专题03 平面直角坐标系（考点串讲，4常考点+10技巧+3思想+3易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（人教版2024）

七年级数学下学期·期中复习大串讲 串讲课件 平面直角坐标系 （4考点&13题型） 人教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 三大易错易混经典例题+针对训练 精选4道期中真题对应考点练 十大方法+三大思想典例剖析+技巧点拨+举一反三 横坐标 知识结构 3 1. 两条共原点且互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，每一个点的坐标都是一对有序实数对 . 2. 平面直角坐标系内点（m， n）的坐标特征为： 第一象限（+， +），即 m>0， n>0； 第二象限（－， +），即 m<0， n>0； 第三象限（－， －），即 m<0， n<0； 第四象限（+， －），即 m>0， n<0； x 轴正半轴上的点， m>0， n=0； x 轴负半轴上的点， m<0， n=0； y 轴正半轴上的点， m=0， n>0；y 轴负半轴上的点， m=0， n<0； 原点， m=0， n=0；反之亦成立 . 知识梳理 3. 建立适当的坐标系可以描述几何图形和点的位置，不同的坐标系，描述方式也不同 . 4. 点的平移与其坐标变化的规律是： 上加下减，右加左减， 即向上平移 a 个单位长度，纵坐标加 a， 向下平移 a 个单位长度，纵坐标减 a； 向右平移 a 个单位长度，横坐标加 a， 向左平移 a 个单位长度，横坐标减 a. 考点1 平面直角坐标系 （第1题） 1. 如图，用手盖住点，点到 轴距离为2， 到轴的距离为5，则点 的坐标是( ) B A. B. C. D. 针对训练 6 （第2题） 2. 如图，边长为3的正方形 的两边与 坐标轴正半轴重合，点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 7 3.（新趋势过程性学习）若点是轴上的点， 求 的值. 解： 点是 轴上的点， 纵坐标 是___. . ____. 0 8 考点2 用坐标确定位置 4. [2024巴中期末] 如图，在中国象棋 的残局上建立平面直角坐标系，如果 “馬”和“車”的坐标分别是和 ， 那么“炮”的坐标为( ) B A. B. C. D. 9 （第5题） 5. 如图，一艘船在 处遇险后向相距50海里 位于 处的救生船报警.用方向和距离描述遇 险船相对于救生船的位置是( ) B A. 南偏西 ，50海里 B. 南偏西 ，50海里 C. 北偏东 ，50海里 D. 北偏东 ，50海里 10 （第6题） 6.[2024杭州西湖区月考] 如图，雷达探测 器在一次探测中发现了三个目标，， ， 点，的坐标分别表示为 ， ，则点 的坐标表示为 ________. 11 （第7题） 7.[2024山西实验中学月考] 某欢乐世 界是新时代高科技主题公园，里面设 有很多游玩的主题项目区，以科幻和 互动体验为最大特色.如图，若利用网 格建立适当的平面直角坐标系，且表示“星际航班”主题项目 区的位置为 ，表示“宇宙博览会”主题项目区的位置为 ，则表示“魔法城堡” 主题项目区的位置 的坐标是 _________. 12 考点3 坐标系内的图形 （第8题） 8. 如图，长方形的边在轴上， 为 的中点.已知，交 轴于点 ，则点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 13 （第9题） 9.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，， .若我们将横、纵坐标 均为整数的点称为“整点”，则落在三角形 边上的“整点”共有___个. 8 【点拨】在边上的“整点”有， ， ，，，，在 边上不重复 的“整点”有，，在 边上没有不重 复的“整点”， 落在三角形 边上的“整点”共有8个. 14 （第10题） 10.[2024孝感期末] 如图， ， ，，且，若 为线段 上一动点，为线段 上一动点，连接 ，，则 的最小值为____. 4.8 15 考点4 坐标与平移 11.如图，在平面直角坐标系中，将三角 形平移至三角形 的位置.若点 的对应点的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为______. 【点拨】 点的对应点是 ， ， . 将三角形平移至三角形 的规律为将三角形 向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度. 