性可得AH=FB=EG, 设BC=a,AC=b,AB=c. 在Rt△ACB中，⊙D为内切圆，易得四边形CJDK为边长等于6的正方形. 由切线长定理可得AJ=AH,BK=BH, :AB=AH+BH=AJ+BK=AC+BC-CJ-CK Ec=a+b-12. 又：AC=AW+CJ=b,AB=AH+GB+HG=c, .HG=DI=c-(AH+GB)=c-(AJ+CJ)=c-b .EI=EG-DH=AC-CJ-DH=b-2x6=b-12 在RtADIE中，DE2=E2+D,即(c-b}°+(c-a)'=340 整理得：2c2+a2+b-2c(a+b)=340 a2+b2=c2,a+b=c+12. c2-24c-340=0,解得c=34. 故答案为：D. 16147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B 6.如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙0上两点，如果∠E=46°， ∠DCF=32°， 则∠A的度数是」 度 B 0 【答案】99. 【解答】解：：EB、EC是⊙O的切线， ..EB=EC, 又：∠E=46° .∠ECB=∠EBC=67°， :∠BCD=180°-（∠BCE+∠DCF)=180°-99°=81° :四边形ADCB内接于⊙O, .∠A+∠BCD=180°」 .∠A=180°-81°=99°， 故答案为：99. 17147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 …0 7.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一·如示意图，AC，BD分别与⊙0 相切于点C,D,延长AC,BD交于点P.若∠P=135°，⊙O的半径为8Cm,则图中CD的长为 (结果保留π) B C D 【答案】2π. 【解答】解：AC，,BD分别与⊙O相切于点C,D,如图，连接OC,OD, C D :.∠OCP=∠ODP=90° 又：∠P=135°，⊙0的半径为8cm, .∠C0D=180°-∠P=45°， cD=45zx8=2z(cm） 180 故答案为：2π. 18147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.如图，AB是⊙O的直径，PA,PC是⊙O的切线，A,C为切点，∠BAC=30°，PA=6, 则AB的长为 B 【答案】4V3 【解答】解：：PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， PA⊥AB, .∠PAB=90°： .∠BAC=30° .∠PAC=90°-30°=60° 又PA,PC是OO的切线，A,C为切点， ..PA=PC=6 .△PAC为等边三角形， .AC=PA=6 如图，连接BC,则∠ACB=90° D o B 在Rt△ABC中，AC=6,∠BAC=30°， CoS∠BAC=AC AB, 19147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=、 AC 6 2 =6× Cos∠B4Ccos30°34V 故答案为：4V3 20147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.如图，EA,ED是⊙O的切线，切点为A,D,点B,C在⊙0上，若∠BAE+∠BCD=236°， 则∠E= 【答案】68. 【解答】解：连接AD, A D :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180°. .∠BAE+∠BCD=236°， :.∠BAE+∠BCD-(∠BAD+∠BCD)=236°-180 .∠BAE-∠BAD=56°， 即∠DAE=56°， :EA,ED是⊙O的切线，切点为A,D, .EA=ED」 .∠EDA=∠EAD=56°， .∠E=180°-56°×2=68° 故答案为：68. 21147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过⊙0外一点P作⊙O的两条切线PA和PB,点A,B为切点 点D在AB上，点E在PB上，点F在PA上，且AD=BE,BD=AF.若∠ACB=75, 则∠EDF= 度 D B E 【答案】75. 【解答】解：连接OA,OB, A D 0 B E :PA,PB是⊙O的两条切线， PA=PB,OA⊥PA」 .∠DAF=∠EBD,∠OAB+∠DAF=90°， .∠C=75°， .∠A0B=2×75°=150° .OA=OB ∠0AB=180°-150°=15° .∠DAF=90°-∠OAB=75」 在△AFD和△BDE中， AD=BE ∠FAD=∠DBE AF=BD 22147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷.△AFD≌aBDE(SAS). .∠AFD=∠BDE, :.∠EDF=180°-∠BDE-∠ADF=18O°-∠AFD-∠ADF=∠FAD=75°， 故答案为：75. 11.己知：如图，AB为OO的直径，CD、CB为⊙0的切线，D、B为切点，OC交⊙0于点B,AE 的延长线交BC于点F,连接AD、BD.以下结论：①AD∥OC;②点E为△CDB的内心；③ FC=FE, ④CE·FB=AB·CF.其中正确的结论有 D E B 【答案】①②④， 【解答】解：设AE、BD交于点G,连接OD,DE,EB, D :CD与BC是⊙O的切线， .