【轮轮清·齐鲁名校大联考】2025届山东省高三第六次学业水平联合检测数学试卷

绝密★启用前 齐鲁名校大联考 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 中h 如 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知2+1 1-i =a十bi(a,b∈R),则ab= A.3 B.-3 C. 3 4 D.-3 粉 2已知集合A=≥0，B=女<a,若(【A)nB=A,则u的取值范围是 A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.(一o∞，一1) D.(-o∞，-1] 3.已知△ABC的面积为4，在平面ABC内，将△ABC绕A点旋转180°得到对应的 △AB1C1,则△AB1C的面积为 A.2 B.4 C.6 D.8 4.已知圆C1:.x2十y2=1与圆C2:(x-3)2+y2=r(r>0)有3条公切线，圆C覆盖圆C1, C:,则圆C面积的最小值为 0 A,9π B.12π C.16π D.18π cos(2a-) sin(a) 年 A. c n 6.已知直线l:y= 与双曲线C,号若-16>0)相交于A,B两点，若AB1=V0,则 y C的离心率为 A号 B.6 2 D.2 7.若方程x2-√2x+2-1=0的非整数根是函数f(x)=ax3一bx十a十1(a,b∈N·)的一 个零点，则「(x)图象的对称中心为 A.(0,1) B.(0,2) C.(2,0) D.(2,1) 8.若定义在D上的函数f(x),x1,x,xa∈D,f(x1),f(xe),f(x3)可以作为一个三角 形的三条边长，则称f(x)是D上的“三角形函数”.已知函数f(x)=xlnx+十t是定义在 区间[忌e]上的“三角形函数”，则1的取值范围是 Ae++m）B(2e++）c(2e++m）n(e++ 数学试题第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图是2024年11月27日国家统计局发布的2023年1一10月到2024年1一10月的各月 累计营业收人与利润总额同比增速的折线图，则 同比增速%25 10.2 03014$ -442.3 0.5 -78 353 -25 2023年1-11月1-12月2024年1-3月1-4月1-5月1-6月1-7月1-8月1-9月1-10月 1-10月 1-2月 一·一累计营业收入同比增速··累计利润总演可比增速 A.累计营业收入同比增速的方差大于累计利润总额同比增速的方差 B.累计利润总额同比增速的极差为18 C.累计营业收入同比增速的众数为2.9 D.累计利润总额同比增速的40%分位数为一2.3 10.在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C1D1中，E为AB的中点，P是侧面BCC,B,内的动 点，下列说法正确的是 A.平面APC1⊥平面A,BD B.若四面体A,-BDC,的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为48π C.当点P在线段BC,上运动时，异面直线A,P与AD,所成角的取值范围是[管引 D当直线PE与直线CD所成的角是爱时，点P的轨迹长度为 11.已知互不相等的正实数a;∈{1,2,3,4}(i=1,2,3,4),a,a,a,a,是a1,a2,aa,44的任 意顺序的一个排列，定义随机变量X,Y满足X=max(min,a,mina,a,》则 Y=min max(aiai )maxtaa, A.P(X>Y)=3 B.P(X>Y)=4 2 C.P(X<Y)= D.P(|X-Y=1)=1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2m十1，-1)，b=(m,m十1)，若a⊥b,则m的值为 13.“曼哈顿距离”是一种在几何空间中用于衡量两点之间距离的方式，如在n维空间中，设 点A(x1,x2…,xn),B(y1y2…,yn),则“曼哈顿距离”表示为d(A,B)=xi一y:. 若椭圆C,号+y2-1的左焦点为P,上顶点为B,直线BF交C于另一点A则A,B两 点的“曼哈顿距离”d1(A,B)= :若将C在x轴上方的部分沿x轴翻折得到一 个直二面角，则在空间直角坐标系中，d2(A,B)= 数学试题第2页（共4页） 14.已知函数fx)=sin(r+po>0,0<g<受》/()=0，当x=一时，fx)取得最 值，且当x∈（君）时，x)单调递增，则fx)在[-x,上的零点个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记数列{an}的前n项和为S。,已知a1=1,数列{a.一2n十2}是公比为2的等比数列. (1)求{am}的通项公式： (2)记f(n)=S。一2，是否存在实数k,使得f(n)=k有两个解？若存在，求出k的值： 若不存在，说明理由. 16.(15分) 新高考模式的选科是按物理类与历史类两大块组合进行，即物理与历史必选一科，再从 化学、生物、地理、政治四个学科中任选两科，加上语文、数学、英语组成一种组合，简称“物理 类”与“历史类”.为了解选科组合是否与性别有关，某机构随机选取了100名学生，进行了问 卷调查，得到如下的2×2列联表： 选科组合 性别 物理类历史类 合计 男生 40 女生 30 合计 已知在这100名学生中随机抽取1人，抽到选物理类学生的概率为0.6. (1)完成表中数据，并根据小概率值α-0.005的独立性检验，判断选科组合是否与性别 有关： (2)从上述选物理类的学生中利用分层随机抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取 4人调查其选物理类的原因. (「)用X表示这4人中男生的人数，求X的分布列及数学期望： (ⅱ)已知这4人中有女生的条件下，求男生、女生人数不相等的概率. n(ad-be)2 附：X2=a+b)c十l)a十c6+d其中n=u+6+c+d. 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2,AF=1,点M在 线段EF上运动. MF (I)若AM/平面BDE,求EF的值： (2)求三棱锥M-ABD的体积： (3)当FM=2ME时，求平面BDM与平面BDF夹角的余弦值. “2B D≌ 18.(17分) 已知椭圆M:t+1(a>b0)的离心率为兮M上的点与其中一个焦点的距离 最小值为2-5. (1)求M的方程： (2)设直线l:y=kx+2与M相交于不同的两点C,D. (1)点C关于原点的对称点为C',直线DC'的斜率为k',证明：kk'为定值： (1)当1CD-登时，求的值 24 19.(17分) “拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容 为若函数y一f(x)满足如下条件：①在区间[a,b]上的图象是连续的：②在区间(a,b)上可 导，则在区间(ab)上至少存在一个实数，使得fb)二fa)='()成立.已知函数f(x) b-a e-x2十mx. ①DYa,b∈(0，+∞)，且a<b,若a)二名1恒成立，求m的取值范用： (2当m=-时，是香存在区间ab1a>0>.使a生/>？若存在，写 出证明过程；若不存在，说明理由： (3)当m<-1时，设f(x)的两个极值点为x1,x,且x1<x,证明：e一e<-4m. 数学试题第4页（共4页）绝密★启用前 齐鲁名校大联考 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 数 学 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 塑 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 的 抄 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1已知告a+ba,6∈R,则ab= A.3 B.-3 3 C. D.-3 数 2.已知集合A=(中≥0，B=(z<a,若(A)nB=A,则a的取值范周是 A.[0,+∞) B.(0,十∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，-1] 3.已知△ABC的面积为4，在平面ABC内，将△ABC绕A点旋转180°得到对应的 △AB1C1,则△AB1C的面积为 A.2 B.4 C.6 D.8 4.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-3)2+y2=r2(r>0)有3条公切线，圆C覆盖圆C1, C2,则圆C面积的最小值为 A.9π B.12x C.16π D.18π cos(2a-3) sin(a-2】 2π、 A.一g c号 n 6.已知直线l:y= 与双曲线C,苦若=16>0)相交于A,B两点，若AB1=V30,侧则 y2 C的离心率为 A号 B.6 2 c号 D 7.若方程x2-√2x十√2-1=0的非整数根是函数f(x)=ax3-bx十a十1(a,b∈N)的一 个零点，则f(x)图象的对称中心为 A.(0,1) B.(0,2) C.(2,0) D.(2,1) 8.若定义在D上的函数f(x),Hx1,x2,x3∈D,f(x1),f(x2),f(x)可以作为一个三角 形的三条边长，则称f(x)是D上的“三角形函数”.已知函数f(x)=xnx十t是定义在 区间[。]上的“三角形函数”，则：的取值范围是 A(2e+2,+o)B2e++）C(ec+,+)n.(e++) 数学试题第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图是2024年11月27日国家统计局发布的2023年1一10月到2024年1一10月的各月 累计营业收入与利润总额同比增速的折线图，则 同此增速%25 10.2 03014$ 44…23 05 -78 335二3 -25 2023年1-11月1-12月2024年1-3月1-4月1-5月1-6月1-7月1-8月1-9月1-10月 1-10月 1-2月 一。