第6章 变量之间的关系 诊断试题-【典创-单元学情诊断卷】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版 2024）

·６５· ·６６· 题 第六章 变量之间的关系 诊断试题 　号 一 二 三 总　分 得　分 时间：１２０分钟　　　　满分：１２０分 第一部分　选择题（共３０分） 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 中因变量是 （　　 题目要求的） １．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题 ） Ａ．太阳光强弱 Ｂ．水的温度 Ｃ．所晒时间 Ｄ．热水器 ２．根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如图规律，由图可以判断，下列说法错 误的是 （　　） Ａ．男生在１３岁时身高增长速度最快 Ｂ．女生在１０岁以后身高增长速度放慢 Ｃ．１１岁时男女生身高增长速度基本相同 Ｄ．女生身高增长的速度总比男生慢 ３．三角形ＡＢＣ的底边ＢＣ上的高为８ｃｍ，当它的底边ＢＣ从１６ｃｍ变化到５ｃｍ时，三角形ＡＢＣ的 面积 （　　） Ａ．从２０ｃｍ２变化到６４ｃｍ２ Ｂ．从６４ｃｍ２变化到２０ｃｍ２ Ｃ．从１２８ｃｍ２变化到４０ｃｍ２ Ｄ．从４０ｃｍ２变化到１２８ｃｍ２ ４．星期天，小王去朋友家借书，如图是他离家的距离ｙ（ｋｍ）与时间ｘ（ｍｉｎ）的关系图象，根据图中 信息，下列说法正确的是 （　　） Ａ．小王去时的速度大于回家的速度 Ｂ．小王在朋友家停留了１０分钟 Ｃ．小王去时所花的时间少于回家所花的时间 Ｄ．小王去时走上坡路，回家时走下坡路 第４题图 　　　　　　 第７题图 ５．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒 来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用 ｓ１，ｓ２分别 表示乌龟和兔子所行的路程，ｔ为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６．某校组织学生到距学校６ｋｍ的光明科技馆参观．王红准备乘出租车去科技馆，出租车的收费标 准如下表．则收费ｙ（元）与出租车行驶里程数ｘ（ｋｍ）（ｘ≥３）之间的关系式为 （　　） 里程数 收费／元 ３ｋｍ以下（含３ｋｍ） ８．００ ３ｋｍ以上每增加１ｋｍ １．８０ Ａ．ｙ＝８ｘ Ｂ．ｙ＝１．８ｘ Ｃ．ｙ＝８＋１．８ｘ Ｄ．ｙ＝２．６＋１．８ｘ ７．Ａ，Ｂ两地相距２０ｋｍ，甲、乙两人都从 Ａ地去 Ｂ地，图中 ｌ１和 ｌ２分别表示甲、乙两人所走路程 ｓ（ｋｍ）与时间ｔ（ｈ）之间的关系．下列说法：①乙晚出发１ｈ；②乙出发３ｈ后追上甲；③甲的速度 是４ｋｍ／ｈ；④乙先到达Ｂ地．其中正确的个数是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ８．学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格 如下： 水温（℃） ２２ ４０ ５６ ７０ ８２ … 时间（时：分） １２：０３ １２：０８ １２：１３ １２：１８ １２：２３ … 请你帮小俊计算水烧开的时间为 （　　） Ａ．１２：３０ Ｂ．１２：３３ Ｃ．１２：３５ Ｄ．１２：３８ ９．购物狂欢节期间，某品牌天猫旗舰店在平台推出优惠活动，对于标价超过５００元的服饰先按标 价减免５０元再打六折，小张在该平台购买了标价ｘ元的服饰（ｘ＞５００），则应付款ｙ（元）与商品 ·６７· ·６８· 标价ｘ（元）的关系式为 （　　） Ａ．ｙ＝０．６（ｘ－５０） Ｂ．ｙ＝０．４（ｘ－５０） Ｃ．ｙ＝０．６ｘ－５０ Ｄ．ｙ＝０．４ｘ－５０ １０．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温 材料———纳米气凝胶，该材料导热率Ｋ（Ｗ／ｍ·Ｋ）与温度Ｔ（℃）的关系如表．根据表格中的数 据对应关系，下列选项描述不正确的是 （　　） 温度Ｔ（℃） … １００ １５０ ２００ ２５０ … 导热率Ｋ（Ｗ／ｍ·Ｋ） … ０．１５ ０．