∠ODC=∠OBC=90°，CD=CB, 在Rt△CDO和RtACBO中， CD=CB OC=OC 23147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 RiACDORIACBO(HL) .∠COD=LCOB. OA=OD .∠BAD=∠ADO」 :∠DOB=∠BAD+∠ADO=2LBAD, ∠COB=∠DAB=∠DOB AD∥OC, 故①正确： :CD是⊙O的切线， :∠CDE=90-∠0DE=080-2∠0DE)-D0E=B0E ∠BDE=1∠BOE 2 .∠CDE=∠BDE. 即DE是∠CDB的角平分线， :CO平分∠DCB, ∴E为△CBD的内心， 故②正确； 若FC=FE,则应有∠OCB=LCEF 应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=LDBA=∠DEA, 应有AD=BE, 而AD与BE不一定相等， 故③不正确： 由②可知∠EBG=∠EBF, 24147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又BE⊥GF, .∠BEF=∠BEG=90°， BE=BE, 在△BEF和△BEG中， 「∠EBF=∠EBG BE=BE ∠BEF=∠BEG :.△BEF≌aBEG(ASM) FB=GB」 ∠CEF=∠OEA,∠OEA=∠OAE, .∠OAE=∠CEF, .·OC⊥BD .∠ECF+∠CBG=90°」 .∠ABG+∠CBG=90°， .∠ABG=∠ECF .△ABG∽AECF. CE CF .AB BG, .CE.GB=AB.CF, .CE·FB=AB.CF, 故④正确 ∴.正确的结论有：①②④. 故答案为：①②④ 12.如图，在△ABC中，CO是∠ACB的平分线，交AB于点O,以点0为圆心，OB为半径的⊙0与 边BC相切，与边AB相交于点D,连接CD. (1)求证：AC是⊙0的切线： 25147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若∠A=30°时，⊙0的半径为3，求CD的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)CD=3W7. 【解答】(1)证明：过点O作OE⊥AC于点E. ⊙ 0 D E :BC与⊙O相切于点B, ∠OBC=90°， OB⊥BC, CO平分∠ACB,OE⊥AC, ..OB=OE :OB是⊙O的半径， :OE是⊙0的半径， .OE⊥AC, :AC是⊙O的切线： (2)解：：∠0BC=90°，∠A=30°， .∠ACB=60°. :CO平分∠ACB, 26147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠BC0=∠AC0=∠ACB=30 2 tan∠BC0=tan30o°= 3 在RIABCO中，∠BCO=30°， tan∠BCo= OB BC, OB=3, 35 .BC3, .BC=33. .BD =20B, .BD=6. 在RIACBD中，BD=6,BC=3V3, 根据勾股定理可得： CD=VBD+BC=V62+33=3万 四点共圆 1.如图，四边形4BCD内接于O0,AB=CD,4为BD中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于 D 0 27147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】A. 【解答】：A为BD中点， AB=AD .∠ADB=∠ABD,AB=AD, AB=CD .∠CBD=∠ADB=∠ABD ABCD ⊙0 ,四边形 内接于 .∠ABC+∠ADC=180°， .3∠ADB+60°=180°， .∠ADB=40°， 故选：A. 2.如图，圆上有A、B、C、D四点，其中∠BAD=80°，若弧ABC、弧ADC的长度分别为7π、11π， 则弧BAD的长度为() 809 A.4π B.8π c.10m D.15π 【答案】C. 【解答】，弧ABC、弧ADC的长度分别为7π、11π， ∴，圆的周长为7π+11π=18π， :∠BAD=80°， :.∠C=100°（圆内接四边形的对角互补）， ∴弧BAD所对圆心角的度数为2∠C=200°， 28147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 200 8π× =10π 则弧BAD的长度为 360 故选：C. 29147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.如图，己知AB=AC=AD,∠CAD=20°，则∠CBD的度数是() B A.10° B.150 C.20° D.25° 【答案】A. 【解答】解： D 如图，AB=AC=AD. :∠CAD=20°， .∠CBD=∠CAD= ×20°=10° 2 故选A. 4.如图，边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,E在格点上，连接AE,BC,点D在BC上且满足 AD⊥BC,则tan∠AED的值是() E D 2W5 A.5 B.2 c.5 D. 1-2 30/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】D. ⊙0 OD 【解答】解：以O为圆心，1为半径作，连接 点A,B,C,E在格点上， .AC=OA=OE=OB=1. ⊙0 ∴A,B,E在上 :AD⊥BC, .