一累计营业收入同比增速…··累计利润总额同比增速 A,累计营业收入同比增速的方差大于累计利润总额同比增速的方差 B.累计利润总额同比增速的极差为18 C.累计营业收入同比增速的众数为2.9 D.累计利润总额同比增速的40%分位数为一2.3 10.在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C,D1中，E为AB的中点，P是侧面BCC1B1内的动 点，下列说法正确的是 A.平面APC1⊥平面A1BD B.若四面体A1-BDC1的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为48π C.当点P在线段BC,上运动时，异面直线A,P与AD,所成角的取值范围是[管，引 D.当直线PE与直线CD所成的角是时，点P的轨迹长度为 11.已知互不相等的正实数a:∈(1,2,3,4}(i=1,2,3,4),a1,a,a,a,是a1,a2,a3,a的任 意顺序的-一个排列，定义随机变量X,Y满足仪=max(min(,},min》'则 Y=min(maxtaa),max(ai), A.PX>n=号 1 B.P(X>Y)=4 cP(Xm-号 D.P(|X-Y\=1)=1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2m十1，一1)，b=(m,m+1),若a⊥b,则m的值为 13.“曼哈顿距离”是一种在几何空间中用于衡量两点之间距离的方式，如在n维空间中，设 点A(x1,x2,…,xn),B(y1,y2,…,yn),则“曼哈顿距离”表示为d(A,B)=x,-y:. 若循圆C:号+y=1的左点为F,上顶点为B,直线BF交C于另一点A,则A,B两 点的“曼哈顿距离”d1(A,B)= ;若将C在x轴上方的部分沿x轴翻折得到一 个直二面角，则在空间直角坐标系中，d2(A,B)= 数学试题第2页（共4页）】 14.已知函数f(x)=sin(aux十p)(o>0,0<p<)f(阅)=0，当x=-时，f(x)取得最 值，且当x∈（一，若）时，f(x)单调递增，则fx)在[一x,上的零点个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记数列{a.}的前n项和为S。,已知a1=1,数列{an一2n十2}是公比为2的等比数列. (1)求{a.}的通项公式； (2)记f(n)=Sm一2"，是否存在实数k,使得f(n)=k有两个解？若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由. 16.(15分) 新高考模式的选科是按物理类与历史类两大块组合进行，即物理与历史必选一科，再从 化学、生物、地理、政治四个学科中任选两科，加上语文、数学、英语组成一种组合，简称“物理 类”与“历史类”.为了解选科组合是否与性别有关，某机构随机选取了100名学生，进行了问 卷调查，得到如下的2×2列联表： 选科组合 性别 物理类历史类 合计 男生 40 女生 30 合计 已知在这100名学生中随机抽取1人，抽到选物理类学生的概率为0.6. (1)完成表中数据，并根据小概率值α=0.005的独立性检验，判断选科组合是否与性别 有关： (2)从上述选物理类的学生中利用分层随机抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取 4人调查其选物理类的原因. (1)用X表示这4人中男生的人数，求X的分布列及数学期望； (川)已知这4人中有女生的条件下，求男生、女生人数不相等的概率. n(ad-bc)2 附：X2=a+b)(c+d)a十c)6+d其中n=a+6+c+d. 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2,AF=1,点M在 线段EF上运动. MF (I)若AM/平面BDE,求EF的值： (2)求三棱锥MABD的体积； (3)当FM=2ME时，求平面BDM与平面BDF夹角的余弦值. D 18.(17分) 已知椭圆M,后+若-1a>6>0)的离心率为停M上的点与其中一个焦点的距离的 最小值为2一3. (1)求M的方程； (2)设直线l:y=kx十2与M相交于不同的两点C,D. (1)点C关于原点的对称点为C',直线DC的斜率为k',证明：kk'为定值； 24 (i)当CD-时，求及的值， 19.(17分) “拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容 为若函数y=f(x)满足如下条件：①在区间[a,b]上的图象是连续的；②在区间(a,b)上可 导，则在区间a,b)上至少存在一个实数，使得fb）二f@）=f'()成立.已知函数f(x) b-a e2-x2十mx. ①Va6∈(0，+∞)，且a<b,若a二，b1恒成立，求m的取值范围 （2)当m=-时，是否存在区间e,6]a>0),使/a士/6>f生)？若存在，写 2 出证明过程；若不存在，说明理由； (3)当m<一1时，设f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1<x2,证明：e一e<一4m. 数学试题第4页（共4页） 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 ·数学· 叁春登案及解折 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测·数学 一、选择题 (x2 y2 1.c【解折】由告a+i,得+号 (2+i)(1+i) 462=1, 6.C【解析】由 整理得(62-1)y2= 1 y= a+bi,化简得分+号i=a十i,所以a=子， 2x, b b=名从而a6= ,则62-1>0，所以y=设Ax, 4 所以|AB|=2W5|y1I,所以|AB|3=20y= 2A【解桥】因为A={:中≥0} 0%又由题意知AB=30,所以 20b2 =30, {生>≥0=ex>0或x≤-1，所以 CRA={x|-1<x≤0}，所以由(CRA)∩B= 解得6=3，所以C的离心率e=+ CRA可知a≥0. 3.B【解析】由题意知点B,与点B关于点A +- 对称，所以AB1=AB,所以△AB:C与△ABC 7.B【解析】由x2-√2x十√2-1=0，得x1= 等底等高，所以两三角形面积相等，即△AB1C 1,x2=√2-1，所以f(W2-1)=0,即a(W2- 的面积为4. 4.A【解析】由题意知圆C1与圆C2外切，所以 1)3-b(W2-1)+a+1=0,即5√2a-7a r=2.因为圆C覆盖圆C1,C,设点P,Q分别 √2b+b+a+1=0,即(5a-b)√2-6a+b+ 在圆C1,C2上运动，则|PQ|的最大值为6，所 以当圆C的直径为6时，恰好覆盖圆C1,C, 1=0.因为a,b∈N,所以/5a-6=0, 。解 -6a+b+1=0, 所以圆C面积的最小值为S=9π. 得1， 5.D【解折】记a+号-0，则sn0=号a=0 6-5,所以fx)=x-5x+2.设fx)图 象的对称中心为点(m,n),所以f(m十x)+ 子，所以2a=20-,所以2a-号-20-，故 f(m一x)=2n,化简整理得3m.x2十m3一 (m=0, cos(2a-3）=cos(20-)=-cos20=-1+ 5m+2=n,所以 解得 m3-5m+2=n, 2m0=-1+2×g=-又sn(。-）- 7 m=0, 所以f(x)图象的对称中心为点(0,2). n=2, 8.A【解析】由f(x)=xlnx十t,得f'(x)= (0-=-0=-所以 2a-】 ne到 1nx+1.令f(x)=0,得x=是当x∈[， 7 97 日)时，fx)0,f)单调递减：当x∈（日 3 3 e时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以当x∈ 。1 ·数学· 参考答案及解析 [忌e]时fx)m=f(日)=-+.又 BC所成角最大，且为，所以A,P与BC, )=-是+，f(e)=2e+,所以 所成角的取值范围是[行，]，故C正确，对 f(x)x=2c2十t.由“三角形函数”定义可知 于D,直线PE与直线CD所成的角是，即 2f(x)m>f(x)>0,即2(-。+t)> ∠PEB= 子又易知∠PBE= 2,AB=2, 2e+1,化简得>2e+2,即1的取值范围是 BE=1,所以PB=√3，所以点P的轨迹是以 (2e+2,+∞） B为圆心，√3为半径的圆孤的四分之一，所以 二、选择题 点P的轨连长度为，放D正确。 9.BCD【解析】对于A,由题图中的数据波动情 11.ACD【解析】根据题意知1,2,3,4的全排列 况可知累计营业收入同比增速波动小，累计利 有A=24种，因为随机变量X,Y满足 润总额同比增速波动大，即累计营业收入同比 增速的方差比累计利润总额同比增速的方差 X=max(minfa,a,miniaa), 所 小，故A错误；对于B,累计利润总额同比增速 Y=min(max(ai,ai),max(ais, 的极差为10.2十7.8=18，故B正确；对于C,累 以当{a1,a2}=(1,2}或{3,4}时，X=3, 计营业收入同比增速中，因为2.9出现的次数 Y=2:当{a1,a2}={1,3}或(2,4}时，X=2, 最多，所以众数为2.9，故C正确；对于D,累计利 Y=3:当{a1a,}={1,4}或{2,3}时，X=2, 润总额同比增速的数据从小到大依次为一78， Y=3.又{a,,a2}={1,2}或{3,4}时，即满足 -4.4,-4.3,-3.5,-2.3,0.5,3.4,3.5,3.6,4.3, X>Y的排列有1234,1243,2134,2143， 4.3,10.2.