专题02 几何与图形 2024-2025学年小升初数学备考真题分类汇编（浙江专版）

2024－2025学年小升初数学备考真题分类汇编（浙江专版） 专题02 几何与图形 考点分布 考点内容 命题焦点 直线型几何 ①线段、射线、直线的区别与性质 ②角度计算、面积计算 ③三角形分类与性质 ④四边形与梯形模型 ①考察角度计算 ②结合几何模型（如蝴蝶模型）解决面积比例问题 ③勾股定理的实际应用 曲线型几何 ①圆的基本性质 ②扇形与弓形面积计算 ③容斥法与平移法处理复杂图形 ①动态几何问题（如动点与圆结合的多选判断） ②利用割补法求阴影面积 ③圆的对称性及组合图形分析 立体几何 ①长方体、正方体、圆柱、圆锥的表面积与体积 ②三视图与展开图分析 ③切面问题 ①立体图形的展开图最短路径问题 ②水中浸物体积计算 ③切面后新增面积的计算（如棱上切增2个面） 几何模型应用 ①鸟头模型 ②沙漏模型与燕尾模型 ③等高三角形与比例关系 ①结合比例关系解决复杂图形面积 ②利用模型快速推导线段比例或面积分配 图形变换与位置 ①轴对称图形及其对称轴数量 ②平移、旋转后的图形性质 ③坐标系中的图形位置分析 ①判断轴对称图形并绘制对称轴 ②图形旋转后的周长或面积变化 ③坐标系中图形的坐标变换问题 观察与推理 ①三视图还原立体图形 ②图形规律推理 ①根据三视图判断立方体叠放数量 ②图形推理题中寻找对称轴方向或笔画规律 ——重难点题型导览—— 平面图形 2 立体图形 2 图形变换 2 几何规律探究 2 位置与方向 3 一、线和角 （1）线 直线：直线没有端点；长度无限； 过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 射线：射线只有一个端点；长度无限。 线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。 垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 （2）角 角：从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。 角的边：这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 角的大小：角的大小看两条边叉开的大小，叉开的越大，角越大。 角的分类：锐角：小于90°的角叫做锐角。直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。 锐角＞直角＞钝角＞平角＞周角 1周角＝2平角＝4直角 二、平面图形 周长：围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。 面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。 1.长方形 特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 计算公式：长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用S表示 周长＝（长＋宽）×2 C长＝（a＋b）×2 面积＝长×宽 S长＝a×b 2.正方形： 特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 计算公式：正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用S表示。 周长＝边长×4 C正＝a×4 面积＝边长×边长 S正＝a×a 3.三角形 三角形各部分的名称：角(3个)，顶点(3个)，边(3条). 三角形：三角形的定义:由三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边的一条垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 任意一个三角形都有三条高。直角三角形的两条直角边互为底和高。过三角形的一个顶点只能画一条高。 三角形的内角和：三角形的内角和是180°。 三角形的特性：三角形具有稳定性。（也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小都不会改变），生活中很多物体利用了这样的特性。如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。 三角形边的的性质：三角形任意两边之差小于第三边。 已知三角形的两条边的长度，求第三条边的范围（或求第三天边最长多少最短多少）：大于两边差小于两边和（A－B＜第三边＜A＋B) 计算公式：三角形的底用a表示，高用h表示，面积用S表示。 三角形的面积＝底×高÷2 S三＝ah÷2 分类1：【按角分】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。 每个三角形里至少有2个锐角，最多3个锐角。三角形中最多有一个直角或钝角。 分类2：【按边分】不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，也可能是钝角三角形。 等腰三角形的底角一定是锐角。（顶角可能是直角，也可能是锐角，还有可能是钝角） 4.平行四边形 特征：两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。 计算公式：平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用S表示。 平行四边形的面积＝底×高 S平＝ah 平行四边形容易变形（不稳定性）。生活中许多物体都利用了这样的特性。如：（电动伸缩门、铁拉门、伸降机）把平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变了。平行四边形不是轴对称图形。 5、梯形： 梯形：只有一组对边平行的四边形叫梯形。 上底和下底：互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底。 梯形的腰：不平行的一组对边叫梯形的腰。 梯形的高：从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫梯形的高。 梯形的高有无数条。但过顶点只能画一条高。梯形的高只有一种长度。 等腰梯形：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴。 直角梯形：直角梯形有且只有两个直角。直角梯形的底和一条腰（底和腰形成直角的那条腰）互相垂直。 计算公式：梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，面积用S表示。 梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2 S梯＝（a＋b）×h÷2 特征：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 中位线等于上下底和的一半。等腰梯形有一条对称轴。 6、三角形的拼组： ①两个完全相同的三角形、梯形、平行四边形可以拼成一个平行四边形； ②两个完全相同的直角三角形可以拼成一个长方形、三角形、平行四边形； ③两个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形、平行四边形、三角形； ④三个完全相同的三角形可以拼成一个梯形。 7、圆 圆的认识：平面上的一种曲线图形。 圆心：圆中心的一点叫做圆心。一般用字母O表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。 在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。 同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d＝2r。 圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。 圆的画法： 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）； 把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上； 把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 圆周率：把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母π表示。 圆周率π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653…… 圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 计算公式：圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用C表示，面积用S表示。 直径d＝2r 半径 r＝d÷2 圆的周长＝直径×3.14 C圆＝πd 圆的周长＝半径×2×3.14 C圆＝2πr 圆的面积＝半径的平方×圆周率 S圆＝πr2 特性： 把圆等份成若干份，拼成的图形接近于长方形。这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽就是圆的半径。 8、扇形 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 弧：圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 扇形有一条对称轴。 计算公式：扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用S表示。 S扇形＝nπr2÷360 9、环形 特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。 