２ ０．２５ ０．３ … Ａ．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率 Ｂ．在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高 Ｃ．当温度为３５０℃时，该材料导热率为０．４Ｗ／ｍ·Ｋ Ｄ．温度每升高１０℃该材料导热率增加０．１Ｗ／ｍ·Ｋ 第二部分　非选择题（共９０分） 二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共１５分） １１．某种储蓄的月利率是０．２％，存入１００元本金后，则本息和ｙ（元）与所存月数ｘ之间的关系式 为　　　　　　（不考虑利息税）． １２．汽车以６０ｋｍ／ｈ的速度匀速行驶，随着时间ｔ（ｈ）的变化，汽车的行驶路程ｓ也随着变化，则它 们之间的关系式为　　　　． １３．如图所示，小明从家去书店看一会儿书，又去学校取了封信后马上 回家，其中横轴表示时间，纵轴表示小明离家的距离，则小明从学校 回家的平均速度为　　　　ｋｍ／ｈ． １４．为了解某种车的耗油量，我们在高速公路上对这种车做了耗油试验，并把试验的数据记录下 来，制成下表，根据表中的数据，油箱剩余油量Ｑ与汽车行驶时间ｔ之间的关系式为　　　　． 汽车行驶时间（小时） ０ １ ２ ３ … 油箱剩余油量（升） １００ ９４ ８８ ８２ … １５．已知一个长方形的宽为 ｘ，周长为 ｙ，若该长方形的长与宽的比值为２∶１，则 ｙ与 ｘ的关系式 为　　　　． 三、解答题（本题共８小题，共７５分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） １６．（本小题８分） 张阳从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后，又走到文具店去买笔，然后走回家，如图是 张阳离家的距离与时间的关系图象．根据图象回答下列问题： （１）体育场离张阳家多少千米？ （２）体育场离文具店多少千米？张阳在文具店逗留了多长时间？ １７．（本小题８分） 某通讯公司公布了收费标准，其中包月费为１２９元时，国内拨打电话超出部分０．１５元／分．由 于业务多，小明的爸爸打电话已超出包月费；用 ｘ表示国内拨打超出时间，ｙ表示国内拨打超 出部分的电话费，如表是国内拨打超出部分的收费标准： 超出时间ｘ／分 １ ２ ３ ４ ５ … 超出部分的电话费ｙ／元 ０．１５ ０．３０ ０．４５ ０．６０ ０．７５ … （１）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （２）如果国内拨打电话超出６分钟，那么超出部分的电话费是多少元？ ·６９· ·７０· １８．（本小题８分） 为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准： 月用水量 水费 不超过５ｔ 每吨２．４元 超过５ｔ 超过的部分按每吨４元收费 （１）该市某户居民５月份用水ｘｔ（ｘ＞５），应交水费ｙ元，写出ｙ与ｘ之间的关系式； （２）如果某户居民某月交了２２元水费，那么这个月这户居民用了多少吨水？ １９．（本小题９分） 星期天，小新和爸爸妈妈一起去电影院看电影．在去的路上小新画出了汽车的速度随时间变化 的情况如图： （１）汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？ （２）汽车在哪个范围内保持匀速？速度是多少？ （３）出发后１０ｍｉｎ到１２ｍｉｎ这段时间可能出现什么情况？ ２０．（本小题９分） 如图所示，在一个半径为１８ｃｍ的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径ｘ（ｃｍ） 由小变大时，剩下的圆环面积ｙ（ｃｍ２）也随之发生变化． （１）在这个变化过程中，因变量是　　　　； （２）写出剩下的圆环面积ｙ（ｃｍ２）与小圆的半径ｘ（ｃｍ）的关系式：ｙ＝　　　　； （３）当挖去小圆的半径为９ｃｍ时，剩下的圆环面积为多少？（结果保留π） ２１．（本小题９分） 文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为３０元，文具盒每个定价为５元．该店制定了两种优 惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折（总价的９０％）付款．某班学生需购买 ８个书包、若干个文具盒（不少于８个），如果设文具盒个数为ｘ（个），付款金额为ｙ（元）． （１）分别求出两种优惠方案中ｙ与ｘ之间的关系式； （２）购买文具盒多少个时，两种方案付款金额相同？ （３）当购买４０个文具盒时，按哪种方案付款较合算？ ·７１· ·７２· ２２．（本小题１２分） 甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由Ａ地到Ｂ地，Ａ地与Ｂ地相距６公里，行驶过程中路程 ｙ与时间ｘ关系的图象如图所示．根据图象解答下列问题： （１）谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？ （２）分别求出甲、乙两人的行驶速度； （３）在什么时间段内，两人均在行驶途中？（不包括起点和终点） ２３．（本小题１２分） 甲乙两地相距３００千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，向乙地行驶．轿车比货车晚出 发１．５小时，如图，线段ＯＡ表示货车离甲地的距离ｓ（千米）与时间ｔ（小时）之间的关系，折线 ＢＣＤ表示轿车离甲地的距离ｓ（千米）与时间ｔ（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： （１）点Ｂ所对应的数为　　　　； （２）货车的速度为　　　　千米／小时；轿车在ＢＣ段的速度为　　　　千米／小时；轿车在ＣＤ 段的速度为　　　　千米／小时； （３）求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离； （４）货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ ·８７· ·８８· ∵ ∠Ｂ＝∠Ｃ ＡＢ＝ＤＣ ∠ＤＡＢ＝∠ { ＥＤＣ ∴△ＡＢＤ≌△ＤＣＥ（ＡＳＡ） （３）可以．当∠ＢＤＡ＝１１０°时，∠ＡＤＣ＝７０°， ∵∠Ｃ＝４０°， ∴∠ＤＡＣ＝７０°，∠ＡＥＤ＝∠Ｃ＋∠ＥＤＣ＝３０°＋ ４０°＝７０°， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＥＤ，∴△ＡＤＥ是等腰三角形． 当∠ＢＤＡ＝８０°时，∠ＡＤＣ＝１００°． ∵∠Ｃ＝４０°，∠ＤＡＣ＝４０°，∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＤＥ． ∴△ＡＤＥ为等腰三角形． 综上，当∠ＢＤＡ＝１１０°或８０°时，△ＡＤＥ是等腰三 角形． 第六章　变量之间的关系 一、选择题 １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｂ　４．Ｂ　５．Ｄ　６．Ｄ　７．Ｃ　８．Ｂ ９．Ａ　１０．Ｄ 二、填空题 １１．ｙ＝１００＋０．２ｘ　１２．ｓ＝６０ｔ　１３．６ １４．Ｑ＝１００－６ｔ　１５．ｙ＝６ｘ 三、解答题 １６．解：（１）体育场离张阳家２．５ｋｍ． （２）∵２．５－１．５＝１（ｋｍ），∴体育场离文具店 １ｋｍ．∵６５－４５＝２０（ｍｉｎ），∴张阳在文具店逗留 了２０ｍｉｎ． １７．解：（１）由题意和表格可知，这个表反映了国内拨 打电话超出时间ｘ与国内拨打电话超出部分的电 话费ｙ之间的关系，国内拨打电话超出时间 ｘ是 自变量，国内拨打电话超出部分的电话费 ｙ是因 变量； （２）由表格可知，如果国内拨打电话超出６分钟， 那么超出部分的电话费是０．１５×６＝０．９元． １８．解：（１）由题意得，ｙ与ｘ（ｘ＞５）之间的关系式为 ｙ＝５×２．４＋４（ｘ－５）＝４ｘ－８． （２）将ｙ＝２２代入ｙ＝４ｘ－８中， 得２２＝４ｘ－８，解得ｘ＝７．５． ∴这个月这户居民用了７．５ｔ水， １９．解：（１）汽车行驶的时间为：２０－２＝１８（ｍｉｎ），它 的最大速度为：４５ｋｍ／ｈ； （２）汽车在２～８分钟，１３～１８分钟时保持匀速， 速度分别是３０ｋｍ／ｈ，４５ｋｍ／ｈ； （３）１０分钟到１２分钟，汽车的速度为０千米／时，有 可能是加油或是等红绿灯（答案不唯一）． ２０．