点 的坐标是 ， 点的坐标是，即 . 16 （第12题） 12.如图，已知点， ，若将线 段平移至线段 的位置，其中点 ，，则 的值为____. 【点拨】 点平移后得到点 ， 线段 平移的过程是向上平移1个单位 长度，再向左平移3个单位长度. . 17 题型一 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 1.在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按“向上 向右 向 下 向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线 如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点， ，第 次移动 到点，则点 的坐标是( ) B A. B. C. D. 题型剖析 18 （第2题） 2.如图，一个点在第一象限及轴、 轴上移动，在 第一秒，它从原点移动到点 ，然后按照图中 箭头所示方向移动，即 ， 且每秒移动1个单位长度，那么第2 025秒时，点所 在位置的坐标是( ) B A. B. C. D. 19 3.在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点 出发，按向上、向 右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位 长度.其行走路线如图所示. （1）填写下列各点的坐标：（_________，___）， （___，___）， （___，___）； 2 0 5 1 7 0 20 （2）求点 的坐标； 【解】观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中， 横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现. ， 的纵坐标为1，横坐标为 . . 21 （3）指出蚂蚁从点到点 的移动方向. ， 从点到点的移动方向与从点到点 的移动方 向一致，为向上. 返回 22 题型二 沿斜线运动的点的规律探究 （第4题） 4.[2025· 驻马店月考] 如图，在平面直角坐标系中， 有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，即 ，，，，， ， ， ，根据规律探索可得，第2 025个点的坐 标为( ) B A. B. C. D. 23 [解析] 点拨：第1列有1个点，点的横坐标为0;第2列有2个点，点的横坐 标为1;第3列有3个点，点的横坐标为2;…,依次类推，第列有 个点，点 的横坐标为 ，且偶数列点由下到上进行运动，奇数列（除第1列） 点从上到下进行运动，列所有点的总数为 ， ， ， 第2 025个点在第64列，该点的横坐标为63. ，64为偶数列， 第2 025个点位于第64列从下往上数第9个， 纵坐标为8， 第2 025个点的坐标为 . 24 5.如图，在平面直角坐标系中，动点 按图中箭头所示方向依次运动， 第1次从点运动到点，第2次运动到点 ，第3次运动到 点， ，按这样的运动规律，动点 第2 025次运动到点 __________. [解析] 点拨：由题意知第1次运动到 点，第2次运动到点 ， 第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点， 第次运动到点的横坐标为 ，纵坐标4次一循环，循环规律为 ， 易得动点 第2 025次运动到点 . 25 6.[2024阜阳三模] 【观察·发现】如图，观察下列各点的排列 规律： ，，，，， . 【归纳·应用】 （1）点的坐标为____________；点 的坐标为_______； 26 （2）若点的坐标为，求 的值. ，， ， ， ,依次类推， ，即 . 又 点的坐标为 ， ，解得 27 题型三 绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究 （第7题） 7.[2025· 汕头金平区期中] 如图，正方形 ，正方形 ，正方形 ， （每个正方形从第三象限 的顶点开始，按顺时针方向依次为， ， ，，，，，，， ， ，）的中心均为坐标原点 ，各边 均与轴或 轴平行，若它们的边长依次是2， 4，6， ，则顶点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 28 [解析] 点拨：根据题意得到如下规律：点 位于第三象限，点 位于第二象限，点位于第一象限，点 位于第四象限，且 各点纵坐标、横坐标的绝对值等于正方形的序数， ， 易得顶点 是第507个正方形的第一个 顶点，位于第三象限， 其坐标为 . 