计算公式：S＝π(R²－r²） 10、轴对称图形： 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两恻的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 学过的图形中的轴对称图形有：圆（无数条）、等腰三角形（1条）、等边三角形（3条）、长方形（2条）、正方形（4条）、等腰梯形（1条） 三、立体图形 表面积：立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。 体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 1、长方体 特征：六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。 相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。有8个顶点。 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。 长 宽 高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 棱：两个面相交的边叫做棱。 顶点：三条棱相交的点叫做顶点。 长方体表面积：长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 计算公式：长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用S表示，体积用V表示。 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S长表＝（ab＋ah＋bh）×2 体积＝长×宽×高 V长＝abh 2、正方体 特征：六个面都是正方形；六个面的面积相等；12条棱，棱长都相等 有8个顶点。正方体可以看作特殊的长方体 计算公式正方体的棱长用a表示，底面周长C用表示，底面积用S表示，体积用V表示. 表面积＝棱长×棱长×6 S正表＝a×a×6＝6a2 体积＝棱长×棱长×棱长 V正＝a3 长方体、正方体都有12条棱，6个面，8个顶点。 3、圆柱 圆柱的认识：圆柱的上下两个面叫做圆柱的底面。圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 圆柱的侧面：圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 圆柱的高有无数条，这些高都平行且相等。 计算公式：高用h表示，底面周长用C表示，底面积用S表示，体积用V表示 侧面积＝底面周长×高 S侧＝ch 表面积＝侧面积＋两个底面积 S表＝S侧＋2S底 体积＝底面积×高 V＝Sh 【特性】 把圆柱的侧面展开，得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面的周长，宽等于圆柱的高。 4、圆锥： 圆锥的底：圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。 圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 计算公式：圆锥的高用h表示，底面积用S表示，体积用V表示. 圆锥的体积＝圆柱的体积÷3 V锥＝sh÷3 【特性】 等底等高的圆锥的体积是圆柱的，等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。 体积和底面积相等的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆锥的高是圆柱的3倍。 测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 小学几何计算公式 图形 公式 三角形 周长＝边长＋边长＋边长 C＝a＋b＋c 面积＝底×高÷2 S＝ah÷2 三角形内角和＝180° 正方形 周长＝4×边长 C＝4a 面积＝边长×边长 S＝a2 矩 形 周长＝(长＋宽)×2 C＝2(a＋b) 面积＝长×宽 S＝a×b 平行四边形 面积＝ 底×高 S＝a×h 梯 形 面积＝ (上底＋下底)×高÷2 S＝(a＋b)×h÷2 圆 直径＝ 2×半径 D＝2r 圆的面积＝π×半径2 S＝πr2＝ 圆的周长＝圆周率×直径 C＝πD＝2πr 圆 环 圆环的面积＝大圆－小圆 S圆环＝π(R2－r2) 扇 形 扇形面积等于扇形的圆心角与圆的圆心角360°之比乘以圆的面积； S扇＝ r：扇形半径 l ：扇形弧长 图形 公式 正方体 棱长＝12×边长 L＝12a 表面积＝6×正方形面积 S＝6a2 体积＝边长×边长×边长 V＝a3 长方体 棱长＝ 4×(长＋宽＋高) L＝4(a＋b＋h) 表面积＝2×(底面积＋长边侧面积 ＋短边侧面积) 体积＝长×宽×高 圆柱体 表面积＝ 圆柱体的侧面可以看作是一条平行于轴的线段（即母线）或矩形绕轴旋转而成。 圆柱侧面展开图是矩形 圆柱体的高h等于圆柱体母线 体积＝底面积×高 圆锥体 表面积＝ 圆锥侧面展开图是扇形的一部分 r：圆锥底面半径 l：圆锥母线 体积＝ 平面图形 周长与面积计算 1．（2024杭州）下表里记录了一个数学小组用一根长20dm的铁丝围图形的情况。分析表中的实验记录，你的发现是 。 图形 周长/dm 长/dm 宽/dm 面积/ 长方形 20 9 1 9 20 8 2 16 20 7 3 21 20 6 4 24 20 5 5 25 圆 20 31.85 2．（2023金华）下图大长方形的周长是( )cm，阴影部分的面积是( )cm。 3．（2023杭州）一个长方形分成①②两部分，如图。①的周长是( )cm，①的面积与②的面积的最简整数比是( )。 4．（2024嘉兴）一个直径是100米的圆形广场，在它的周围均匀地安装50盏路灯。每两盏路灯之间的距离是( )米。 5．（2024宁波）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 6．（2023绍兴）如下图，每个小方格的边长都是1cm，求阴影部分的周长和面积。 组合图形 7．（2024宁波）求下图阴影部分的面积。 8．（2024嘉兴）如图，求阴影部分面积。 9．（2024杭州）画一画，算一算。 （1）在上右边的正方形中画一个图形并涂上阴影，使阴影部分的面积和上左图正方形中涂色部分的面积相等。 （2）算一算，上左图阴影部分的面积是（    ）。 10．（2022宁波）小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周长是( )cm（π取3）。 11．（2021温州）聪聪和明明在下图所示的操场上练习跑步，他们从相距77.2米的两个地方同时相向出发，经过20秒钟两人在途中第二次相遇。 (1)跑道全长( )米。 (2)如果聪聪跑步速度是明明的倍，聪聪的速度是( )米/秒，明明的速度是( )米/秒。 12．（2023杭州）求图中阴影部分的面积。 角度问题 13．（2023杭州）如图是由一副三角板拼成的，求∠1和∠2的度数。    14．（2018浙江）求下图中、、、这四个角相加的度数和。 15．（2023湖州）如图，已知AO⊥BO（“⊥”表示垂直），CO⊥DO。请你用推理说明：∠1＝∠2。 16．（2018浙江）已知，求的度数和． 17．（2018浙江）用5倍放大镜观看一个30°的角，看到的角的度数是（ ）． A．30° B．150° C．180° 18．（2022浙江）如图，把三角形的边延长到点D，你能推导出吗？请把下面的推导公式过程填完成。 因为三角形内角和是180°，所以( )°，所以( )，又因为＝平角＝180°，所以( )，所以。 立体图形 长方体的表面积及体积 19．（2023金华）如图这样的两个长方体叠在一起，叠起来的图形体积是( )立方厘米，表面积最小是( )平方厘米。 20．（2023嘉兴）用一根铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1，如果长12dm，那么宽( )dm，给这个框架的表面糊一层彩纸，至少需要彩纸( )dm2。 21．（2023嘉兴）小强用橡皮泥做了一个圆锥形学具，圆锥的底面周长是12.56厘米，高是9厘米。他又做一个长方体纸盒，正好能把圆锥形橡皮泥装进去。 （1）橡皮泥学具的体积是多少立方厘米？ （2）做这个纸盒至少用了多少平方厘米硬纸？ 22．（2024湖州）一块长8cm、宽6cm、高5cm的长方体木块，它的体积是( )cm3；如果把它锯成长3cm、宽3cm、高2cm的小长方体，最多可以锯( )个这样的小长方体。 23．（2023杭州）如下图所示，一个小球的体积是( )立方厘米，一个大球的体积是( )立方厘米。 24．（2023宁波）小王从不同的方向观察一个长方体（如图），这个长方体的体积是（    ）立方厘米。请在右面虚线框内画出正面看到的图形，并标上长、宽的数据。 正方体的表面积及体积 25．（2023绍兴）将一个正方体的每条棱的长度都按的比例缩小，那么，它的表面积会缩小到原来的( )，体积会缩小到原来的( )。（填上合适的分数） 26．（2023台州）在正方体的上面摆一个圆柱体，求这个组合体的表面积。 27．（2023杭州）有一个棱长为8分米的立方体物体，现要挖去一个长为8分米，宽为1分米，高为1分米的长方体，则剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案） 28．（2023金华）实验小学六年级泥塑兴趣小组的同学塑造了一个长方体，其棱长总和为56分米，长是宽的2倍，宽是高的2倍，然后他们又把这个长方体等积变形成一个正方体，最后把这个正方体削成了一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是（    ）立方分米（结果用多少个π表示）。 A．13π B．14π C．15π D．16π 29．（2023杭州）一个长6分米、宽和高都是4分米的长方体木料，如果切出一个最大的正方体，正方体的体积是( )立方分米；如果削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方分米。 30．（2022绍兴）把一个棱长为2分米的正方体铁块加工成最大的圆柱形工件，这个圆柱形工件的体积是( )立方分米。 圆柱的表面积及体积 31．（2024湖州）小兵有一个圆柱形水壶（如图①）。 （1）这个水壶的表面积是多少平方厘米？ （2）一个瓶子装有果汁，把瓶盖拧紧，倒置、放平如图②所示。将瓶中的果汁全部倒入小兵的水壶中，高度正好是4厘米。这个瓶子的容积是多少？（水壶、瓶子的厚度忽略不计） 32．（2023温州）一个圆柱体的底面直径是4厘米，高2厘米，它的侧面积是( )平方厘米，一个底面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 33．（2022绍兴）下图是一张长方形铁皮，剪下两端两个圆和中间那块长方形，正好能做成一个圆柱。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 34．（2023绍兴）求出下面这个陀螺的体积。 35．（2024湖州）如图，以BC边为轴旋转一周，空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 36．（2023金华）如图（单位：厘米）请你从长方体和圆柱体的体积公式类推求出图中这个直柱体的体积是( )立方厘米。 圆锥的体积 37．（2023金华）如图，长方形ABCD的长是4厘米。宽是3厘米，对角线AC把长方形分成阴影和空白两个三角形。以AB所在的直线为轴，把长方形旋转一周，空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是多少？ 38．（2023杭州）如图，直角三角形ABC如果绕AB旋转一周后得到圆锥甲，如果绕BC旋转一周后得到圆锥乙。已知，那么两个圆锥的体积( )。 39．（2023杭州）一个圆柱形鱼缸，底面半径6厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径是3厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中（水未溢出），水面上升0.5厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 40．（2023杭州）如图，等底等高的圆柱和圆锥叠在一起。已知圆柱和圆锥的体积一共是180立方厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？下面列式正确的是（    ）。 A．180÷4×3 B． C． D． 41．（2023宁波）如图数量关系不能用方程来表示的是（    ）。 A． B． C． D． 42．（2023台州）如图是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的零件，求它的体积。 旋转体问题 43．（2022温州）如下图，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是( )。 44．（2022浙江）图中长方形ABCD绕CD所在直线旋转一周后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是（    ）。 A．12∶1 B．11∶1 C．3∶1 D．4∶1 45．（2021湖州）下图中，以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 46．（2022浙江）如图，长方形的长4厘米、宽3厘米，对角线把长方形分成阴影和空白两个三角形。以宽所在的直线为轴，把长方形旋转一周，空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小的比是（    ）。 A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶2 47．（2023浙江）长方形的长和宽分别是4cm和3cm，以4cm这条边为轴旋转一周，可以得到一个( )，把它锯成一个圆锥，体积最大是( )。 48．（2022杭州）如图所示，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是（    ）。 A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶1 图形变换 轴对称 49．（2024杭州）请在方格纸中画一个圆，让它和已有正方形组成一个轴对称图形。 50．（2022绍兴）以下每组图前后两个之间的运动方式分别属于（    ）。    A．平移、轴对称、轴对称 B．平移、旋转、轴对称 C．平移、旋转、旋转 D．平移、轴对称、旋转 51．（2022浙江）长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 52．（2021金华）圆中两端都在圆上的线段是（    ）。 A．一定是圆的半径 B．一定是圆的直径 C．对称轴 D．无法确定 53．（2021台州）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）。 A．长方形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．圆 54．（2021台州）小明将一张正方形纸片上下对折后再左右对折，如下图所示在上面刻下一个“5”，展开后得到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 平移 55．（2024杭州）程序员在给机器人设计行进路线图，下图中每个小正方形的对角线代表的长是10m，机器人从☆的位置向西偏南45°方向移动20m，机器人将移动到点（    ）。 A． B． C． D． 56．（2023金华）按要求操作。 （1）已知图中A点的位置是（3，9），那么B点位置是（    ）。 （2）将图①先向左平移2格，再向下平移4格后得到图②。 （3）以直线L为对称轴，作图①的轴对称图形，得到图③。 （4）将图①绕点C逆时针旋转90°，得到图④。 （5）在图中空白处，画出图①按2∶1的比例放大后得到的图⑤。 57．（2023温州）图中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）如果D点的位置用数对表示为（4，6），那么A点的位置表示为（    ），B点的位置表示为（    ）。 （2）请画出把梯形ABCD先向右平移6格，再向上平移2格后的图形。 （3）画出梯形ABCD绕B点逆时针旋转后的图形。 （4）以直线a为对称轴，画出图形ABCD的另一半，使之成为轴对称图形。这个轴对称图形的面积（    ）平方厘米。 58．（2022杭州）看图操作。 （1）图中的半圆，它的圆心O1可以用数对（  ，  ）表示；它的周长是（    ）厘米。 （2）画出将半圆向右平移2格，向下平移2格后的图形；将这个图形的圆心标为O2。 （3）按2∶1画出这个半圆放大后的图形。 59．（2022金华）图形与变换。 （1）画出图形A按放大后的图形。 （2）画出图形B绕点O顺时针旋转后得到的图形C。 （3）画出图形B向左平移4格后得到的图形D。 60．（2021温州）观察下图，完成相应问题。 （1）以虚线为对称轴，画出图形A的轴对称图形。 （2）画出图形A向下平移3格后的图形。 （3）画出图形A按2∶1放大后的图形。 旋转与视图分析 61．（2024湖州）看图回答问题。（图中每个小正方形的边长是1厘米） （1）图中点A的位置是（2，4），点B的位置是（    ）；如果再添一个点C，和A、B两点构成一个等腰直角三角形，那么点C的位置可以是（     ）。 （2）线段AB绕点B逆时针旋转（    ）时，点A运动到点A＇（5，1），点A走了（    ）厘米。 62．（2023嘉兴）钟面上分针长12cm，从9：00——9：15，分针旋转了( )度，分针的针尖走了( )cm。 63．（2023杭州）如图中，若点A的位置用数对表示，那么点B的位置可以用数对（    ）表示。线段绕A点顺时针旋转90°，在下图中用阴影表示出线段扫过部分的图形。阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 64．（2023绍兴）有一堆正方体形状的纸箱，从三个不同的方位看到的形状如下图。那么这堆纸箱至少有( )个。 65．（2023杭州）下面这个几何体，从左边观察看到的图形，是由( )个小正方形组成的。想一想，至少再摆上( )个小立方体，它就能拼成一个长方体了。 66．（2022绍兴）下面三幅图，从右面观察，所看到的形状完全相同。( ) 几何规律探究 图形序列 67．（2024宁波）用6根同样的小棒可以摆一个正六边形，照图这样摆下去，摆7个正六边形需要( )根小棒，摆个正六边形需要( )根小棒。 68．（2023杭州）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半……以此类推。 (1)阴影部分的面积是( )。 (2)计算：＝( )。 69．（2023嘉兴）把边长是1厘米的小正方形按下图这样摆放： (1)第⑧幅图一共摆了( )个这样的小正方形。 (2)第⑨幅图的周长是( )厘米。 (3)第⑩幅图的面积是( )平方厘米。 70．（2023温州）如图所示，按照这样的规律摆下去，摆5个三角形要用 根小棒。 71．（2021宁波）观察下面的点阵图规律，点阵图（10）中有( )个点。 72．（2021湖州）如图所示，第①幅图有2颗☆，第②幅图有8颗☆，第③幅图有18颗☆。 (1)第④幅图有( )颗☆。 (2)当有200颗☆时，这是第( )幅图。 拼接与阴影面积 73．（2023温州）如图，把一个圆转化成近似的长方形。 (1)把一个圆拼成一个近似的长方形后，周长增加了12cm。增加的12cm实际上是( )的长度。 (2)这个近似长方形的长是( )cm，圆的面积是( )。 74．（2022宁波）研究圆的面积时，丁丁把圆分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形（如下图1）。这个长方形的周长比原来圆的周长增加了10cm，原来圆的周长是( )cm；明明将同样大小的圆剪拼成一个近似梯形（如下图2），这个梯形的面积是( )cm2。 75．（2020湖州）把一个直径是8厘米的圆剪接成近似的长方形（如下图），这个长方形的长是( )厘米，长方形的周长是( )厘米。 76．（2023嘉兴）如下图，李叔叔将两块完全相同的长方体钢坯分别加工成2个和8个的圆柱形的钢模。比一比两种加工方法削去的钢材体积，（    ）。 A．①大 B．②大 C．一样大 D．不能比较 77．（2024杭州）按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为（    ）（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 78．（2024衢州）求下图阴影部分的面积。（单位：cm） 位置与方向 数对 79．（2023嘉兴）画一画，算一算。 （1）如果图中点A的位置用数对（5，9）表示，那么点B的位置可以用数对（    ）表示。 （2）画出△ABC绕点B顺时针旋转后的图形。 （3）以AB为轴，将△ABC旋转一周，旋转形成图形的体积是（    ）立方厘米。 80．（2023杭州）小明家所在街区的平面图如下（每个小方格的边长均表示）。 （1）小明家在学校的（    ）偏（    ）（    ）°的方向上。 （2）这个平面图的比例尺是（    ），从医院到银行的实际距离是（    ）米。 （3）超市的位置用数对表示，请在图上标出超市的位置。 （4）超市的免费送货上门的服务半径是2千米。小丽家能否享受免费送货上门服务？请用画图、文字或计算来说明理由。 81．（2022浙江）如图，点A所在的位置是（5，5）。 （1）那么点C所在的位置是（ ， ），将A、B、C三点依次连接形成封闭图形，记作图①； （2）将图①绕A点逆时针旋转90°，得到图②； （3）将图①按2∶1放大，画在右边空的方格里。 82．（2022金华）按要求作图并填空。 （1）画出图形①绕点A沿逆时针方向旋转180°后的图形②。以1格为单位，如果点B的数对是（1，1），那么旋转后点B的对应点B′的位置，可以用数对（    ）表示。 （2）如果把图形①按2∶1放大，请画出放大后的图形③，图形③和图形①的面积比是（    ）。 83．（2022湖州）下图中小格子的边长是1cm。 （1）在三角形ABC中，如果点B的位置是（10，5），那么C点的位置是（    ）。 （2）画出三角形ABC绕B顺时针旋转180°后的图形。 （3）画一条线段，把长方形分成一个三角形和一个梯形，使得三角形的面积与梯形的面积比是2∶3。 84．（2022绍兴）（1）用数对表示下图中点A、C所在的位置A（    ，    ），C（    ，    ）。 （2）已知A、C两点是平行四边形ABCD的其中两个顶点（另外两个顶点B、D也都在方格点上），且这个平行四边形的面积是18平方厘米，请先确定顶点B、D的位置，并将这个平行四边形画出来（再用铅笔涂上颜色）。 路线规划 85．（2023温州）周六下午，宏宏约强强一起去书店。 （1）宏宏从家里出发，沿（    ）偏（      ）°方向走（    ）米到达公园，再向（    ）方向走400米到达书店。 （2）强强家在书店的东偏南30°方向800米处，请在图中画出强强家的位置。 86．（2023杭州）如图是石家庄地铁2号线部分线路图。 如果张医生从塔坛站乘坐地铁2号线去北国商城站，先向( )偏( )°方向坐1站到石家庄站，再向( )偏( )°方向坐( )站到欧韵公园站，最后向( )方向坐( )站到北国商城站。 87．（2023温州）第十九届亚运动于2023年9月在浙江举行，温州龙湾奥体中心成为本次亚运会足球小组赛分赛场地，我市轨道交通S1、S2线全力助力亚运盛会。 （1）从龙湾国际机场出发，乘坐轨道交通S1线，可以直达奥体中心。奥体中心在龙湾国际机场（    ）偏（    ）30°方向距离（    ）km处。 （2）轨道交通S2线共分布20个站点。其中沙城站在龙湾国际机场站西偏南35°方向大约6km处。请在图中画出沙城站所在的位置。 88．（2023浙江）某公园摆渡车的行驶路线是从正门向正东行驶3km后，再向西偏南60°方向行驶2km，然后向正西方向行驶3km，驶回正门，正确的路线图是（    ）。 A． B． C． D． 89．（2022杭州）（1）小明家在的学校的（    ）偏（    ）（    ）方向上，距离是（    ）。 （2）妈妈去上班的路线如下：从家出发先向北偏东30°方向行2千米，再东行3千米，最后向南偏东70°方向行4千米到达单位。请画出妈妈的上班路线图。 90．（2022舟山）根据描述，画出完整的路线图。 从起点出发，先向西偏北45°方向跑6km，再向正西方向跑8km，再向东偏南20°方向跑6km，最后向南偏西40°方向跑6km达到终点。 确定位置 91．（2023宁波） （1）如图直角三角形ABC中，C点在B点的（    ）偏（    ）（    ）°方向上。 （2）把三角形ABC按2∶1放大，画在右边空白处。 （3）画出三角形ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形。 （4）旋转后的三角形与B点对应的那个点用数对表示为（    ）。 92．（2022杭州）如图A（8，4）、B（20，10）是直线l上的两个点。（单位：厘米） （1）如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝（      ）。 （2）直线l上的点P（，），和成（      ）比例。 （3）用点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形（z是一个整数），这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？ 93．（2022浙江）前进小学正在举办班班有歌声比赛！大合唱时红红站在第3列第2行，用数对表示，小明站在红红正后方第一个位置上，小明的位置用数对表示是（    ）。 A． B． C． D． 94．（2021宁波）图中一个小正方形的对角线表示1m，则点（0，0）北偏东45°方向5m处是点( )；点（2，5）南偏东45°方向3m处是点( )。 95．（2021温州）写出各边方格图上点的位置（一个小正方形的对角线长5米） ①点（0，0）东偏北45°方向15米处是点A（    ）； ②点B西偏北45°方向15米处是点C（    ）； 点B在点D（    ）北偏东45°方向15米处。 ③连接A、B、C、D，这是一个（    ）形。 96．（2021杭州）动手操作。 （1）在上面的方格图中标出点A（7，2）、B（11，6）、C（13，6）、D（13，2），再依次连接各点围成封闭图形。 （2）画出这个封闭图形绕A点逆时针方向旋转90°后的图形。 一、填空题（共20分） 1．（2023绍兴）线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离( )米，已知用这个比例尺画的绍兴地铁“2号线”全长36.7厘米，那么，绍兴地铁“2号线”实际全长( )千米。 2．（2023衢州）汽车的轮子都是( )形，这是因为( )，而且车轮的车轴一般都安装在( )位置。 3．（2023杭州）在括号里填上合适的单位。 一个鸡蛋的质量大约是50( )    一瓶牛奶的净含量大约是250( ) 4．（2024杭州）一个直角三角形三条边长的比是3∶4∶5，这个三角形的周长是36厘米，最长的边是 厘米，三角形的面积是 平方厘米。 5．（2024宁波）把一张平方分米的正方形纸，对折再对折后，沿折痕剪成若干张同样大的小纸片，每张小纸片的面积是( )平方分米，每张小纸片面积占原纸片面积的( )。 6．（2024嘉兴）一个圆形花坛的直径是8m，在它的周围修一条宽1m的小路，小路的面积是( )m2。 7．（2024宁波）如下图，把圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形。这个长方形的长为6.28分米，宽是( )分米。原来圆的面积是( )平方分米。 8．（2023嘉兴）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是EC的中点，三角形甲的面积与三角形乙的面积比是( )；如果三角形甲的面积是2平方厘米，那么正方形ABCD的面积是( )平方厘米。 9．（2022杭州）如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径。 (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是( )。 (2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次滚动情况记录如下：﹢2、﹣1、﹢4、﹣6、﹢3。当圆片结束运动时，此时点A所表示的数是( )。 10．（2022杭州）一个正方体木块和一个圆柱形的木块高相等，体积比是1∶1。如果把正方体木块削成尽可能大的圆柱体形，把圆柱形木块削成尽可能大的长方体。削成的圆柱体和长方体体积比是( )。（得数保留π） 二、判断题（共10分） 11．（2014浙江）三角形的面积等于平行四边形面积的一半。( ) 12．（2016浙江）半圆的周长就是其所属圆周长的一半。( ) 13．（2014浙江）棱长是6厘米的正方体的表面积和体积相等。( ) 14．（2022绍兴）有2cm、3cm、4cm、5cm的小棒各一根，可以拼成4个不同的三角形。( ) 15．（2017杭州）如图，有3个大小相同的圆，它们的阴影部分周长一样长．( ) 三、选择题（共10分） 16．（2023绍兴）下列图形都以AB所在的直线为轴旋转一周，其中能形成圆锥的共有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2024湖州）如图，瓶中容纳了（    ）是550mL的纯净水。 A．质量 B．面积 C．体积 D．容积 18．（2023绍兴）下图每个小方格的面积都是1cm2，图（    ）阴影部分的面积最小。 A． B． C． D． 19．（2024杭州）羊圈占地是一个长方形，长3米，宽2米，羊圈周围是草地。现在用一根1米长的绳子栓羊，栓在图中（    ）位置，羊能吃到的草最多。 A．①宽的中点处 B．②转角处 C．③长的中点处 D．④长的处 20．（2023杭州）如图，已知边长为6的正方形，E为的中点，P为的三等分点，则的面积是（    ）。 A．8 B．9 C．10 D．12 四、计算题（共12分） 21．（2022金华）下面是一个长方体的展开图，请计算它的表面积和体积。（单位：分米）    22．（2023金华）求下图中阴影部分的周长。 23．（2022浙江）求图中阴影部分的面积（图中，长方形内有一个最大的半圆，半圆内有一个最大的长方形）。 五、作图题（共12分） 24．（2021浙江）你能用一条直线把下图中的涂色部分分成面积相等的两部分吗？请在图中画一画。（保留作图痕迹） 25．（2023衢州）分别画出从正面、上面、左面看到的形状。 26．（2023杭州）按要求在方格中作图。 （1）根据给定的对称轴画出图形的另一半。 （2）画出将这个轴对称图形按2∶1放大后的图形。 六、解答题（共36分） 27．（2023绍兴）一个底面内直径是4厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18厘米，这个瓶子的容积是多少？ 28．（2024嘉兴）如下图，在半圆形空地上有一个三角形区域种植郁金香。郁金香的种植面积为12平方米，其余部分铺草坪。草坪的面积是多少平方米？ 29．（2024杭州）妈妈教兰兰“一剪成裙”的伞裙制作方法：先取一块边长是1.6米的正方形布，把它按照图①对折，按照图②再对折，变成一个小正方形。然后分别以小正方形的边长、边长画圆弧并剪下，得到如图④的圆环，再折出裙褶、加上裙腰就是一条伞裙了。    （1）做出来的裙长是多少？（裙腰不算在内） （2）裙身的裙褶完全打开，平铺的面积是多少？ 30．（2024衢州）下图是某小学的田径场示意图，跑道分为直道和弯道，其中弯道部分是半圆形。 （1）请计算阴影部分的活动场地面积。 （2）如果你沿着最内圈跑道跑1圈，要跑多少米？ （3）如果每条跑道的宽度是1.2米，那么进行400米跑步比赛时，第二跑道与第一跑道的起跑线（起跑线设在直道上）应相距多少米？ 31．（2023宁波）王师傅做了一个底面积为240平方厘米的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化大致如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸（    ）分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年小升初数学备考真题分类汇编（浙江专版） 专题02 几何与图形 考点分布 考点内容 命题焦点 直线型几何 ①线段、射线、直线的区别与性质 ②角度计算、面积计算 ③三角形分类与性质 ④四边形与梯形模型 ①考察角度计算 ②结合几何模型（如蝴蝶模型）解决面积比例问题 ③勾股定理的实际应用 曲线型几何 ①圆的基本性质 ②扇形与弓形面积计算 ③容斥法与平移法处理复杂图形 ①动态几何问题（如动点与圆结合的多选判断） ②利用割补法求阴影面积 ③圆的对称性及组合图形分析 立体几何 ①长方体、正方体、圆柱、圆锥的表面积与体积 ②三视图与展开图分析 ③切面问题 ①立体图形的展开图最短路径问题 ②水中浸物体积计算 ③切面后新增面积的计算（如棱上切增2个面） 几何模型应用 ①鸟头模型 ②沙漏模型与燕尾模型 ③等高三角形与比例关系 ①结合比例关系解决复杂图形面积 ②利用模型快速推导线段比例或面积分配 图形变换与位置 ①轴对称图形及其对称轴数量 ②平移、旋转后的图形性质 ③坐标系中的图形位置分析 ①判断轴对称图形并绘制对称轴 ②图形旋转后的周长或面积变化 ③坐标系中图形的坐标变换问题 观察与推理 ①三视图还原立体图形 ②图形规律推理 ①根据三视图判断立方体叠放数量 ②图形推理题中寻找对称轴方向或笔画规律 ——重难点题型导览—— 平面图形 2 立体图形 2 图形变换 2 几何规律探究 2 位置与方向 3 一、线和角 （1）线 直线：直线没有端点；长度无限； 过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 射线：射线只有一个端点；长度无限。 线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。 垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 （2）角 角：从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。 角的边：这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 角的大小：角的大小看两条边叉开的大小，叉开的越大，角越大。 角的分类：锐角：小于90°的角叫做锐角。直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。 锐角＞直角＞钝角＞平角＞周角 1周角＝2平角＝4直角 二、平面图形 周长：围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。 面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。 1.长方形 特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 计算公式：长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用S表示 周长＝（长＋宽）×2 C长＝（a＋b）×2 面积＝长×宽 S长＝a×b 2.正方形： 特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 计算公式：正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用S表示。 周长＝边长×4 C正＝a×4 面积＝边长×边长 S正＝a×a 3.三角形 三角形各部分的名称：角(3个)，顶点(3个)，边(3条). 三角形：三角形的定义:由三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边的一条垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 任意一个三角形都有三条高。直角三角形的两条直角边互为底和高。过三角形的一个顶点只能画一条高。 三角形的内角和：三角形的内角和是180°。 三角形的特性：三角形具有稳定性。（也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小都不会改变），生活中很多物体利用了这样的特性。如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。 三角形边的的性质：三角形任意两边之差小于第三边。 已知三角形的两条边的长度，求第三条边的范围（或求第三天边最长多少最短多少）：大于两边差小于两边和（A－B＜第三边＜A＋B) 计算公式：三角形的底用a表示，高用h表示，面积用S表示。 三角形的面积＝底×高÷2 S三＝ah÷2 分类1：【按角分】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。 每个三角形里至少有2个锐角，最多3个锐角。三角形中最多有一个直角或钝角。 分类2：【按边分】不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，也可能是钝角三角形。 等腰三角形的底角一定是锐角。（顶角可能是直角，也可能是锐角，还有可能是钝角） 4.平行四边形 特征：两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。 计算公式：平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用S表示。 平行四边形的面积＝底×高 S平＝ah 平行四边形容易变形（不稳定性）。生活中许多物体都利用了这样的特性。如：（电动伸缩门、铁拉门、伸降机）把平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变了。平行四边形不是轴对称图形。 5、梯形： 梯形：只有一组对边平行的四边形叫梯形。 上底和下底：互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底。 梯形的腰：不平行的一组对边叫梯形的腰。 梯形的高：从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫梯形的高。 梯形的高有无数条。但过顶点只能画一条高。梯形的高只有一种长度。 等腰梯形：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴。 直角梯形：直角梯形有且只有两个直角。直角梯形的底和一条腰（底和腰形成直角的那条腰）互相垂直。 计算公式：梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，面积用S表示。 梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2 S梯＝（a＋b）×h÷2 特征：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 中位线等于上下底和的一半。等腰梯形有一条对称轴。 6、三角形的拼组： ①两个完全相同的三角形、梯形、平行四边形可以拼成一个平行四边形； ②两个完全相同的直角三角形可以拼成一个长方形、三角形、平行四边形； ③两个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形、平行四边形、三角形； ④三个完全相同的三角形可以拼成一个梯形。 7、圆 圆的认识：平面上的一种曲线图形。 圆心：圆中心的一点叫做圆心。一般用字母O表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。 在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。 同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d＝2r。 圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。 