清单03 平面直角坐标系（2考点梳理+5题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（人教版2024）

清单03 平面直角坐标系（2考点梳理+5题型解读） 清单01 用坐标描述平面内点的位置 1、平面直角坐标系 1）平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直，经过同一原点的数轴，组成平面直角坐标系。 一般，水平坐标轴称为横轴或x轴，垂直坐标轴成为纵轴或y轴。 2）坐标平面被两条坐标轴分为四个部分。（I、II、III、IV象限）。 注：坐标轴上的点不属于任何象限（x轴上、y轴上、原点）。 3）点的坐标：平面内的点可以用一组有序数对表示，这组有序数对叫作点的坐标。过该点分别向横、纵轴作垂线（距离），横、纵轴上对应的数分别叫作点的横坐标、纵坐标。 注：①表示点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，用括号括起来。 ②平面直角坐标中，有序实数对和点是一一对应的。 ③有序数对（x，y）就叫做点的坐标。 2、点的坐标特点 1）坐标P（a，b） 第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0； 原点：a=0，b=0 x轴上 y轴上 2）①l1∥x轴，则l1⊥y轴；l1∥y轴，则l1⊥x轴。 ②l1∥x轴，则l1上所有点纵坐标相等。l2∥y轴，则l2上所有横纵坐标相等。 3）点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数； 点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数； 点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ； 清单02 坐标方法的简单应用 1．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 2、用坐标表示平移 1）左右移，横变纵不变，左减右增； 上下移，纵变横不变，下减上增。 2）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 3）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【考点题型一】平面直角坐标系（） 【例1】（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 本题考查了坐标与图形性质及立方根，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：， 则， 点的坐标为：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的横坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得：， 【变式1-1】（23-24七年级下·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 故点所在的象限是第二象限． 故选：B． 【变式1-2】（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）已知轴，且点的坐标为．点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行于y轴的直线上点的坐标的特点，解题的关键在于能够熟练掌握平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同．根据平行于y轴直线上的点的横坐标相同求解即可得到答案． 【详解】解：∵直线轴， ∴点与点的横坐标相同， ， ， ， 故选：A． 【变式1-3】（23-24七年级下·北京·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，以及根据点所在的象限得出点的坐标，结合第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，进行作答即可． 【详解】解：依题意，小手在第二象限， 即第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴符合题意． 故选：B． 【变式1-4】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）若点在轴上，则点所在象限是第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，根据在横轴上的点，纵坐标为0，可得a的值，代入计算，再根据象限点的特点“”判定即可求解． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴，即， ∴点在第二象限， 故答案为：二 ． 【变式1-5】（23-24七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点到y轴的距离是2，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，根据点到y轴的距离是2，得，则，即可作答． 【详解】解：∵点到y轴的距离是2， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1-6】（24-25七年级下·全国·期中）如图，正方形中，顶点，都在平面直角坐标系的轴上，点在点右侧．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的性质，，，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-7】（23-24七年级下·吉林·期中）已知点在轴上，求点的坐标， 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，掌握y轴上的点的横坐标为0成为解题的关键． 根据y轴上的点的横坐标为0可得题意可得可得，然后代入即可解答． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴，解得：， ∴，即． 【考点题型二】用坐标表示位置（） 【例2-1】（23-24七年级下·河南商丘·期中）根据下列表述，不能确定某一地点的具体位置的是（    ） A．郑州市桐柏路与淮河路交叉口 B．周口港北偏东方向海里处 C．距学校千米处 D．东经，南纬 【答案】C 【分析】本题考查坐标的知识，解题的关键是学会根据坐标确定位置，即可． 【详解】A、郑州市桐柏路与淮河路交叉口，可以确定具体位置，不符合题意； B、周口港北偏东方向海里处，可以确定具体位置，不符合题意； C、距学校千米处，不能确定具体位置，符合题意； D、东经，南纬，可以确定具体位置，不符合题意； 故选：C． 【例2-2】（22-23七年级下·云南昭通·期中）以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将轴绕点O逆时针依次旋转，，，…，后得到如图所示的“圆”坐标系，其中点B、C、D的坐标分别为、、，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键．在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射线与x轴正半轴之间的夹角． 【详解】解：点A与圆心的距离为2，射线OA与x轴正方向之间的夹角为， 点A的坐标为 故选： 【例2-3】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，一个小正方形网格的边长表示．A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校． (1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系； (2)B同学家的坐标是； (3)在你所建的平面直角坐标系中，如果C同学家的坐标为，请你在图中描出表示C同学家的点． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征． （1）由于同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校，则可确定点位置，然后画出直角坐标系； （2）利用第一象限点的坐标特征写出点坐标； （3）根据坐标的意义描出点． 【详解】（1）以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系如图所示． （2）同学家的坐标是， 故答案为：； （3）C同学家的坐标为(在平面直角坐标系中如图所示． 【变式2-1】（23-24七年级下·河北保定·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（   ） A．北国影院3号厅2排 B．兴华路中段 C．东经，北纬 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、北国影城3号厅2排，不能确定具体位置，不符合题意； B、兴华路中段，不能确定具体位置，不符合题意； C、东经，北纬，能确定具体位置，符合题意； D、南偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2-2】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码020045来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ．    