29 （第8题） 8.[2024· 张家口万全区期末] 如图，在平面直角 坐标系中，点 向上平移1个单位长度至点 ，然后向左平移2个单位长度至点 ，再 向下平移3个单位长度至点 ，再向右平移4个单 位长度至点 ，再向上平移5个单位长度至点 ， ，按此规律，则点 的坐标是 ____________. [解析] 点拨：由题意可知，， ， ， 第三象限中点的坐标是 ， . 30 9.如图，在平面直角坐标系中，设一质点 自 处向上运动1个单位长度至 处， 然后向左运动2个单位长度至 处，再向下运 动3个单位长度至 处，再向右运动4个单位长 度至处，再向上运动5个单位长度至处， ，如此继续 运动下去，设，，2，3， . 31 （1）依次写出，，，，， 的值； 【解】，，，，，的值分别为1，， ，3， 3， . 32 （2）计算 的值. , , … ， . 33 题型4 三角形变换中点的规律探究 10.如图，在平面直角坐标系中， 第一次将三角形 变换成三 角形 ，第二次将三角形 变换成三角形，第三次将三角形 变换成 三角形， .已知，， ， ，，，， . （1）点， 的坐标分别为______________； ， 34 【点拨】，， ， 的横坐标为 ，纵坐标为3. 点的坐标为 . 又，， ， 的横坐标为 ，纵坐标为0. 点的坐标为 . 35 （2）点， 的坐标分别为_________________. ， 【点拨】 由，， ，可以发现它们各点坐 标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是3. 故点的坐标为 . 由，， ，可以发现它们各点坐标的关 系为横坐标是，纵坐标都是0.故点的坐标为 . 36 类型 求三角形的面积 1 例 1 如图 1，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（-3，0）， B（0，3），C（0， -1），你能求出三角形 ABC 的面积吗？ 题型5： 有一边在坐标轴上 解题秘方：直接利用点的坐标求出三角形的底和高，从而求出面积 . 解：能 . 因为 B(0，3)， C(0， －1)， 所以 BC=3－(－1) =4. 因为 A(－3，0)， 所 以 点 A 到 y 轴 的 距 离，即 BC 边 上 的高 OA 为 3， 所 以S三 角 形ABC= BC·OA=×4× 3=6. 满分题溯源 1.如图，在平面直角坐标系中，三角形 的顶点坐 标分别为，， ，则三角形 的面积是( ) B A.16 B.32 C.18 D.20 39 2.（新视角存在性探究题）如图，在平面直角坐标系中， 点，，的坐标分别为 ，，， 且 . （1）求, 的值. 【解】由题意,得, , 解得, . 40 （2）①若在轴的正半轴上存在一点 ，使 ，求点 的坐标. ,,点的坐标为 , ,点到 的距离为2. ， . 点在 轴的正半轴上， 点的坐标为 . 41 ②在坐标轴的其他位置是否存在点 ，使 成立？若存在，请写出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在.当点在轴的负半轴上时，坐标为 . 当点在轴上时，易得 ， . 点的坐标为或 . 综上所述，符合条件的点的坐标为或 或 . 42 如图 2，三角形 ABC 的三个顶点 的坐标分别为 A（4，1）， B（4，5）， C（-1，2），求三角形 ABC 的面积 . 题型6：有一边与坐标轴平行 例 2 解题秘方：利 用 AB ∥ y 轴，求 出 AB 边上的高，进而求出面积 . 解：由 A， B 两点的坐标 特 征，得 边 AB ∥ y 轴， 所以 AB=5－1=4. 如图 2，作 AB 边上的高 CD， 则点 D 的横坐标为 4，所以 CD=4－(－1)=5， 所以 S 三角形 ABC= × 4× 5=10. 满分题溯源 3.如图，在平面直角坐标系中，三角形 的三 个顶点分别是，，，点 的 坐标为，且三角形的面积等于三角形 的面积. （1）三角形 的面积为_ _； （2）求点 的坐标. 解：，， 轴. 三角形的面积等于三角形 的面积， ，解得或 ， 点的坐标为或 . 45 例 3 如图 3，在平面直角坐标系中，已 知点A(－3， －1)， B(1，3)， C(2， －3)，你能求出三角形ABC 的面积吗？ 题型7：三边均不与坐标轴平行且三边均不在坐标轴上 解题秘方：过三角形的三个顶点作坐标轴的平行线， 将三角形放在长方形或梯形中求面积 . 