圆的画法： 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）； 把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上； 把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 圆周率：把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母π表示。 圆周率π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653…… 圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 计算公式：圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用C表示，面积用S表示。 直径d＝2r 半径 r＝d÷2 圆的周长＝直径×3.14 C圆＝πd 圆的周长＝半径×2×3.14 C圆＝2πr 圆的面积＝半径的平方×圆周率 S圆＝πr2 特性： 把圆等份成若干份，拼成的图形接近于长方形。这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽就是圆的半径。 8、扇形 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 弧：圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 扇形有一条对称轴。 计算公式：扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用S表示。 S扇形＝nπr2÷360 9、环形 特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。 计算公式：S＝π(R²－r²） 10、轴对称图形： 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两恻的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 学过的图形中的轴对称图形有：圆（无数条）、等腰三角形（1条）、等边三角形（3条）、长方形（2条）、正方形（4条）、等腰梯形（1条） 三、立体图形 表面积：立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。 体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 1、长方体 特征：六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。 相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。有8个顶点。 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。 长 宽 高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 棱：两个面相交的边叫做棱。 顶点：三条棱相交的点叫做顶点。 长方体表面积：长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 计算公式：长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用S表示，体积用V表示。 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S长表＝（ab＋ah＋bh）×2 体积＝长×宽×高 V长＝abh 2、正方体 特征：六个面都是正方形；六个面的面积相等；12条棱，棱长都相等 有8个顶点。正方体可以看作特殊的长方体 计算公式正方体的棱长用a表示，底面周长C用表示，底面积用S表示，体积用V表示. 表面积＝棱长×棱长×6 S正表＝a×a×6＝6a2 体积＝棱长×棱长×棱长 V正＝a3 长方体、正方体都有12条棱，6个面，8个顶点。 3、圆柱 圆柱的认识：圆柱的上下两个面叫做圆柱的底面。圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 圆柱的侧面：圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 圆柱的高有无数条，这些高都平行且相等。 计算公式：高用h表示，底面周长用C表示，底面积用S表示，体积用V表示 侧面积＝底面周长×高 S侧＝ch 表面积＝侧面积＋两个底面积 S表＝S侧＋2S底 体积＝底面积×高 V＝Sh 【特性】 把圆柱的侧面展开，得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面的周长，宽等于圆柱的高。 4、圆锥： 圆锥的底：圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。 圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 计算公式：圆锥的高用h表示，底面积用S表示，体积用V表示. 圆锥的体积＝圆柱的体积÷3 V锥＝sh÷3 【特性】 等底等高的圆锥的体积是圆柱的，等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。 体积和底面积相等的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆锥的高是圆柱的3倍。 测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 小学几何计算公式 图形 公式 三角形 周长＝边长＋边长＋边长 C＝a＋b＋c 面积＝底×高÷2 S＝ah÷2 三角形内角和＝180° 正方形 周长＝4×边长 C＝4a 面积＝边长×边长 S＝a2 矩 形 周长＝(长＋宽)×2 C＝2(a＋b) 面积＝长×宽 S＝a×b 平行四边形 面积＝ 底×高 S＝a×h 梯 形 面积＝ (上底＋下底)×高÷2 S＝(a＋b)×h÷2 圆 直径＝ 2×半径 D＝2r 圆的面积＝π×半径2 S＝πr2＝ 圆的周长＝圆周率×直径 C＝πD＝2πr 圆 环 圆环的面积＝大圆－小圆 S圆环＝π(R2－r2) 扇 形 扇形面积等于扇形的圆心角与圆的圆心角360°之比乘以圆的面积； S扇＝ r：扇形半径 l ：扇形弧长 图形 公式 正方体 棱长＝12×边长 L＝12a 表面积＝6×正方形面积 S＝6a2 体积＝边长×边长×边长 V＝a3 长方体 棱长＝ 4×(长＋宽＋高) L＝4(a＋b＋h) 表面积＝2×(底面积＋长边侧面积 ＋短边侧面积) 体积＝长×宽×高 圆柱体 表面积＝ 圆柱体的侧面可以看作是一条平行于轴的线段（即母线）或矩形绕轴旋转而成。 圆柱侧面展开图是矩形 圆柱体的高h等于圆柱体母线 体积＝底面积×高 圆锥体 表面积＝ 圆锥侧面展开图是扇形的一部分 r：圆锥底面半径 l：圆锥母线 体积＝ 平面图形 周长与面积计算 1．（2024杭州）下表里记录了一个数学小组用一根长20dm的铁丝围图形的情况。分析表中的实验记录，你的发现是 。 图形 周长/dm 长/dm 宽/dm 面积/ 长方形 20 9 1 9 20 8 2 16 20 7 3 21 20 6 4 24 20 5 5 25 圆 20 31.85 【答案】周长相等时，圆的面积比长方形的面积大 【知识点】圆的面积、圆的周长、长方形的面积、长方形的周长 【分析】根据表格可知，各个长方形和圆的周长是相等的，都是20dm，但圆的面积是最大的。据此填空。 【详解】分析表中的实验记录，发现周长相等时，圆的面积比长方形的面积大。 2．（2023金华）下图大长方形的周长是( )cm，阴影部分的面积是( )cm。 【答案】 24 16 【知识点】长方形的周长、利用平移巧算周长与面积、求组合图形中阴影部分的面积 【分析】 观察图可知，大长方形的长等于4×2＝8cm，宽是4cm，根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，代入数据，即可解答；如图：，把左边正方形内阴影部分移到右边正方形空白处，阴影部分面积等于边长时4cm的正方形面积，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，即可解答。 【详解】（4×2＋4）×2 ＝（8＋4）×2 ＝12×2 ＝24（cm） 4×4＝16（cm2） 大长方形的周长是24cm，阴影部分的面积是16cm2。 3．（2023杭州）一个长方形分成①②两部分，如图。①的周长是( )cm，①的面积与②的面积的最简整数比是( )。 【答案】 90＋2a/2a＋90 3∶2 【知识点】长方形的面积、比的化简、长方形的周长、比的意义 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，代入数据求出结果，再根据比的意义写出①的面积与②的面积的比，再化简即可。 【详解】（45＋a）×2 ＝（90＋2a）cm ①的面积：45×a＝45a（cm2） ②的面积：30×a＝30a（cm2） 45a∶30a ＝（45a÷15a）∶（30a÷15a） ＝3∶2 所以①的周长是（90＋2a）cm，①的面积与②的面积的最简整数比是3∶2。 4．（2024嘉兴）一个直径是100米的圆形广场，在它的周围均匀地安装50盏路灯。每两盏路灯之间的距离是( )米。 【答案】6.28米 【知识点】封闭图形上的植树问题、圆的周长的应用、小数与整数的乘法 【分析】根据圆的周长＝πd，代入数值计算出圆形广场的周长；利用“封闭型”植树问题，在圆形区域周围安装路灯，每两盏路灯之间的距离＝圆的周长÷路灯的数量，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】3.14×100÷50 ＝314÷50 ＝6.28（米） 答：每两盏路灯之间的距离是6.28米。 5．（2024宁波）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 【答案】（1）257米 （2）50米/分 （3）图见详解 【知识点】半圆的周长、基础行程问题、单式折线统计图 【分析】（1）根据题意和图意可知，求李爷爷绕半圆形花坛散步一圈的长度，就是求半圆的周长；根据半圆的周长＝直径＋圆周长的一半，其中圆的直径＝半径×2，圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 （2）观察李爷爷步行过程中距离与时间的关系图可知，他步行50米，用时1分钟，根据“速度＝路程÷时间”求出他散步的速度。 （3）从关系图中可知，李爷爷在从B点返回O点的中途休息了一次，据此在图1上用“☆”标出休息的位置。 【详解】（1）50×2＋2×3.14×50× ＝100＋157 ＝257（米） 答：李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要257米。 （2）50÷1＝50（米/分） 答：李爷爷散步的速度是50米/分。 （3）如图： 6．（2023绍兴）如下图，每个小方格的边长都是1cm，求阴影部分的周长和面积。 【答案】周长20.56cm；面积16cm2 【知识点】正方形的面积、圆的周长、含圆的组合图形的周长、含圆的组合图形的面积 【分析】观察图形可知，4个直径为2cm的圆周长的一半可以组成2个圆的周长，根据圆的周长公式C＝πd，求出2个圆的周长之和，再加上2条4cm长的线段长度之和，即是阴影部分的周长； 如下图，把下方两个阴影半圆移补到箭头所示的位置，这样阴影部分补成一个边长为4cm的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。 【详解】阴影部分的周长： 3.14×2×2＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 阴影部分的面积： 4×4＝16（cm2） 阴影部分的周长是20.56cm，面积是16cm2。 组合图形 7．（2024宁波）求下图阴影部分的面积。 【答案】 25.12cm2 【知识点】圆环的面积、圆的面积、含圆的组合图形的面积 【分析】根据半径＝直径÷2，阴影部分的面积就是两个，的环形的，刚好可拼成环形面积的一半，根据环形的面积公式，代入数据计算出环形的面积再除以2，即可得解。 【详解】6÷2＝3（cm） （cm2） 阴影部分的面积是25.12cm2。 8．（2024嘉兴）如图，求阴影部分面积。 【答案】37.68cm2 【知识点】圆的面积、含圆的组合图形的面积、求组合图形中阴影部分的面积、用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【分析】观察可知，上半部分的阴影部分等于半径是4cm的半圆减直径是4cm的半圆的面积，下半部分的阴影部分也等于半径是4cm的半圆减直径是4cm的半圆的面积，即阴影部分等于半径是4cm的圆的面积减直径是4cm的圆的面积。根据半径＝直径÷2，圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （cm2） 9．（2024杭州）画一画，算一算。 （1）在上右边的正方形中画一个图形并涂上阴影，使阴影部分的面积和上左图正方形中涂色部分的面积相等。 （2）算一算，上左图阴影部分的面积是（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）4.5 【知识点】用转化法求圆的组合图形的周长与面积、三角形面积的计算 【分析】（1）如下图所示，通过旋转，阴影部分①可以填补到空白部分A的位置，阴影部分②填补到B的位置，这样阴影部分就转化为一个三角形，它的面积是正方形面积的一半，据此在右边的正方形中画一条对角线，把正方形分成两个面积相等的三角形，其中的一半涂上颜色即可。 （2）由（1）的分析可知：阴影部分可以转化为一个底和高都是3cm的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】（1）阴影部分如图所示： （2）3×3÷2＝4.5（cm2），则阴影部分的面积是4.5。 10．（2022宁波）小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周长是( )cm（π取3）。 【答案】10 【知识点】含多边形的组合图形的周长、圆的周长及应用 【分析】通过观察图形发现，新组合的图形的周长等于圆周长的一半加上2条半径（1条直径）的长。先根据圆的周长求出圆的周长，再用圆的周长÷2求出圆周长的一半；再加上1条直径的长。 【详解】3×4÷2＋4 ＝12÷2＋4 ＝6＋4 ＝10（cm） 所以新组合的图形的周长是10cm。 【点睛】新组合图形的周长等于半圆的周长，它们的周长都等于圆周长的一半＋1条直径（2条半径）的长。 11．（2021温州）聪聪和明明在下图所示的操场上练习跑步，他们从相距77.2米的两个地方同时相向出发，经过20秒钟两人在途中第二次相遇。 (1)跑道全长( )米。 (2)如果聪聪跑步速度是明明的倍，聪聪的速度是( )米/秒，明明的速度是( )米/秒。 【答案】(1)162.8 (2) 7 5 【知识点】相遇问题、分数除法的应用、含多边形的组合图形的周长 【分析】（1）跑道全长＝长方形的长×2＋圆的周长，圆的周长＝πd，据此列式计算。 （2）从相距77.2米的两个地方同时相向出发，第二次相遇，两人跑的路程＝跑道全长＋77.2米，根据路程和÷相遇时间＝速度和，求出两人速度和；将明明的速度看作单位“1”，速度和是明明速度的（1＋），速度和÷对应分率＝明明速度，速度和－明明速度＝聪聪速度。 【详解】（1）50×2＋3.14×20 ＝100＋62.8 ＝162.8（米） 跑道全长162.8米。 （2）（162.8＋77.2）÷20 ＝240÷20 ＝12（米/秒） 12÷（1＋） ＝12÷ ＝12× ＝5（米/秒） 12－5＝7（米/秒） 聪聪的速度是7米/秒，明明的速度是5米/秒。 【点睛】关键是理解分数除法的意义，掌握并灵活运用圆的周长公式。 12．（2023杭州）求图中阴影部分的面积。 【答案】32 【知识点】阴影部分的周长和面积、含多边形的组合图形的面积、长方形的面积、三角形的面积 【分析】如下图，阴影部分的面积＝大长方形的面积－3个空白三角形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】如图： （6＋8）×8－6×（8－6）÷2－（6＋8）×6÷2－8×8÷2 ＝14×8－6×2÷2－14×6÷2－64÷2 ＝112－6－42－32 ＝32 图中阴影部分的面积是32。 角度问题 13．（2023杭州）如图是由一副三角板拼成的，求∠1和∠2的度数。    【答案】∠1是30°，∠2是45°。 【知识点】三角形的内角和、角度的计算 【分析】   如图，由于是由一副三角板拼成的，所以∠ACB＝90°，∠ECD＝60°，∠B＝∠BFE＝45°，所以∠1＝∠ACB－∠ECD＝90°－60°＝30°，∠2＝∠BFE＝45°，据此解答。 【详解】∠ACB＝90°，∠ECD＝60°，∠B＝∠BFE＝45°， 所以∠1＝∠ACB－∠ECD ＝90°－60° ＝30° ∠2＝∠BFE＝45° 答：∠1是30°，∠2是45°。 【点睛】解答此题关键是明确一副三角板中各角的度数。 14．（2018浙江）求下图中、、、这四个角相加的度数和。 【答案】360° 【分析】先把剩余的角标上∠5，∠6，∠7和∠8。通过平角180°分别减去∠1，∠3和∠4，求出∠5，∠6和∠7，再通过四边形的内角360°，进而求出∠8，再用180°减去∠8，即可求出∠2，再把四个角相加即可求出答案。 【详解】 ∠7＝180°－∠1＝180°－70°＝110°；∠6＝180°－∠4＝180°－120°＝60°； ∠5＝180°－∠3＝180°－60°＝120°；∠8＝360°－∠5－∠6－∠7＝360°－110°－60°－120°＝70° ∠2＝180°－∠8＝180°－70°＝110°；∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝70°＋110°＋60°＋120°＝360° 【点睛】熟练利用平角和四边形内角和是解题的关键。 15．（2023湖州）如图，已知AO⊥BO（“⊥”表示垂直），CO⊥DO。请你用推理说明：∠1＝∠2。 【答案】见详解 【知识点】垂直的特征、角度的计算 【分析】根据互相垂直的两条射线形成的角是直角，可知∠1＋∠COB＝90°，∠2＋∠COB＝90°，所以∠1＝∠2＝90°－∠COB。据此即可判断。 【详解】由AO⊥BO，CO⊥DO可知：∠1＋∠COB＝90°，∠2＋∠COB＝90°。由此可得∠1＝90°－∠COB，∠2＝90°－∠COB。所以∠1＝∠2＝90°－∠COB，由此可推理：∠1＝∠2。 【点睛】本题考查图形中角度的计算，关键要结合题目和图形中的已知条件找出未知角与已知角之间的关系。 16．（2018浙江）已知，求的度数和． 【答案】220° 【详解】解：如图 ，所以 【点睛】考查了平角的概念和三角形内角和等于180°. 17．（2018浙江）用5倍放大镜观看一个30°的角，看到的角的度数是（ ）． A．30° B．150° C．180° 【答案】A 【知识点】角度的计算 【详解】略 18．（2022浙江）如图，把三角形的边延长到点D，你能推导出吗？请把下面的推导公式过程填完成。 因为三角形内角和是180°，所以( )°，所以( )，又因为＝平角＝180°，所以( )，所以。 【答案】 180 1 1 【知识点】角的分类及换算、平角、周角的认识及特征、三角形的内角和、角度的计算 【分析】三角形的内角和为180°，那么180°，而＝180°－∠1；观察发现∠1和∠4相加为平角，平角为180°，所以∠1＋∠4＝180°，而∠4＝180°－∠1；据此解答。 【详解】根据分析：因为三角形内角和是180°，所以180°，所以1，又因为＝平角＝180°，所以1，所以。 立体图形 长方体的表面积及体积 19．（2023金华）如图这样的两个长方体叠在一起，叠起来的图形体积是( )立方厘米，表面积最小是( )平方厘米。 