【答案】070066 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解代码的各位数字的实际意义是解题的关键．根据代码编写要求，第1、2、3、4位数字表示时间，第5、6位数字表示距离，再根据南偏西方向方向与对应，然后写出即可． 【详解】解：∵南偏西方向的时刻是， ∴南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为070066． 故答案为：070066． 【变式2-3】（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图是一足球场的半场平面示意图，已知球员A 的位置为，球员C的位置为，则球员B的位置为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，建立适当的直角坐标系是解题的关键． 先根据球员A，球员C的坐标建立直角坐标系，再确定球员B的坐标即可． 【详解】解：∵球员A的位置为，球员的位置为， ∴以点A所在的直线上方1个单位的直线为x轴，点C所在直线为y轴建立直角坐标系，如图所示． 所以球员B的坐标是． 故答案为：． 【变式2-4】（23-24七年级下·广东江门·期中）象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了坐标表示位置；根据题意建立平面直角坐标系，根据坐标系，即可求解． 【详解】解：依题意，建立平面直角坐标如图所示，    ∴“炮”所在位置的坐标为， 故答案为：． 【变式2-5】（23-24七年级下·四川广安·期中）为了更好地开展农家生态文化旅游区规划工作，某旅游村把游客中心，稻田酒店，东邻西舍，桃花岛，房车营地等5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，利用坐标确定了这5个景点的位置，并且设置了导航路线． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景点A，B的位置分别表示；并直接写出景点C的坐标； (2)在坐标系中标出的位置，连接，请直接判断与的位置关系． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际问题中的应用，正确的建立坐标系是解题关键． （1）根据平面直角坐标系即可求解；根据，即可求解； （2）连接，即可判断； 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知：景观C的坐标为 （2）解：由图可知：． 【变式2-6】（23-24七年级下·河南新乡·期中）寒假期间小明一家参团旅游，导游告诉游客们龙门西山石窟A、龙门国家湿地公园B两景点的坐标分别是，，同时，告诉游客们看完这两个景点后在香山寺C处集合，其坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并确定香山寺C的位置． (2)若游客们计划从龙门国家湿地公园B处直接去香山寺C处，连接，通过观察测量，请你在龙门国家湿地公园B处用方向角描述香山寺C的位置． 【答案】(1)见解析 (2)点C在点B的北偏东方向 【分析】本题考查了坐标与图形，坐标与位置，方向角，数形结合是解题的关键． （1）根据，画出直角坐标系，描出即可； （2）根据网格的特点得出与x轴的夹角为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，建立直角坐标系，C点位置即为所求， （2）如图，连接 由图可知，与x轴的夹角为， 点C在点B的北偏东方向． 【变式2-7】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是______，图书馆是______； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______． 【答案】(1)作图见详解 (2)， (3)作图见详解 (4) 【分析】本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点， （1）根据旗杆的位置是，实验室的位置是即可确定平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解； （4）根据平面直角坐标系的特点，确定宿舍楼与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知旗杆的位置是，实验室的位置是， ∴建立平面直角坐标系如图所示， 即大门为坐标原点； （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，图书馆， 故答案为：，； （3）解：办公楼的位置是，教学楼的位置是，如图所示， （4）解：1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为， 故答案为：． 【变式2-8】（23-24七年级下·全国·期中）小明家住在湖光小区，如图所示的是小明家附近一片区域的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，其中第一小学的坐标为，康德乐的坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出学管中心的坐标：______________． (2)若大世界的坐标为，请在坐标系中用点P表示它的位置； (3)小明家从湖光小区搬到府前官邸，请你用坐标描述平移的过程 【答案】(1)见解析，（8，5） (2)见解析 (3)先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度（或先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度） 【分析】本题考查了用平面直角坐标系表示位置，坐标与图形变化—平移，解题关键是根据坐标建立平面直角坐标系，会利用点的坐标表示不同位置． （1）以湖光小区为原点，向东和向北为横纵轴的正方向建立坐标系，写出坐标即可； （2）关键坐标描出点P即可； （3）根据向右平移两个单位，向下平移3个单位，用坐标描述即可． 【详解】（1）解：因为，第一中学的坐标为，康德乐的坐标为， 所以以湖光小区为原点，向东和向北为横纵轴的正方向建立坐标系， 学管中心的坐标为． （2）解：大世界的坐标为，在平面直角坐标系中位置如图所示： （3）解：小明家从湖光小区搬家到府前官邸，横坐标加2，纵坐标减3． 用坐标描述平移的过程为：先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度（或先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度）． 【考点题型三】用坐标表示平移（） 【例3】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形平移得到的． (1)分别写出点、、的坐标； (2)说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内的一点，则平移后三角形内的对应点为，写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)三角形 先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，即得到三角形 (3) 【分析】本题考查了坐标与平移变化，准确识图是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系分别写出各点的坐标即可； （2）根据图形，从点、的变化写出平移规律； （3）根据平移规律写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由点到点，横坐标减，纵坐标减， 则向左平移个单位，向下平移个单位得到； （3）解：由向左平移个单位，向下平移个单位， 得点的坐标为． 【变式3-1】（23-24七年级下·北京·期中）将点向上平移3个单位长度，则对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移．根据点的坐标平移规律进行求解即可：右加左减横坐标，上加下减纵坐标． 【详解】解：将点向上平移3个单位长度得到点，则的坐标是，即． 故选：B． 【变式3-2】（22-23七年级下·河南安阳·期中）将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点向左平移个单位长度后点的坐标为，根据点在轴上知，据此知，再代入即可得． 【详解】解：将点向左平移个单位长度后点的坐标为 点在轴上， 即， 则点的坐标为． 故选：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了轴上的点横坐标为的特征． 【变式3-3】（23-24七年级下·河南安阳·期中）在直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为，即， 故答案为：． 【变式3-4】（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)画出； (2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (3)为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则 ，______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)3，1 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形： （1）在坐标系中找到A、B、C的位置，即可作图解答； （2）找到点A，B，C的对应点，即可解答； （3）根据“上加下减，左减右加”的平移规律，再结合P、Q两点的坐标即可分别求出m、n． 【详解】（1）解： 如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ∴； （3）解：∵为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点， ∴， ∴． 故答案为：3，1． 【变式3-5】（23-24七年级下·辽宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标 ； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)图见解析，点B′的坐标是 (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【详解】（1）∵点A′的坐标是，点A的坐标是， ∴平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点B的坐标是，点C的坐标是， ∴点B′的坐标是，点C′的坐标是， ∴平移后的如图所示： 故答案为： （2）由（1）得：平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点P的对应点的坐标为， ∴点P的坐标为； 故答案为： 【变式3-6】（23-24七年级下·北京·期中）如图，．过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在的延长线上截取． (1)写出点M的坐标； (2)平移线段，使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； (3)若P为y轴上一点，且，求P点坐标． 【答案】(1)M的坐标为 (2)图见解析，D的坐标为 (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据轴，直接写出点的坐标即可； （2）根据题意确定点的坐标，进而得到平移规则，确定点的坐标即可； （3）分割法求面积，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，轴于点， ∴； （2）∵，， ∴， ∵点在直线上，且， ∴， ∴线段向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段， 如图，线段即为所求；由图可知：D的坐标为； （3）如图，记线段交y轴于点N， 则． 设点P的坐标为，则：， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【变式3-7】（22-23七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶华益点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶华益点”为点，即点2的坐标为． (1)若点的坐标为，求它的“3阶华益点”的坐标； (2)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标． (3)已知、，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点，它的“阶华益点（为正整数）”使得四边形的面积为6？如果存在，请求出的值和点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的坐标为或 (3)存在，时，P的坐标为或，时，P的坐标为 【分析】（1）根据点是点的“阶华益点”求解即可； （2）根据点的“阶华益点”位于坐标轴上，构建方程求解； （3）的“阶华益点（为正整数）”的坐标为，根据四边形的面积为6，构建方程求解． 【详解】（1）解：由题可得：，， ∴点P的“3阶华益点”的坐标为． （2）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到， ∴， ∴， ， ∴P1的“阶华益点”P2的坐标为， 又∵位于坐标轴上， ∴或， ∴或， ∴的坐标为或． （3）：设的“m阶华益点”的坐标为，过点作，分别交轴、轴于，，    ∵， ∴， 又∵， ∴根据三角形的等积变形原理得：， ∴斜边上的高为，斜边上的高为， 设等腰直角三角形的直角边为， ∴ ∴ 解之得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，均为正整数， ∴①当，即时，， 则或， ∴， ②当，即时，， 则， ∴， 综上所述，时，P的坐标为或，时，P的坐标为． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 【变式3-8】（21-22七年级下·广西玉林·期中）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)（-1 ，0），（3 ，0） (2)存在这样的，使得四边形的面积等于9，理由见解析 (3)为定值，故其值不会变化，理由见解析 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解； （2）由平移的性质可得点C（0，2），点D（4，2），OA＝1，OB＝2，OC＝2，CD＝4，由面积关系可求解； （3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点A和点的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）； （2）解：存在． 过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示： 由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2）， ∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ， 设M点坐标为（0，t），连接MD、OD， ∴OM=t， ∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9， ∴，即，解得t=3， 存在这样的，使得四边形的面积等于9； （3）解：不变． 理由如下： 当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t， 过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD， ∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ， ∴= S△OND+S△OMD = = =3-2t+2t =3， 当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD， ∴为定值，故其值不会变化． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，非负式性质求解，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 【考点题型四】坐标系中求几何图形的面积（） 【例4-1】如图，已知在平面直角坐标系中，三角形ABC的位置如图所示. （1）请写出A、B、C三点的坐标； （2）你能想办法求出三角形ABC的面积吗？ （3）将三角形ABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位，请在图中作出平移后的三角形A′B′C′，并写出三角形A′B′C′各点的坐标. 【答案】（1）A（0，4）；B（-2，2）；C（-1，1）；（2）2；（3）A'（6，6），B'（4，4），C'（5，3）． 【分析】（1）根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标； （2）通过补全法可求得S△ABC=2； （3）根据平移的规律，把△ABC的各顶点向右平移6个单位，再向上平移2个单位，顺次连接各顶点即为△A′B′C′；直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标． 【详解】（1）A（0，4）；B（-2，2）；C（-1，1）； （2）如图： 补成一个长方形，则S△ABC=S矩形ADFE-S△ADB-S△BCF-S△ACE=6-1.5-0.5-2=2； （3）如图， A'（6，6），B'（4，4），C'（5，3）． 【点睛】本题考查了作图---平移变换；难点在于直接计算△ABC的面积不好计算，但是可以用三角形所在的矩形面积减去多余三角形的面积计算得出所求三角形面积． 【例4-2】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，且与x轴的交点E的坐标为，求这个四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点，根据进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【变式4-1】（22-23七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)描出A、B、C三点位置，并连接、、； (2)把三角形向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的三角形并写出点的坐标；（其中点A的对应点是点，点B的对应点是点，点C的对应点是点）． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， (3) 【分析】（1）根据点的坐标描点、连线即可； （2）根据平移的性质找出点、、的对应点、、的位置，顺次连接即可，然后根据所作图形写出点的坐标； （3）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示，其中． （3）的面积为． 【点睛】本题考查了作图—平移变换，坐标与图形，根据平移的性质找出对应顶点的位置是解题的关键． 【变式4-2】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为：，，．将三角形先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点在直线上，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)三角形见解析，，， (2)6 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的平移变换，熟练掌握图形的平移变换的应用是解题的关键，（1）根据平移规律画出，根据图中各点的位置即可写出点的坐标；（2）利用三角形面积公式，代入数据计算即可；（3）根据点在直线上，且，可分情况讨论：①点在中间；②点在上方；即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：由题可得，三角形先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到三角形如图所示： ∴，，． （2）解：由图可得：三角形的面积为：， 故三角形的面积为：6． （3）解：∵点在直线上，且， ①当点在中间， ∴点的坐标为 ②当点在上方； ∴点的坐标为 ∴点的坐标为或． 【变式4-3】（七年级下·陕西安康·期中）如图，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（2，3）、B（5，2）、C（2，4）、D（2，2），求这个四边形的面积．        【答案】32.5 【分析】采用“割补法”将图象补为直角梯形，用直角梯形的面积减去两个直角三角形的面积即可． 【详解】过C点作x轴的平行线，与AD的延长线交于F，作BE⊥CF，交FC的延长线于E，      根据点的坐标可知，AF=7，DF=2，EF=7，CE=3，CF=4，BE=6， ∴S四边形ABCD=S梯形BEFA-S△BEC-S△CDF =（6+7）×7-×3×6-×2×4 =32.5． 【点睛】本题考查了点的坐标与线段长的关系，求不规则图象面积的一般方法． 【变式4-4】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图（每个小正方形边长均为1）． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)请画出沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (3)求平移过程中线段扫过的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特征，平移的性质，熟悉掌握平移的方法是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可； （2）根据题意平移即可； （3）分别求出向作平移和向上平移扫过的面积即可． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后如图所示：即为所求， （3）解：沿轴向左平移个单位长度扫过的面积， 沿轴向上平移3个单位长度扫过的面积， 所以扫过的面积为． 【变式4-5】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到，画出平移后的，并写出各个顶点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析，，， (2)的面积为 【分析】本题考查了平移——作图变换，三角形面积计算，掌握相关知识是解题的关键． （1）依据平移规律，即可得出、、三点的坐标即可求解； （2）根据割补法进行计算即可得到的面积． 【详解】（1）解：，，三点向右平移5个单位长度得，，，，再向下平移2个单位长度，，，，依次连接，如图：    则就是所求的三角形，、、三点的坐标为：，，． （2）解：的面积． 【变式4-6】（23-24七年级下·河南漯河·期中）如图，在直角坐标系中，已知、、三点，其中、、满足关系式． (1)求、、的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积是的面积的3倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)，， (2)四边形的面积为 (3)存在，点的坐标为． 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的运用，解题的关键是利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系，也考查了三角形的面积公式． （1）根据绝对值、算术平方根，偶次方的非负性列式求解，即可得出、、的值； （2）利用三角形面积公式求出，，再根据四边形的面积为，即可解题； （3）利用三角形面积公式求出，再根据四边形的面积是的面积的3倍建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：、、满足关系式． ，，， 解得，，； （2）解：由（1）知，、、 ，， ， 第二象限内有一点， ， 四边形的面积为：； （3）解：存在， ， ， ， 四边形的面积是的面积的3倍， ， 解得， 点的坐标为． 【变式4-7】（23-24七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接． (1)如图1，求点C，D的坐标及四边形的面积； (2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在； (3)如图2，在直线上是否存在点Q，连接，使，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，18 (2)存在，或 (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形的面积计算、点的坐标特征等知识点，根据平移变换的性质求出点C，D的坐标是解题的关键． （1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形的面积； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）根据直线上点的坐标特征设出点Q的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为，线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段， ∴点C的坐标为，点D的坐标为，， ∴四边形的面积． （2）解：存在， 设点P的坐标为， 由题意得：，解得：， ∴点P的坐标为或． （3）解：设点Q的坐标为，则， 由题意得：，解得：或， 则点Q的坐标为或． 【点睛】 【变式4-8】（22-23七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，a，b满足．    (1)求a、b的值． (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，在轴上有一点，当时，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标与图形： （1）利用非负性求出a、b的值即可； （2）过M作轴于E，利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）设，则，根据的面积与的面积相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）如图所示，    过M作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴ （3）时，， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴或． 【变式4-9】（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为． (1)点A的坐标是______，点B的坐标是______； (2)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出，并写出中顶点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)5 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移： （1）根据点所在的位置，直接写出相应的坐标即可； （2）根据平移的性质，画出，进而写出顶点的坐标即可； （3）分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由图可知：； 故答案为：； （2）如图，即为所求，由图可知：； （3）． 【变式4-10】（23-24七年级下·广东广州·期中）与在平面直角坐标系中的位置如图． (1)分别写出下列各点的坐标： _______； _______；_______； (2)说明由经过怎样的平移得到？_______． (3)若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为_______； (4)求的面积． 【答案】(1)，， (2)先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 (3) (4)2 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移变换等知识，熟练掌握平移的性质是解题关键． （1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （2）根据对应点、的变化写出平移方式即可； （3）根据平移规律写出点的坐标即可； （4）利用割补法计算的面积即可． 【详解】（1）解：根据在平面直角坐标系中的位置， 可知，，． 故答案为：，，； （2）根据与在平面直角坐标系中的位置， 可知先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，即可得到． 故答案为：先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度； （3）若点是内部一点， 则平移后内的对应点的坐标为． 故答案为：； （4）的面积． 【变式4-11】（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知单位长度为1的方格中有． (1)中任意一点平移后的对应点为，请画出平移后所得的； (2)请以点A为坐标原点，向右为x轴正方向建立平面直角坐标系（在图中画出坐标系），并写出点B，的坐标； (3)请你求出的面积． 【答案】(1)图见详解； (2)如图所示，，； (3)3.5． 【分析】本题考查图形平移及割补法求面积，解题的关键根据平移点的坐标得到平移规律： （1）根据点的平移得到三角形的平移，再直接平移直接求解即可得到答案； （2）根据（1）中图形直接写坐标即可得到答案； （3）利用割补法直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵中任意一点平移后的对应点为， ∴平移规则是先向右平移3个单位，再向上平移4个单位, ∴的图形如图所示， （2）解：由题意可得， 坐标系如图所示， ∴，； （3）解：如图所示， ∴． 【考点题型五】坐标系中点的坐标规律的探究（） 【例5-1】（23-24七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）． (2)写出点的坐标（n是正整数）． (3)求出电子蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；4，0；6，0 (2) (3)向右 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据（1）中规律写出的坐标即可； （3）根据是2的倍数，可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致． 【详解】（1）解：由图可知，，，都在轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，， ∴，，， 故答案为：2，0；4，0；6，0； （2）解：根据（1）可得： ∴ ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴是的整数倍， ∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向右． 【例5-2】（23-24七年级下·北京·期中）如图，点，点，点，点，，按照这样的规律下去，点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标规律．观察图形可得奇数点的规律为：，，….. ，偶数点的规律为：，，……，根据规律求解即可． 【详解】解：由图象可得，奇数点的规律为：，，…..， 偶数点的规律为：，，……， ∵13是奇数，即， ， 的坐标为， ∵2024是偶数，即， ， 的坐标为， 故答案为：，． 【例5-3】（23-24七年级下·四川广安·期中）如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意，得到动点的横坐标为，纵坐标以2，0，4，0四个为一周期循环，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：动点的横坐标为，纵坐标以2，0，4，0四个为一周期循环， ， 第2024次运动到点，即：． 故答案为：． 【例5-4】（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，将点先向右平移1个单位长，再向上平移1个单位长，得到点；将点向上平移1个单位长，再向右平移2个单位长，得到点；将点向上平移2个单位长，再向右平移4个单位长，得到点；将点向上平移4个单位长，再向右平移8个单位长，得到点；…按这个规律平移得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 先求出点的横坐标和纵坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐为标，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 按这个规律平移得到点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴． 故答案为：． 【例5-5】（23-24七年级下·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，一个动点按一定的规律运动，已知，，，，，···，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据题目所给点的规律得出，从第二个点开始，每四个点为一组，每组横坐标和纵坐标绝对值和组数相同，每组从第一个点到第四个点依次在第一象限到第四象限，即可进行解答， 解题的关键是观察题目所给点的坐标，总结出点的坐标变化规律． 【详解】解：根据题意可得：从第二个点开始，每四个点为一组，每组横坐标和纵坐标绝对值和组数相同，每组从第一个点到第四个点依次在第一象限到第四象限， ∵， ∴点是第五组的第四个点， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 【变式5-1】（23-24七年级下·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，……．根据这个规律，第2024个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键．根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，由，解得．由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为． 而， ， 解得：． 由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标为：． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…，则根据图示规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，抓住点坐标的变化规律是解题的关键．依次求出点(i为正整数)的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 由此可知，点的坐标为， 又∵，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式5-3】（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点向右平移一个单位得到，再向上平移一个单位得到；点向右平移2个单位得到，再向上平移2个单位得到；点向右平移3个单位得到，再向上平移3个单位得到；…；按这个规律平移，则的横坐标为 ． 【答案】512572 【分析】本题主要考查了点的规律探索，解题的关键是根据已知点总结规律．根据点A向右平移一个单位得到，再向上平移一个单位得到；点向右平移2个单位得到，再向上平移2个单位得到；点向右平移3个单位得到，再向上平移3个单位得到；…，得出规律：从点A开始，第偶数个点的横坐标为，纵坐标为：，最后代入数据求值即可． 【详解】解：∵点A向右平移一个单位得到，再向上平移一个单位得到；点向右平移2个单位得到，再向上平移2个单位得到；点向右平移3个单位得到，再向上平移3个单位得到；…， ∴从点A开始，第偶数个点的横坐标为： ， 纵坐标为：； 当第2024个点时，， 解得：， ∴的横坐标为：． 故答案为：512572． 【变式5-4】（23-24七年级下·河南漯河·期中）如图，已知，按这样的规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知6个点坐标的纵坐标为一个循环，的横坐标为，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵， ∴可知6个点坐标的纵坐标为一个循环，的横坐标为， ∵， ∴的坐标为． 故答案为：． 【变式5-5】（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点P从原点O出发，沿着“O→→→→，…”的路线运动（每秒一条直角边），已知坐标为，，…，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标的规律，理解题意、发现规律并灵活运用规律是解题的关键． 根据图形写出至的坐标，然后归纳规律，最后按照规律即可解答． 【详解】解：由图可知：， 观察发现：所有偶数点都在x轴上，且横坐标与序数相同，则． 故答案为：． 【变式5-6】（23-24七年级下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点，，，，，均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上，若点的纵坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标的规律问题，解题的关键是找出坐标的规律． 根据图中规律，若的纵坐标为，则可知点在第一象限，且点的纵坐标为．由点的横坐标与的关系可求得． 【详解】解：由题意知，，，，，都在第一象限，且，，，， ∴当为奇数时，的横坐标为，纵坐标为， ∴令， 解得：， 故答案为：． 【变式5-7】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图，一只电子蚂蚁P，在平面直角坐标系xOy中按箭头所示方向作折线运动，即，，，，，，…，按照这样的运动规律，的坐标为 ；的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标点的规律探索，根据题目中给出的点的坐标结合坐标点的图，可以得出当n为偶数时，横坐标为前个点的横坐标加2，纵坐标为前一个点的纵坐标减1，当n为奇数时，横坐标为前一个点的横坐标加1，纵坐标为前一个点的纵坐标加2，从而得出当n为偶数时，的横坐标，的纵坐标，代入求值即可． 【详解】解：，，，，，， 通过点的坐标特点可以发现规律，当n为偶数时，横坐标为前个点的横坐标加2，纵坐标为前一个点的纵坐标减1，当n为奇数时，横坐标为前一个点的横坐标加1，纵坐标为前一个点的纵坐标加2， 则当n为偶数时，的横坐标， 的纵坐标， 当时，，， ， 当时，，， ， 故答案为：；． 【变式5-8】（22-23七年级下·四川泸州·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，，依此规律跳动下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，由题知点的坐标为，则时求出的值即可，解题的关键是寻找点的变化规律． 【详解】解：由题知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 所以点的坐标为（为正整数）， 当时， 解得， 所以点的坐标为， 故答案为：． 【变式5-9】（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图所示，已知，，，，，…，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（和第四象限内的点除外），逐步探索出下标和各点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理出点的坐标即可． 【详解】解：观察图形可知：各个点分别位于象限的角平分线上（和第四象限内的点除外）， ∵， ∴点在第二象限，且转动了505圈后在第506圈上， ∴的坐标为； 故答案为：． 【变式5-10】（22-23七年级下·山东德州·期中）如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标规律探究，先求出长方形的周长，求出两物体每次相遇所需的时间，进而得到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，长方形的周长为， ∴每次相遇需要的时间为：秒， ∵物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动， ∴每次相遇，甲走的路程为个单位长度， ∴第3次相遇时，两个物体回到起点，即每经过3次相遇，两个物体回到起点， ∵， ∴两个物体运动后的第2022次相遇回到起点； 故答案为：． 【变式5-11】（24-25七年级下·全国·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五次跳动到点，第六次跳动到点，…按这样的跳动规律，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运动规律，找出点的运动规律是解题的关键． 根据点的运动可得，横坐标与所跳次数相同，即跳了次，该点的横坐标为，纵坐标每5次一循环，由此即可求解． 【详解】解：第一次从原点跳动到点， 第二次跳动到点， 第三次跳动到点， 第四次跳动到点， 第五次跳动到点， 第六次跳动到点， ∴横坐标与所跳次数相同，即跳了次，该点的横坐标为，纵坐标每5次一循环， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式5-12】（23-24七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型点的坐标，根据图形得出每个正方形点阵的整点数量与坐标的关系，是解题的关键． 观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，n为大于1的正整数，当n为偶数时，最后一个点在轴上，第个点的坐标为，当n为奇数时，最后一个点在直线上，第个点的坐标为，然后按照规律求解即可． 【详解】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵， 如：第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， ，45为奇数， 第2025个点的坐标为， 退1个点，得到第2024个点是， 故答案为：． 【变式5-13】（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点出发，按图中箭头所示的方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律，经过次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标变化规律，根据已知和图性可得，点的横纵坐标每次一轮变化，横坐标每一次比前一次多，纵坐标按照循环，据此即可求解，从所给的数据和图形中找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：前五次运动横坐标分别为， 第到次运动横坐标分别为， ， ∴第到次运动横坐标分别为， 前五次运动纵坐标分别为， 第到次运动纵坐标分别为， ， ∴第到次运动纵坐标分别为， ∵， ∴经过次运动横坐标为， 经过次运动纵坐标为， ∴经过次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是， 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 平面直角坐标系（2考点梳理+5题型解读） 清单01 用坐标描述平面内点的位置 1、平面直角坐标系 1）平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直，经过同一原点的数轴，组成平面直角坐标系。 一般，水平坐标轴称为横轴或x轴，垂直坐标轴成为纵轴或y轴。 2）坐标平面被两条坐标轴分为四个部分。（I、II、III、IV象限）。 注：坐标轴上的点不属于任何象限（x轴上、y轴上、原点）。 3）点的坐标：平面内的点可以用一组有序数对表示，这组有序数对叫作点的坐标。过该点分别向横、纵轴作垂线（距离），横、纵轴上对应的数分别叫作点的横坐标、纵坐标。 注：①表示点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，用括号括起来。 ②平面直角坐标中，有序实数对和点是一一对应的。 ③有序数对（x，y）就叫做点的坐标。 2、点的坐标特点 1）坐标P（a，b） 第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0； 原点：a=0，b=0 x轴上 y轴上 2）①l1∥x轴，则l1⊥y轴；l1∥y轴，则l1⊥x轴。 ②l1∥x轴，则l1上所有点纵坐标相等。l2∥y轴，则l2上所有横纵坐标相等。 3）点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数； 点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数； 点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ； 清单02 坐标方法的简单应用 1．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 2、用坐标表示平移 1）左右移，横变纵不变，左减右增； 上下移，纵变横不变，下减上增。 2）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 3）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【考点题型一】平面直角坐标系（） 【例1】（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【变式1-1】（23-24七年级下·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）已知轴，且点的坐标为．点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级下·北京·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）若点在轴上，则点所在象限是第 象限． 【变式1-5】（23-24七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点到y轴的距离是2，则a的值是 ． 【变式1-6】（24-25七年级下·全国·期中）如图，正方形中，顶点，都在平面直角坐标系的轴上，点在点右侧．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式1-7】（23-24七年级下·吉林·期中）已知点在轴上，求点的坐标， 【考点题型二】用坐标表示位置（） 【例2-1】（23-24七年级下·河南商丘·期中）根据下列表述，不能确定某一地点的具体位置的是（    ） A．郑州市桐柏路与淮河路交叉口 B．周口港北偏东方向海里处 C．距学校千米处 D．东经，南纬 【例2-2】（22-23七年级下·云南昭通·期中）以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将轴绕点O逆时针依次旋转，，，…，后得到如图所示的“圆”坐标系，其中点B、C、D的坐标分别为、、，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2-3】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，一个小正方形网格的边长表示．A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校． (1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系； (2)B同学家的坐标是； (3)在你所建的平面直角坐标系中，如果C同学家的坐标为，请你在图中描出表示C同学家的点． 【变式2-1】（23-24七年级下·河北保定·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（   ） A．北国影院3号厅2排 B．兴华路中段 C．东经，北纬 D．南偏东 【变式2-2】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码020045来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ．    【变式2-3】（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图是一足球场的半场平面示意图，已知球员A 的位置为，球员C的位置为，则球员B的位置为 ． 【变式2-4】（23-24七年级下·广东江门·期中）象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为 ．    【变式2-5】（23-24七年级下·四川广安·期中）为了更好地开展农家生态文化旅游区规划工作，某旅游村把游客中心，稻田酒店，东邻西舍，桃花岛，房车营地等5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，利用坐标确定了这5个景点的位置，并且设置了导航路线． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景点A，B的位置分别表示；并直接写出景点C的坐标； (2)在坐标系中标出的位置，连接，请直接判断与的位置关系． 【变式2-6】（23-24七年级下·河南新乡·期中）寒假期间小明一家参团旅游，导游告诉游客们龙门西山石窟A、龙门国家湿地公园B两景点的坐标分别是，，同时，告诉游客们看完这两个景点后在香山寺C处集合，其坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并确定香山寺C的位置． (2)若游客们计划从龙门国家湿地公园B处直接去香山寺C处，连接，通过观察测量，请你在龙门国家湿地公园B处用方向角描述香山寺C的位置． 【变式2-7】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是______，图书馆是______； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______． 【变式2-8】（23-24七年级下·全国·期中）小明家住在湖光小区，如图所示的是小明家附近一片区域的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，其中第一小学的坐标为，康德乐的坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出学管中心的坐标：______________． (2)若大世界的坐标为，请在坐标系中用点P表示它的位置； (3)小明家从湖光小区搬到府前官邸，请你用坐标描述平移的过程 【考点题型三】用坐标表示平移（） 【例3】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形平移得到的． (1)分别写出点、、的坐标； (2)说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内的一点，则平移后三角形内的对应点为，写出点的坐标． 【变式3-1】（23-24七年级下·北京·期中）将点向上平移3个单位长度，则对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23七年级下·河南安阳·期中）将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24七年级下·河南安阳·期中）在直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为 ． 【变式3-4】（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)画出； (2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (3)为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则 ，______． 【变式3-5】（23-24七年级下·辽宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标 ； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为 ． 【变式3-6】（23-24七年级下·北京·期中）如图，．过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在的延长线上截取． (1)写出点M的坐标； (2)平移线段，使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； (3)若P为y轴上一点，且，求P点坐标． 【变式3-7】（22-23七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶华益点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶华益点”为点，即点2的坐标为． (1)若点的坐标为，求它的“3阶华益点”的坐标； (2)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标． (3)已知、，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点，它的“阶华益点（为正整数）”使得四边形的面积为6？如果存在，请求出的值和点坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式3-8】（21-22七年级下·广西玉林·期中）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【考点题型四】坐标系中求几何图形的面积（） 【例4-1】如图，已知在平面直角坐标系中，三角形ABC的位置如图所示. （1）请写出A、B、C三点的坐标； （2）你能想办法求出三角形ABC的面积吗？ （3）将三角形ABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位，请在图中作出平移后的三角形A′B′C′，并写出三角形A′B′C′各点的坐标. 【例4-2】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，且与x轴的交点E的坐标为，求这个四边形的面积． 【变式4-1】（22-23七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)描出A、B、C三点位置，并连接、、； (2)把三角形向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的三角形并写出点的坐标；（其中点A的对应点是点，点B的对应点是点，点C的对应点是点）． (3)求的面积． 【变式4-2】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为：，，．将三角形先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点在直线上，且，直接写出点的坐标． 【变式4-3】（七年级下·陕西安康·期中）如图，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（2，3）、B（5，2）、C（2，4）、D（2，2），求这个四边形的面积．        【变式4-4】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图（每个小正方形边长均为1）． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)请画出沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (3)求平移过程中线段扫过的面积． 【变式4-5】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到，画出平移后的，并写出各个顶点的坐标； (2)求的面积． 【变式4-6】（23-24七年级下·河南漯河·期中）如图，在直角坐标系中，已知、、三点，其中、、满足关系式． (1)求、、的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积是的面积的3倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【变式4-7】（23-24七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接． (1)如图1，求点C，D的坐标及四边形的面积； (2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在； (3)如图2，在直线上是否存在点Q，连接，使，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-8】（22-23七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，a，b满足．    (1)求a、b的值． (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，在轴上有一点，当时，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【变式4-9】（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为． (1)点A的坐标是______，点B的坐标是______； (2)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出，并写出中顶点的坐标； (3)求的面积． 【变式4-10】（23-24七年级下·广东广州·期中）与在平面直角坐标系中的位置如图． (1)分别写出下列各点的坐标： _______； _______；_______； (2)说明由经过怎样的平移得到？_______． (3)若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为_______； (4)求的面积． 【变式4-11】（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知单位长度为1的方格中有． (1)中任意一点平移后的对应点为，请画出平移后所得的； (2)请以点A为坐标原点，向右为x轴正方向建立平面直角坐标系（在图中画出坐标系），并写出点B，的坐标； (3)请你求出的面积． 【考点题型五】坐标系中点的坐标规律的探究（） 【例5-1】（23-24七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）． (2)写出点的坐标（n是正整数）． (3)求出电子蚂蚁从点到点的移动方向． 【例5-2】（23-24七年级下·北京·期中）如图，点，点，点，点，，按照这样的规律下去，点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【例5-3】（23-24七年级下·四川广安·期中）如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点的坐标是 ． 【例5-4】（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，将点先向右平移1个单位长，再向上平移1个单位长，得到点；将点向上平移1个单位长，再向右平移2个单位长，得到点；将点向上平移2个单位长，再向右平移4个单位长，得到点；将点向上平移4个单位长，再向右平移8个单位长，得到点；…按这个规律平移得到点，则点的坐标为 ． 【例5-5】（23-24七年级下·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，一个动点按一定的规律运动，已知，，，，，···，则点的坐标为 ． 【变式5-1】（23-24七年级下·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，……．根据这个规律，第2024个点的坐标为 ． 【变式5-2】（23-24七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…，则根据图示规律，点的坐标为 ． 【变式5-3】（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点向右平移一个单位得到，再向上平移一个单位得到；点向右平移2个单位得到，再向上平移2个单位得到；点向右平移3个单位得到，再向上平移3个单位得到；…；按这个规律平移，则的横坐标为 ． 【变式5-4】（23-24七年级下·河南漯河·期中）如图，已知，按这样的规律，则点的坐标为 ． 【变式5-5】（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点P从原点O出发，沿着“O→→→→，…”的路线运动（每秒一条直角边），已知坐标为，，…，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是 ． 【变式5-6】（23-24七年级下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点，，，，，均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上，若点的纵坐标为，则的值为 ． 【变式5-7】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图，一只电子蚂蚁P，在平面直角坐标系xOy中按箭头所示方向作折线运动，即，，，，，，…，按照这样的运动规律，的坐标为 ；的坐标为 ． 【变式5-8】（22-23七年级下·四川泸州·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，，依此规律跳动下去，则点的坐标是 ． 【变式5-9】（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图所示，已知，，，，，…，则的坐标为 ． 【变式5-10】（22-23七年级下·山东德州·期中）如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是 ． 【变式5-11】（24-25七年级下·全国·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五次跳动到点，第六次跳动到点，…按这样的跳动规律，点的坐标是 ． 【变式5-12】（23-24七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ． 【变式5-13】（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点出发，按图中箭头所示的方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律，经过次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$