∠ADB=90°， ⊙0 又的直径是 AB .AB=2, OA=OB」 .OD4=1 ⊙0 ∴点D在 上， .∠AED=∠ABD, :tan∠AED=tan∠ABD=AC=I AB 2, 故选：D. B 5.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,∠CPB=∠A,过点C作CP的垂线，与 BP CO 的延长线交于点O,则的最大值为() 31/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 15 16 A.4 B.5 C.4 D.5 【答案】C 【解答】解：cQLCp ∠PCQ=∠ACB=90° .∠CPB=∠A, △CPOACAB PC OC .AC BC, PC OC .43, .0C-3PC 4 PC oc 当心有最大值时， 有最大值， .∠CPB=∠A, ∴点A、C、B、P四点共圆 若PC有最大值，则PC应为直径， .∠ACB=90°， .AB是圆的直径， PC=AB=AC2+BC2=5 32147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 15 -×5= QC的最大值为44， 故选：C. 6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=2,点D为边AC的中点，沿点D折叠 △ABC 点C的对应点为点区连接BE,当∠DE BE 为直角时，的长为 B6 【答案】V6-V5欧N6+万 【解答】解：在RtAABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=2, .AC=2AB=4,∠A=60°， 又：点D为边AC的中点， .AD=CD=2. 由折叠的性质，得DE=CD=2,分两种情况讨论： ①当∠ADE=90°且点E在AC下方时，如图1，延长AB,DE交于点F,过点E作EG⊥BF于点G. 则∠F=90°-∠A=30°， .AF=2AD=4, C0s30°=D F,解得DF=2V3, :BF AF-AB=2 EF DF-DE=23-2 RLAEFGEGF-0050GE 2 F,解得GF=3-3, 、BG=BF-GF=V3-1=EG 33147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE=2BG-6-2 ②当∠ADE=90°且AE在AC上方时，如图2，连接AE,CE.易知△CDE,△ADE均为等腰直角三 角形， sin45°=CD CE, CE=2CD=22 .∠DCE=∠DEC=∠DAE=∠DEA=45°， .∠AEC=90° 又：∠ABC=90°， A,B,C,E四点共圆， .∠EBC=∠EAC=45° 过点C作CM⊥BE于点M,则∠BCM=45°， :.BM=CM,∠MCE=∠ACB+∠DCE-∠MCB=30°， EM-C c0s30C CE,解得CM=V6, BM=V6 BE=BM+EM=+ 综上所述，BE的长为6-V2或V6+V2 D E M G- D BE 图1 图2 34/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 35147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠A=45°.若四边形ABCD面积的最大值为 16W ,则对角线BD的长为 D 【答案】4V2 【解答】解：，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， ∴四边形ABCD对角互补， A,B,C,D四点共圆， ,∠ABC=∠ADC=90°， 1 AC ∴，线段AC是圆的直径，即圆的半径是2，假设线段AC长为定值， LAC 如图所示，连接AC,以AC的中点O为圆心，2长为半径画圆， 连接OB,OD,分别过点B,D作DF,BE垂直AC,垂足分别为点F,E, .∠A=45°， ∠BOD=90°， .OB=OD=1AC 2 36147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “ABOD是等腰直角三角形，则BD=OB2+0D=VOB=5AC 2 55.cCDF+C-4C(DF+BF) 2 2 又，两点之间线段最短， ∴.DF+BE≤BD, :当BD⊥AC时，DF+BE=BD最大，即S形最大，如下图所示， 座时S四边形4cDs=)AC·BD=,AC2 AC2 2 2 AC= 4 2AC2=16 .4 ,解得AC=8, BD=2AC=5x8=42 2 2 &.如图，正方形ABCD的边长为1，E,F分别在AD,CD上，且AE=CF,EG⊥BF于点G.则 CG 的长的最小值为 D 【答案】V2-1 37147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【解答】解：：EG⊥BF,∠BAD=90°， 根据对角互补四点共圆可得A,B,G,E四点共圆， 连接EB,AG, .AE=CF,BC=AB,∠BCF=∠BAE=90°， :△BAE≌ABCF(SAS) .∠EBA=∠CBF, A,B,G,E四点共圆， .∠EGA=∠EBA, .∠BGA=90°-∠EGA,∠GBA=90°-∠CBE, .∠AGB=∠GBA」 .AG=AB=1, 连接AC,则CG之AC-AG, ∴.