解：能 . 如图 3，过点 A， C 分别作平行于 y 轴的直线，过点 B 作平行于 x 轴的直线，所作 直线的交点为 D， E，则四边形 ADEC 为梯形 . 因为 A（－3， －1）， B（1，3）， C(2， －3)， 所以 AD=4， CE=6， DB=4， BE=1， DE=5. 所 以 S 三 角 形 ABC=S 梯 形 ADEC－S 三 角 形 ADBS －S三角形 BCE= （ A D + C E）· D E － A D· D B － CE· BE=×（4+6） × 5－× 4× 4－ ×6× 1=14. （第4题） 4.如图,在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点，则三角形 的面积是 ( ) B A.19 B.20 C.21 D.21.5 48 [解析] 点拨：如图，过点作轴，过点 作 轴，过点作轴，过点作 轴， 点，点 ， 点 ， ,,,,,， 三角形 的面积是 . 49 5.在如图所示的正方形网格中，每个小正方 形的边长都为1，三角形 的三个顶点恰 好是正方形网格的格点. （1）写出三角形 各顶点的坐标； 【解】，， . 50 （2）求三角形 的面积. 【解】如图所示. . 51 题型 求四边形的面积 2 如图 4，已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别是 A（－4，5）， B（2，3）， C（4， －2）， D（－4， －5）. 求四边形 ABCD 的面积 . 例 4 题型8：有一边平行于坐标轴（或在坐标轴上） 解题秘方：通过作平行于坐标轴的一边的垂线，将四边形的面积转化为两个有两边平 行 于 坐 标 轴 的 三 角 形和 一 个 两 底 边 平 行 于 坐标轴的梯形的面积之和 . 满分题溯源 解：如 图 4， 分 别过 点 B， C 作 BE ⊥ AD，CF ⊥ AD，垂足分别为 E， F，则 AE=5－3=2，BE =2－ ( －4) =6， E F = 3－（－2） =5， CF =4－（－4） =8， DF=－2－（－5） =3，所 以 S 四 边 形 ABCD= S 三角形 AEB+S 三角形CFD+S 梯形BEFC= × 2× 6+ ×3× 8+×（6+8） × 5=53. 满分题溯源 6.如图，在平面直角坐标系中，点， ， ，则四边形 的面积为( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 7.如图，在平面直角坐标系中，四边形 各顶 点的坐标分别是，， ， ，则四边形 的面积为( ) D A.14 B.11 C.10 D.9 55 [解析] 点拨：如图，过点作于点 ， 过点作于点 ， ，， ， ，，， ， ， ， 四边形的面积为 . 56 8.在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是 ， ，， ，求四边形 的面积. 【解】如图，过点作轴，垂足为 ， 过点作，垂足为 . 易知，， ， ， ， , 所以 57 如图 5，已知四边形 ABCD 的四个 顶点的坐标分别是A（-4，5）， B（1，5）， C（4， -2）， D(-4， -5). 求四边形ABCD 的面积 . 题型9： 有两边平行于坐标轴（或在坐标轴上） 例 5 解题秘方：通过分割将 四 边 形 ABCD 的 面 积转 化 为 两 个 有 一 边 平 行于坐标轴的三角形的面积之和 . 解：如图 5，连接 AC. S 四边形 ABCD=S 三角形 ADC+S 三角形 ABC= × [5- ( - 5 ) ] × [ 4 - ( - 4 ) ] +× [ 1 - ( - 4 ) ] × [ 5 － (－2)]=57.5. 9.如图，在平面直角坐标系中，点， 的坐标分别为，，点在 轴正半 轴上，且，将线段平移得线段 . （1）直接写出点和点 的坐标； 【解】, . 60 （2）若点为轴上一点，且 ，求线 段 的长. 【解】设，则, . 依题意得 , 即 , 整理，得 , 解得或 . 当时， ; 当时， . 综上，线段 的长为2或6. 61 如图 6，已知四边形 ABCD 的四个 顶点的坐标分别是A（-5，2）， B（1，5）， C（5， -2）， D（-4， -5）. 求四边形ABCD 的面积 . 题型10：四边都不平行于坐标轴且都不在坐标轴上 例6 解题秘方：通过作坐标轴的平行线，将四边形置于正方形之中，利用面积的和差关系求解 . 