因为12×40%=4.8，所以40%分位数 3412,3421,4312,4321,共8种，所以X>Y 为一2.3，故D正确. 的概率P(CX>)=-3,故A正确，B错 81 10.ACD【解析】对于A,连接AC,则AC⊥ 误.同理可知当{a1,a,}={1,3}或{2,4}时， BD,CC1⊥平面ABCD.因为BDC平面 ABCD,所以CC1⊥BD.因为AC∩CC1=C, P(X<Y)=3:当(a1a)=1,4}或2,3) 所以BD⊥平面ACC1.又AC1C平面ACC1, 所以AC⊥BD.同理可得AC1⊥A1B.又BD∩ 时，P(X<Y)=},所以P(X<Y)=号，故C A1B=B,所以AC1⊥平面A1BD.又AC1C 正确.因为当X=3时，Y=2;当X=2时，Y=3, 平面APC1,所以平面APC1⊥平面A1BD,故 都满足|X-Y=1,所以P(X-Y1=1)=1, A正确.对于B,因为四面体A,-BDC1的外接 故D正确. 球即为正方体ABCD-A1BC1D1的外接球， 三、填空题 BD1为外接球的直径，且易求得BD1=2√3， 则球O的表面积为12π，故B错误.对于C,因 12号 【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,即 为AD1∥BC1,所以异面直线A1P与AD1所 (2m+1)m-(m+1)=0,即2m2=1,解得 成的角即为∠A1PB(或其补角).连接AC1, A1B,可得△A:BC1为等边三角形.当点P在 m土 2 点B或点C1处时，A1P与BC1所成的角最 13. 8 3 【解析】由题意知F(-1,0),B(0, 3 小，且为；当点P在BC,中点处时，AP与 1),所以直线AB的斜率kAB=1,所以直线 。2· 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 ·数学· 四、解答题 AB的方程为y=x十1.联立 十y2=1·得 15.解：(1)由题意得a1=1,记bn=a。-2n+2, y=x+1, 所以b1=a1-2×1+2=1, (1分) 4 x=0, 3 所以{b,}是以1为首项，2为公比的等比数 1,或 所以A(-分-)，故 列，所以b.=2”-1, (3分) y=-3 即a.-2n+2=2m-1, da,B=-+-号-1=号将2 从而a.=2"-1+2n-2. (5分) (2)由(1)得S.=a1十a2十…+a. 轴上方的部分沿x轴翻折得到一个直二面 =(1+2+22+…+2-1)+2(1+2+…+n)-2m 角，建系易得a:A,B)=号+号+1=号 -12 -1二2+2x0+mm-2n 2 14.4【解折】因为当x∈(-行·若)时，fx)单 =2"+n2-n-1. (8分) 调递增，所以若-(-）≤云又。>0，所以 则f(n)=S。-2=n2-n一1， (10分) 5 0<m≤2.由题意知sin(20+9）=0, 所以m)=--1-(a-》广- 因为n∈N”,f(n)单调递增， /(--1,所以登+p=x:∈z: 所以不存在k,使得f(n)=k有两个解. (13分) π 3w十9=2十k:,k,∈Z,两式相减得 16.解：(1)因为从100名学生中随机抽取1人， w=受+(：-1)x,1,k:∈Z,即如 3π 抽到选物理类学生的概率为0.6， 所以选物理类的学生有100×0.6=60（人）， -2一4(k,-k1) 2十4(k2-k:) 选历史类的学生有100一60=40（人）.(2分) 3 3 3 补全2×2列联表如下： 2 k1k,∈Z.当k:一k1=一1时，w=3,此时 选科组合 性别 合计 =13+k,k:∈乙，不符合题意.当： 物理类历史类 =18 男生 40 10 50 ,=-2时w=2,此时甲-7后+x,点：∈2， 女生 20 30 50 所以当：=-1时，9=吾，所以f(x) 合计 60 40 100 零假设为H。:选科组合与性别无关， sin(2x+)此时fx)在区间(-子，晋) 根据列联表中的数据，经计算得到X 上单调递增，符合题意.令f(x)=sin2x十 100×(40×30-10×20)2=50 60×40×50×50 3 ≈16.667> 君）=0，所以2x十吾=m,k∈Z,即x= 7.879=x0.005… (6分) 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们 是+经4五令-≤-是+经≤x,解得 推断H。不成立，即认为选科组合与性别有 号<<号所以质=-1,01,2，共有4个 关，此推断犯错误的概率不大于0.005.(7分) (2)按分层随机抽样的方法抽取的6人中，男 解，即f(x)在区间[一π，π]上有4个零点. 生有4人，女生有2人. 。3· ·数学· 参考答案及解析 (1)由题意知X的所有可能取值为2,3,4， (2)因为四边形ACEF是矩形， P(X=2)= CC2 所以EF∥AC,AF⊥AC C%5 又EF丈平面ABCD,ACC平面ABCD, P(X=3)= CC:8 C=15 所以EF∥平面ABCD, C8C41 故当点M在线段EF上运动时，点M到平面 P(X=4)= C%15' (10分) ABCD的距离即为点F到平面ABCD的距离. 故X的分布列为 (6分) X 2 3 4 又正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面 2 8 1 互相垂直， 5 15 15 所以AF⊥平面ABCD, (11分) 所以点M到平面ABCD的距离为1， 25 8 所以V三棱锥ABD= 5amX1=号×× 1 所以E(X)=2X +3× 15 (12分) 11 2 ()记“这4人中有女生的条件下，男生、女 ABXAD=3×2X2X2= 3 (8分) 生人数不相等”为事件A, (3)由题意知CE∥AF,所以CE⊥平面 P(X=3) 则由(1)知P(A)=P(X=2)+P(X=3) ABCD. 因为CD,CBC平面ABCD, 8 15 所以CE⊥CD,CE⊥CB. 4 (15分) 又CD⊥CB,所以CD,CB,CE两两垂直. 以C为坐标原点，CD,CB,CE所在直线分别 17.解：(1)设AC与BD交于点O,连接EO, 为x轴、y轴、x轴，建立如图所示的空间直角 如图， 坐标系. 则O为AC,BD的中点， 所以平面ACEF∩平面BDE-EO. 因为点M在线段EF上， 所以AMC平面ACEF. B 又AM∥平面BDE,所以AM∥EO.(3分) 又EM∥AO,所以四边形EMAO为平行四 D 边形，所以EM=AO. 在矩形ACEF中，O为AC的中点，可知M 因为AB=2,AF=1, 为EF的中点， 所以C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),E(0, 所以部-子 0,1),F(2,2,1) (4分) 设M(x,y,1),因为FM=2ME,所以x= 子y=号即M(号 所以D-(←专号)丽=(-2,20 D=(0,2,1). (10分) 4。 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 ·数学· 设平面BDM的法向量为n=(x1,y1,z1), 则·DMi=0, 两式相减得一」 1 x-x月 41 (5分) n·DB=0, 又直线1：y=kx十2的斜率为k,直线DC的 斜率为k', 4, 即/一3x1+2y1+21=0? 所以k'=一当.十y=一 -2x1+2y1=0. x2-x1x2十x1x号-x 令x1=1,得1=121=行，所以平面BDM 子即为定值-子 (7分) 的一个法向量为n=(11,号) (12分) （1)解：联立少=x+2, 得(1十4k2)x2+ x2+4y2=4, 设平面BDF的法向量为m=(x2,y2,之2)， 16kx+12=0, (8分) 由题意知△=(16k)2一4×12×(1十4k2)= 则 m·DF=0, m·DB=0, 即2：+2=0， 或公 64k2-48>0,解得k<- 2 由根与系数的关系得x1十x2= 16k -2x2+2y2=0. 1+4k2” 令y2=1,得x2=1,xg=-2,所以平面BDF 12 的一个法向量为m=(1,1,一2)， (13分) x1x2=1+4k' (12分) 所以|cos〈n,m〉|= n·m nm 所以|CD|=√1十k2|x1一x2|=√1+k2· 1x1+1x1+号x(-2) 256k 48 42-3 √33 √(1+4k2)2 1+4=4V1+. √(1+42)2· ×6 33, (14分) 9 所以平面BDM与平面BDF夹角的余弦值 因为CD1 13 为 33 (15分) 所以4√1十k· 4k2-324 √(1+4k2)=13 e= 即1+k2)(4k:-3)36 18.(1)解：由题意得 a2, (1十4k2)2 169 a-c=2-√3， 化简得100k-119k2-543=0, 解得a=2,c=√3， 解得2=3或k2=- (合去， (16分) 又由a2=b2十c2,得b2=1, 所以M的方程为号+y=1 (3分) 所以=士，符合长-停或> 2 (2)(1)证明：设C(x1,y1),D(x2,y2),且 故k的值为士√3 (17分) x1≠x2, 19.(1)解：由“拉格朗日中值定理”可知，3xo∈ 则点C关于原点的对称点为C'(一x1,一y1). a,b),使得fa)-f6) =f'(xo), a-b +y=1 4 所以原题等价于'(xo)≥1恒成立. 因为点C,D均在M上，所以 又f'(x)=e-2x十m, 4+=1, 所以f'(xo)=eo-2x。十m≥1恒成立， ·5· ·数学· 参考答案及解析 即m≥2x0-e0十1恒成立. 所以存在区间[a,b](a>0),使fa)+fb) 因为xo∈(a,b),且a,b>0, 2 所以令g(x)=2x-e2+1,x>0, f）得证 (10分) 则g'(x)=2-e. (3)证明：因为m<-1,所以一m>1. 令g'(x)=2-e2=0,解得x=ln2.