当G、A、C三点共线时，CG取得最小值为AC-AG, 在Rt△ABC中，AB=BC=1, AC=AB2+BC2= :.CG取最小值4AC-AG=V2-1 故答案为：V2-1, 9.如图，在RtAABC中，∠ABC=9O°，在斜边AC上取一点D,使得AD=AB,连接BD并延长至 点E,连接AE.若AB=AD=3,BD=2,∠C=∠E,则线段AE的长为 38147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 18√2 【答案】7 【解答】解：，∠C=∠E, A,B,C,E四点共圆， A B ,∠ABC=90°， .AC为直径， .∠AEC=90°， 过A作AG⊥BD于点G, BG-DG=1BD-1 在RtAABG中，AG=√AB2-BG=2√2 AE=AE .∠ABG=∠ACE. AG_AE=2 ∴.tan∠ABG=tan∠ACE,即BGCE 设CE=a,则4E=22a AB=AD, 39147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABD=∠ADB, .∠EDC=∠ECD. .ED=EC=a. ..GE=DG+DE=a+1, 在RtAGE中，AG+GE=AE」 即8+(a+1)=8a2 9 解得=7或a=-1(合去， :4E=22a=18v2 7: 182 故答案为：7， 40147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.如图， ∠BAC=90°，AB=AC=122.∠DAE=90°中，AD=AE=6N2,直线BD与CE交 于P,当∠EAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线AB距离的最大值是一 D A B 【答案】3V2+3V6 【解答】解：如图旋转，连接DE,BC, E R A M A B 0 C 以 ，以AE ⊙0 ⊙A 为直径作 为半径作 ⊙A ⊙0 过点B作 的切线交 于点M,N, .∠BAC=∠EAD, .∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE 41/47 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△ABD≌△ACE(SAS) :.∠PBC+∠PBA+∠ACB=∠PBC+∠PCA+∠ACB=90°， .BD⊥CE, :∠BAC=∠BPC=90°，∠EAD=∠EPD=90°， A,B,C,P四点共圆，A,E,D,P四点共圆， :点P在MAN上运动 :MB=122,⊙A的半径为65， .∠ABN=30°， .∠MBN=60°， .∠MON=120°， 又：∠BAC=∠EAD=90°，∠CAD=∠CAD ,当点P运动到点N时，到直线AB距离的最大， ∴.∠NCA=∠ABN=30°， 过点O作OH1BN,过点N作 NQ⊥ACNR⊥AB NOAR 四边形 是矩形， .NR-1BN 2 ,0是圆心， BH=1BN 2 BH=NR=AO NO=x 设 :C0=3x,Cw=2x. 42147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A0=122-V3x, BH=AO BO-OH-BH=AO 4B=122 :BC=V2AB=V2×12V2=24 B0=12.0H=CN=x 2 12-2=(122-3x, 解得：与=-35+3W6,名=35+36（合去， :40=12V2-V5(36-32)=32+36 故答案为： 3W2+3√6 I1.如图，正方形ABCD中，点B、N分别是BC、AB的中点，CN与DE交于点G,连结BG并延长 交CD于点F,CN与对角线BD交于点H,现有以下列结论：①∠CNB+∠BEG=18O°；② NG EG SE方形/BCD=6S.m,③CDCF,④NG+EG=V2BG;其中正确结论有 (填写所 有正确结论的序号) 43147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D H G B E 【答案】①③④ 【解答】解：四边形ABCD是正方形， ,CB=CD=AB,∠CBN=∠ECD=90°， :点E、N分别是BC、AB的中点， BN=AB CE=-BC 2, :.BN=CE, 在△CBN和△DCE中 CB=CD ∠CBN=∠DCE BN=CE ACBN≌ADCE(SAS) .∠CNB=∠CED :∠CED+∠BEG=180°， .∠CNB+∠BEG=180°.故①正确。 ,在正方形ABCD中，AB∥CD, .△BHN∽aDHC, BN 1 相似比CD2, S.A=1 S.Duc 4. 44147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设S.w=a,则5mc=4a 过点H作JK∥AB,交AD于点J,交BC于点K, J A D H G F B K E 1 S矩形ABK 4 S矩形cK=8aS矩形ABN=4a S正方形ABCD=S矩形cDK+S矩形ABK=12a SE方形cm=12S,BW.故②错误。 由①可知∠CNB+∠BEG=180°， ∴.在四边形BWGE中，∠NBE+∠NGE=180°， .∠NGE=90°， 根据对角互补可得点B、NG、E四点共圆， .∠ENG=∠EBG. 连接EN, A N H G B 、 E .∠NGE=∠BCF=90°， .