精品解析：2025届江苏省部分学校高三七市二模前适应性考试数学试卷

2025届高三3月调研测试 数 学 （考试时间为120分钟，满分为150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合 中的元素，即有，集合 中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 2. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 歌唱比赛共有 11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分. 9个有效评分与 11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】由极差、中位数、平均数和方差的概念和计算公式，即可得出答案. 【详解】设11位评委评分按从小到大排列为． 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分， 后剩余，中位数仍为，D正确． ②原始平均数， 后来平均数，平均数受极端值影响较大， 与不一定相同，A不正确； ③ ，由②易知，C不正确． ④原极差，后来极差，可能相等可能变小，B不正确． 故选：D. 4. 已知函数，则“，”是“的图像关于点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由整体代入法求得的对称中心，即可判断； 【详解】解：， 令，即，， 即的对称中心，， ，”是“的图象关于点对称的”充分不必要条件， 故选：A 5. 已知，则（ ） A. 5 B. C. -5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】把写成，写成，是为了后续能用两角和与差的公式展开，将已知条件转化为与、相关式子. 依据两角和与差的余弦公式，把和展开，得到只含、、、的式子，得到，再根据正切的定义，将其转化为的形式，进而求出结果. 【详解】已知，可变形为. 因为，， 所以.  左边， 即. 右边， 即. 所以.  可得： . 即. 所以，也就是.  故选：D. 6. 已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系式结合等比数列通项公式可得，再由裂项相消求和可得，利用数列的函数特性可得. 【详解】由可得, 即数列是以为首项，公比的等比数列， 可得，即； 所以， 因此 ，且当x趋近于+∞时，趋近于， 所以实数k的取值范围为. 故选：A 7. 若函数 的定义域为，且 ， ，则曲线与的交点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法求出当，且x依次取时的一些函数值，从而找到函数值变化的规律，同理找到当，且x依次取时，函数值变化的规律，数形结合，即可求得答案. 【详解】由题意函数 的定义域为，且， ， 令，则， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 依次类推，可发现此时当，且x依次取时， 函数的值依次为 ，即每四个值为一循环， 此时曲线与的交点为； 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 依次类推，可发现此时当，且x依次取时， 函数的值依次为 ，即每四个值为一循环， 此时曲线与的交点为； 故综合上述,曲线与的交点个数为3， 故选：B 【点睛】难点点睛：确定曲线与的交点个数，要明确函数的性质，因此要通过赋值求得的一些函数值，从中寻找规律，即找到函数的函数值循环的规律特点，这是解答本题的难点所在. 8. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切， 即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 若方程在上有且只有5个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可求得函数的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项. 【详解】对于A，由，得，即，又， ，故A正确； 对于C，又的图象过点，则，即， ，即得，，又，， 所以，故C正确； 对于B，因为，而， 故直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于D，由，得， 解得或，， 方程在上有5个根，从小到大依次为：， 而第6个根为，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案． 【分析】因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式即可判断C；利用不等式即可判断D. 【详解】对A，由图可知：与交点， 与的交点， 根据指数函数与对数函数为一对反函数知：， 关于对称， 故，，故A正确； 对B，由A知，故B错误； 对C，由知，则，设，， 则，则当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 则，则恒成立，即，当时取等； 令，则有，因为，则，即，故C错误； 对D，设，，则， 则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 则，即在上恒成立， 即在上恒成立，当时取等， 令，则，即，因为，则，则， 故，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD选项的关键在于两个不等式和的运用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】把函数有两个极值点，转化为有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点.利用导数研究的单调性与极值，即可求出m的取值范围. 【详解】的定义域为，. 要使函数有两个极值点， 只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反. 由得，. 令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点. ，令得：x>1；令得：0<x<1； 所以在上单减，在上单增. 当时，；当时，； 作出和的图像如图， 所以-1<m<0 即实数m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究， 13. 已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________． 【答案】 ①. 0.4## ②. 64 【解析】 【分析】由题意可知：，根据方差的性质可得；根据正态分布的对称性可得. 【详解】由题意可知：，即，所以； 因为，且， 所以. 故答案为：0.4；64. 14. 已知是椭圆的左、右焦点，是上一点．过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．若的交点在上（均在轴上方，且，则的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，可得的方程，联立方程求得，结合对称性可知，进而列式求，即可得离心率. 