解：（１）剩下的圆环面积ｙ； （２）由题意得，ｙ＝π×１８２－πｘ２＝３２４π－πｘ２， （３）把ｘ＝９代入ｙ＝３２４π－πｘ２中， 得ｙ＝３２４π－π×９２＝２４３πｃｍ２， 则剩下的圆环面积为２４３πｃｍ２． ２１．解：（１）依题意得，ｙ１＝５ｘ＋２００，ｙ２＝４．５ｘ＋２１６． （２）令ｙ１＝ｙ２，即５ｘ＋２００＝４．５ｘ＋２１６．解得ｘ＝３２． 当购买３２个文具盒时，两种方案付款金额相同． （３）令 ｘ＝４０，ｙ１＝５×４０＋２００＝４００，ｙ２＝４．５× ４０＋２１６＝３９６，∵ｙ１＞ｙ２， ∴当购买４０个文具盒时，按方案②付款较合算． ２２．解：（１）甲先出发，先出发１０分钟；乙先到达终点， 先到达５分钟． （２）甲的速度为每分钟０．２公里，乙的速度为每分 钟０．４公里． （３）在甲出发后１０分钟到２５分钟这段时间内，两 人都在行驶途中． ２３．解：（１）∵轿车比货车晚出发１．５小时，货车是第 ０小时出发， ∴轿车第１．５小时出发， ∴点Ｂ所对应的数是１．５； （２）根据图象可知，货车速度是 ２３４÷３．９＝ ６０（千米／小时）， 轿车在 ＢＣ段的速度为 ８０÷（２．５－１．５）＝ ８０（千米／小时）， 轿车在 ＣＤ段的速度为（２３４－８０）÷（３．９－ ２．５）＝１１０（千米／小时）； （３）根据图象可知，轿车到达乙地时， 货车行驶时间为（３００－８０）÷１１０＋２．５＝４．５（小时）， 此时，货车与甲地的距离为４．５×６０＝２７０（千米）； （４）根据图象可知，轿车先到达乙地， 货车到达时间为３００÷６０＝５（小时）， 可知，轿车比货车提前５－４．５＝０．５（小时）， 即轿车先达到乙地，提前０．５小时到达． 期末测试卷 一、选择题 １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ａ　４．Ｃ　５．Ｂ　６．Ｂ　７．Ｃ　８．Ｄ ９．Ｄ　１０．Ｂ 二、填空题 １１．３　１２．１５　１３．１２　１４．ｙ＝３０ｘ＋１６　１５．３ 三、解答题 １６．解：（１）原式＝ｘ２＋２ｘｙ－ｘ２－２ｘ－１＋２ｘ＝２ｘｙ－１； （２）原式＝－１＋２ａｂ－３ａ２ｂ２． １７．解：原式＝１６ｘｙ－２ｙ２．当ｘ＝１，ｙ＝－１时， １６ｘｙ－２ｙ２＝－１８． １８．证明：∵ＨＧ∥ＡＢ，∴∠１＝∠３． 又∵ＨＧ∥ＣＤ，∴∠２＝∠４． ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＢＥＦ＋∠ＥＦＤ＝１８０°． 又∵ＥＧ平分∠ＢＥＦ，∴∠１＝１２∠ＢＥＦ． 又∵ＦＧ平分∠ＥＦＤ，∴∠２＝１２∠ＥＦＤ， ∴∠１＋∠２＝１２（∠ＢＥＦ＋∠ＥＦＤ）， ∴∠１＋∠２＝９０°，∴∠３＋∠４＝９０°， 即∠ＥＧＦ＝９０°． ∴ＥＧ⊥ＦＧ． １９．证明：过点Ｅ作ＥＧ∥ＣＤ，交ＢＦ的延长线于点Ｇ， ∵∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＢＣＤ＝９０°， ∴ＡＢ∥ＤＣ， ∴ＥＧ∥ＡＢ∥ＣＤ， ∵∠ＡＢＣ＝９０°， ∴∠ＥＧＦ＝∠ＤＣＦ＝９０°＝∠ＡＢＣ． ∵∠ＡＣＥ＝９０°， ∴∠ＡＣＢ＝９０°－∠ＥＣＧ＝∠ＣＥＧ， 又∵ＡＣ＝ＣＥ， ∴△ＡＢＣ≌△ＣＧＥ（ＡＡＳ）， ∴ＣＢ＝ＥＧ， ∵ＣＢ＝ＣＤ， ∴ＣＤ＝ＥＧ， 又∵∠ＧＦＥ＝∠ＣＦＤ，∠ＥＧＦ＝∠ＤＣＦ，∴△ＥＧＦ ≌△ＤＣＦ（ＡＡＳ）， ∴ＥＦ＝ＤＦ， 即点Ｆ是ＥＤ的中点． ２０．解：（１）设袋中黑球的个数是 ｘ，则红球的个数是 ２ｘ＋４０，白球的个数是２９０－ｘ－（２ｘ＋４０）＝２５０－ ３ｘ． ∵从袋中任取一个球是白球的概率是１２９， ∴２５０－３ｘ２９０ ＝ １ ２９，解得ｘ＝８０．则２ｘ＋４０＝２００． 则袋中红球的个数是２００． （２）∵袋中球的总数是２９０，黑球的个数是８０， ∴Ｐ（从袋中任取一个球是黑球）＝８０２９０＝ ８ ２９． ２１．（１）证明：∵∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°， ∴∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ＝∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ，即∠ＡＣＤ＝ ∠ＢＣＥ，在△ＡＣＤ与△ＢＣＥ中， ∵ ＡＣ＝ＢＣ ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ ＣＤ＝{ ＣＥ ，∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）． （２）解：∵△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ：∴ＢＥ＝ＡＤ＝ＤＢ＋ＡＢ， 又∵ＤＢ＝ＡＢ，∴ＢＥ＝２ＡＢ＝２×３＝６（ｃｍ）． （３）解：ＢＥ与ＡＤ垂直．理由如下： ∵△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＢＥＣ，设 ＢＥ与 ＤＣ相交于点 Ｏ，则 ∠ＢＯＤ＝∠ＥＯＣ， ∵∠ＢＥＣ＋∠ＥＯＣ＝９０°， ∴∠ＡＤＣ＋∠ＢＯＤ＝９０°， ∴∠ＤＢＥ＝９０°， ∴ＢＥ⊥ＡＤ． ２２．解：（１）甲车返回 Ｍ城的速度为 ９０÷（２．５－ １．５）＝９０（千米／小时）． （２）设乙车离Ｍ城的距离 ｙ（千米）与甲车行驶时 间的函数解析式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则２ｋ＝９０，解得 ｋ＝ ４５，ｂ＝０． ∴函数解析式是ｙ＝４５ｘ（０≤ｘ≤２）； 设甲车在返回 Ｍ 城过程中离 Ｍ 城的距离 ｙ（千米）与甲车行驶时间ｘ（小时）的解析式是ｙ＝ ｍｘ＋ｃ， 则 １．５ｍ＋ｃ＝９０ ２．５ｍ＋ｃ{ ＝０，解得 ｍ＝－９０ｃ{ ＝２２５ ， ∴函数解析式是ｙ＝－９０ｘ＋２２５， 联立 ｙ＝４５ｘ ｙ＝－９０ｘ{ ＋２２５，解得ｘ＝５３． 则甲车从Ｎ地返回Ｍ地的途中与乙车相遇时，相 遇处到甲地的距离是４５ｘ＝４５×５３＝７５（千米）． （３）设两车出发ａ小时相距１０千米，甲到达 Ｎ地 前（９０÷１．５－４５）ａ＝１０，解得ａ＝２３； 甲车到达 Ｎ城后与乙车相遇前：－９０ａ＋２２５－ ４５ａ＝１０，解得ａ＝４３２７． ∴在甲、乙两车相遇之前，当两车相距１０千米时 甲车时间为 ２ ３或 ４３ ２７． ２３．解：（１）α＋β＝１８０°．理由： ∵∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ， ∴∠ＤＡＥ－∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＣ－∠ＣＡＤ，即∠ＢＡＤ＝ ∠ＣＡＥ． 又∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）． ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＥ．在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ＋ ∠ＡＣＢ＝１８０°，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＥ， ∴∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＥ＝１８０°． ∵∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ＝β，∴α＋β＝１８０°． （２）α＝β．理由：∵∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ． 又∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ， ∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）．∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＥ． ∵∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°，∠ＡＣＢ＋ ∠ＡＣＤ＝１８０°， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＤ． ∴∠ＢＡＣ＝∠ＥＣＤ．∴α＝β． （３）α＝β．