解：如 图 6，分 别 过 点 B， D 作 FG ∥ x 轴， EH ∥ x 轴， 过 点 A 作 EF ∥ y 轴， 与 EH， FG 分 别 交 于 点 E， F， 过 点 C 作 GH ∥ y 轴， 与 FG， EH 分 别 交 于 点 G， H， 则 S 四 边 形 ABCD=S 正 方 形 EFGH-S 三 角 形 AFBS -S三 角 形 BGC- S 三 角 形 CHD-S 三 角 形 DEA=[5-（-5） ]× [5-(-5)]- ×（5-2） × [1-（-5） ]-×（5-1） × [5-(-2)]- × [-2-（-5） ]× [5-（- 4） ] -× [（- 4） -（- 5） ] × [ 2 -（- 5） ] =60. 思想1 方程思想 1.已知为坐标原点， ，且有， 若点在轴上，且三角形 的面积为6，求点 的坐标. 【解】，即 ， ，，解得， . 点的坐标为 . 设点的坐标为 . ，，解得 . 点的坐标为或 . 64 2.在平面直角坐标系中，若点 到两坐标轴的距离相等， 则 的值为_______. 或3 3.在平面直角坐标系中，线段 的两个端点的坐标分别为 ，，平移线段 ，平移后其中一个端点的坐标为 ，则另一个端点的坐标为_______________. 或 思想2 分类讨论思想 65 4.已知三角形 的两个顶点坐标分别为 ， ，如图，且过这两个点的 边上的高为4，第三个顶点的横坐标为 ， 求顶点的坐标及三角形 的面积. 【解】边上的高为4， 点 的纵坐标为4或 . 又 顶点的横坐标为 ， 点的坐标为或 . ， ， . 三角形的面积为 . 66 5.如图，在平面直角坐标系中，点， 的坐标分 别为，，且， 满足 ，点的坐标为 . （1）求，的值及 ； 解：，， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为 ， . 点， ， . 67 （2）若点在轴上，且，试求点 的坐标. 解：设点的坐标为，则 ， ， ， ，，即 ， 解得或， 点的坐标为或 . 68 6.我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点 ， 之间的折线距离为 .例如：图 ①中，点与点 之间的折线距离为 解决下列问题： 69 （1）如图①，已知，，则 ___； （2）如图②，已知，若，，则 _______； 5 2或 （3）如图③，已知，若点在轴上，且三角形 的面积为3， 求 的值. 解：由点在轴上，可设点的坐标为 ， 三角形的面积为3，，解得 . 点的坐标为或.当点的坐标为 时， 当点的坐标为 时， . 70 7.如图，在平面直角坐标系中，点 ， 点，点，则三角形 的面积 是( ) A A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 思想3 数形结合思想 71 （第17题） [解析] 点拨：如图，过点作 轴，过点 ,分别作,，垂足为, ， ，， ， 易知,,， , , 三角形的面积是 . 72 8.如图，在直角坐标系 中，已知 ，，将线段平移至 ，点 在轴的正半轴上（不与点 重合），连 接，， . （1）写出点 的坐标； 【解】线段平移至，由点 到点 可知，平移 的方向为水平向左，距离为6个单位长度，故将点 向左 平移6个单位长度为点 . 73 （2）设 ， ， ，试判断 ， ， 的数量关系，并说明理由. , , 的数量关系为 或 .理由如下： ①当点在线段上时，如图①,过点 作 ,交于点 . ， ， . ， 即 ； ① 74 ② ②当点在线段 的延长线上时，如图②， 过点作，交的延长线于点 . ， . , . ， 即 . 综上所述， , , 的数量关系为 或 . 75 易错易混 1.[2025· 保定莲池区期中] 七巧板又称七巧图，是中 国民间流传的智力玩具.如图是由七巧板拼成的正方 形，将其放入平面直角坐标系中，若点 的坐标为 ，点的坐标为，则点 的坐标为 ( ) B A. B. C. D. 押题预测 81 2.[2025· 信阳月考] 如图，若，，， ， ， ，则点 的坐标为( ) B （第6题） A. B. C. D. 82 3.（新趋势跨学科）《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白 的诗作，笑笑默写该诗如图所示.如果用 表示“杨”字的位置，那么 图中错别字的位置表示为_______. 83 4.[2024· 北京西城区期中] 在平面直角坐标系中，已知点 . （1）若点在轴上，则 的值为_ ___； （2）若点到轴、轴的距离相等，求 的值. 解： 点到轴、轴的距离相等， 或 . 当时，解得； 当时，解得 . 综上所述，或 . 84 $$