【详解】设，，由题意可知：， 则直线的斜率，可知的方程为， 同理可得：的方程为， 联立方程，解得，即， 因为在上，可知关于x轴对称， 且，则，可得， 又因为，即， 由题意可得：，整理得， 解得或（舍去），则， 所以的离心率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个内角的对边分别为，且，． （1）求的最大值； （2）若的内切圆半径为，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简已知等式，结合余弦定理可求得 ，由正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可整理得到，由正弦型函数最值可求得结果； （2）利用面积公式和余弦定理可将表示为，代入所求式子，结合正弦定理边化角和三角恒等变换知识可得到，由正弦型函数值域的求法可求得最大值. 【小问1详解】 由得：， 整理可得：，， 又，， 由正弦定理得：，，， （其中，）， ，， 当时，取得最大值. 【小问2详解】 ，即，； 由余弦定理得：，， ， ， 由（1）知：； ，，， ，则的最大值为. 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）当时，求证：平面； （2）设二面角的大小为，求的取值范围． 【答案】（1）证明：以为基底建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 当时，， 所以， 所以，所以. 又平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，得出相关向量，求出，再结合线面垂直的判定即可； （2）求出相关法向量，得到，再结合函数单调性即可得到其范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量为， 则，即，不妨取. 因为平面，所以平面的一个法向量为. 所以， 所以. 又因为，易知在上单调递减， 所以. 17. 已知正项数列的前n项和为，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）数列为等比数列，数列满足，若，，求证：. 【答案】（1）， （2）因为数列为等比数列，，且， 设数列的公比为，则，即， 所以，则 所以， 即 【解析】 【分析】（1）先由累乘法求得，再根据与的关系即可求得数列的通项公式； （2）先由条件求得数列的通项公式，即可得到，然后根据裂项相消法即可证明. 【小问1详解】 因为，则， 累乘可得，， 所以，又符合式子， 所以， 当时，， 所以两式相减可得，， 又符合上式，所以， 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意成立，求实数的值； （3）若，求证：． 【答案】（1） （2）2 （3） 先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【解析】 【分析】（1）直接使用导数的几何意义； （2）先由题设条件得到，再证明时条件满足； （3）先确定的单调性，再对分类讨论. 【小问1详解】 由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. 【小问2详解】 设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论. 19. 经典比特只能处于0态或1态，而量子计算机的量子比特可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； （2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； （3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.参考公式：时，， 【答案】（1） （2） （3） 由题知，其中，2，3，…， 则， 又， 则，① ，② 得： ， 由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于. 所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式、条件概率计算公式求得正确答案. （2）根据独立重复事件概率计算公式求得. （3）先求得的表达式，根据根据极限的知识证得结论成立. 【小问1详解】 设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2， “两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”， 则，，，，， 则， 故. 【小问2详解】 由题知，1，2，由（1）知， 同理可得， 则， 故的信息熵. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三3月调研测试 数 学 （考试时间为120分钟，满分为150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A. B. C. D. 2. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 歌唱比赛共有 11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分. 9个有效评分与 11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 4. 已知函数，则“，”是“的图像关于点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. 5 B. C. -5 D. 6. 已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数 的定义域为，且 ， ，则曲线与的交点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 若方程在上有且只有5个根，则 10. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为___________. 13. 已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________． 14. 已知是椭圆的左、右焦点，是上一点．过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．若的交点在上（均在轴上方，且，则的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个内角的对边分别为，且，． （1）求的最大值； （2）若的内切圆半径为，求的最大值． 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）当时，求证：平面； （2）设二面角的大小为，求的取值范围． 17. 已知正项数列的前n项和为，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）数列为等比数列，数列满足，若，，求证：. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意成立，求实数的值； （3）若，求证：． 19. 经典比特只能处于0态或1态，而量子计算机的量子比特可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； （2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； （3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.参考公式：时，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $