第5章比和比例（考点串讲，10常考点+7重难点+3易错+押题预测）-2024-2025学年六年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版2024）

六年级数学下学期·期中复习大串讲 第5章比和比例 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 十大常考点：知识梳理+针对训练 七大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选3道期中真题对应考点练 1.比与比值 考点梳理 知识点1 比和比例 2.比的基本性质： 3.比例 知识点2 百分比 1.百分比：把两个数量的比值写成 的形式. 也称百分数、百分率，记n%. 2.百分数、小数（或整数）、最简分数之间的转化 1.发芽率＝ ( ) ( ) ×100% 发芽的种子数 2.合格率＝ ( ) ×100% 3.出粉率＝ ( ) ( ) ×100% 4.成活率＝ ( ) ( ) ×100% 实验种子数 合格的产品数 产品总数 面粉的质量 小麦的质量 成活的棵数 栽种的棵数 ( ) 3.百分比的应用 7.利息=本金×利率×存期 6. 8. 考点1 比的意义 1．填一填。 7 10 点拨：比的前项＝比值×比的后项；比的后项＝比的前项÷比值。 7 10 12 8 针对训练 点拨： 3:5 2．下列说法正确的是(　　)。 A．一场足球比赛的比分是2∶0，所以比的后项可以是0 C 点拨： 3．求比值。 ＝1500÷600 ＝2.5 点拨：求一个比的比值，用比的前项除以后项。若比的前、后项有单位，要先统一单位再求比值。 4．填一填。 8 考点2 比的基本性质 20 1.25 (2)在5∶7中，如果前项加10，要使比值不变，后项应 (　　　 　)。 乘3或加14 点拨：5：7的前项加10，则前项变为15，相当于前项乘3，要使比值不变，那么后项也应乘3，则后项变为21，21－7＝14，相当于后项加14。 (3)华华的身高是1 m，典典的身高是120 cm，华华与典典身高最简单的整数比是(　 )。 5：6 点拨：华华与典典的身高比为1 m：120 cm＝100：120＝5：6。 5．化简比。 ＝0.45：0.8 ＝45：80 ＝(45÷5)：(80÷5) ＝9：16 点拨：化简分数比，比的前项和后项同时乘分母的最小公倍数即可；化简小数与分数比，可将分数化为小数，然后把小数比转化为整数比，最后把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 1 6．在学校组织的“争做环保先锋”活动中，五、六年级共收集了135个废旧电池，五、六年级收集的数量比是4∶5，五、六年级各收集了多少个废旧电池？ 点拨：已知五、六年级收集废旧电池的总数量及部分量的比，根据五、六年级收集的数量比进行分配即可完成解答。 7．蓝蓝用 240 mL酸梅原汁加360 mL水调制了600 mL酸梅汤。妈妈说，当酸梅原汁和水的比是3：7时，口感最佳。为了使调制的酸梅汤口感最佳，蓝蓝应该再往酸梅汤中加水多少毫升？ 240÷3×7－360＝200(mL) 答：蓝蓝应该再往酸梅汤中加水200 mL。 点拨：将酸梅原汁看成3份，水为7份时，口感最佳，用240 mL除以3，再乘7，求出口感最佳时加入水的量；再减去已经加的水量360 mL，即可求出应该再往酸梅汤中加水的量。 8． 点拨： 9. 填空。 (1)写出比值是的两个比，并组成比例是(　　 　　　　)。(答案不唯一) 5∶3＝10∶6 考点3 比例的意义和基本性质 (2)a，b均不为0，如果0. 8a＝ b，那么a∶b＝(　　)∶(　　)。 3 　 4 【点拨】 10. 解比例。 解：4. 2x＝ 2. 8×9. 6 4. 2x＝ 26. 88 x＝ 6. 4 　 解：8x＝ 2×0. 8 8x＝1. 6 x＝0. 2 返回 11. 填一填。 (1)一种微型零件长5毫米，画在图纸上长20厘米，这张图纸的比例尺是(　　　　)；图上还有一个零件长12厘米，实际长 (　　　 )。 【点拨】比例尺＝图上距离∶实际距离， 实际距离＝图上距离÷比例尺。 40∶1 3毫米 考点4 比例的应用 (2)在比例尺为1∶40的图纸上，甲、乙两个圆的半径比是5∶9. 那么甲、乙两个圆的实际直径比是(　 　)，周长比是(　　 )，面积比是( 　　)。 【点拨】两个圆的半径比＝两个圆的直径比＝两个圆的周长比，两个圆的面积比＝两个圆的半径比的平方。 5∶9 5∶9 25∶81 (3)把一个上底、下底分别是5厘米、9厘米，高是6厘米的梯形按1∶2缩小，得到的图形的面积是(　 　)平方厘米。 10. 5 【点拨】梯形按1∶2缩小，每条边的长度都除以2，缩小后的上底、下底和高分别是5÷2＝2. 5(厘米)，9÷2＝4. 5(厘米)，6÷2＝3(厘米)，面积是(2. 5＋4. 5) ×3÷2＝10. 5(平方厘米)。 返回 12. 解决问题。 (1)【衢州市江山市】在比例尺为11000的平面图中，量得凤凰塔的高是4. 97 cm；如果把凤凰塔画在比例尺为1 : 700的平面图中，凤凰塔的高应画多少厘米？ 【点拨】实际距离＝图上距离÷比例尺，图上距离＝实际距离×比例尺。 (2)杨柳青木版年画是国家级非物质文化遗产之一。赵师傅接了700张年画订单，4天完成了200张，照这样计算，剩下的还需多少天完成？(用比例解) 解：设剩下的还需x天完成。 200∶4＝(700－200)∶x x ＝10 答：剩下的还需10天完成。 【点拨】 根据“照这样计算”可知，完成年画的张数和需要的天数的比值一定，因此完成年画的张数和需要的天数成正比例关系。4天完成200张，设剩下的(700－200)张还需x天完成，据此列出比例解答即可。 (3)刘叔叔坚持绿色出行，他每天从家出发，步行去公司上班，每分钟步行75米，24分钟可以到达公司。某天刘叔叔打算慢跑去上班。每分钟比步行提速20%，实际所用时间比原来减少了多少分钟？ 75×(1＋20%)＝90(米/分) 解：设实际所用时间比原来减少了x分钟。 90×(24－ x)＝75×24 x ＝ 4 答：实际所用时间比原来减少了4分钟。 返回 9．填一填。 (1)六(2)班有96%的学生参加了“课后托管服务”，96%表示 (　　　 　　　　　　　　)占(　　　　　　　)的96%。 六(2)班参加“课后托管服务”的人数 六(2)班总人数 考点5 百分数的概念 (3)一家超市十月的销售额比九月增长了15%，15%表示 (　　　　　　　　　　　 )是(　　　　　　)的15%。 (2)六(1)班今天的出勤率是94%，94%表示(　　　 　　　　　　)是( 　　　　)的94%。 六(1)班今天的出勤人数 六(1)班总人数 十月比九月增长的销售额 九月销售额 13．把下面的分数、小数化成百分数。(除不尽的百分号前面的数保留一位小数) 考点6 百分数的两种化法 28 114.3 92 4.6 14．期中素质测评六(1)班90分及以上有35人，80～89分有8人，60～79分有6人，60分以下有1人，这次考试的优秀率和及格率分别是多少？(90分及以上为优秀，60分以下为不及格) 点拨： 15．把下面的百分数化成分数或小数。 点拨：把百分数化成分数，分母是100，百分号前面的数是分子，能约分的要约分；把百分数化成小数，小数点向左移动两位，位数不够时，用“0”补足，再去掉百分号。 16 25 9 200 1.05 0.07 16．书法是中国古典艺术的一朵奇葩。实验一小今年参加全市书法比赛的有200人，实验二小的参赛人数是实验一小的85%，实验二小有多少人参加书法比赛？ 200×85%＝170(人) 答：实验二小有170人参加书法比赛。 点拨：用实验一小今年参加全市书法比赛的人数乘实验二小参赛人数是实验一小的百分率，即为实验二小参加书法比赛的人数。 17．冰雕是一种以冰为主要材料进行雕刻的艺术形式，极具观赏性。一个体积是90 dm3的冰雕天鹅，完全融化后水的体积是81 dm3。冰融化成水后，体积约减少了百分之多少？ (90－81)÷90＝10% 答：体积约减少了10%。 考点7 百分数的三种应用 18．某品牌巧克力为扩大销量，做出了加量不加价的宣传，一种巧克力加量15%后是92 g，这种巧克力原来重多少克？ 92÷(1＋15%)＝80(g) 答：这种巧克力原来重80 g。 点拨：这种巧克力加量15%后是原来巧克力质量的(1＋15%)， 用加量后的质量除以(1＋15%)，即为这种巧克力原来的质量。 19．某地到北京的机票淡季降价20%销售，旺季要提价百分之多少票价才能恢复到原价？ 1×(1－20%)＝0.8　 (1－0.8)÷0.8＝25% 答：旺季要提价25%票价才能恢复到原价。 点拨：假设某地到北京的机票原价为“1”，则淡季机票价格为1×(1－20%)＝0.8。求旺季要提价百分之多少票价才能恢复到原价，实际上就是求机票原价与淡季机票价格的差是淡季机票价格的百分之多少，列式为(1－0.8)÷0.8＝25%。 20. 先到银行或上网查询最新的银行利率填入下表，再计算出利息。 本金/元 80000 50000 30000 存期 一年 二年 五年 年利率/%       利息/元       1. 45 1160 1. 65 1650 2. 00 3000 【点拨】利息＝本金×利率×存期。此题答案不唯一，以实际查询到的年利率为标准计算即可。 考点8 调查最新利率计算利息 21. 某天，德老师准备把5万元钱存入银行，存期为三年，年利率为1. 95%。银行工作人员告诉德老师，如果用这笔钱购买国债，将获得更多利息。已知三年期国债的年利率为2. 63%。这两种理财方式的收益相差多少元？ 5万元＝50000元 50000×(2. 63%－1. 95%)×3＝1020(元) 答：这两种理财方式的收益相差1020元。 考点9 合理理财 【点拨】两种理财方式的年利率不同，本金和存期都相同，根据利息差＝本金×利率差×存期，代入数据计算即可解答。 22. 年底爸爸奖金收入8万元，下面有两种理财方式：一种是购买银行的一年期理财产品，年利率是4%，每年到期后连本带息继续买下一年的理财产品；另一种是买三年期国债，年利率是4. 92%。三年后，哪种理财方式的收益更高？ 8万元＝80000元 第一种：80000×4%×1＝3200(元) (80000＋3200)×4%×1＝3328(元) (80000＋3200＋3328)×4%×1＝3461. 12(元) 3200＋3328＋3461. 12＝9989. 12(元) 第二种：80000×4. 92%×3＝11808(元) 9989. 12＜11808 答：三年后，买三年期国债的收益更高。 23. 张大爷于2018年元月在银行存了整存整取、定期8年的8000元钱，年利率是2. 75%。但是2024年元月，张大爷的老伴不幸生病，急需这8000元作为医疗费。银行规定：定期存款提前取出，利息按存款时的活期利率每年0. 35%计算。若不取出这笔存款，张大爷也可以向银行贷款8000元，等存款到期取出后一次性还清，但贷款的年利率为1. 65%。从经济角度考虑，请你替张大爷算一算，提前取出和贷款哪种方法更合算？ 考点10 综合运用百分数知识解决生活中的实际问题 2018＋8－2024＝2(年)　8－2＝6(年) 定期存款8年利息：8000×2. 75%×8＝1760(元) 按活期6年算利息：8000×0. 35%×6＝168(元) 贷款利息：8000×1. 65%×2＝264(元) 1760－264＝1496(元)　1496＞168 答：贷款更合算。 【点拨】要想求出哪种方法更合算，要分别计算出按定期存款8年的利息、提前取出的利息和贷款2年的利息。已知存款是8000元，定期8年的年利率是2. 75%，而存6年就取出，年利率是0. 35%，依据“本金×利率×存期＝利息”可得两者的利息，而贷款8000元的年利率是1. 65%，年限是2年，依据上面的公式可求出贷款2年的利息。将定期存款8年的利息和贷款2年的利息相差的部分与提前取出的利息相比较，可得选择贷款更合算。 24. 刘阿姨准备存10万元，三年后使用。银行给刘阿姨提供了三种类型的理财方式(如下表)。请你帮助她算一算哪种理财方式收益最大？(理财产品每年到期后可连本带息继续购买下一年的理财产品，且理财产品的预期年收益率能够实现) 定期三年 三年期国债 一年期理财产品 年利率2% 年利率2. 75% 预期年收益率3% 定期三年：10×2%×3＝0. 6(万元) 三年期国债：10×2. 75%×3＝0. 825(万元) 一年期理财产品连续买三年： 第一年利息10×3%×1＝0. 3(万元) 第二年利息(10＋0. 3)×3%×1＝0. 309(万元) 第三年利息(10＋0. 3＋0. 309)×3%×1＝0. 31827(万元) 0. 3＋0. 309＋0. 31827＝0. 92727(万元) 0. 92727>0. 825>0. 6 答：选择一年期理财产品连续买三年收益最大。 【点拨】 定期三年、三年期国债都可以通过“利息＝本金×利率×存期”求得利息。一年期理财产品连续买三年，应注意一年后获得的利息连同 10万元本金再次投入购买第二年的理财产品，依次类推，再把三年的利息相加。最后比较三种理财方式的收益，就能知道哪种理财方式收益最大。 题型剖析 1. 填一填。 (1)从20以内的合数中选4个数组成比例：(　　　　 　　)。(答案不唯一)　 4∶8＝6∶12 【点拨】20以内的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。 题型1：用比例的基本性质填空 6 5 【点拨】 (3)在比例5∶3＝15∶9中，如果内项3加上9，外项9应该加(　　)，比例仍成立。 27 【点拨】内项3加上9后，等号左边的比变成5∶12，内项积＝12×15＝180，外项9变成180÷5＝36，应该加36－9＝27。 (4)甲、乙两个数的比是5∶4，如果甲数是90，那么乙数是(　　)；如果两个数的平均数是90，那么乙数是(　　)。 【点拨】由题得：5∶4＝90∶乙数，乙数＝4×90÷5＝72。两个数的平均数是90，即两个数的和为90×2＝180，则乙数为180÷(5＋4)×4＝80。 72 80 2. 解比例。 解：0. 36x＝0. 4×8. 1 0. 36x＝3. 24 x＝9 解：0. 2x＝ ×0. 6 0. 2x＝0. 8 x＝4 题型2：用比例的基本性质解比例 3. 梦梦家和龙龙家到学校的距离相等，星期一早上，龙龙从家到学校用了15分钟，梦梦从家到学校用了12分钟。 (1)梦梦和龙龙的速度比是( 　　)。 (2)如果龙龙的速度是52米/分，那么梦梦的速度是多少？ 5∶4 题型3：用比例的基本性质解决问题 4. 同同用120 mL的酸梅原汁加240 mL的水调制了酸梅汤。为了使调制的酸梅汤口感最佳，同同应往酸梅汤中加酸梅原汁还是水？加多少？ 5. 黄金比是数学中的一个经典概念，由古希腊数学家毕达哥拉斯发现，黄金比的比值近似值是0. 618。据调查，当气温与人体正常体温的比是黄金比时，人们才会感到最舒适。炎热的夏天，空调温度设置成多少时，人们才会感到最舒适呢？(假设人体正常体温为37 ℃，结果保留整数) 6. 丝绸，灿若烟霞，是中国古老文化的象征，而杭州丝绸，质轻，柔软，色彩美丽，在中国传统丝织业中占据重要地位。荣老师想买一块丝巾送给妈妈，已知甲、乙两家丝绸店同款丝巾的单价之比为5∶3，若它们的单价分别上涨80元，则单价之比为8∶5。甲、乙两家丝绸店同款丝巾原来的单价分别是多少元？ 【点拨】设甲、乙两家丝绸店同款丝巾原来的单价分别为5x元、3x元，根据分别上涨80元后两家同款丝巾的单价比是8∶5列比例解答。 7．填一填。 (1)我国森林覆盖率是24.02%，横线上的数读作(　　　 　　　　)，表示(　 　　　　)是(　　　　　　)的24.02%。 (2) 用百分数表示下面的成语。 百发百中(　　　)　　平分秋色(　　　) 一箭双雕(　　　)　　十拿九稳(　　　) 百分之二十四点零二 我国森林面积 我国总面积 100% 50% 200% 90% 题型4：百分数的意义及百分数、分数和小数的互化 点拨：先理解各成语的意思，再表示出相应的百分数。如百发百中形容射箭或打枪准确，每次都命中目标，用100%表示。 8．把表格补充完整。 百分数 分数 小数 48%             0.54     14%     9．填一填。 0.888… 0.0888 0.8 80% 点拨： ． ． 点拨： 10．填一填。 (1)4是5的(　　)%，5是4的(　　)%。 80 125 点拨：求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算。 (2)华华用气枪打气球，发射20次，命中了9次，华华的命中率是(　　　)%。 (3)园林工人陆师傅栽下了一些花苗，成活了48棵，有2棵没有成活，成活率是(　　)%。 45 96 点拨： 点拨： 11．根据国家规定，新建小区的绿化率不得低于30%。在占地面积为12000 m2的某新建小区内，绿化面积为4000 m2。这个新建小区的绿化率能达到国家规定吗？ 点拨： 12．填一填。 (1)50 m的80%是(　　　)m，75 kg的40%是(　　　)kg；(　　)t的40%是24 t。 40 30 60 点拨：求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，50×80%＝40(m)，75×40%＝30(kg)；已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，24÷40%＝60(t)。 (2)我国是油菜种植大国，油菜田遍布山谷平原。如果一种油菜籽的出油率是38%～40%，500 kg这种油菜籽至少可榨油(　　)kg，要榨1140 kg菜籽油至少需要(　　)kg这种油菜籽。 190 点拨：根据题意可知，500 kg这种油菜籽至少可榨油500×38%＝190(kg)，要榨1140 kg菜籽油至少需要1140÷40%＝2850(kg) 这种油菜籽。 2850 13．再生纸是以废纸为原料加工生产出来的纸张，被誉为低能耗、轻污染的环保型用纸。回收的废纸可以加工相当于废纸原重80%的再生纸。荣老师的办公室整理出30 kg废旧报纸、书籍，可以制成多少千克的再生纸？ 30×80%＝24(kg) 答：可以制成24 kg的再生纸。 14． 点拨： 15. 填一填。 (1)妈妈在超市买了一件250元的商品，超市返还 50元现金，妈妈买这件商品相当于打(　　)折。 (2)一件商品在原价的基础上加价8元后，售价是48元，该商品加价(　　)成。 (3)方姐姐买了2杯奶茶，第一杯原价，第二杯半价，相当于享受(　 　)折优惠。 八 二 七五 题型5：解决有关折扣和成数的实际问题 【点拨】 (1)(250－50)÷250＝80%＝八折；(2)8÷(48－8)＝20%＝二成；(3)假设一杯奶茶是10元，一杯原价，另一杯半价为5元，可列式为(10＋5)÷(10×2)＝75%＝七五折。 16. 某线上购物平台开展促销活动：全场八折，会员再享受九折。会员程阿姨看中了一条裙子，原价250元，活动期间购买可优惠多少元？ 250－250×80%×90%＝70(元) 答：活动期间购买可优惠70元。 【点拨】注意看清题中是求可优惠多少元，而不是求优惠后是多少元。 17. 杭州西湖去年五一期间共接待游客180万人次，比前年增加了两成，前年接待游客多少万人次？ 180÷(1＋20%)＝150(万人次) 答：前年接待游客150万人次。 【点拨】读清题意，明确单位“1”是未知的，用除法计算，去年接待游客数÷(1＋增加的成数)＝前年接待游客数。 18. 填一填。 (1)王阿姨参加新农合医疗保险，其中条款规定：住院医疗费不超过400元不报销，超过400元的，超过部分按75%报销。王阿姨生病在定点医院住了20天，共计费用8400元。按规定，医疗保险报销 (　 　)元。 6000 【点拨】(8400－400)×75%＝6000(元)。 题型6：解决有关税率和利率的实际问题 (2)张叔叔将工资收入的一部分存入银行，存期三年，年利率为1. 95%，到期时取回利息1638元，张叔叔的存款本金是(　 　)元。 28000 【点拨】1638÷3÷1. 95%＝28000(元)。 19. 最新个人所得税法规定: 工资收入有5000元免征额,每月应纳税所得额不超过3000元的部分,适用税率3%。林叔叔四月份缴纳个人所得税45元,林叔叔的税后工资是多少元？ 45÷3%＋5000＝6500(元) 6500－45＝6455(元) 答：林叔叔的税后工资是6455元。 【点拨】先求出林叔叔的月工资,再减去应纳税额即可。 20. 吴叔叔的科技成果奖奖金是30000元，按规定应缴纳20%的个人所得税，吴叔叔将实际得到的奖金存入银行，定期两年，年利率为1. 65%。到期后吴叔叔可取出本金和利息共多少元？ 30000×(1－20%)＝24000(元) 24000×(1＋2×1. 65%)＝24792(元) 答：到期后吴叔叔可取出本金和利息共24792元。 【点拨】先求出缴税后存入银行的本金，再用本息和公式计算即可。 21. 今年春节，欣欣糕点店推出了3种促销方式： A. 在网上团购代金券75元一张可抵用100元消费。(每次限用两张，不可找零) B. 购买时，按原价打八五折。 C. 每满100元减20元。(不足100元部分不减) 李老师一家人要买原价240元的糕点，请你帮她算算，她选择哪种方式结账最划算？ 题型7：综合运用百分数知识解决促销问题 A：240－100×2＋75×2＝190(元) B：240×85%＝204(元) C：240÷100＝2(个)……40(元) 240－2×20＝200(元) 190<200<204 答： 她选择A方式结账最划算。 【点拨】多种方案中选择最优惠方案时，需要把每一种方案所用的钱都算出来，再比较得出最优惠的方案。 易错点1 运用比的意义解决问题 1．(易错题)下面是两杯糖水，糖与水的比如图所示，哪杯糖水甜一些？ 易错易混 2．(易错题)(1)将3：5的前项加上9，要使比值不变，比的后项应加上多少？ 比的后面应加上15。 易错点2 比的基本性质的变式练习 点拨：把比的前项加上9是12，因为12÷3＝4，所以根据比的基本性质，比的后项5也要乘4，5×4＝20，20－5＝15，所以要使比值不变，比的后项应加上15。 (2)将36：48的后项减去12，要使比值不变，比的前项应减去多少？ 比的前项应减去9。 点拨： 易错点3 百分率的实际应用 3．(易错题) “以匠人之心，铸大国重器”。某公司加工一批精密零件，上午加工了 180个，4个不合格，下午加工了70个，1个不合格。这一天加工精密零件的合格率是多少？ 4. [易错题] 妈妈将年终奖 16000 元存入银行，存期是 3 个月，年利率是 1.15%，到期时应得到利息多少元？ 押题预测 1.（22-23六年级上·上海松江·期末）求比值：2.7厘米：36毫米=      . 解：2.7厘米：36毫米=2.7厘米：3.6厘米= 2.（22-23六年级上·上海闵行·期末）已知 求最简整数比 解：因为 所以 所以 3.（23-24六年级上·上海浦东新·期末）一辆汽车匀速行驶3小时行驶了240千米，以同样的速度，行驶 小时可以行驶多少千米？（用比例方法解） 解：设行驶 小时可以行驶x千米， 由题意得， 所以 所以 答：行驶 小时可以行驶440千米．