(2分) 当x∈(0，ln2)时，g'(x)>0,g(x)单调 又f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1<xg, 递增； e-2x1+m=0, 所以 当x∈(ln2,+∞)时，g'(x)<0,g(x)单调 e2-2x2+m=0. 递减， 设t1=e,t2=e,则t1-2lnt1=tg 所以当x=ln2时，g(x)取得最大值，为 2In t:=-m. (12分) g(ln2)=2ln2-1, 令G(x)=x一2lnx,则G(x)的图象与直线 所以m≥2ln2-1, y=一m交于(t1,一m),(t2,一m)两点. 故m的取值范围为[2ln2一1，十∞).(5分) 因为G'(x)=x-2 (2)解：当m=- 2时：存在区间[a,b1,使 所以当x∈(0,2)时，G'(x)<0,G(x)单调 生/>f士)证明如下： 递诚； 2 当x∈(2，+∞)时，G'(x)>0,G(x)单调 当m=-时，f)=e-x 3 递增， 2, 所以0<t1<2<t2,所以t2-t1<t2.(14分) 所以f(x)=e-2z-号 (6分) 令(x)=子，所以h(x)=若的图象与直线 令t(x)=f'(x)=e-2x- 2x>0, y=一m交于点（一4m,一m). 则t'(x)=e-2. 令9x=G(x)-h()=琴-2h,则 当x∈(0，ln2)时，t'(x)<0,t(x)单调递减； p(x)=3-2-3x-8 当x∈(ln2,+o)时，t'(x)>0,t(x)单调 4 x 4x 递增. 当x∈(0，）时，p'(x)<0,9(x)单调递减： 又u0)=1-=<042)=e- 当x∈（得，+∞）时，g(x)>0,g(x)单调 ()->0 递增， 所以3xo∈(ln2,2),使得t(xo)=0. 86 所以当x=号时，9(x)取得最小值9(3) 当x∈(0，x。)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(xo+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 2-2ln3' (8分) 所以当0<a<xo<b时，f(x)在区间[a,b] 所以gc)≥2-2h8>2-2he=0, 上的图象恒在连接两点A(a,f(a),B(b, 所以G(x)>h(x), (16分) f(b))的线段的下方（端点除外），而 所以-m=h(-4m)=G(t:)>h(t2), fa)f为线段AB的中点值，（士 所以t2<一4m, 2 所以e一e1=t2一t1<t2<-4m.(17分) 为f(x)在区间[a,b]中点处的函数值， 62025届山东省高三第六次学业水平联合检测 ·数学· 叁春答案及解折 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测·数学 一、选择题 1.C【解折】由告a+6i, (2+i)(1十iD 6.C【解析】由 462=1, 整理得(b2-1)y2= (1-i)1+i) 1 y= 十6i,化简得号+受=a十i,所以a=》 2, b b=是从而ab= ,则6-1>0，所以y=6-设A(x1), 7 所以|AB|=251y11,所以|AB2=20y= 2.A【解折】因为A-(x中≥0} 2一又由题意知1AB:=30,所以206 2062 b”一1 =30, {>≥0=红>0或x≤-1.所以 b CRA={x|-1<x≤0}，所以由(CRA)∩B 解得6=3，所以C的离心率=1+ 4 CRA可知a≥0. 3.B【解析】由题意知点B,与点B关于点A 对称，所以AB,=AB,所以△AB,C与△ABC 7.B【解析】由x2-2x十√2-1=0，得x1 等底等高，所以两三角形面积相等，即△AB,C 1,x2=√2-1，所以f(2-1)=0,即a(2 的面积为4. 4.A【解析】由题意知圆C,与圆C2外切，所以 1)3-b(√2-1)+a+1=0,即52a-7a r=2.因为圆C覆盖圆C1,C,设点P,Q分别 W2b+b+a+1=0,即(5a-b)√2-6a+b+ 在圆C1,C:上运动，则|PQ的最大值为6，所 解 以当圆C的直径为6时，恰好覆盖圆C1,C2, 1=0.因为a,b∈N,所以5a-b=0, 1-6a+b+1=0, 所以圆C面积的最小值为S=9π. 得1， 所以f(x)=x3一5.x+2.设f(x)图 5.D【解标】记a+子-0，则sin0= 3g=0 1b=5, 象的对称中心为点(m,n),所以∫(m十x)十 号所以2a-29-行所以2a-音-20-，故 f(m一x)=2n,化简整理得3mx十m3一 cos(2a-3）=c0s(20-x)=-c0s20=-1+ 5m+2=n,所以 m=0, 解得 m3-5m+2=n, 2in0=-1+2x号=- sm(e-） 7 fm=0, 所以f(x)图象的对称中心为点(0,2). n=2, 8.A【解析】由f(x)=xlnx十t,得f'(x)= n0-x)=-m0=- o2a一-】 3所以 ne-到 nx+1.令f'(x)=0,得x=。当x 7 97 日)时，f)<0,f)单调递减：当x(日 13 3 e2]时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以当x∈ 1· ·数学· 参考答案及解析 [忌e]时fx)=f()=-。+.又 BC,所成角最大，且为受，所以A,P与BC, ()=-是+，f(e)=2e+,所以 所成角的取值范围是[答，】，故C正确对 f(x)x=2e十t.由“三角形函数”定义可知 于D,直线PE与直线CD所成的角是，即 2fx)m>f(x)>0,即2(-。+小> ∠PEB=行又易知∠PBE=受，AB=2, 2e+1,化简得>2e+二，即1的取值范围是 BE=1,所以PB=√3，所以点P的轨迹是以 (2e+2+ B为圆心，√3为半径的圆弧的四分之一，所以 二、选择题 点P的镜连长度为放D正确。 9.BCD【解析】对于A,由题图中的数据波动情 11.ACD【解析】根据题意知1,2,3,4的全排列 况可知累计营业收入同比增速波动小，累计利 有A=24种，因为随机变量X,Y满足 润总额同比增速波动大，即累计营业收入同比 增速的方差比累计利润总额同比增速的方差 (X=max(min(a ,a),min(aa, 所 小，故A错误；对于B,累计利润总额同比增速 Y=min(maxtaa),maxta a ) 的极差为10.2+7.8=18，故B正确：对于C,累 以当(a,a2}=1,2}或{3,4}时，X=3 计营业收入同比增速中，因为2.9出现的次数 Y=2:当{a,ae}=1,3}或{2,4}时，X=2, 最多，所以众数为2.9，故C正确：对于D,累计利 Y=3:当{a1a}={1,4}或{2,3}时，X=2, 润总额同比增速的数据从小到大依次为一78， Y=3.又{a,a.}={1,2}或{3,4}时，即满足 -4.4.-4.3.-3.5,-2.3.0.5,3.4,3.5,3.6.4.3. X>Y的排列有1234,1243,2134,2143， 4.3,10.2.因为12×40%=4.8，所以40%分位数 3412,3421,4312,4321,共8种，所以X>Y 为一2.3，故D正确. 的概率P(X>Y)=-3故A正确，B错 81 10.ACD【解析】对于A,连接AC,则AC⊥ 误.同理可知当{a1a,}=(1,3}或{2,4}时， BD,CC,⊥平面ABCD.因为BDC平面 ABCD,所以CC,⊥BD.因为AC∩CC,=C, P(X<Y)=3:当{u4a:=(14}或{2.3 所以BD⊥平面ACC1.又AC,C平面ACC,, 所以AC1⊥BD.同理可得AC1⊥AB.又BD∩ 时，P(X<)=}所以P(X<Y)-号故C A,B=B,所以AC1⊥平面A1BD.又AC1C 正确.因为当X=3时，Y=2:当X=2时，Y=3, 平面APC:,所以平面APC,⊥平面A:BD,故 都满足|X一Y=1,所以P(|X-Y1=1)=1, A正确.对于B,因为四面体A,-BDC,的外接 故D正确. 球即为正方体ABCD-A,B:CD,的外接球， 三、填空题 BD,为外接球的直径，且易求得BD,=23, 则球O的表面积为12π，故B错误.对于C,因 【解析】因为a⊥b,所以a·b-0,即 为AD1∥BC1,所以异面直线A1P与AD,所 (2m十1)m-(m+1)=0,即2m2=1,解得 成的角即为∠A,PB(或其补角).连接A:C1, A,B,可得△A,BC:为等边三角形.当点P在 2 点B或点C,处时，A,P与BC,所成的角最 8 13. 8【解析】由题意知F(-1,0),B(0, 3 小，且为：当点P在BC中点处时，AP与 1),所以直线AB的斜率kAB=1,所以直线 ·2 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 ·数学· 十y=1·得 四、解答题 AB的方程为y=x十1.联立 2 15.解：(1)由题意得a1=1,记b.=a。一2n+2, y=x+1, 所以b1=a1-2×1+2=1, (1分) 所以(b.}是以1为首项，2为公比的等比数 x=0, 3 所以A(一一)故 列，所以b.=2-1, (3分) 3 即a。-2n+2=2-1, d,(A,B)=-+-号-1=将2 从而an=2-1+2n-2. (5分) (2)由(1)得Sm=a1十a:十十a, 轴上方的部分沿x轴翻折得到一个直二面 =(1+2+2++2"-1)+2(1十2+…十n)-2 角，建系易得d:(A,B)-+写+1- 3 =12 1-2 +2×1+mm-2 2 14.4【解析】因为当x∈(-行·)时，fx)单 =2r+n2-n-1. (8分) (10分) 调递增，所以石-（一）云又>0，所以 则f(n)=S.-2=n2一n一1. 5x 所以fm)=--1=(-)- 0<m≤2.由题意知sin(2+9）=0, 因为n∈N”,f(n)单调递增， f(-)=1,所以20十9=k,k:∈Z: 5元 所以不存在k,使得f(n)=k有两个解. (13分) 3m十9=2+k:,k:∈Z,两式相减得 16.