第二章 导数及其应用（A考点梳理卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第二册）

第二章 导数及其应用（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、导数的概念及其运算 一、单选题 1．已知数列的通项公式为，根据题意，该数列的前4项和（   ） A．16 B．18 C．12 D．14 2．在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 4．数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 5．已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（   ） A．数列的通项公式 B． C．数列的通项公式为 D． 7．已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．的前30项和为357 三、填空题 8．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和 9．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，设数列的前项和为，则 . 四、解答题 10．已知数列的前项和，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：是等差数列，并求的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 11．已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 考点二、导数和函数的单调性 一、单选题 1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 7．已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．曲线在点处切线的斜率为 C．在单调递增 D． 三、填空题 8．若函数有唯一零点，则 ． 9．已知函数，则不等式的解集是 ． 四、解答题 10．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 11．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 考点三、导数与函数的极值、最值 一、单选题 1．函数的驻点为（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 3．若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 7．对于定义在R上的可导函数，为其导数，下列说法正确的是（    ） A．使得的x一定是函数的极值点 B．“在R上单调递增”是“在R上恒成立”的必要不充分条件 C．函数在给定的区间上必存在最值 D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调 三、填空题 8．已知在处取得极小值，则实数的值为 ． 9．已知，函数有两个不同极值点，则 . 四、解答题 10．已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 11．已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)求函数在上的最小值. 考点四、导数的综合应用 一、单选题 1．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的极小值为 C．在上单调递减 D．函数无零点 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，有两个零点 C．若有一个零点，则或 D．当时，有三个零点 三、填空题 8．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 9．已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 . 四、解答题 10．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 11．已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)若函数有两个零点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 导数及其应用（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、导数的概念及其运算 一、单选题 1．已知数列的通项公式为，根据题意，该数列的前4项和（   ） A．16 B．18 C．12 D．14 【答案】A 【详解】由，得，，，， ∴. 故选：A. 2．在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【答案】C 【详解】因为， 所以， 故选：C. 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意及图得，， ，当时，， ， 以上各式累加得：， 又，所以， 经检验符合上式， 所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， 所以， 故选：A. 4．数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，， ，， ， 故的一个周期为4． 又， 故． 故选：C 5．已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 则当时，， 于是得，即， 而，即， 因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，所以， 因为，所以， 则， 则 ， 故选：. 二、多选题 6．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（   ） A．数列的通项公式 B． C．数列的通项公式为 D． 【答案】ABD 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 所以，故A项正确； 所以，故B项正确； 所以，故C项错误； 因为， 所以， 由，，有， 又因为单调递增，所以，所以取值范围为，故D项正确. 故选：ABD. 7．已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．的前30项和为357 【答案】AD 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 8．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和 【答案】4048 【详解】由于为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，即， 因此，, 因此, 故答案为： 9．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，设数列的前项和为，则 . 【答案】 【详解】由题意可得， 故数列是以为公差，为首项的等差数列， 即，则有，，，， 则 ， 故， 则. 故答案为：. 四、解答题 10．已知数列的前项和，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：是等差数列，并求的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 而满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）数列中，，，显然，则， 所以是首项，公差为2的等差数列， 故，. （3）由（1）（2）得， ， 则， 两式相减得 ， 所以. 11．已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，. 由等比数列性质可得，又，， 所以， 所以，解之得或， 当时，，则，， 即与矛盾，故舍去； 当时，，则，， 所以,，满足题意； 所以，. （2）设， ， 设， 则，， 两式相减得， 所以，即. （3）证明：， ， ， 因为，易知随着的增大而增大， 所以，， 所以. 考点二、导数和函数的单调性 一、单选题 1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 3．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 4．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，定义域为， 则为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； 由，故排除A； ，当时，可得， 当时，为增函数，故排除D. 故选：C. 5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域是， 所以. 当时，，则在上单调递增，符合题意. 当时，由，得（负根舍去）， 所以当 时，单调递增； 当 时，单调递减. 依题意，函数在区间内存在单调递增区间， 所以，解得. 综上，. 故选：C. 二、多选题 6．如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 【答案】AD 【详解】对于A，由导函数的图象可知：当时，，时，， 且仅当时，， 故函数在上函数单调递减；在函数单调递增， 所以是函数的极小值点，所以A正确； 对于B，两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以B不正确； 对于C，由图像可知，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以C不正确； 对于D，由图象可得，当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数在上单调递增，所以D正确， 故选：AD． 7．已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．曲线在点处切线的斜率为 C．在单调递增 D． 【答案】BCD 【详解】函数的定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； ，， 所以曲线在点处切线的斜率为，B选项正确； 时，，，所以， 故在单调递增，C选项正确； ，在单调递增，则有，得，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题 8．若函数有唯一零点，则 ． 【答案】0 【详解】有1个零点，则方程有1个实数根， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，又当时，；当时，， 所以要与的图象有一个交点，则，解得． 故答案为：0 9．已知函数，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】，且的定义域为全体实数， 所以是奇函数， 而，所以单调递增， 从而， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 四、解答题 10．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【详解】（1）∵，∴， 且，∴， ∴函数在点处的切线方程为，即． （2）∵的定义域为R， ∴由（1）得． 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 11．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以. 若，则恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）方法一：当时，，不符合恒成立. 当时，由（1）可知，. 因为恒成立，所以，解得，故a的取值范围为. 方法二：恒成立等价于恒成立. 令，则. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则，故a的取值范围为. 考点三、导数与函数的极值、最值 一、单选题 1．函数的驻点为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】，令. 故选；B. 2．函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 【答案】D 【详解】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值． 故选：D. 3．若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此为的极值点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 4．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为既有极大值又有极小值， 且， 所以有两个不相等的正实数解，所以且，解得且. 故选：B 5．已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示：    由函数图象可得. 故选：A. 二、多选题 6．如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 【答案】AD 【详解】对于A，由导函数的图象可知：当时，，时，， 且仅当时，， 故函数在上函数单调递减；在函数单调递增， 所以是函数的极小值点，所以A正确； 对于B，两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以B不正确； 对于C，由图像可知，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以C不正确； 对于D，由图象可得，当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数在上单调递增，所以D正确， 故选：AD． 7．对于定义在R上的可导函数，为其导数，下列说法正确的是（    ） A．使得的x一定是函数的极值点 B．“在R上单调递增”是“在R上恒成立”的必要不充分条件 C．函数在给定的区间上必存在最值 D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调 【答案】BCD 【详解】对于A：的x不一定是函数的极值点， 比如：，，，在R上单调递增， 但不是的极值点，故A错误； 对于B：若“在R上恒成立”则“在R上单调递增”，若“在R上单调递增”则“在R上恒成立” 故“在R上单调递增”是“在R上恒成立”的必要不充分条件，故B正确； 对于C：由最值的定义可知，函数在给定的区间上必存在最值，C正确； 对于D：根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R上一定不单调，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 8．已知在处取得极小值，则实数的值为 ． 【答案】1 【详解】由，求导得，由在处取得极小值， 得，解得，此时， 当时，，当且仅当时取等号，当时，， 因此是函数的极小值点，所以. 故答案为：1 9．已知，函数有两个不同极值点，则 . 【答案】4. 【详解】由，可得， 令，即，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 10．已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【详解】（1）因为，则， 因为函数在处的切线方程为， 则，解得. （2）函数的定义域为， 则， 由可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的单调减区间为，单调增区间为， 故函数的极小值为，无极大值. 11．已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)求函数在上的最小值. 【详解】（1）， 由已知得，即，解得， 当时，在处取得极小值，所以. （2）由（1）得， 则， 令得，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ①当时，在上单调递增， ； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ； ③当时，在上单调递减， 综上，在上的最小值. 考点四、导数的综合应用 一、单选题 1．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则恒成立，， ， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 2．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 若函数的图象上存在点， 函数的图象上存在点，且关于原点对称， 则函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解，即有解， 令，则，当时，， 当时，，故当时，取最小值3， 由，，故当时，取最大值，故， 故选：A． 3．函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 4．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】等价于， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 所以只需，即． 故选：B. 5．已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则关于的方程有两个不同的实根，即关于的方程有两个不同的实根. 即与有两个不同的交点. 令，，解得. 递增，递减， 则有极大值.， 则可画出的草图.与有两个不同的交点. 则实数的取值范围是. 故选：D． 二、多选题 6．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的极小值为 C．在上单调递减 D．函数无零点 【答案】BD 【详解】定义域为， ，令，得或（舍去）， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以是的极小值点，极小值为，故B正确，A错误，C错误； ，即函数无零点，故D正确； 故选：BD． 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，有两个零点 C．若有一个零点，则或 D．当时，有三个零点 【答案】BD 【详解】函数的零点个数问题，可转化为与图象的交点个数问题．作出与的图象，如图所示．    当直线与相切时．设切点坐标为，因为，所以切线的斜率，所以切线方程为，即， 所以，解得，所以． 对于A,当时，有一个零点，A错误； 对于D,当时，有三个零点，D正确； 当直线与相切时，设切点坐标为．因为， 所以切线的斜率，所以切线方程为， 即，所以， 所以，所以． 对于C,数形结合，得或时，有两个零点，B正确； 对于D,若有一个零点，数形结合，得或或，C错误. 故选:BD． 三、填空题 8．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令即又函数有两个极值点，故方程有两个零点，即有两个零点，令则则当时，单调递减，当时，单调递增，故时，取极小值，也为最小值， 又时， 则有两个零点时，a的取值范围是 故答案为： 9．已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】， 由于为对勾函数，最小值为2，而，所以在单调递减， 故，作出的大致图象如下： 故要使恰有一个零点，只需要只有一个交点， 故，即， 故答案为： 四、解答题 10．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）因为恒成立，得，， 令，，则， 当，，当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则， 所以的取值范围为. 11．已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)若函数有两个零点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 【详解】（1），当时即解得 检验：当在递减；在递增 则是极小值点成立，所以. （2）由题意得函数的零点即方程的实根， ①（i）当时不成立. （ii）当时，令， 的减区间增区间. 当时..当时， 若有两个零点.即有两个实根， 则的取值范围. ②方法一： ， 令， 于是， ， 令，则， ， 则在单调递减，所以， ， 则在单调递减， 又因为， 方法二： ，令 ，令， 在单调递减，又因为，所以， 即，在单调递减， ， 又因为， 又因为在单调递增， 所以所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$