△NGE∽aBCF」 45147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 NG EG .BC CF, .BC=CD. NG EG ∴.CDCF.故③正确. 如图，过点B作BI⊥CN于点I,作BJ⊥DE,交DE的延长线于点J, .∠BIG=∠BJE=90°=∠BIN, N IH G B - E :∠WGE=90°， .∠JB1=90°， .∠NBI=∠JBE, 8N=4B-号C=E 2 :△BN≌ABE(AAS) .BI=BJ,NI=EJ, ∴四边形B1GJ是正方形， :GI=GJ BG=2GI=V2GJ GI-V2BG-G 2 46147 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 GN+GE-GI+NI+GE-GI+GI-BG 2 2BG-BG 2 故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④. 故答案为：①③④. 47/47可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题6双切线与四点共圆 双切线为中考的高频考察模型，常常出现在选择或填空题考察求角度、线段长度、弧长及结论判断等， 有时也会结合折叠进行考察。四点共圆为中考的考察模型，除了在选择或填空题中出现，还会在几何综合 解答题或函数综合解答题中进行考察。 目录导航 例题讲模型 2 模型1.双切线… .2 模型2.四点共圆.… 5 习题练模型 l0 1/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 例题讲模型 模型1.双切线 模型解读 条件：点P为外一点，PA,PB是OO的切线，切点分别为A,B. 结论：PA=PB A 0 B 模型证明 条件：点P为外一点，PA,PB是OO的切线，切点分别为A,B 结论：PA=PB 证明：如图，连接OA,OB,OP, :PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B, .OA=OB,∠OAP=∠OBP=90°， 在Rt△OAP与RtAOBP中， OA=OB .OP=OP :.RiAOAP≌Ri△OBP(HL) PA=PB」 2/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 模型运用 例1.如图，PA、PB分别是⊙0的切线，A、B为切点，AC是⊙0的直径，已知∠BAC=35°， ∠P的度数为(） B A.35° B.45o c.60° D.70° 【答案】D. 【解答】解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°， .∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55° 根据切线长定理得PA=PB, 所以∠PBA=∠PAB=55°， 所以∠P=70° 故选：D 例2.如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB=60°，O0的半径为3，则阴影部分的面积为一 【答案】9V3-3π 【解答】解：连接OA,OB,OP 根据切线长定理得∠APO=30°， 3/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :0P=20A=6,AP=0P.cos30°=3V3,∠A0P=60° 1 2S,40p=2×5×3×3V3=9V3 120元x9=3元 ∴.四边形的面积 2 ;扇形的面积是360 ·阴影部分的面积是9V3-3π 例3.如图，在aABC中，∠A=90.sin∠ABC 2.⊙0是△ABC的内切圆.分别与AC,AB, BC相切于点F,P,E. (1)∠EPF=°. (2)若BC=4,则AP= 0 【答案】(1)60：(2)V5-1. 【解答】解：(1) sin∠ABC=} .∠B=30° .∠A=90° ∠C=60°， 连接OE,OF, 4/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 图1 :⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC,AB,BC相切于点F,P,E, .OF⊥AC,OE⊥BC, .∠OFC=∠OEC=90°， .∠EOF=360°-∠C-∠0EC-∠OFC=120°， YEPr号∠E0F=60 故答案为：60： (2).BC=4,∠B=30° 4C=号BC=2.4B=2N5, 连接OP,则：OP⊥AB,OP=OF, C B 图2 .OF⊥AC,∠A=90°， :四边形OFAP为正方形， .AF=AP, 设AF=AP=X, 则：CE=CF=AC-x=2-x,BP=BE=AB-AP=2V3-x, 5/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.BC=CE+BE=2-x+2V3-x=4, 解得：x=V3-1: 即：AP=5-1: 故答案为： 3-1. 模型2.四点共圆 模型解读 条件：AB为△ABC和△ABD的公共边，点C,D在AB的同侧，且∠C=∠D 结论：点A,B,C,D在同一个圆上 D A B 6/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 条件：在四边形ABCD中，∠D+∠B=180 结论：点A,B,C,D在同一个圆上 D 0 B 模型运用 例1.