解：(1)因为从100名学生中随机抽取1人， 3π 抽到选物理类学生的概率为0.6， w=元十(k之，)元，k·2∈乙.即四 2 所以选物理类的学生有100×0.6=60（人）， -2-4k:-k1)=- 2十4(k2-k1) 选历史类的学生有100一60=40（人）.(2分) 3 3 3 补全2×2列联表如下： 2 k1k,∈Z.当k:一k,=一1时，w=3,此时 选科组合 性别 合计 13π 物理类 历史类 9=18 十k2π，k2∈Z,不符合题意.当k: 男生 40 10 50 k,=-一2时。=2，此时g7后+kk:∈乙。 女生 20 30 50 所以当k:=-1时9=吾，所以了(x)= 合计 60 40 100 零假设为H。:选科组合与性别无关. sin(2x+）此时fx)在区间（一子·） 根据列联表中的数据，经计算得到 上单调递增，符合题意.令f(x)=sin2x+ 100×(40×30-10×20)”= 50 60×40×50×50 3 ≈16.667 君）=0，所以2x十否=k,k∈五，即x 7.879=x0.05 (6分) 根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们 +受∈五令-长-是+经<，解得 推断H。不成立，即认为选科组合与性别有 日<≤号所以=-1.01.2，共有4个 关，此推断犯错误的概率不大于0.005.(7分)》 (2)按分层随机抽样的方法抽取的6人中，男 解，即f(x)在区间[一π，π]上有4个零点. 生有4人，女生有2人. 3 ·数学· 参考答案及解析 (1)由题意知X的所有可能取值为2,3,4， (2)因为四边形ACEF是矩形， P(X=2)= CC 2 所以EF∥AC,AF⊥AC. C65 又EF庄平面ABCD,ACC平面ABCD, P(X=3)= CC:8 C15' 所以EF∥平面ABCD, P(X=4)= CC_1 故当点M在线段EF上运动时，点M到平面 C15' (10分) ABCD的距离即为点F到平面ABCD的距离. 故X的分布列为 (6分) X 2 3 4 又正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面 8 1 互相垂直， 5 15 15 所以AF⊥平面ABCD, (11分) 所以点M到平而ABCD的距离为1， 所以E(X)=2× +3X8 5 5 所以V三依好ABD= 号5amX1=×号× (12分) (i)记“这4人中有女生的条件下，男生、女 ABXAD-3×号X2X2 11 3 (8分) 生人数不相等”为事件A, (3)由题意知CE∥AF,所以CE⊥平面 则由(1)知P(A)= P(X=3) ABCD. P(X=2)+P(X=3) 因为CD,CBC平面ABCD, 8 15 所以CE⊥CD,CE⊥CB. 4 (15分) 又CD⊥CB,所以CD,CB,CE两两垂直. 以C为坐标原点，CD,CB,CE所在直线分别 17.解：(1)设AC与BD交于点O,连接EO, 为x轴、y轴、x轴，建立如图所示的空间直角 如图， 坐标系. 则O为AC,BD的中点， 所以平面ACEF∩平面BDE=EO. 因为点M在线段EF上， 所以AMC平面ACEF. B 又AM∥平面BDE,所以AM∥EO.(3分) 又EM∥AO,所以四边形EMAO为平行四 D 边形，所以EM=AO. X 在矩形ACEF中，O为AC的中点，可知M 因为AB=2,AF=1, 为EF的中点， 所以C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),E(0 所以部- 0,1),F(2,2,1). (4分) 设M(x,y,1),因为FM=2M正，所以x= 2 断以D-(←言号）成=(-22.0 D=(0,2,1). (10分) 。4。 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 ·数学· 设平面BDM的法向量为n=(x1,y1,z1), 两式相减得一少： 1 n·DM=0, xi-xi 4 (5分) 则 又直线l:y=k.x十2的斜率为k,直线DC的 n·DB=0, 斜率为k', 4 2 即厂3x+3y十1=0. 所以k'=:一义，十业=一y x2一x1x2十x1x号-xi -2x1+2y1=0. (7分) 令x1=1,得y1=1,1= 3,所以平面BDM 子即为定值-子 的一个法向量为m=(11,) (12分) ()解：联立少=x+2, 得(1+4k2)x2+ x2+4y2=4, 设平面BDF的法向量为m=(xy2,之)， 16k.x+12=0, (8分) m·DF=0, 由题意知△=(16k)一4×12×(1+4k2)= 则 m·Di=0. 即2：十2=0， 64k÷-48>0,解得k<- 2或八 2 由根与系数的关系得x:十x:= 16k -2.x2十2y2=0. 1十4k2: 令y:=1,得x:=1,之2=一2，所以平面BDF 12 的一个法向量为m=(1,1,一2)， (13分) x1Ce=1+4k’ (12分) 所以|cos〈n,m〉|= n。m 所以|CD|=√/1十k1x:一x2|=/1十k· n m 256k 48 4k-3 1×1+1x1+三×(-2) 33 √(1+4k2) 1+4h=4V+, V(1+4k2)2· 巴×6 33 (14分) 所以平面BDM与平面BDF夹角的余弦值 因为1CD1-24 3 为 (15分) 所以4√1+2· 4k2-324 √(1+4k2)-13 即1+k)(42-3)36 18.(1)解：由题意得 a 2 (1+4k2)2 169' a-c=2-3, 化简得100k1-119k2-543=0, 解得a=2,c=√3 解得k2=3或k2= 100(舍去)， 181 (16分) 又由a2=b2+2,得b2=1, 所以M的方程为+y=1. (3分) 所以=士，符合k<-或> 2, (2)(i)证明：设C(x1·y1),D(x2,y:),且 故k的值为土3. (17分) x1≠x2, 19.(1)解：由“拉格朗日中值定理”可知，了x。∈ 则点C关于原点的对称点为C‘(一x1,一y). a,h),使得(a)-f6) a-b =f'(x) (dtyi=1. 4 所以原题等价于f'(x)≥1恒成立. 因为点C,D均在M上，所以 又f'(x)=e-2x+m, 1+=1, 所以f'(xn）=e一2x。十m≥1恒成立， ·5· ·数学· 参考答案及解析 即m≥2.x。-e十1恒成立. 所以存在区间[a,b]a>0),使/a)+fh) 因为x。∈(a,b),且a,b>0, 2 所以令g(x)=2.x-e+1,x>0, 生)得证 (10分) 则g'(x)=2-e. (3)证明：因为m<一1，所以一m>1. 令g'(x)=2-e=0,解得x=ln2.(2分) 当x∈(0，ln2)时，g'(x)>0,g(x)单调 又f(x)的两个极值点为x1,x,且x,<x2, 递增： 所以/1一2x1十m=0, 当x∈(ln2,+o∞)时，g'(x)<0,g(x)单调 eg-2.x2+n=0. 递减， 设t1=e1,tg=e:,则t1-2lnt1=t: 所以当x=ln2时，g(x)取得最大值，为 2In t:=-m. (12分) g(ln2)=2n2-1, 令G(x)=x一2lnx,则G(x)的图象与直线 所以m≥2ln2-1, y=一m交于(11，一m),(12,一m)两点. 故m的取值范围为[2ln2一1，+∞).(5分) 因为G'(x)=一2 (2)解：当m=- 2时，存在区间a61,使 所以当x∈(0,2)时，G'(x)<0,G(x)单调 a生/>）证明如下： 递减； 2 当x∈(2，+∞)时，G(x)>0,G(x)单调 递增， 当n=- 2时，f(x)=e-x2 2t, 所以0<t1<2<1g,所以t2一t1<t2,(14分) 所以f(x)=e-2x-3 2 (6分) 令h(x)=平，所以A(x)=千的图象与直线 令1(x)=f'(x)=e-2x- 2x>0. y=一m交于点(-4m,一m). 则t'(x)=e-2. 令ex)=G(x)-hu)=买-2n,则 当x∈(0，ln2)时，t'(x)<0,t(x)单调递减； p'(x)=3-2_3x-8 当x∈(ln2,+∞)时，t'(x)>0,t(x)单调 4.x 递增. 当x(0)时px)09c)单调递减： 又0)-1--<0(--号 31 当x∈（骨+）时，g()>0,9u)单洞 }0… 递增， 所以3xm∈(1n2,2),使得t(xo)=0. 所以当x= 3时9(x)取得最小值9(3） 当x∈(0，x)时，'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(x。十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 2-2ln3' (8分) 所以当0<a<x。<b时，f(x)在区间[a,b] 所以g)≥2-2h号>2-2he=0, 上的图象恒在连接两点A(a,f(a),B(b, 所以G(x)>h(x), (16分) f(b)的线段的下方（端点除外），而 所以一m=h(一4m)=G(12)>h(t) fa)/为线段AB的中点值，（士兰 所以t2<一4m, 所以eg-e1=t2一t1<12<-4m.(17分) 为f(.x)在区间[a,b]中点处的函数值， 6绝密★启用前 齐鲁名校大联考 二，选择题：本题共5小题，每小圆《分，共18分。在每小■给出的选项中，有多顶得合■日 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 要求。全第这对的得6分，部分慧对的得部分分，有透情的得0分。 0.如图是2024年11月2？日国家接计场发布的02a年110月到2021年1一10月的各月 罩计营业收人与科周预同比增速的折线图，期 数学 批增忠%坪 本试要总分150分，考试时同120分钟。 注意事项： 1答非前，雪生务公将自已的生名，考生号等填写在答超卡和试卷指定位置 乏，风答这择题时，连出每小题著案师，用椅笔把答题卡上对应题日的答墨标号涂果。如 需政动，用像皮振干净可，再透除其自答案标号。国容丰运师题时，将答累写作答题卡上， 落 写在本试老上无登 中 3,考认结束后，将本试整每暮题卡一并交国 一，选轿题：本量共8小题，每小题8分，共4分。在每小题给出的四个选顶中，只有一项是 23年-11月1-12月38年【-3月1-4月1-5月16月1-3月8月19月1-0月 井合题日要求的。 -10月 -2月 上已知e+6i6ER,周6 +震皆业最入比限这·一米利深及比增造 A,累什登业牧人同比增速的方差大于累计利洞总领同比增迪的方差 A.5 找-3 B- 且、累计利润急翻司比增速的板差为18 C,累计青业牧人司比增速的众数为2.9 集合A-{叶B-上a,若【nB-【A.则u的取疏 1累计利洞总领月比捐违的40%分位数为一3 A.「0十) 10.在校长为2的正方体ACD-ABC,D中，E为AB的中点，P是侧面BCB,内的动 玉.已知△AC的宝积为4-在平面AC内.将△AC绕A点蓝转1B得可对应的 点，下列说法正确的是 △A,C:.则△AB,C的面而积为 A.半mAPC,⊥平自A,BD 4 C,6 ,知WCt2+=1与限Cr一a+=(r>0)有1条公切线，侧C覆壶同C, 且，若四套体A:B,的四个顶点均在球0的表面上，则球O的表面积为杨= C:·荆调C面积的最小值为 入.9x K 128 C,15x 0.18m 七当点P在线段C上运动时，异面红线，P与AD,所成每的取值他图是行·引 已如e+-子， cos(23】 D当直线PE与直线CD历瑰的角是，点P的销注长度为 na”言】 1l,已知互不相等的正数a:∈，3,3,4)行一123，w,a与2是a的任 A日 收 n 查颗疼的一个排残，定义面机安量X,Y请足X一mma,,3,a山，湘 Y-mnmx@-t4,mxa人7}： 么已知直线一与双南线C,若-16>o)相交于A,B月友，者A1-而，测 AP>n=号 B PX-Y)-1 C的离心率为 C.PIx<- .P(X=Y=1》=1 兰、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 7,若方程一泛十豆，1=0的非整数根毫函数f(1)-r一：十+1(a,6∈N1的一 18.已每向量a一(2m十1：一1.b-(mm十1)，若年L,则m的值为 个零点，则/(x)用象的对称中心为 3.“曼阶铜后离”是一种在儿属空间中用于面量两点之间里距离的方式，在生空可中，设 A.0,1) 且〔0,2) C.(2,0) D(2,1) 名若定义在D上的网数f尺x,V:∈D,人x:),)可以作为个三角 点A(灯11m3,B(”,,则曼哈辄商”表示为d4.)-多，一 影的三策边长，，称/(：是D上的“三南形函致”，已相函数了《x)一1血x十（品定义在 区间是©上的三角形函数”，阑1的数值范围型 若简网C:号+y=1的左焦点为卡，上模点为，雀线F交C于另-一点A,期A:B两 A2+总+）(a++)(a++mn(++ 点的”受哈细离”(A,B)=:若将C在x轴上有的阁分沿x轴翻折得到 个直二图知.相在室间直角坐标乳中d:(A,B) 前学式里第1百（共4百） 酸学试题第：贡引共4蜀1 山已知两数)两imar+p>0,0<g<(简-，当4=一时，取得填 12.415分) 如图，己知正方形ABCD与矩形ACEF所在的平而互相垂直，AB=2,AF=1,点M在 值，且当+（一三名时单湖通道，周：在(-上的零点个致为 线段E下上运动， MF 国、解答题本题共5小题，共77分。解答故写出文字说用，证期过程或演算岁骤。 ()若AM平面BDE,求EF的植！ 15.(13分 (2)求三校雄ABD的体积 记数列1知，的闹和项和为S,已每1一1.数刘。一2十2)是公比为多的等比数列 (3)当F群=2正时，求平面UDAM与平面BDP夹角的余弦值： (1》求{a,}的通顶公式， (2)记)〔划)一S。一空，是否存在实数，使得了《n)=e有两个解？若存在，求出的氧： 岩不存在，说明用山， 18,17分》 已知所棋M后+若-16>0的离心率为M上的点与其中一个点的案离的 14.(15分) 量小值为2一5. 新高考视式的达科是按物理美与历史类两大块困合进行，印物理与历史形透一科，再从 (1)求M的方程： 化学，生物，地甲，政治四个学科中任这两科，加上格文，数学，英语组成一种组合，箭移物理 ()爱直线1：y=+2与是相交于不可两点'.D, 类·与”厉史类“，为了解选科阳合是否与性别有美，某机构随桃远取了10名学生：进行了间 (1)点C美于原点的对称点为C”,直线DC的斜率为，证明：：'为定算， 卷到查.得到知下的2×2到联表： 这科州合 （当四一路时求的值 作判 物理州桥史类 合世 月生 女生 合计 已知在这100名学生中陆机抽取1人，转到这物理类学生的概率为0,6， 1》完成表中数松，并根据小低教值难一005的跑立性输验，判断击科组合是香与往期 有关 19,17分) (2)从上述选物理类的学生中利用分层随机抽样的方法热取G人，再从6人中随帆葫取 “拉格面日中情定理”是法国数学深拉格朗日在其著作《解析数论中静出的，其内容 4人调查其达物见类的复风， 为若两数y一)满足如下条并，D在区间L,d们上的图象是连辑的：必在区间《u:6)上可 (「》用X表示这4人中男生的人数，求X的分布列及数学期望： 导，嫻在区到ab上至少存在一个实数能得a)=广（传成立.已年函数r) (目)已知这4人中有女生的条件下，象男生，女生人数不相等的概电 一 wtad-e) 一x十mr 用，Xa++aeb+其中w一u+6++ 1)e后@，+，日a<8,春1每酸立，求如的取值范周： 010 3,06,817 （白当w=兰，是看程在区。6>，0生生兰r者作在，可 出证明注程：若不存在，说明理由： (3)当m<一1时.设f(r》的晰个极植点为r1且1r任明：心-<-4m 酸学试是第3贡1共页引 数学试理规4面（共4面】绝密★启用精 齐鲁名校大联考 二，选择票：本题共3小丽，每小驯6分，共18分。在每小别给出的选项中，有多项符合题日 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 要求。全韩这对的得6分，部分这对的得部分分，有选情的得0分。 0。如图是2024年11月27日国家花计局发布的2023年1一10月到2024年1一10月的各月 黑计营业收入与科闲总颜同比增速的折线图，赠 数学 比增通坪 本其程总分150分，考试时同120分伸。 0 注意事项： L答套前，考生务必将自己的姓名，考生号等填国在答题卡和试春指定位置。 2风答注择题时，进出每小题答案后，用船笔把答题卡上对应题目的答案标号涂果。如 需政清，用像皮擦干净同，再达徐他答案标号，风答丰选师愿时，将容案写在答思卡上， 5 写在本试静上无效： 3。考试结束后，将本试整和答卡一并交同 一，选轿题：本丽共8小题每小题5分，共4排分。在每小题给出的四个瑞项中，只有一顶显 203年-11月1-2月34年【-3月4月1-5月6月-1月8月19月-神月 井合题日菱求的。 -10月 1-月 1已如 =a+b1(a,b∈R,则e6 一螺计香通收入此液这·一第计利现总钢鞋比地密 A,累计营业牧人同比增速的方差大于累计利调总额同比增迪的方差 A.3 R一3 c D-i 且据什利润总额同比增速的板差为1B 之已知电合A一叶-B-任lGa,者款Ana-A,超。的取货移调 C.累计置业收人同比增违约众数为2.9 口累计列洞总额同比增违的40%分位数为一23 A.[0.+) (0,+o) D一 10.在棱长为2的正方体ACD-AB,CD,中，E为AB的中点，P是侧面BCCB,内的动 怎已知△ABC的童积为4.在平围AC内，将△AC条A点旋转1B0矿得到对应的 点，下列说法正确的是 △AB:C1,则△AB,C的面积为 A.平mAPC1⊥平面A,BD A.2 4 C D.8 4,己知WCtz2+y=1与WC1《x-a)2+2=,2(r>0》有3条公招线，圆C覆题周C, 且，若四罪体A,-BDC,的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为48 C,期调C直积的最小值为 A.9n B.12n C.15e D.18r C当点P在线段BC。上运时，异面直线A:P与AD,所成角的取值危调是行引 点已知me+}-子，期 D当直线PE与直线CD质成的角超号林，点P的涤长度为停 2 na3 11,已知互不相等的正实数a,∈(1,2,3,4)(6=1,2,3,4g44g,4,是a1g,:的任 A号 n 章颗序的一个排列，定义随机安量X,y情是一imin,,ne,》别 Y=minmax0,与，mxg1g: 人巴知直线y-与双由线C号茶-16>0)相交于A,B两点.若AB一面，测 APX>n-情 B Px2Y)- C的离心率为 n cpxm-号 D.P(IX-Y1=1》=1 三，填空题：本题其3小题，每小题5分，其15分。 7若方程x一2x+,√2一1一0的非整数根量函数fx)一心x一+a+1(a,6EN”)的一 12,已知向量a=(2m十1，一1)：b=(mm十1)，若⊥，则m的值为 个零点，集「(x)图象的对称中心为 A.(0,1) 我(0,2) C.(2,0) D(2,1) 13。“曼验额影离是一种在儿和空间中用于衡量两点之可距离的方式，如在n推空间中，设 &若定义在D上的两数f:),1∈D,fx::了》：f八》可以作为个三角 点A(1),B(1…以.，则望哈顿面离“表示为dA,)=名不，一 影的三条边长，媒称f(x)是D上的“三角形函数”.已角函数f《工)一xnx中t是定义在 区阀。]上的三角形函数”，谢：的政值范围是 者稻周C:号+y=1的左瓶点为P,上顶点为：，直线F交C另一放A,则A日两 A.(C.(D.(+) 点的“是雅铜是离”d:A,B)一 ,若将C在x鞋上方的富分沿x轴图折得到一 个直二面角，则在空间直角坐标系中，d:(A,B)= 题学试题第1百（共4百） 酸学试用第2贡引共4圆引 14.