第二章 导数及其应用（章末综合检测卷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

第二章导数及其应用章末综合检测卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 2．已知，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（   ）． A．3 B．2 C．1 D．0 6．已知，，，，则，，，的大小关系正确的为（   ） A． B． C． D． 7．对，设是关于的方程的实数根，，其中符号表示不超过的最大整数，则（   ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2025 8．若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（   ） A． B． C．1 D．2 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 10．函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．曲线是中心对称图形 D．若，且的最小值是0 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．函数的单调增区间为 . 13．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是 . 14．已知函数，则不等式的解集为 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. 16．（15分）已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 17．（15分）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，若对任意的恒成立，求的最小值． 18．（17分）已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)已知，函数，若，求证：. 19（17分）．已知函数. (1)求的极值； (2)若，. （i）求的取值范围； （ii）比较与的大小，并说明理由. 试卷第1页，共3页 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章导数及其应用章末综合检测卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 2．已知，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可求得，求导可得，令，可求得，可求切线方程. 【详解】令，可得，即，解得， 由，可得， 令，可得，解得， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D. 3．已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数表达式同时求导并令解方程即可求得结果. 【详解】由可得， 令可得，即. 故选：B 4．若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 5．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（   ）． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可． 【详解】函数，求导得：，令为在上的“拉格朗日中值点”， 则有，即， 整理得，解得， 所以函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为2. 故选：B. 6．已知，，，，则，，，的大小关系正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数研究函数的单调性，再判断的大小，进而利用单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以， 当时，，即在上单调递增， 因为， 所以，又， ，则， 又，， ， . 故选：D. 7．对，设是关于的方程的实数根，，其中符号表示不超过的最大整数，则（   ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2025 【答案】A 【分析】先构造函数，利用函数单调性确定方程实数根的范围，进而得到的表达式，最后根据的表达式计算的值. 【详解】设，对其求导可得. 因为，所以，这表明在上单调递增. . 当时，，所以，. 根据零点存在定理，因为在上单调递增且，，所以. 由可得，即. 因为，所以. ，根据等差数列求和公式可得： . 则. 故选：A. 8．若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先把不等式化简转化，再构造函数令，再求导函数得出切线计算化简转化求解. 【详解】不等式可化为， 令， 当时，，此时，直线恒过点， 故只需直线为曲线在点处的切线即可，，此时． 当时，曲线亦恒过点，为使，对一切恒成立， 需曲线开口向下，且在点处与曲线有公切线即可， 故，此时． 综上，的取值范围是，所以的可能取值为. 故选：A. 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】AD 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 10．函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将化简得到两个函数.讨论两个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解. 【详解】由，，得， 求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数. 函数的导函数，当时；当时. 所以函数在上单调递增，在单调递减. 时有最大值，时， 时，，. 过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示. 所以函数的零点个数为1个或2个. 故选：BC. 11．已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．曲线是中心对称图形 D．若，且的最小值是0 【答案】ABC 【分析】利用对数函数定义域求法可得A正确，由复合型对数函数单调性可判断B正确，利用函数对称性定义代入计算可得，因此C正确，求导可得，再由基本不等式计算可得即可，可判断D错误. 【详解】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确； 对于B，当时， 易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，令，， 因此的图象关于点中心对称， 易知满足， 可得的图象关于点中心对称，可得C正确； 对于D，时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故， 而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误. 故选：ABC. 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】首先求函数的导数，再结合导函数的单调性和零点，即可求解函数的增区间. 【详解】函由数，得， 因为单调递增，单调递减，所以单调递增， 当时，，所以当时，， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 13．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，从而得到不等式，求出. 【详解】的定义域为， ， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故若函数在子区间上不单调，则， 解得， 故k的取值范围为 故答案为： 14．已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先证明函数的对称中心，即，化简不等式得到，然后由导函数得到函数单调性，然后由单调性得到不等式，就不等式即可. 【详解】, 则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， 即函数在上单调递增， ∴，即，∴， 即. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义可得，结合，即可求实数的值； （2）由（1）知，根据导函数的符号，可求的单调区间和极值. 【详解】（1）， 由题意知，，所以 又因为，所以； （2）由（1）知， 当时；当时，； 当时， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，取得极大值； 当时，取得极小值， 16．（15分）已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 【答案】(1)，有两个零点 (2)证明见解析 【分析】（1）根据极值点定义代入计算可得，得出相应单调性以及零点存在定理可得结论； （2）对函数求导得出其单调性求出的最小值，可证明得出结论. 【详解】（1）的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 （2）证明：当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 17．（15分）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，若对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导之后分和讨论得到单调性即可； （2）由条件得到时函数极小值，令极小值大于零，得到关于的不等式，再构造函数，求导分析单调性得到最值即可. 【详解】（1）， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可得时，当时，函数取得极小值，又，若对任意的恒成立，不符合题意， 所以当，，即， 即，即， 代入， 设，则， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以的最小值为. 18．（17分）已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)已知，函数，若，求证：. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）切线斜率与导数有关系，故先分类讨论是否为0，若，则利用，但需注意； （2）先研究函数的最大值，使，再得到的表达式，再次研究函数最值即可. 【详解】（1） 当时，，显然不是的切线，不合题意； 当时，由题意，即，解得. （2）， 则， 因为，则得；得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由，当且仅当，即，所以， 设，则 得；得， 在上单调递增，在上单调递减， ，所以，所以. 19（17分）．已知函数. (1)求的极值； (2)若，. （i）求的取值范围； （ii）比较与的大小，并说明理由. 【答案】(1)极小值1，没有极大值 (2)（i）；（ii），理由见解析 【分析】（1）先求函数的定义域，利用导数求极值即可； （2）（i）先将转化为，构造函数，利用导数求即可； （ii）不妨设，比较与的大小，即比较与的大小，作差有，设，构造函数，利用导数求即可 【详解】（1）根据题意有的定义域为， 因为， 所以， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在时取得极小值，且极小值，没有极大值； （2）（i）.即， 设，则， 因为时.，若.即时，，在上单调递增， 所以，即，，满足题意. 若，即时，， 因为在上单调递增，且， 所以时，，单调递减，.不满足题意， 综上得.的取值范围是； （ii）不妨设，比较与的大小， 即比较与的大小，即比较与的大小， 设，， 则. 设. 则.所以单调递增. 所以.单调递增.所以. 所以. 试卷第1页，共3页 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$