热点03 一次函数与反比例函数（15大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

热点03 一次函数与反比例函数 中考数学中一次函数与反比例函数部分主要考向分为五类： 一、一次函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分） 二、一次函数的应用（每年1~2道，3~6分） 三、反比例函数的图象与性质（每年1~3题，3~12分） 四、反比例函数的应用（每年1~2题，3~6分） 五、一次函数与反比例函数的综合（每年1~2题，3~13分） 一次函数与反比例函数在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察．其中，一次函数与反比例函数相结合的问题在中考中几乎必考一道解答题，往往2-3问，第一问一般是求一次函数或者反比例函数的解析式，第二问、三问往往考查面积问题、不等式问题等综合问题，第一问属于送分题，整体看如果考查三问，其中有两问是比较基础的考法，属于绝大多数同学都应该拿分的题目；在单选题、填空题中，一次函数、反比例函数常考图象与性质（较基础）、面积问题（中等题）、正确图象的选择、实际应用（较难），学生在进行本专题复习中，首先应该掌握基础知识和基本考法，其次，还应该多练习稍微综合但是典型考法的问题． 考向一：一次函数的图象与性质 【题型1 求一次函数解析式】 1 求解析式，一般采用待定系数法，设出y=kx+b后代入点的坐标求解； 2 如果题目已知了与y轴的交点，即纵坐标就是b的值； 3 求k时，也可代入公式 1．（2025·山东滨州·模拟预测）已知直线经过点与，则 ．（填“、、”） 2．（2023·山东·中考真题）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为 ．    3．（2024·山东济南·模拟预测）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为 ． 【题型2 一次函数的图象与性质】 1 k>0时，y的变化趋势与x的变化趋势一致，即y随x的增大而增大，随x的减小而减小，在比较两点纵坐标大小时，横坐标大的点纵坐标就大；k<0时，y的变化趋势与x的变化趋势相反，即y随x的增大而减小，随x的减小而增大，在比较两点纵坐标大小时，横坐标大的点纵坐标就小； 2 画一次函数的图象时，首选草图，即画准与y轴交点是正半轴还是负半轴以及图象从左向右看是上升还是下降，对于绝大多数题目都可以解决；若需要画精确图，一般找的是直线与x、y轴的交点. 1．（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k值可能是（　　） A．1 B． C． D． 2．（2024·山东菏泽·三模）点和在一次函数(、为常数，且)的图象上，已知，且当时，，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东聊城·三模）关于一次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点 C．当时， D．函数值y随自变量x的增大而减小 4．（2022·山东德州·中考真题）如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（    ）    A．该函数的最大值为7 B．当时，随的增大而增大 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 5．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 6．（2024·山东济宁·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ． 【题型3 一次函数与不等式、方程的关系】 1 对于 型不等式，首先在图象上找到纵坐标等于c的点，再分析该点左侧还是右侧满足不等式，从而确定x的取值范围； 2 对于 型不等式，首先在图象上找到 和的交点，再分析该点左侧还是右侧满足不等式，从而确定x的取值范围； 3 注意：有时所给不等式与函数解析式并不完全一样，需要判断是否需要对不等式进行变形，而不是直接找交点定范围。 1．（2023·山东威海·一模）如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集为 .    2．（2024·山东临沂·三模）如图，直线经过点，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·山东烟台·一模）一般的，在数学中我们规定将实数，，…，中的最大数记为，例如.那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【题型4 一次函数的综合】 对于最值问题，往往结合饮马问题和三角形的三边关系，寻找取最值时点的位置，然后进行求解. 1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·山东日照·二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 3．（2023·山东菏泽·三模）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像过点，与轴、轴分别交点、，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2023·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考向二：一次函数的应用 【题型5 一次函数的应用】 1 一次函数与物理知识结合时，常考弹簧称重问题，将已知条件转化成函数中的相关信息是这类题的关键； 2 一次函数的实际应用常考路程问题以及利润问题；当自变量是时间，因变量是路程时，图象的倾斜程度一般都代表了速度，直线越陡，代表速度越大；在利润问题，往往与一次方程、二元一次方程组相结合，上一热点已进行了总结，本处不再赘述。 1．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 2．（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 3．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（2023·山东济南·中考真题）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发 h后两人相遇．    5．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 6．（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下： 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣． (1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解析式；若，求的取值范围． (2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象． …… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… …… 考向三：反比例函数的图象与性质 【题型6 求反比例函数的解析式】 1 在求反比例函数解析式时，一般也是采用待定系数法，设出解析式后，代入一个点即可。 2 在计算k时，往往采用 计算速度更快。 1．（2023·山东青岛·中考真题）反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 ． 2．（2022·山东东营·中考真题）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ． 【题型7 反比例函数的图象与性质】 1 由于反比例函数的图象并不连续，因此在判断几个点纵坐标大小时，不能简单的根据横坐标的大小来判断，应分象限，结合函数的增减性去判断，当然，比较稳妥的方式还是根据k与0的关系，画出反比例函数图象，将所给点在图象上标出，结合图象去判断。 2 在运用图象解不等式时，由于图象不连续，因而这里也应该在各自象限内解不等式的范围，再将范围进行综合。 1．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济南·模拟预测）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·山东青岛·模拟预测）已知反比例函数，下列结论不正确的是（       ） A．图象必经过点 B．在每一象限内，随的增大而增大 C．若，则 D．图象位于第二、四象限内 5．（2024·山东聊城·三模）请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴的交点是   B．图象与x轴有一个交点 C．当时， D．y随x的增大而减小 【题型8 反比例函数的面积问题】 1 k的几何意义（注意面积与k的绝对值有关，根据图象所在象限再判断k的符号）： 2 当无法使用典型面积公式时，一般在反比例函数的图象上选取一个点，设横坐标，用字母表示纵坐标，由该点与其他点的关系，尽可能多的表示其他点的坐标，从而可以求出面积或面积的表达式。 1．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为 ．    2．（2022·山东烟台·中考真题）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 ． 3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D． (1)求k值； (2)求的面积． 4．（2018·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点、在反比例函数的图象上，则的面积等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2022·山东枣庄·三模）如图，过点作两条直线，分别交函数（），（）的图像于点，点，连接．若轴，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2022·山东日照·中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（    ） A．3 B．-3 C． D． 7．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【题型9 反比例函数点的特征】 1．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 2．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 3．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 4．（2023·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．    5．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（　　）    A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3 6．（2022·山东威海·中考真题）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 ． 考向四：反比例函数的应用 【题型10 反比例函数的应用】 注意：在进行实际应用时，结合实际意义，自变量可能只能大于0或者小于0，也就是说，这里可能并不是一个完整的双曲线，求解析式时需要标出自变量的范围。 1．（2024·山东德州·一模）已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．蓄电池的电压是 C．当时， D．函数的表达式 2．（2023·山东临沂·中考真题）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（    ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 3．（2022·山东德州·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．      (1)请求出这个反比例函数的解析式； (2)蓄电池的电压是多少？ (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 4．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 考向五：一次函数与反比例函数的综合 【题型11 一次函数与反比例函数的综合——图象问题】 对于选择一次函数与反比例函数图象的综合问题，如果没有给出参数的取值范围，一般是分析每一个选项的图象是否正确，假设一次函数正确，从而确定出k和b的范围，从而明确反比例函数该选项中是否正确。 1．（2024·河南平顶山·一模）若反比例函数经过点．则一次函数的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2022·山东滨州·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东泰安·中考真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2024·山东济南·模拟预测）在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．（2023·山东济南·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数与（其中a，b是常数，）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【题型12 一次函数与反比例函数的综合——面积问题】 1 若已知所求图形各顶点的坐标，则一般采取直接法，或者构造矩形的间接法求解面积； 2 若某顶点的坐标无法求解，则一般设出横坐标，用该字母表示纵坐标，求出面积的表达式； 3 对于与x轴平行的线段，长度为端点横坐标差的绝对值；与y轴平行的线段，长度为端点纵坐标差的绝对值。 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 4．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．      (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 5．（2023·山东·中考真题）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积． 【题型13 一次函数与反比例函数的综合——交点问题】 1．（2023·山东日照·中考真题）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ． 2．（2023·山东·中考真题）如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．    (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 3．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点，的面积是．若将直线向左平移 个单位，则所得直线与双曲线的交点只有一个． 4．（2024·山东烟台·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，若，则k的值是 ． 【题型14 一次函数与反比例函数的综合——不等式问题】 1．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ． 2．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 3．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【题型15 一次函数与反比例函数的综合——几何问题】 1．（2023·山东泰安·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．    (1)求反比例函数的表达式； (2)在第二象限内，当时，直接写出的取值范围； (3)点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标． 2．（2022·山东济南·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．    (1)求a，k的值； (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 3．（2022·山东青岛·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，． (1)求一次函数的表达式； (2)已知点满足，求a的值． 4．（2022·山东聊城·中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．    (1)求k，p的值； (2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标． 5．（2023·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值． 6．（2023·山东淄博·中考真题）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是 ．    （建议用时：15分钟） 1．（2024·山东临沂·模拟预测）下列函数的图象中，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后与原函数图象共同构成的图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·模拟预测）新定义：若两个函数图像有公共点，则称这两个函数图像为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 3．（2024·山东济南·二模）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从甲地前往乙地，两车同时出发，出租车到达乙地后立即以相同的速度返回，在货车到达乙地小时后，出租车返回到甲地．两车离甲地的距离 和行驶时间 的函数关系如图所示，则两车在途中相遇时的时间是（ ） A． B． C． D． 4．（2023·山东临沂·二模）为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润（万元）关于月份之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（2020·山东济南·一模）已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．y随x的增大而减小 C．若矩形面积为2，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，则 8．（2024·山东潍坊·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 9．（2024·山东潍坊·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到的下列结论中正确的是（    ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 10．（2023·山东枣庄·模拟预测）已知点到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离，据此进一步可得两条平行线和直线之间的距离为 ． 11．（2025·山东威海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，点B在x轴的负半轴上，连接．若，的面积为6，则k的值为 ． 12．（2023·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为 ． 13．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于坐标原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，则 ． 14．（2024·山东·模拟预测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．A、B、C三点在直角坐标系中的位置如图所示． (1)在y轴上存在一点P，使最小，在x轴上存在一点Q，使最小，连接，求所在直线的表达式； (2)以点O为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，，并写出三个顶点的坐标； (3)的三个顶点、、三个点能确定一个圆吗？如果能，请直接写出圆心坐标及半径长；若不能，请说明理由． 15．（2024·山东济宁·一模）在函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … －1 0 1 2 3 4 … y … 2 0 －2 b －2 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，________ （2）根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．    【探索】 （3）若点，在函数图象上，且，则与的大小关系为________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于x的不等式的解集为________． （5）若关于x的方程有且只有一个正根和一个负根，请直接写出满足条件的m的取值范围． 16．（2024·山东临沂·模拟预测）三角形的面积为4，是边上的高，设，． (1)y与x之间满足什么函数关系?请写出解析式并画出其函数图象； (2)若y与x之间还满足且与（1）中函数交于点和点B．求b的值，并直接写出B点坐标； (3)连接、，在y轴上找一点P，使得，写出P点坐标． 17．（2024·山东济南·模拟预测）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 18．（2024·山东临沂·二模）【问题提出】 在数学兴趣小组的研讨中，小明提出自己遇到的问题：解不等式． 【问题探究】 数学老师启发小明尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数和函数的图象，从函数角x度看，解不等式相当于求双曲线在抛物线上方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______，所以的解集为______． 【类比探究】 （2）受此启发，小明尝试解不等式．经过分析，小明发现需要借助函数和函数______的图象来求解．请在图2中画出相应的函数图象，并得出不等式的解集为______． 【拓展应用】 （3）小明想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组，并进行了一些准备，如图3所示．请根据小明的思路分析，直接写出该不等式组的解集______． 19．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)将直线沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 20．（2025·山东济南·一模）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点03 一次函数与反比例函数 中考数学中一次函数与反比例函数部分主要考向分为五类： 一、一次函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分） 二、一次函数的应用（每年1~2道，3~6分） 三、反比例函数的图象与性质（每年1~3题，3~12分） 四、反比例函数的应用（每年1~2题，3~6分） 五、一次函数与反比例函数的综合（每年1~2题，3~13分） 一次函数与反比例函数在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察．其中，一次函数与反比例函数相结合的问题在中考中几乎必考一道解答题，往往2-3问，第一问一般是求一次函数或者反比例函数的解析式，第二问、三问往往考查面积问题、不等式问题等综合问题，第一问属于送分题，整体看如果考查三问，其中有两问是比较基础的考法，属于绝大多数同学都应该拿分的题目；在单选题、填空题中，一次函数、反比例函数常考图象与性质（较基础）、面积问题（中等题）、正确图象的选择、实际应用（较难），学生在进行本专题复习中，首先应该掌握基础知识和基本考法，其次，还应该多练习稍微综合但是典型考法的问题． 考向一：一次函数的图象与性质 【题型1 求一次函数解析式】 1 求解析式，一般采用待定系数法，设出y=kx+b后代入点的坐标求解； 2 如果题目已知了与y轴的交点，即纵坐标就是b的值； 3 求k时，也可代入公式 1．（2025·山东滨州·模拟预测）已知直线经过点与，则 ．（填“、、”） 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． 直接利用待定系数法求出的值即可解答． 【详解】解：直线经过点与， ， 解得：， 故答案为：． 2．（2023·山东·中考真题）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为 ．    【分析】先把代入，求得，再设当时，与之间的函数表达式为，然后把，分别代入，得，求解得，即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， 设当时，与之间的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴与之间的函数表达式为 故答案为：． 3．（2024·山东济南·模拟预测）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为 ． 【分析】本题主要考查了线段最短，一次函数的实际应用．连接、，交于点P，由两点之间线段最短，可得出的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，到四个顶点的距离之最小的点就是点P，分别求出和的解析式，并求出其交点坐标即可得出答案． 【详解】解：连接、，交于点P，如图所示， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长， ∴到四个顶点的距离之和最小的点就是点P， 设所在直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得： ∴所在直线的解析式为 设所在直线的解析式为 点，在直线上， ∴ 解得： ∴所在直线的解析式为 联立两直线 解得：， ∴点P的坐标为：． 故答案为：． 【题型2 一次函数的图象与性质】 1 k>0时，y的变化趋势与x的变化趋势一致，即y随x的增大而增大，随x的减小而减小，在比较两点纵坐标大小时，横坐标大的点纵坐标就大；k<0时，y的变化趋势与x的变化趋势相反，即y随x的增大而减小，随x的减小而增大，在比较两点纵坐标大小时，横坐标大的点纵坐标就小； 2 画一次函数的图象时，首选草图，即画准与y轴交点是正半轴还是负半轴以及图象从左向右看是上升还是下降，对于绝大多数题目都可以解决；若需要画精确图，一般找的是直线与x、y轴的交点. 1．（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k值可能是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】本题主要考查了一次函数．熟练掌握一次函数的增减性，是解决问题的关键．根据一次函数的增减性质，逐一判断可得答案． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着x的增大而增大， ∴，解得． 所以k的值可以是． 2．（2024·山东菏泽·三模）点和在一次函数(、为常数，且)的图象上，已知，且当时，，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数增减性求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是熟练掌握用一次函数解析式判断其经过的象限． 结合、，即可判断、的取值范围，从而判断可能的图像． 【详解】解：，且， 、应为一正一负， ，， 即随着的增大而减小， ， ， 一次函数的图像会经过一、二、四象限． 故选：． 3．（2024·山东聊城·三模）关于一次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点 C．当时， D．函数值y随自变量x的增大而减小 【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数解析式中k、b的符号可判断选项A、D；令，求得，则可判断选项B；根据图象的升降可判断C，最后可确定错误的选项． 【详解】解：， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，且函数值y随自变量x的增大而减小； 故A、D两个选项正确； 令，得， 即图象与x轴交于点， 故选项B正确； 由于图象从左往右是下降的，故当时，， 故选项C错误； 故选：C． 4．（2022·山东德州·中考真题）如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（    ）    A．该函数的最大值为7 B．当时，随的增大而增大 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案． 【详解】解：由图象可知： A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意； B．当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意； C．当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意； D．设时，，则， 解得， ， 当时，； 设时，， 则， 解得， ， 当时，， 当和时，对应的函数值都等于4， 当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而减小， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴正半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2024·山东济宁·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ． 【分析】本题主要考查了新定义、一次函数的性质等知识点，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，据此即可解答． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，， ∴一次函数的“特征值”为9． 故答案为：9． 【题型3 一次函数与不等式、方程的关系】 1 对于 型不等式，首先在图象上找到纵坐标等于c的点，再分析该点左侧还是右侧满足不等式，从而确定x的取值范围； 2 对于 型不等式，首先在图象上找到 和的交点，再分析该点左侧还是右侧满足不等式，从而确定x的取值范围； 3 注意：有时所给不等式与函数解析式并不完全一样，需要判断是否需要对不等式进行变形，而不是直接找交点定范围。 1．（2023·山东威海·一模）如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集为 .    【分析】先求解交点A的横坐标，再结合图像可得关于x的不等式的解集． 【详解】∵直线和相交于点， ∴，解得， ∴，由函数图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴当时，． 故答案为：． 2．（2024·山东临沂·三模）如图，直线经过点，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先画出的图象，再结合图象即可得出答案． 【详解】解：的图象如图所示， ， ∵直线与直线交于点， ∴由图象可得，当时，的取值范围为， 故选：C． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 4．（2024·山东烟台·一模）一般的，在数学中我们规定将实数，，…，中的最大数记为，例如.那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了函数的图象，画出一次函数，，，如图，一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，根据函数图象比较大小可得，当时，，当时，，当时，，当时，，即可得出答案，熟练应用函数图象的性质进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：画出一次函数，，，如图， 一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，由图象可知， 当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以； 综上，函数的图象大致为A选项图形． 故选：A． 【题型4 一次函数的综合】 对于最值问题，往往结合饮马问题和三角形的三边关系，寻找取最值时点的位置，然后进行求解. 1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】作C（2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（-4，2），直线DG解析式为，即可得，由，得． 【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，如图： ∴，， ∴，此时周长最小， 由得，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵C、D关于AB对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，可得直线DG解析式为， 在中，令得， ∴， 由，得， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， 故选：C． 2．（2024·山东日照·二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，三角形的面积，点和圆的位置关系，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离． 求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点P是以为圆心，1为半径的圆上一点， 过C作于M，连接， ∴， ∴， 当P，C，M在一条直线时，最大，即的面积最大， 即， ∴面积的最大值， 故选：D． 3．（2023·山东菏泽·三模）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像过点，与轴、轴分别交点、，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【分析】根据题意找出数量关系，考虑直线的位置两种情形即可． 【详解】由得， 当时，，∴点的坐标为， ∴， 当时，，∴点的坐标为， ∴ 又∵图象过点， ∴， ∵， ∴， 解得： ①当时，由得，， ∴； ②当时，由得，， ∴； 综上可知：或． 故选：D． 4．（2023·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】先分析四边形的周长最小，则最小，如图，把沿轴正方向平移个单位长度得作关于轴的对称点 则 连接交轴于 则 所以当重合时，最小，即最小，再利用一次函数的性质求解一次函数与轴的交点的坐标即可求解． 【详解】解： 四边形的周长 ， 是定值， 所以四边形的周长最小，则最小， 如图，把沿轴正方向平移个单位长度得 则 则 作关于轴的对称点 则 连接交轴于 则 所以当重合时，最小，即最小， 设的解析式为： 解得： 所以的解析式为： 令 则 则 即 故选C 考向二：一次函数的应用 【题型5 一次函数的应用】 1 一次函数与物理知识结合时，常考弹簧称重问题，将已知条件转化成函数中的相关信息是这类题的关键； 2 一次函数的实际应用常考路程问题以及利润问题；当自变量是时间，因变量是路程时，图象的倾斜程度一般都代表了速度，直线越陡，代表速度越大；在利润问题，往往与一次方程、二元一次方程组相结合，上一热点已进行了总结，本处不再赘述。 1．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 2．（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为（） 两车行驶了小时，同时到达地， 如图所示，在小时时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两车距离发生改变，此时乙车休息， 点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发， ∴乙车休息了1小时，故D不正确， 设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意，乙车休息后两车同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢， ∵ 即 在时，乙车不动，则甲车的速度是， ∴乙车休息前速度为，故C不正确， ∴的距离为千米，故B不正确， 设小时两辆车相遇，依题意得， 解得：即小时时，两车相遇，故A正确 故选：A． 3．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 4．（2023·山东济南·中考真题）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发 h后两人相遇．    【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出小明和小亮的速度，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了， ∴小明的速度为：， 小亮0.4小时行驶了， ∴小亮的速度为：， 设两人出发后两人相遇， ∴ 解得， ∴两人出发0.35后两人相遇， 故答案为：0.35 5．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 6．（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下： 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣． (1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解析式；若，求的取值范围． (2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象． …… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… …… 【分析】（1）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可； （2）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答． 【详解】（1）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴重物×OA=秤砣×OB． ∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg， ∴2x=0.5y， ∴； ∵4>0， ∴y随x的增大而增大， ∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12， ∴． （2）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴秤砣×OA=重物×OB． ∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg， ∴2×0.5=xy， ∴； 当x=0.25时，； 当x=0.5时，； 当x=1时，； 当x=2时，； 当x=4时，； 填表如下： …… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… 4 2 1 …… 画图如下： 考向三：反比例函数的图象与性质 【题型6 求反比例函数的解析式】 1 在求反比例函数解析式时，一般也是采用待定系数法，设出解析式后，代入一个点即可。 2 在计算k时，往往采用 计算速度更快。 1．（2023·山东青岛·中考真题）反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 ． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 2．（2022·山东东营·中考真题）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ． 【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则点A的坐标为（-b，a），再由点B在反比例函数，推出，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°， 由题意得OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠CAO=∠DOB， ∴△ACO≌△ODB（AAS）， ∴AC=OD，OC=BD， 设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b， ∴点A的坐标为（-b，a）， ∵点B在反比例函数， ∴， ∴， ∴， ∴经过点A的反比例函数表达式为， 故答案为：． 【题型7 反比例函数的图象与性质】 1 由于反比例函数的图象并不连续，因此在判断几个点纵坐标大小时，不能简单的根据横坐标的大小来判断，应分象限，结合函数的增减性去判断，当然，比较稳妥的方式还是根据k与0的关系，画出反比例函数图象，将所给点在图象上标出，结合图象去判断。 2 在运用图象解不等式时，由于图象不连续，因而这里也应该在各自象限内解不等式的范围，再将范围进行综合。 1．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出反比例函数的图象在第一、三象限，结合，判断出、所在象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵点，在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴点位于第三象限，点位于第一象限， ∴， 故选：A． 3．（2024·山东济南·模拟预测）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当，在每一象限内y随x的增大而减小；当，在每一象限内y随x的增大而增大． 反比例函数中，则每一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵在反比例函数中， ∴反比例函数图象在第一，三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴这两个点在第三象限， ∴， 解得：， 故选：B． 4．（2022·山东青岛·模拟预测）已知反比例函数，下列结论不正确的是（       ） A．图象必经过点 B．在每一象限内，随的增大而增大 C．若，则 D．图象位于第二、四象限内 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．进行判断即可．掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：A、反比例函数的图象必经过点，原说法正确，不合题意； B、，在每一象限内，随的增大而增大，原说法正确，不符合题意； C、若，则，原说法错误，符合题意； D、，函数的图象分别位于第二、四象限，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 5．（2024·山东聊城·三模）请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴的交点是   B．图象与x轴有一个交点 C．当时， D．y随x的增大而减小 【分析】本题考查了反比例函数的图象与平移，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键．利用当时，求得与轴交点纵坐标确定A选项；当,求得与轴交点横坐标确定B选项；画出函数大致图形确定C、D选项即可． 【详解】解：A、当时，， ∴图象与y轴的交点是， 选项A错误，故不符合题意； B、∵， ∴图象与x轴没有交点， 选项B错误，故不符合题意； C、函数的图象是向右平移个单位长度，如图， 由图可知当时，成立， 选项C正确，故符合题意； D、由图可知当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 选项D错误，故不符合题意； 故选：C． 【题型8 反比例函数的面积问题】 1 k的几何意义（注意面积与k的绝对值有关，根据图象所在象限再判断k的符号）： 2 当无法使用典型面积公式时，一般在反比例函数的图象上选取一个点，设横坐标，用字母表示纵坐标，由该点与其他点的关系，尽可能多的表示其他点的坐标，从而可以求出面积或面积的表达式。 1．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为 ．    【分析】设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（2022·山东烟台·中考真题）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 ． 【分析】应用k的几何意义及中线的性质求解． 【详解】解：D为AC的中点，的面积为3， 的面积为6， 所以， 解得：m＝6． 故答案为：6． 3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D． (1)求k值； (2)求的面积． 【分析】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可； （2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积． 【详解】（1）解：根据题意可得， 在中，，， ， ， ，， ， 的中点是B， ， ； （2）解：当时，， ， ， ． 4．（2018·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点、在反比例函数的图象上，则的面积等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】设点的坐标为，然后根据中线的性质分别用含有的代数式表示点和点的坐标，然后计算的面积即可． 【详解】解：设点 ∵是的中线， ∴点是的中点， ∴ ∵点、在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选B． 5．（2022·山东枣庄·三模）如图，过点作两条直线，分别交函数（），（）的图像于点，点，连接．若轴，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】连接AO、BO，根据反比例函数解析式里比例系数k的几何意义，可得出、的面积，相加可得的面积，再根据同底等高的三角形面积相等，即可得出的面积． 【详解】 解：如图，连接AO、BO，AB与y轴交于点D， ＝×4 ＝2， ＝×|－2| ＝1， ＝2＋1 ＝3， ∵与同底等高， ∴． 故选：A． 6．（2022·山东日照·中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（    ） A．3 B．-3 C． D． 【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上， ∴， ∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上， ∴S矩形OABC=k2， ∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3， ∴k2-k1=3， ∴k1-k2=-3， 故选：B． 7．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设， 由题意得：． ∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 故选：C 【题型9 反比例函数点的特征】 1．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 2．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 【分析】设交与点E，过点作轴于点H．利用矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等可求出，，，，，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，则可出求的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设交与点E，过点作轴于点H． 四边形是矩形，，， ，，， 点是的中点， ． 在中， ，， ， 矩形沿直线折叠， ，，， ，， ，即， 解得， ， ， ， ， ． ， ． 又， ， ，即， 解得，， ， 点的坐标为， ． 故答案为：． 3．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 4．（2023·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．    【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，      ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点的坐标为． ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 5．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（　　）    A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3 【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBE＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠OAB＝∠CBE， ∵点A的坐标为（4，0）， ∴OA＝4， ∵AB＝5， ∴OB＝＝3， 在△ABO和△BCE中，， ∴△ABO≌△BCE（AAS）， ∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3， ∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1， ∴点C的坐标为（﹣3，1）， ∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C， ∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3， 故选：C．    6．（2022·山东威海·中考真题）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 ． 【分析】过点C作CE⊥y轴，由正方形的性质得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出∠CBE=∠BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴， ∵点B（0，4），A（2，0）， ∴OB=4，OA=2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CBA=90°，AB=BC， ∴∠CBE+∠ABO=90°， ∵∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠CBE=∠BAO， ∵∠CEB=∠BOA=90°， ∴， ∴OA=BE=2，OB=CE=4， ∴OE=OB+BE=6， ∴C（4，6）， 将点C代入反比例函数解析式可得： k=24， 故答案为：24． 考向四：反比例函数的应用 【题型10 反比例函数的应用】 注意：在进行实际应用时，结合实际意义，自变量可能只能大于0或者小于0，也就是说，这里可能并不是一个完整的双曲线，求解析式时需要标出自变量的范围。 1．（2024·山东德州·一模）已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．蓄电池的电压是 C．当时， D．函数的表达式 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题． 【详解】设， ∵图象过， ∴，故选项B正确，不符合题意， ∴，故选项D正确，不符合题意； 当时，，选项C正确，不符合题意； 根据函数图象可得当时，，选项A错误，符合题意； 故选：A． 2．（2023·山东临沂·中考真题）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（    ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【分析】根据题意，列出函数关系式，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴V与t满足反比例函数关系． 故选A． 3．（2022·山东德州·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．      (1)请求出这个反比例函数的解析式； (2)蓄电池的电压是多少？ (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【分析】（1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，将点带入表达式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式即可得到答案； （2）根据电压电流电阻即可求解； （3）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，设， 由图像可知，过点，则， 这个反比例函数的解析式为； （2）解：根据题意，电压为定值，即（1）中， 蓄电池的电压是； （3）解：由（1）知， 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，则，解得， 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在范围． 4．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可； （3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可． 【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； （2）解：当x≥3时，设y=， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ； （3）解：能，理由如下： 当x=15时，y==0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 考向五：一次函数与反比例函数的综合 【题型11 一次函数与反比例函数的综合——图象问题】 对于选择一次函数与反比例函数图象的综合问题，如果没有给出参数的取值范围，一般是分析每一个选项的图象是否正确，假设一次函数正确，从而确定出k和b的范围，从而明确反比例函数该选项中是否正确。 1．（2024·河南平顶山·一模）若反比例函数经过点．则一次函数的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．先确定反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， ∴该直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 2．（2022·山东滨州·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项， 当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确， 故选：A． 3．（2023·山东泰安·中考真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 4．（2024·山东济南·模拟预测）在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，分及两种情况寻找函数图象是解题的关键．分析当及时，两函数图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限． 故选：C 5．（2023·山东济南·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数与（其中a，b是常数，）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键． 【详解】解：若，，则经过二、三、四象限，反比例函数位于一、三象限，故A选项符合题意； 若，，则经过一、二、四象限，反比例函数位于二、四象限，故B选项不符合题意； 若，，则经过一、二、三象限，反比例函数位于一、三象限，故C选项不符合题意； 若，，则经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：A． 【题型12 一次函数与反比例函数的综合——面积问题】 1 若已知所求图形各顶点的坐标，则一般采取直接法，或者构造矩形的间接法求解面积； 2 若某顶点的坐标无法求解，则一般设出横坐标，用该字母表示纵坐标，求出面积的表达式； 3 对于与x轴平行的线段，长度为端点横坐标差的绝对值；与y轴平行的线段，长度为端点纵坐标差的绝对值。 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得，， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 4．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．      (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分点在轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， 图象如图所示：        （2）解：由图象可知：不等式的解集为或； （3）解：当点在轴正半轴上时：        设直线与轴交于点， ∵， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴； 当点在轴负半轴上时：         ， ∴ 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 综上：或． 5．（2023·山东·中考真题）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积． 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算． 【详解】（1）解：把代入中，， 解得， ∴， 把代入中，， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入可得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴C点坐标为， 过点C作轴，交于点，    在中，当时，， ∴， ∴． 【题型13 一次函数与反比例函数的综合——交点问题】 1．（2023·山东日照·中考真题）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ． 【分析】先判断出一次函数的图象必定经过第二、四象限，再根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即，最终选取一个满足条件的值即可． 【详解】解：， 一次函数的图象必定经过第二、四象限， ， 反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限， 反比例函数（且）的函数图象经过第一、三象限， ， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的k值可以为1.5， 故答案为：1.5（满足都可以）． 2．（2023·山东·中考真题）如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．    (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 【分析】（1）如图，过点C作轴于点D，证明，利用相似三角形的性质得到，求出点C的坐标，代入可得反比例函数解析式，设的表达式为，将点代入即可得到直线的表达式； （2）先求得直线l的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标． 【详解】（1）如图，过点C作轴于点D，    则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点， 将点C代入中， 可得， ∴， 设的表达式为， 将点代入可得， 解得：， ∴的表达式为； （2）直线l的解析式为， 当两函数相交时，可得， 解得,, 代入反比例函数解析式， 得， ∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或 3．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点，的面积是．若将直线向左平移 个单位，则所得直线与双曲线的交点只有一个． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式．过点作轴于点，根据一次函数图象上点的坐标特征以及的面积是即可得出的长度，进而可找出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，然后解析式联立，利用根的判别式即可求得． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示． 令直线中，则，解得：， 即． 的面积是， ， 解得：． 点的纵坐标为1， 当时，有， 解得：， 点的坐标为， ， 即双曲线解析式为． 设将直线向左平移个单位得到的直线的解析式为， 联立得，整理得， 依题意得， 解得（舍去）或， 将直线向左平移1个单位，则所得直线与双曲线的交点只有一个． 故答案为：1． 4．（2024·山东烟台·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，若，则k的值是 ． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定和性质等知识点， 利用条件证出，设，则，点A、B的横坐标分别为，，将点的横坐标分别代入一次函数可得点的纵坐标，可得，，利用反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求出a的值得到，由此可得k值．利用交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． 【详解】作轴，轴，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 将代入得 解得：， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A、B的横坐标分别为， 将点，的横坐标分别代入一次函数可得点，的纵坐标， ∴，， ∵点，在反比例函数图象上， ∴， 解得舍去， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， 故答案为：6． 【题型14 一次函数与反比例函数的综合——不等式问题】 1．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． 2．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键． （1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答； （2）根据函数图像确定不等式的解集即可； （3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，， 点坐标为，点坐标为， 把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得： ， 一次函数表达式为． （2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象可知，当时，或． （3）解：把时代入中，得， 点坐标为，即， ． 3．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， ∵当时，，即， ∴反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， ∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或； 【题型15 一次函数与反比例函数的综合——几何问题】 1．（2023·山东泰安·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．    (1)求反比例函数的表达式； (2)在第二象限内，当时，直接写出的取值范围； (3)点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标． 【分析】（1）求出点坐标，即可求出反比例函数解析式； （2）观察图象特点，即可得出取值范围； （3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段长，最后由线段和差即可求出的长． 【详解】（1）∵，轴， ∴，点的纵坐标为， ∵点在图象上， ∴当时，，解得：， ∴点坐标为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）如图，在第二象限内，当时，，    （3）如图，过作轴于点，    ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得：时，，解得：， ∴点， ∴，， ∴， ∴， ∴点． 2．（2022·山东济南·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．    (1)求a，k的值； (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k； （2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可． 【详解】（1）解：将点代入，得，， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． （2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②分两种情况：设，． ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，    ∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点， ∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点， ∴，， ∴． ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，    ∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴，， ∴． 综上所述，符合条件的点坐标是和． 3．（2022·山东青岛·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，． (1)求一次函数的表达式； (2)已知点满足，求a的值． 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，得，由轴可得，进一步求出点，将A，C点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）由勾股定理求出AC的长，再根据且E在x轴上，分类讨论得a的值． 【详解】（1）解：（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点在一次函数的图象上 ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为． （2）在中，由勾股定理得， ∴ 当点E在点C的左侧时， 当点E在点C的右侧时， ∴a的值为或． 4．（2022·山东聊城·中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．    (1)求k，p的值； (2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标． 【分析】（1）先求出点B的坐标，得到，结合点A的横坐标为2，求出的面积，再利用求出，设，代入面积中求出k，得到反比例函数解析式，再将点A横坐标代入出点A纵坐标，最后将点A坐标代入直线即可求解； （2）根据（1）中点C的坐标得到点E的坐标，结合OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，列出关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交点为B， ∴， 即． ∵点A的横坐标为2， ∴． ∵， ∴， 设， ∴， 解得． ∵点在双曲线上， ∴， 把点代入，得， ∴，； （2）解：由（1）得， ∴． ∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为（4，2）． 5．（2023·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值． 【分析】（1）根据反比例函数过点，两点，确定，待定系数法计算即可． （2）根据平移思想，设解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点， ∴， 故反比例函数的解析式为， ∴， 故， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）∵，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点到点Q的平移规律也是向左平移个单位，向下平移4个单位， 故， ∵在上， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设与x轴交于点C，连接，如图所示： 把代入，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴当时，符合题意． 6．（2023·山东淄博·中考真题）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是 ．    【分析】设，则，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解． 【详解】解：依题意，设，则， 则 ∴ ∵，二次函数图象开口向下，有最大值， ∴当时面积的最大值是， 故答案为：． （建议用时：15分钟） 1．（2024·山东临沂·模拟预测）下列函数的图象中，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后与原函数图象共同构成的图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【分析】由各函数的图象与性质结合中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，，图象经过一三象限，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过三四象限，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B. 是二次函数，，图象位于一二象限且经过原点，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过二四象限，是中心对称图形，故选项符合题意； C. 是二次函数，，，图象经过一二三象限，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过二三四象限，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D. 是反比例函数，，图象经过一三象限，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过三四象限，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 2．（2024·山东济南·模拟预测）新定义：若两个函数图像有公共点，则称这两个函数图像为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握函数的递变规律是解本题的关键．依据两个函数有公共点，则联立的二次方程有实数根，判别式大于或等于，可初步确定的取值范围，然后再依据自变量的取值范围进一步确定的取值范围，即可求解． 【详解】解：抛物线与线段是牵手函数， 抛物线与平行于轴的线段相切或者相交， 代入中， 即关于的二次方程有两个相等或者不等的实数根， 整理上述关于的二次方程得①， 对于①式， 解得：，    将①式整理成关于的二次方程：， 则关于的判别式：， 解得：， 结合的已知取值范围得出：线段与抛物线有公共点的取值范围为：． 观察图1～图4中抛物线与线段的相对位置关系递变规律发现：当时， 正好是线段与抛物线有公共点时的抛物线最高与最低的位置，其递变规律是， 把代入方程①式：， 可求得， 即抛物线与线段有公共点时的最高与最低位置， 因此，的取值范围是． 故选：B． 3．（2024·山东济南·二模）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从甲地前往乙地，两车同时出发，出租车到达乙地后立即以相同的速度返回，在货车到达乙地小时后，出租车返回到甲地．两车离甲地的距离 和行驶时间 的函数关系如图所示，则两车在途中相遇时的时间是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息； 根据函数图象可得的值，再根据题意设设直线的解析式为，设直线的解析式为利用待定系数法可知的函数解析式进而即可解答． 【详解】解：由图可知，出租车从甲地到乙地的路程为，所用时间为， ∴出租车的速度为，出租车从乙地到甲地的时间为， ∴， ∵货车到达乙地小时后，出租车返回到甲地， ∴， 如图，设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴两车相遇的时间为， 故选： 4．（2023·山东临沂·二模）为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润（万元）关于月份之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案． 【详解】解：由函数图象可得，5月份该厂的月利润最低为60万，故①正确，符合题意； 治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万到120万，故每月利润比前一个月增加30万元，故②正确，符合题意； 设反比例函数解析式为：，代入得， 故， 当， 解得： ， 则只有3月，4月，5月，6月，7月共5个月的利润不超过120万元，故此④错误，不符合题意． 设一次函数解析式为：， 则， 解得， 故一次函数解析式为：， 把代入， 解得， 则治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到150万， 把代入， 得， 故该厂8月份的月利润与2月份相同，此选项③正确，符合题意． 故选：C． 5．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意作出图形，设圆心为O，直线与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作直线，连接，求出，，进而证明是等腰直角三角形，得到，由，易证是等腰直角三角形，求出，再根据，利用勾股定理即可求，再根据垂径定理即可求出的长，即可得出结果． 【详解】解：如图，设圆心为O，直线与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作直线，连接， 在直线中， 令，则，令，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，点O为圆心， ， ， 半径为4的圆被直线所截得的弦长为， 故选：C． 6．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了判断反比例函数图象所在象限，判断反比例函数的增减性等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可． 【详解】解：反比例函数的解析式为，其中， 反比例函数的图象位于二、四象限， ，，在反比例函数的图象上， ，在第二象限， 又， ， 又在第四象限， ， ， 故选：． 7．（2020·山东济南·一模）已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．y随x的增大而减小 C．若矩形面积为2，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，则 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断． 【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二象限，则，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形面积为2，则，而，所以，所以C选项正确； D、图象上两个点的坐标分别是，，则，所以D选项错误． 故选：C． 8．（2024·山东潍坊·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 【分析】结合图象，逐一进行判断即可．本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 【详解】解：A．随的增大而增大，故选项A正确； B．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B错误； C．由图象可知：当时，，故选项C错误； D．由图象可知，两条直线的交点为，关于，的方程组的解为，正确； 故选：AD． 9．（2024·山东潍坊·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到的下列结论中正确的是（    ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A正确； B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B正确； C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C正确； D．由函数图象可知，直线过点，所以当时，，故D错误； 故选：ABC． 10．（2023·山东枣庄·模拟预测）已知点到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离，据此进一步可得两条平行线和直线之间的距离为 ． 【分析】此题考查了两条直线相交或平行问题，平行线之间的距离，利用两平行线间的距离定义，在直线上任意取一点，然后计算这个点到直线的距离即可，弄清题中求点到直线的距离方法是解本题的关键． 【详解】解：当时，，即在直线上， 则点到直线的距离为：， ∵直线和平行， ∴这两条平行线之间的距离为， 故答案为：． 11．（2025·山东威海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，点B在x轴的负半轴上，连接．若，的面积为6，则k的值为 ． 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 作轴于点D，设，则，由得，由此即可求解． 【详解】解：作轴于点D， ∵直线与反比例函数的图象交于点A， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2023·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为 ． 【分析】连接交于，由菱形的性质可知．根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出的值．本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提． 【详解】解：连接交于， 四边形是菱形， ， 菱形的面积， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得． 故答案为：3 13．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于坐标原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，则 ． 【分析】过点作轴于点，通过解直角三角形可求出的长，的度数，通过，可求出，再根据解直角三角形求出的长度，然后求出点的横坐标，即可求出点的坐标，最后代入反比例函数的表达式即可求出的值． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ， ，， ，， ， 轴， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 点的横坐标为：， ， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：． 14．（2024·山东·模拟预测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．A、B、C三点在直角坐标系中的位置如图所示． (1)在y轴上存在一点P，使最小，在x轴上存在一点Q，使最小，连接，求所在直线的表达式； (2)以点O为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，，并写出三个顶点的坐标； (3)的三个顶点、、三个点能确定一个圆吗？如果能，请直接写出圆心坐标及半径长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据图形得到，，，作关于y轴的对称点，连接交y轴于点，根据两点之间线段最短，以及轴对称性质，得到，即当，，三点共线时，最小，利用待定系数法求得直线的解析式，得到点的坐标，同理求得点的坐标，连接，设所在直线的表达式为，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据位似的性质求得各点的坐标，描点，连线得到； （3）根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，作的垂直平分线，作的垂直平分线，与交于点，连接，，，根据垂直平分线性质得到点为的三个顶点、、构成的圆的圆心，根据图形即可得到圆心坐标，再利用勾股定理求解，即可得到半径长． 【详解】（1）解：由图知，，，， 作关于y轴的对称点，连接交y轴于点，根据两点之间线段最短，以及轴对称性质，得到，即当，，三点共线时，最小， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为； 作关于x轴的对称点，连接交x轴于点， 同理可得，此时最小， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，有，解得， 点的坐标为； 连接，设所在直线的表达式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：所作如下图所示： 与位似，， 位似比为， 在第三象限， ，，； （3）解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，与交于点， 连接，，， 由图形得，圆心点的坐标为， 半径为． 15．（2024·山东济宁·一模）在函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … －1 0 1 2 3 4 … y … 2 0 －2 b －2 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，________ （2）根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．    【探索】 （3）若点，在函数图象上，且，则与的大小关系为________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于x的不等式的解集为________． （5）若关于x的方程有且只有一个正根和一个负根，请直接写出满足条件的m的取值范围． 【分析】本题考查一次函数的交点、绝对值方程与一次函数的关系，一次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答； （1）直接代入求值即可； （2）通过描点，连线，画图即可； （3）由图像可知，当时，y随x的增大而减小，进而求解即可； （4）由一次函数与不等式的关系，结合图像即可求解； （5）利用数形结合求解即可； 【详解】（1）解：把代入得，， ， 故答案为：； （2）当时，，当时，， 描点，连线，画出该函数的图像如图所示：    （3）由图像可知，当时，y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：； （4）由函数图像可得，不等式的解集为：， （5）由图像可知，当时，与有两个交点，且两个交点分别在x轴的左右两侧， 则关于x的方程有且只有一个正根和一个负根， m的取值范围为：． 16．（2024·山东临沂·模拟预测）三角形的面积为4，是边上的高，设，． (1)y与x之间满足什么函数关系?请写出解析式并画出其函数图象； (2)若y与x之间还满足且与（1）中函数交于点和点B．求b的值，并直接写出B点坐标； (3)连接、，在y轴上找一点P，使得，写出P点坐标． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及几何面积的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式进行列式，化简得，结合反比例函数的定义以及图象性质，即可作答． （2）把代入，得，然后把代入，得，结合题意，得，则； （3）先算出与坐标轴的交点，再运用割补法求出，结合，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵三角形的面积为4，是边上的高，设，． ∴ ∴； ∴y与x之间满足反比例函数关系； 其函数的图象如下： （2）解：依题意，把代入 得， ∴ 把代入，得出 ∴ ∴ ∵y与x之间还满足且与（1）中函数交于点和点B， 如图所示： ∴ ∴ ∴ ∴， （3）解：如图： 当的， ∴ 当的， ∴ ∴ ∵连接、，在y轴上找一点P，使得 ∴ ∴ ∴ 17．（2024·山东济南·模拟预测）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． （1）由，，可得在第一象限； （2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出与轴的交点坐标，即可求解； （3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解； （4）联立方程组，可得，由根的判别式可求解． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为，， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， △， ， ， 解得：， 交点坐标为， 故答案为：，8； ②由①知：0个交点时，；2个交点时，；1个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 18．（2024·山东临沂·二模）【问题提出】 在数学兴趣小组的研讨中，小明提出自己遇到的问题：解不等式． 【问题探究】 数学老师启发小明尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数和函数的图象，从函数角x度看，解不等式相当于求双曲线在抛物线上方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______，所以的解集为______． 【类比探究】 （2）受此启发，小明尝试解不等式．经过分析，小明发现需要借助函数和函数______的图象来求解．请在图2中画出相应的函数图象，并得出不等式的解集为______． 【拓展应用】 （3）小明想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组，并进行了一些准备，如图3所示．请根据小明的思路分析，直接写出该不等式组的解集______． 【分析】（1）由图象可知，两个图象的交点坐标为，的解集为，然后作答即可； （2）由，可得，则不等式需要借助函数和函数的图象来求解，作函数图象，然后结合图象求不等式的解集即可； （3）结合图象求，的解集，然后求不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：由图象可知，两个图象的交点坐标为，的解集为， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴需要借助函数和函数的图象来求解， 作函数的图象，如图2， 由图象可知，不等式的解集为或； （3）解：∵， ∴， 如图3，作函数的图象， 由图象可知，的解集为或， ∵， ∴， 由图象可知，的解集为， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 19．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)将直线沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据的面积与的面积相等，得到D点的坐标． （1）直线经过点A，且A点的纵坐标是，可得，代入反比例函数解析式可得k的值； （2）依据直线与反比例函数的图象交于A，B两点，借助图象即可得到不等式的解集解题； （3）设平移后的直线与x轴交于点D，连接，，依据，即可得出的面积与的面积相等，求得，即可得出平移后的直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵直线经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∴不等式的解集为或； （3）解：如图，设平移后的直线与x轴交于点D，连接，， ∵， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积为10， ∴，即 ， ∴， ∴， ∴， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， ∴平移后的直线l2的函数表达式为． 20．（2025·山东济南·一模）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）平移直线通过，将点代入，解得． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得： ， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2），不能围出矩形地块；理由如下： 若，木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标， 的图象，如图中直线所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示： 将点代入得：， 解得． 即的值为8． 102 / 102 学科网（北京）股份有限公司 $$