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=38°，则∠B+∠E=() A.232° B.212° C.218° D. 228° 【答案】C. 【解答】解：如图，连接CE, :五边形ABCDE是圆内接五边形， ∴四边形ABCE是圆内接四边形， .∠B+∠AEC=180°， .∠CED=∠CAD=38° .∠B+∠AED=180°+38°=218°， 故选：C. 7/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 例2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，△ADC沿直线CD翻折至△ABC所在平 面 内得△ADC,AA与CD交于点B.若AC=V5,BC=25,则点A到AB的距离是() C E y D 24 12 24 12 A.5 B.5 C.25 D.25 【答案】B. 【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点， D=4D-8D-40 AC=5,BC=25. 4B-VAC+BC5)(25-5 :D=D 3 根据折叠的性质可得，AC=AC=√5AD=A'D=号 A'D=AD=÷AB 2 △AA'B为直角三角形， A、B、A'、C四点共圆， 8/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 以AB为直径，D为圆心作圆，过点A'作A'F⊥AB，,设CB与AA'交于点O,如图， C. A .∠A'CO=∠BAO .∠A'OC=∠BOA, .△A'OC∽△BOA, A'C OC OA' .AB OA OB, 设0C=x,则OB=BC-OC=25-x, 5x= OA .50A2W5-x. 0A=v5x. 04r=2-5J 在Rt△AOC中，OC2+AC2=OA, +(5=(5x月 x=5-5 解得：2或2（舍去）， :04=2-563 0B=2N5-5_35 522, 22 在RLAOA'B中， 4-os-月- 9/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设DF=a,则 D-DF-- 在RtaA'DF中， 4r=4D-0r-（-a2 在Rt△A'BF中， 4r=g-8即=-（3 （-8j 7 q= 解得：”10」 号 12 即点A'到AB的距离是5. 故选：B 10122 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 例3.如图，已知等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC=8,点D、E分别为AB、BC边上任意点， 以DE为直径作圆正好经过点C,与AC交于点F,则△CFE面积最大值为 B 【答案】2V3 【解答】解：连接DC, 由题意得，四边形CFDE是圆内接四边形， .∠CFD+∠CED=180°， .∠DEB+∠CED=180°. .∠CFD=∠DEB. ,∠ACB=120°， .∠EDF=60°， DE为圆的直径， .∠DFE=∠DCE=90°，∠DEF=∠FCD=30°， :∠ACB=120°，AC=BC=8. ∠A=∠B=30°， .∠FCD=∠B=30°， .△FCD∽△EBD, FC CD .EB BD =sinB=sin30°=} =2 CF=IBE-4-1x 设CE=x,则BE=8-x, 2 作EG L AC交AC延长线于点G,则∠CEG=120°-90°=30°， 11/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EG=CE-cos30°= x 2 5m-cr-G- °(x-4)2+2V5 “当x=4,即CE=4时，Scr有最大值，最大值为2V3 G B 习题练模型 双切线 1.如图，PA、PB是⊙0的切线，切点为A、B,若OP=4,PA=2V3,则∠AOB的度数为 A.60° B.90° c.120° D.无法确定 2.如图，△ABC与它的内切圆OO分别相切于点D、B、F.若△ABC周长为20，BC=6,则AD长为 E 12122 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.8 B.6 C.4 D.5 3.如图，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，点C在AB上，∠APB=70°，则∠ACB的度数为 ) A A.125o B.110° c.100° D.70° 13122 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙0是△ABC的内切圆，三个切点分别为D,B,F,若BF=4, AF=6,则△ABC的面积是() 0 E A.24 B.28 C.32 D.36 5.如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 形.若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为170，则大正方形的边长为( A.25 B.26 C.30 D.34 6.如图：EB、EC是⊙0的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙0上两点，如果∠E=46°， ∠DCF=32° 则∠A的度数是 度 B 7.