已知两数e)=im(ar+p>0,0<g<营》简=0，当：=一时，f=)取得频 17.《16分) 如图，已知正方形ABcD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2,AF=1,点M在 值，且当xE(-若时()单河通增，厨x)在[-，止的零点个数为 线段EF上运动 MF 国，解苦题：本题共5小题，共77分。解答放写出文字说明，证明过程或演算乡墨。 (1D若AMM平面BDE,求F的植： 15.(13分) (2)来三校维4ABD的体积： 记数列（日，}的前w项和为S,已细1一1，数列。一2十2）是公比为2的等比数列 (3)当FM一2ME村，求平面BDM与平面BDP夹角的余弦值 (1)求{a.}的通项公式， 《2)记（知）=S。一空，是否存在实数，便得《n)=k有两个解？若存在，求出的值： 若不存在，说明理山， 18,《17分》 已复隔目M后+若-16>0)的高心率为停M上的点与其中一个斯点的距离的 16.05分) 最小值为2一5. 新高考模式的选科量按物理类与历史类两大块组合进行，即物用与历史必透一科，再从 (1)求M的方程： 化学，生物，地里，政治四个学科中任这两科，知上语文，数学，英语组成一种组合，箭移将理 (2)段直线I,y=r+2与M相交于不同韵两点C.D, 类”与”历史类“，为了解选科相合是否与性别有关，某机构随机选取了1心0名学生，进行了间 (1)点C关于原点的对称点为C,直线DC'的斜为'，任明：6‘为定植： 卷调查，得到如下的2×2列联表： 遮科州合 ()当1CD-时，求的航 性判 物理到，史卖 合计 月生 40 女生 合计 已知在这100名学生中陆机物取1人，排到这物理英学生的瓶峰为0,6， (1》完成表申数据，并根据小概率值：=0,005的数立性检验，判唐选科组合是登与性测 有关 19,17分》 2)从上述达物理类的学生中利用分层随机抽样的方法抽取6人，再从6人中随机袖取 “拉格阁日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作（解析函数论》中给出的，其内客 4人到查其选物甲类的原因， 为若函敢y一/(x)商足如下条件：①在区闻[a,b]上的图象是连续的：②在区间《a,b)上可 (「)用X表示这4人中男生的人数，求X的分布列及数学期望： 孕，则在区间a上到少存在个实数，桃6）二@》-广《成立.已知函数r) (目)已知这4人中有女生的条件下，求男生，女生人数不相等的概 b一d w(ad一x) 一x十m实 附：X-a+C+a十e6+其中0-u十b+c十d （DYa.be60,+o,且ab,石a》二/62≥1恒成文.求m的取值底围： 4一6 2.3063,841.477 （②当一音，是看作在区可a6>0,快a生>（告艺r者存在，写 出证明过程：若不存在，说明理由： (3)当现<-1时，设f(x》的两个做直点为x1,且1<xan任明：e一<一4m 整￥试层第1蜀引共4万1 登学试型原4面（共4图） 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 ·数学· 叁春登案及解折 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测·数学 一、选择题 (x2 y2 1.c【解折】由告a+i,得+号 (2+i)(1+i) 462=1, 6.C【解析】由 整理得(62-1)y2= 1 y= a+bi,化简得分+号i=a十i,所以a=子， 2x, b b=名从而a6= ,则62-1>0，所以y=设Ax, 4 所以|AB|=2W5|y1I,所以|AB|3=20y= 2A【解桥】因为A={:中≥0} 0%又由题意知AB=30,所以 20b2 =30, {生>≥0=ex>0或x≤-1，所以 CRA={x|-1<x≤0}，所以由(CRA)∩B= 解得6=3，所以C的离心率e=+ CRA可知a≥0. 3.B【解析】由题意知点B,与点B关于点A +- 对称，所以AB1=AB,所以△AB:C与△ABC 7.B【解析】由x2-√2x十√2-1=0，得x1= 等底等高，所以两三角形面积相等，即△AB1C 1,x2=√2-1，所以f(W2-1)=0,即a(W2- 的面积为4. 4.A【解析】由题意知圆C1与圆C2外切，所以 1)3-b(W2-1)+a+1=0,即5√2a-7a r=2.因为圆C覆盖圆C1,C,设点P,Q分别 √2b+b+a+1=0,即(5a-b)√2-6a+b+ 在圆C1,C2上运动，则|PQ|的最大值为6，所 以当圆C的直径为6时，恰好覆盖圆C1,C, 1=0.因为a,b∈N,所以/5a-6=0, 。解 -6a+b+1=0, 所以圆C面积的最小值为S=9π. 得1， 5.D【解折】记a+号-0，则sn0=号a=0 6-5,所以fx)=x-5x+2.设fx)图 象的对称中心为点(m,n),所以f(m十x)+ 子，所以2a=20-,所以2a-号-20-，故 f(m一x)=2n,化简整理得3m.x2十m3一 (m=0, cos(2a-3）=cos(20-)=-cos20=-1+ 5m+2=n,所以 解得 m3-5m+2=n, 2m0=-1+2×g=-又sn(。-）- 7 m=0, 所以f(x)图象的对称中心为点(0,2). n=2, 8.A【解析】由f(x)=xlnx十t,得f'(x)= (0-=-0=-所以 2a-】 ne到 1nx+1.令f(x)=0,得x=是当x∈[， 7 97 日)时，fx)0,f)单调递减：当x∈（日 3 3 e时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以当x∈ 。1 ·数学· 参考答案及解析 [忌e]时fx)m=f(日)=-+.又 BC所成角最大，且为，所以A,P与BC, )=-是+，f(e)=2e+,所以 所成角的取值范围是[行，]，故C正确，对 f(x)x=2c2十t.由“三角形函数”定义可知 于D,直线PE与直线CD所成的角是，即 2f(x)m>f(x)>0,即2(-。+t)> ∠PEB= 子又易知∠PBE= 2,AB=2, 2e+1,化简得>2e+2,即1的取值范围是 BE=1,所以PB=√3，所以点P的轨迹是以 (2e+2,+∞） B为圆心，√3为半径的圆孤的四分之一，所以 二、选择题 点P的轨连长度为，放D正确。 9.BCD【解析】对于A,由题图中的数据波动情 11.ACD【解析】根据题意知1,2,3,4的全排列 况可知累计营业收入同比增速波动小，累计利 有A=24种，因为随机变量X,Y满足 润总额同比增速波动大，即累计营业收入同比 增速的方差比累计利润总额同比增速的方差 X=max(minfa,a,miniaa), 所 小，故A错误；对于B,累计利润总额同比增速 Y=min(max(ai,ai),max(ais, 的极差为10.2十7.8=18，故B正确；对于C,累 以当{a1,a2}=(1,2}或{3,4}时，X=3, 计营业收入同比增速中，因为2.9出现的次数 Y=2:当{a1,a2}={1,3}或(2,4}时，X=2, 最多，所以众数为2.9，故C正确；对于D,累计利 Y=3:当{a1a,}={1,4}或{2,3}时，X=2, 润总额同比增速的数据从小到大依次为一78， Y=3.又{a,,a2}={1,2}或{3,4}时，即满足 -4.4,-4.3,-3.5,-2.3,0.5,3.4,3.5,3.6,4.3, X>Y的排列有1234,1243,2134,2143， 4.3,10.2.因为12×40%=4.8，所以40%分位数 3412,3421,4312,4321,共8种，所以X>Y 为一2.3，故D正确. 的概率P(CX>)=-3,故A正确，B错 81 10.ACD【解析】对于A,连接AC,则AC⊥ 误.同理可知当{a1,a,}={1,3}或{2,4}时， BD,CC1⊥平面ABCD.因为BDC平面 ABCD,所以CC1⊥BD.因为AC∩CC1=C, P(X<Y)=3:当(a1a)=1,4}或2,3) 所以BD⊥平面ACC1.又AC1C平面ACC1, 所以AC⊥BD.同理可得AC1⊥A1B.又BD∩ 时，P(X<Y)=},所以P(X<Y)=号，故C A1B=B,所以AC1⊥平面A1BD.又AC1C 正确.因为当X=3时，Y=2;当X=2时，Y=3, 平面APC1,所以平面APC1⊥平面A1BD,故 都满足|X-Y=1,所以P(X-Y1=1)=1, A正确.对于B,因为四面体A,-BDC1的外接 故D正确. 球即为正方体ABCD-A1BC1D1的外接球， 三、填空题 BD1为外接球的直径，且易求得BD1=2√3， 则球O的表面积为12π，故B错误.对于C,因 12号 【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,即 为AD1∥BC1,所以异面直线A1P与AD1所 (2m+1)m-(m+1)=0,即2m2=1,解得 成的角即为∠A1PB(或其补角).连接AC1, A1B,可得△A:BC1为等边三角形.当点P在 m土 2 点B或点C1处时，A1P与BC1所成的角最 13. 8 3 【解析】由题意知F(-1,0),B(0, 3 小，且为；当点P在BC,中点处时，AP与 1),所以直线AB的斜率kAB=1,所以直线 。2· 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 ·数学· 四、解答题 AB的方程为y=x十1.联立 十y2=1·得 15.解：(1)由题意得a1=1,记bn=a。-2n+2, y=x+1, 所以b1=a1-2×1+2=1, (1分) 4 x=0, 3 所以{b,}是以1为首项，2为公比的等比数 1,或 所以A(-分-)，故 列，所以b.=2”-1, (3分) y=-3 即a.-2n+2=2m-1, da,B=-+-号-1=号将2 从而a.=2"-1+2n-2. (5分) (2)由(1)得S.=a1十a2十…+a. 轴上方的部分沿x轴翻折得到一个直二面 =(1+2+22+…+2-1)+2(1+2+…+n)-2m 角，建系易得a:A,B)=号+号+1=号 -12 -1二2+2x0+mm-2n 2 14.4【解折】因为当x∈(-行·若)时，fx)单 =2"+n2-n-1. (8分) 调递增，所以若-(-）≤云又。>0，所以 则f(n)=S。-2=n2-n一1， (10分) 5 0<m≤2.由题意知sin(20+9）=0, 所以m)=--1-(a-》广- 因为n∈N”,f(n)单调递增， /(--1,所以登+p=x:∈z: 所以不存在k,使得f(n)=k有两个解. (13分) π 3w十9=2十k:,k,∈Z,两式相减得 16.解：(1)因为从100名学生中随机抽取1人， w=受+(：-1)x,1,k:∈Z,即如 3π 抽到选物理类学生的概率为0.6， 所以选物理类的学生有100×0.6=60（人）， -2一4(k,-k1) 2十4(k2-k:) 选历史类的学生有100一60=40（人）.(2分) 3 3 3 补全2×2列联表如下： 2 k1k,∈Z.当k:一k1=一1时，w=3,此时 选科组合 性别 合计 =13+k,k:∈乙，不符合题意.当： 物理类历史类 =18 男生 40 10 50 ,=-2时w=2,此时甲-7后+x,点：∈2， 女生 20 30 50 所以当：=-1时，9=吾，所以f(x) 合计 60 40 100 零假设为H。:选科组合与性别无关， sin(2x+)此时fx)在区间(-子，晋) 根据列联表中的数据，经计算得到X 上单调递增，符合题意.令f(x)=sin2x十 100×(40×30-10×20)2=50 60×40×50×50 3 ≈16.667> 君）=0，所以2x十吾=m,k∈Z,即x= 7.879=x0.005… (6分) 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们 是+经4五令-≤-是+经≤x,解得 推断H。不成立，即认为选科组合与性别有 号<<号所以质=-1,01,2，共有4个 关，此推断犯错误的概率不大于0.005.(7分) (2)按分层随机抽样的方法抽取的6人中，男 解，即f(x)在区间[一π，π]上有4个零点. 生有4人，女生有2人. 。3· ·数学· 参考答案及解析 (1)由题意知X的所有可能取值为2,3,4， (2)因为四边形ACEF是矩形， P(X=2)= CC2 所以EF∥AC,AF⊥AC C%5 又EF丈平面ABCD,ACC平面ABCD, P(X=3)= CC:8 C=15 所以EF∥平面ABCD, C8C41 故当点M在线段EF上运动时，点M到平面 P(X=4)= C%15' (10分) ABCD的距离即为点F到平面ABCD的距离. 故X的分布列为 (6分) X 2 3 4 又正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面 2 8 1 互相垂直， 5 15 15 所以AF⊥平面ABCD, (11分) 所以点M到平面ABCD的距离为1， 25 8 所以V三棱锥ABD= 5amX1=号×× 1 所以E(X)=2X +3× 15 (12分) 11 2 ()记“这4人中有女生的条件下，男生、女 ABXAD=3×2X2X2= 3 (8分) 生人数不相等”为事件A, (3)由题意知CE∥AF,所以CE⊥平面 P(X=3) 则由(1)知P(A)=P(X=2)+P(X=3) ABCD. 因为CD,CBC平面ABCD, 8 15 所以CE⊥CD,CE⊥CB. 4 (15分) 又CD⊥CB,所以CD,CB,CE两两垂直. 以C为坐标原点，CD,CB,CE所在直线分别 17.解：(1)设AC与BD交于点O,连接EO, 为x轴、y轴、x轴，建立如图所示的空间直角 如图， 坐标系. 则O为AC,BD的中点， 所以平面ACEF∩平面BDE-EO. 因为点M在线段EF上， 所以AMC平面ACEF. B 又AM∥平面BDE,所以AM∥EO.(3分) 又EM∥AO,所以四边形EMAO为平行四 D 边形，所以EM=AO. 在矩形ACEF中，O为AC的中点，可知M 因为AB=2,AF=1, 为EF的中点， 所以C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),E(0, 所以部-子 0,1),F(2,2,1) (4分) 设M(x,y,1),因为FM=2ME,所以x= 子y=号即M(号 所以D-(←专号)丽=(-2,20 D=(0,2,1). (10分) 4。 2025届山东省高三第六次学业水平联合检测 ·数学· 设平面BDM的法向量为n=(x1,y1,z1), 则·DMi=0, 两式相减得一」 1 x-x月 41 (5分) n·DB=0, 又直线1：y=kx十2的斜率为k,直线DC的 斜率为k', 4, 即/一3x1+2y1+21=0? 所以k'=一当.十y=一 -2x1+2y1=0. x2-x1x2十x1x号-x 令x1=1,得1=121=行，所以平面BDM 子即为定值-子 (7分) 的一个法向量为n=(11,号) (12分) （1)解：联立少=x+2, 得(1十4k2)x2+ x2+4y2=4, 设平面BDF的法向量为m=(x2,y2,之2)， 16kx+12=0, (8分) 由题意知△=(16k)2一4×12×(1十4k2)= 则 m·DF=0, m·DB=0, 即2：+2=0， 或公 64k2-48>0,解得k<- 2 由根与系数的关系得x1十x2= 16k -2x2+2y2=0. 1+4k2” 令y2=1,得x2=1,xg=-2,所以平面BDF 12 的一个法向量为m=(1,1,一2)， (13分) x1x2=1+4k' (12分) 所以|cos〈n,m〉|= n·m nm 所以|CD|=√1十k2|x1一x2|=√1+k2· 1x1+1x1+号x(-2) 256k 48 42-3 √33 √(1+4k2)2 1+4=4V1+. √(1+42)2· ×6 33, (14分) 9 所以平面BDM与平面BDF夹角的余弦值 因为CD1 13 为 33 (15分) 所以4√1十k· 4k2-324 √(1+4k2)=13 e= 即1+k2)(4k:-3)36 18.(1)解：由题意得 a2, (1十4k2)2 169 a-c=2-√3， 化简得100k-119k2-543=0, 解得a=2,c=√3， 解得2=3或k2=- (合去， (16分) 又由a2=b2十c2,得b2=1, 所以M的方程为号+y=1 (3分) 所以=士，符合长-停或> 2 (2)(1)证明：设C(x1,y1),D(x2,y2),且 故k的值为士√3 (17分) x1≠x2, 19.(1)解：由“拉格朗日中值定理”可知，3xo∈ 则点C关于原点的对称点为C'(一x1,一y1). a,b),使得fa)-f6) =f'(xo), a-b +y=1 4 所以原题等价于'(xo)≥1恒成立. 因为点C,D均在M上，所以 又f'(x)=e-2x十m, 4+=1, 所以f'(xo)=eo-2x。十m≥1恒成立， ·5· ·数学· 参考答案及解析 即m≥2x0-e0十1恒成立. 所以存在区间[a,b](a>0),使fa)+fb) 因为xo∈(a,b),且a,b>0, 2 所以令g(x)=2x-e2+1,x>0, f）得证 (10分) 则g'(x)=2-e. (3)证明：因为m<-1,所以一m>1. 令g'(x)=2-e2=0,解得x=ln2.(2分) 当x∈(0，ln2)时，g'(x)>0,g(x)单调 又f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1<xg, 递增； e-2x1+m=0, 所以 当x∈(ln2,+∞)时，g'(x)<0,g(x)单调 e2-2x2+m=0. 递减， 设t1=e,t2=e,则t1-2lnt1=tg 所以当x=ln2时，g(x)取得最大值，为 2In t:=-m. (12分) g(ln2)=2ln2-1, 令G(x)=x一2lnx,则G(x)的图象与直线 所以m≥2ln2-1, y=一m交于(t1,一m),(t2,一m)两点. 故m的取值范围为[2ln2一1，十∞).(5分) 因为G'(x)=x-2 (2)解：当m=- 2时：存在区间[a,b1,使 所以当x∈(0,2)时，G'(x)<0,G(x)单调 生/>f士)证明如下： 递诚； 2 当x∈(2，+∞)时，G'(x)>0,G(x)单调 当m=-时，f)=e-x 3 递增， 2, 所以0<t1<2<t2,所以t2-t1<t2.(14分) 所以f(x)=e-2z-号 (6分) 令(x)=子，所以h(x)=若的图象与直线 令t(x)=f'(x)=e-2x- 2x>0, y=一m交于点（一4m,一m). 则t'(x)=e-2. 令9x=G(x)-h()=琴-2h,则 当x∈(0，ln2)时，t'(x)<0,t(x)单调递减； p(x)=3-2-3x-8 当x∈(ln2,+o)时，t'(x)>0,t(x)单调 4 x 4x 递增. 当x∈(0，）时，p'(x)<0,9(x)单调递减： 又u0)=1-=<042)=e- 当x∈（得，+∞）时，g(x)>0,g(x)单调 ()->0 递增， 所以3xo∈(ln2,2),使得t(xo)=0. 86 所以当x=号时，9(x)取得最小值9(3) 当x∈(0，x。)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(xo+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 2-2ln3' (8分) 所以当0<a<xo<b时，f(x)在区间[a,b] 所以gc)≥2-2h8>2-2he=0, 上的图象恒在连接两点A(a,f(a),B(b, 所以G(x)>h(x), (16分) f(b))的线段的下方（端点除外），而 所以-m=h(-4m)=G(t:)>h(t2), fa)f为线段AB的中点值，（士 所以t2<一4m, 2 所以e一e1=t2一t1<t2<-4m.(17分) 为f(x)在区间[a,b]中点处的函数值， 6