精品解析：青海省西宁市第四高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024—2025年度第一学期高一期中考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解． 【详解】“，”的否定为，. 故选：C 2. 下列结论描述不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断即可. 【详解】因为是无理数，则，且，，. 故A错误；BCD正确. 故选：A. 3. 下列各组函数中，与是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由定义域，解析式是否相同可判断函数是否相同. 【详解】选项A，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数； 选项B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数； 选项C，与的定义域均为，且，所以与是同一个函数． 选项D，与的对应关系不同，不是同一个函数． 故选：C 4. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. （0，2） 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A，B，再根据交集定义可求. 【详解】∵，∴，则. 解不等式，得，则. 因此，. 故选：D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据具体函数定义域的求法列式求解即可. 【详解】由题意可知解得且， 故的定义域是. 故选:D. 6. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的奇偶性与单调性求得与的解，从而分类讨论即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又在上是增函数，， 当时，不成立； 当时，由，得，则，故或； 由，得，则，故或； 而由，得或，解得或， 即的解集为. 故选：A. 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性排除错误选项，再由特殊值的正负排除错误选项. 【详解】由题可知的定义域为R，且，所以是奇函数，排除A，B． 当时，，排除D． 故选：C． 8. 已知指数函数，当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质得，再利用对数函数的单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】∵在时，有，，∴． 于是由，得得， ∴原不等式的集为． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据所给范围，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】A.∵，∴，∴，故A正确； B.∵，∴，故B正确； C.∵，∴ 在R上为单调递减函数， ∵，∴，因此C不正确； D.∵，∴、且，∴，（时才能取等号），故D正确. 故选：ABD. 10. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数， 且在上单调递增，A正确； 对于B，定义域为，关于原点对称，由，得， 所以不是偶函数，B不正确； 对于C，由，，定义域关于原点对称， 得，所以是偶函数， 且在上单调递增，C正确； 对于D，由，定义域关于原点对称， 得，是偶函数. 当时，，故在上单调递减，D不正确. 故选：AC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二次函数的性质可得A正确，B错误；由韦达定理可得C正确；结合图像和不等式的性质再由一元二次不等式的求解可得D正确； 【详解】对于A、B，由图可知，则，所以，故A正确，B错误； 对于C，由图可知m,n是关于的方程的两个不同实根， 则所以，故C正确； 对于D，由图可得关于的不等式的解集是, 则关于的不等式0，即关于的不等式， 所以，所以或， 即关于的不等式的解集为或，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】命题“”的否定为：“，”. 因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：. 综上有 故答案为：. 13. 若，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的性质求解即可. 【详解】一方面，因为，，所以，，故． 另一方面，对任意，取，，则. 综合两方面，可知的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出的取值范围. 【详解】函数是上的增函数， 所以， 解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解一元二次不等式求出集合，再根据集合的交集运算即可求出结果; （2）因为，所以，所以，由此即可求出结果. 【小问1详解】 解：当时，集合 集合或； 所以或. 【小问2详解】 解：因为，所以， 所以，即. 16. 已知，，且. （1）证明：； （2）求的最小值. 【答案】（1） 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. （2）2 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“1的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，即的最小值是2. 17. 已知定义在上的奇函数满足. （1）求的解析式； （2）证明：函数在上单调递减； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 证明：，且， ，，，， ，即 所以函数在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）由，求得，再利用，求得，可得的解析式； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性与单调性即可求解. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以，即； 因为，所以. 经检验函数是奇函数 所以的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为奇函数，所以等价于， 因为在上单调递减， 所以，解得， 即不等式的解集为. 18. 定义：二阶行列式；三阶行列式，D的某一元素的余子式指的是在D中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式．现有三阶行列式． （1）若元素1的余子式，求x的值； （2）记元素2的余子式为函数，求的单调减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据余子式定义转化为二阶行列式列方程可解出； （2）利用余子式定义将转化为二阶行列式经过运算化简得解析式，再借助复合函数单调性求解即可. 【小问1详解】 因为三阶行列式， 所以元素1的余子式， 解得； 【小问2详解】 元素2的余子式， 则函数， 由，解得，所以的定义域为， 则，， 令，， 则当，函数单调递增； 当，函数单调递减， 又，单调递增， 所以由复合函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减； 故单调减区间为. 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. （1）若，求的最小值； （2）求的最大值； （3）若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）3 （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可； （2）构造应用柯西不等式计算即可； （3）先化简得出，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算即可求解； 【小问1详解】 因为柯西不等式可得， 又因为， 所以，即得. 当且仅当取最小值3； 【小问2详解】 因为柯西不等式可得， 又因为， 所以， 即得，化简得， 当且仅当取最大值9； 【小问3详解】 因为， 所以，所以， 所以， 因为柯西不等式可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得，当且仅当取最小值24； 所以m的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025年度第一学期高一期中考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列结论描述不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，与是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. （0，2） 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知指数函数，当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______. 13. 若，，则的取值范围为________． 14. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知，，且. （1）证明：； （2）求的最小值. 17. 已知定义在上的奇函数满足. （1）求的解析式； （2）证明：函数在上单调递减； （3）求关于的不等式的解集. 18. 定义：二阶行列式；三阶行列式，D的某一元素的余子式指的是在D中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式．现有三阶行列式． （1）若元素1的余子式，求x的值； （2）记元素2的余子式为函数，求的单调减区间． 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. （1）若，求的最小值； （2）求的最大值； （3）若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $