精品解析：安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高二3月月考 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（ ） A. 5.25 B. 10.5 C. 5.5 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义，可得答案. 【详解】∵，∴． 故选：B 2. 已知的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：A 3. 若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对四个选项中的函数分别求导，再利用导函数的奇偶性进行判断，即可得只有A选项符合题意. 【详解】对于A，由可得，显然图象关于轴对称，所以A正确； 对于B，由可得，显然图象不关于轴对称，所以B错误； 对于C，由可得，显然图象不关于轴对称，所以C错误； 对于D，由可得，由知图象不关于轴对称，所以D错误. 故选：A 4. 已知函数，则的单调递减区间是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数求导，结合函数定义域，由即可求得. 【详解】由求导得，， 因，由可得，即的单调递减区间是. 故选：B. 5. 如图是函数的图象，那么导函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像，可得函数的单调性，以及极值点个数，据此可求得的零点个数. 【详解】根据的图像，找出极值点，如下图所示： 故可得有7个零点. 故选：B. 【点睛】本题考查由函数图像，求函数的极值点个数，属基础题. 6. 已知函数，则等于（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，再将代入导函数求出的值，最后将代入原函数求出的值. 【详解】对求导，可得.  将代入中，可得.解得.  将代入原函数中，得到. 再将代入中，可得.  故选：D. 7. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】令，得，代入曲线， 所以的最小值即为点到直线的距离. 故选：B. 8. 当时，函数取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，由题意，解得，即可计算. 【详解】当时，函数取得最小值， 所以，所以，得， 又，根据函数在处取得最值， 所以即得， 所以，. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用求导四则运算法则和简单复合函数求导法则计算，判断出四个选项. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数与的图象的公切线为，则（ ） A. 的斜率大于 B. 在轴上的截距为一2 C. 的斜率小于 D. 在轴上的截距为2 【答案】BC 【解析】 【分析】切点分别为根据导数的几何意义及斜率公式可得公切线方程为，从而可以判断每一个选项. 【详解】设切点分别为因为，所以，可得，即，则， 所以，所以公切线方程为，即 所以选项BC正确. 故选：BC. 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性即可求解. 【详解】，则， 因为， 所以，则在上单调递减， 所以，，故A正确B错误； 又，所以，即， 故，故C正确； 由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某质点的位移函数是，则当时，它的瞬时速度是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据瞬时速度的含义，就是求解位移函数的导数值. 【详解】因为，所以， 所以，即当时，它的瞬时速度是. 故答案为：4 13. 已知，若在区间上有且只有一个极值点，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求导得，进而根据题意在上有且只有一个变号零点，再根据零点的存在性定理求解. 【详解】解：， ∵在区间上有且只有一个极值点， ∴在上有且只有一个变号零点， ∴，解得． ∴a的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】构造函数，证明其为奇函数且单调递增，再对不等式变形为，即，则得到，再利用导数即可得到值. 【详解】令，其定义域为为， 则，则为奇函数， 且， 因为和在上均单调递增，且恒成立， 则在上单调递增， 由得， 即，则. 令，则，当时，单调递减，当时，单调递增， 故时取最小值0， 故不等式解为. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造，再利用其单调性和奇偶性得到不等式，最后利用导数即可. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 设函数． （1）求的单调区间； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）由（1）可得函数在上的单调性，即可求出函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的值域. 【小问1详解】 因为定义域为， 所以， 因为，所以， 所以当时，当时， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值即最小值，所以， 又，， 又，所以， 所以. 16. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）求的极值； （2）若有两个零点，求取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先对函数进行求导，对参数分类讨论，求解函数极值； （2）根据有两个零点转化为，令，利用函数求导判断函数单调性和在不同范围内函数的值域求得的取值范围. 【小问1详解】 ． 当时，在上单增，既没有极大值，也没有极小值． 当时，令，则 当时，在上单减， 当时，在上单增， 所以的极小值为，没有极大值. 【小问2详解】 由得，．令． 则，当时，单增； 当时，单减．因此． 显然当时，；当时，． 当时，直线与函数的图象有且仅有两个公共点， 即函数有两个零点． 故的取值范围是． 17. 已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 （1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少? （注：年利润年销售收入-年总成本） 【答案】（1） （2）当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）分、两段分别求出函数解析式，即可得解； （2）结合（1）中函数解析式，利用导数求出函数在上的最大值，利用基本不等式求出函数在上的最大值，即可得解. 【小问1详解】 由题意当时，， 当时，， 综上可得. 【小问2详解】 ①当时，， 则， 所以当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 所以当时，取最大值，且. ②当时，， 当且仅当，即时等号成立 综上，当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，分，研究函数的单调性； （2）将变，令，借助导数求出即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 当时，，所以在上单调递增； 当时，当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，在时取得最小值，最小值为， 要证当时，，只需证： ，化简得， 令，所以， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，有最小值，最小值为， 所以，即，得证. 19. 设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数． （1）判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； （2）若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； （3）已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方． 【答案】（1）函数在上是“上凸函数”，理由见解析 （2） （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，令，只需判断在上是否恒成立即可； （2）由题意设，则恒成立，即当时，恒成立，从而分类讨论、分离参数即可求解； （3）构造函数，则，借助“上凸函数”的定义即可得证. 【小问1详解】 由题意，，令， 则，当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； 【小问2详解】 因为， 所以，设， 则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立， 即当时，恒成立， 当时，不等式左边为，不等式成立，此时任意， 当时，恒成立， 而此时， 所以此时， 当时，恒成立， 而此时，等号成立当且仅当， 即此时，所以， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 设为曲线上的任意一点，过点的切线方程为， 令，则， 函数是定义在上的“上凸函数”，则单调递减， 所以当时，，此时单调递减， 所以，， 当时，，此时单调递增， 所以，， 综上所述，除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方. 【点睛】关键点点睛：关键是得到当时，恒成立，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高二3月月考 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（ ） A. 5.25 B. 10.5 C. 5.5 D. 11 2. 已知的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是函数的图象，那么导函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6 已知函数，则等于（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 6 7. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 当时，函数取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数与的图象的公切线为，则（ ） A. 的斜率大于 B. 在轴上的截距为一2 C. 斜率小于 D. 在轴上的截距为2 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某质点位移函数是，则当时，它的瞬时速度是__________. 13. 已知，若在区间上有且只有一个极值点，则a的取值范围是______． 14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15 设函数． （1）求的单调区间； （2）当时，求的取值范围． 16. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）求的极值； （2）若有两个零点，求的取值范围． 17. 已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 （1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润多少? （注：年利润年销售收入-年总成本） 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 19. 设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数． （1）判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； （2）若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； （3）已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$