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一·如示意图，AC,BD分别与⊙O 相切于点C,D,延长AC,BD交于点P.若∠P=135°，⊙O的半径为8c,则图中CD的长为 cn. (结果保留π) 14122 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A C D 15122 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.如图，AB是⊙O的直径，PA,PC是⊙O的切线，A,C为切点，∠BAC=30°，PA=6, 则AB的长为 B 9.如图，EA,ED是O0的切线，切点为A,D,点B,C在O0上，若∠BAE+∠BCD=236° 则∠E= 0 A ⊙ 10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA和PB,点A,B为切点. 点D在AB上，点E在PB上，点F在PA上，且AD=BE,BD=AF,若∠ACB=T5°， 则∠EDF= 度 B E 11.己知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙0于点B,AE 的延长线交BC于点F,连接AD、BD.以下结论：①AD∥OC;②点E为△CDB的内心：③ FC=FE: 16122 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ④CE·FB=AB.CF.其中正确的结论有 C D O B 17122 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.如图，在△ABC中，CO是∠ACB的平分线，交AB于点O,以点O为圆心，OB为半径的⊙0与 边BC相切，与边AB相交于点D,连接CD (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)若∠A=30°时，⊙0的半径为3，求CD的长. O D A 四点共圆 1.如图，四边形MBCD内接于O0,AB=CD,4为BD中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于 B D C A.40° B.50° C.60° D.70 2.如图，圆上有A、B、C、D四点，其中∠BAD=80°，若弧ABC、弧ADC的长度分别为7π、11π， 则弧BAD的长度为() A 80 A.4n B.8π C.10π D.15π 18122 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.如图，己知AB=AC=AD,∠CAD=20°，则∠CBD的度数是() B A.10° B.15o C.20° D.25° 4.如图，边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,E在格点上，连接AE,BC,点D在BC上且满足 AD⊥BC,则tan∠AED的值是() E B C☑ D 25 5 A. 5 B.2 C.5 5.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,∠CPB=∠A,过点C作CP的垂线，与 BP CO 的延长线交于点，则的最大值为() 15 16 B.5 C.4 D.5 6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=2,点D为边AC的中点，沿点D折叠 19122 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABC ,点C的对应点为点E,连接 E,当∠D BE 为直角时， 的长为 D 7.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠A=45°.若四边形ABCD面积的最大值为 162 则对角线BD的长为： D B 20122 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.如图，正方形ABCD的边长为l,E,F分别在AD,CD上，且AE=CF,EG⊥BF于点G.则 CG 的长的最小值为 B 9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=9O°，在斜边AC上取一点D,使得AD=AB,连接BD并延长至 点E,连接AE.若AB=AD=3,BD=2,∠C=∠E,则线段AE的长为 10.如图， ∠BAC=-90°，AB=AC=122,∠DAE=90°中.AD=AE=6N5,直线BD与CE交 于P,当∠EAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线AB距离的最大值是 D E B 11.如图，正方形ABCD中，点E、N分别是BC、AB的中点，CN与DE交于点G,连结BG并延长 交CD于点F,CN与对角线BD交于点H,现有以下列结论：①∠CNB+∠BEG=180°：② 21122 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 NG EG SE方形BcD=6S,H,③CDCF:④NG+EG=V2BG;其中正确结论有 (填写所 有正确结论的序号) H G B E 22122