【答案】 112 144 【知识点】立体图形的切拼（长方体、正方体的体积）、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积）、长方体表面积的计算、长方体的体积 【分析】根据长方体的体积公式：长×宽×高，求出一个长方体的体积，由于体积表示物体所占空间大小，所以叠起来的图形的体积就是两个长方体体积的和；表面积最小，那么叠起来的长方体减少的面积最大即可，由于长是4厘米，宽是7厘米，这个面的面积最大，则把两个长方体竖着拼在一起，则长是4厘米，宽是7厘米，高是2＋2＝4（厘米），根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入即可。 【详解】2×4×7×2 ＝8×7×2 ＝56×2 ＝112（立方厘米） 2＋2＝4（厘米） （4×7＋4×4＋7×4）×2 ＝（28＋16＋28）×2 ＝72×2 ＝144（平方厘米） 如图这样的两个长方体叠在一起，叠起来的图形体积是112立方厘米，表面积最小是144平方厘米。 20．（2023嘉兴）用一根铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1，如果长12dm，那么宽( )dm，给这个框架的表面糊一层彩纸，至少需要彩纸( )dm2。 【答案】 8 352 【知识点】长方体表面积的应用、按比分配问题 【分析】将比的前后项看成份数，长÷对应份数＝一份数，一份数分别乘宽和高的对应份数，求出宽和高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即可求出需要的彩纸面积。 【详解】12÷3＝4（dm） 4×2＝8（dm） 4×1＝4（dm） （12×8＋12×4＋8×4）×2 ＝（96＋48＋32）×2 ＝176×2 ＝352（dm2） 宽8dm，至少需要彩纸352dm2。 21．（2023嘉兴）小强用橡皮泥做了一个圆锥形学具，圆锥的底面周长是12.56厘米，高是9厘米。他又做一个长方体纸盒，正好能把圆锥形橡皮泥装进去。 （1）橡皮泥学具的体积是多少立方厘米？ （2）做这个纸盒至少用了多少平方厘米硬纸？ 【答案】（1）37.68立方厘米 （2）176平方厘米 【知识点】圆锥的体积（容积）、长方体表面积的应用 【分析】（1）已知圆锥的底面周长为12.56厘米，根据圆的半径＝底面周长÷π÷2，求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积V＝πr2h，代入数据解答即可； （2）为了节约用料，长方体的高应该等于圆锥的高，长和宽等于圆锥的底面直径；计算包装盒的面积就是计算长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【详解】（1）12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝113.04× ＝37.68（立方厘米） 答：橡皮泥学具的体积是37.68立方厘米。 （2）2×2＝4（厘米） （4×4＋4×9＋4×9）×2 ＝（16＋36＋36）×2 ＝（52＋36）×2 ＝88×2 ＝176（平方厘米） 答：做这个纸盒至少用了176平方厘米硬纸。 【点睛】解答此题的关键是明白：让长方体的长和宽都等于圆锥的底面直径，高等于圆柱的高，则需要的硬纸面积最小。 22．（2024湖州）一块长8cm、宽6cm、高5cm的长方体木块，它的体积是( )cm3；如果把它锯成长3cm、宽3cm、高2cm的小长方体，最多可以锯( )个这样的小长方体。 【答案】 240 8 【知识点】长方体的体积、有余数除法的认识 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，所得结果即为这个长方体的体积；再用除法求出长方体木块的长里面包含多少个3cm，长方体木块的宽里面包含多少个3cm，长方体木块的高里面包含多少个2cm，最后用乘法求出最多可以锯的个数。 【详解】8×6×5 ＝48×5 ＝240（cm3） 8÷3＝2（个）……2（cm） 6÷3＝2（个） 5÷2＝2（个）……1（cm） 2×2×2＝8（个） 因此长方体木块的体积是240cm3，最多可以锯8个这样的小长方体。 23．（2023杭州）如下图所示，一个小球的体积是( )立方厘米，一个大球的体积是( )立方厘米。 【答案】 30 35 【知识点】长方体的体积 【分析】放入物体后排出水的体积等于放入物体的体积。根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，先算出两次放入小球和大球后排出水的体积，再根据水的体积的变化来计算出小球和大球的体积。据此解答。 【详解】放入2个大球和1小球后，排出的水的体积：5×5×4＝100（立方厘米） 放入2个大球和5小球后，排出的水的体积：5×5×8.8＝220（立方厘米） 两次放入水中的大球数量一样，小球数量相差：5－1＝4（个） 两次排出的水的体积相差：220－100＝120（立方厘米） 由此可以求出小球的体积：120÷4＝30（立方厘米） 则大球的体积： （100－30）÷2 ＝70÷2 ＝35（立方厘米） 一个小球的体积是30立方厘米，一个大球的体积是35立方厘米。 24．（2023宁波）小王从不同的方向观察一个长方体（如图），这个长方体的体积是（    ）立方厘米。请在右面虚线框内画出正面看到的图形，并标上长、宽的数据。 【答案】2250；图形见详解 【知识点】长方体的体积、从不同位置观察单个物体、长方体的认识及特征 【分析】根据图示，长方体的长是15厘米，宽是10厘米，高是15厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，解答即可；然后结合长方体的特征，在右面虚线框内画出正面看到的图形，并标上长、宽的数据即可。 【详解】长方体的长是15厘米，宽是10厘米，高是15厘米，体积是： 15×10×15 ＝150×15 ＝2250（立方厘米） 如图所示： 答：这个长方体的体积是2250立方厘米。 正方体的表面积及体积 25．（2023绍兴）将一个正方体的每条棱的长度都按的比例缩小，那么，它的表面积会缩小到原来的( )，体积会缩小到原来的( )。（填上合适的分数） 【答案】 【知识点】图形的放大与缩小、正方体的体积、正方体表面积的计算 【分析】把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。假设正方体的棱长是9厘米，计算出按缩小后的棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别计算出缩小前后的表面积和体积，将原来的表面积和体积看作单位“1”，缩小后的表面积÷原来的表面积＝它的表面积会缩小到原来的几分之几，缩小后的体积÷原来的体积＝体积会缩小到原来的几分之几。 【详解】假设正方体的棱长是9厘米。 9×＝3（厘米） （3×3×6）÷（9×9×6） ＝54÷486 ＝ ＝ （3×3×3）÷（9×9×9） ＝27÷729 ＝ ＝ 它的表面积会缩小到原来的，体积会缩小到原来的。 26．（2023台州）在正方体的上面摆一个圆柱体，求这个组合体的表面积。 【答案】725.6cm2 【知识点】圆柱的侧面积、正方体表面积的计算、组合体的表面积（圆柱） 【分析】由于圆柱和正方体摆在一起，会减少两个接触面的面积，所以组合体的表面积等于棱长是10cm的正方体的表面积加上直径是5cm，高是8cm的圆柱的侧面积；根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】10×10×6＋3.14×5×8 ＝100×6＋15.7×8 ＝600＋125.6 ＝725.6（cm2） 27．（2023杭州）有一个棱长为8分米的立方体物体，现要挖去一个长为8分米，宽为1分米，高为1分米的长方体，则剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案） 【答案】382平方分米、398平方分米或414平方分米 【知识点】正方体的表面积、长方体的表面积、立体图形的切拼、组合体的表面积 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；分三种情况进行计算：从正方体三条棱相交的位置、从正方体上下两个表面之间的位置、从侧面的中间位置挖去一个长方体，分别用割补法求剩下部分的表面积，据此解答。 【详解】分两种情况进行计算： （1）如图： 由图可知，从该位置挖去一个长方体，表面积减少了，是原来的正方体表面积再减去小长方体（1×1）的2个面。 8×8×6－1×1×2 ＝64×6－2 ＝384－2 ＝382（平方分米） （2）如图： 由图可知，从该位置挖去一个长方体，是减少了长方体（1×1）的2个面，但是又增加了长方体（1×8）的2个面。 8×8×6－1×1×2＋1×8×2 ＝64×6－2＋16 ＝384－2＋16 ＝382＋16 ＝398（平方分米） （3）如图： 由图可知，从该位置挖去一个长方体，是增加了长方体（1×8）的4个面，但是减少了长方体（1×1）的2个面。 8×8×6＋1×8×4－1×1×2 ＝64×6＋32－2 ＝384＋32－2 ＝416－2 ＝414（平方分米） 答：剩下部分的表面积是382平方分米、398平方分米或414平方分米。 28．（2023金华）实验小学六年级泥塑兴趣小组的同学塑造了一个长方体，其棱长总和为56分米，长是宽的2倍，宽是高的2倍，然后他们又把这个长方体等积变形成一个正方体，最后把这个正方体削成了一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是（    ）立方分米（结果用多少个π表示）。 A．13π B．14π C．15π D．16π 【答案】D 【知识点】圆柱的体积、长方体有关棱长的应用、长方体的体积、正方体的体积 【分析】根据长方体的棱长总和公式：（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4即可求出长＋宽＋高的长度，即56÷4＝14（分米），由于长是宽是2倍，宽是高的2倍，说明高最短，那么长相当于高的4倍，也就是高是1份，宽是2份，长是4份，用14÷（1＋2＋4）即可求出一份量，也就是高的长度，据此即可求出长和宽的长度，根据长方体体积公式：长×宽×高，求出长方体的体积，由于等积变形，正方体的体积和长方体的体积相同，再根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，据此即可求出正方体的棱长，也就是最大的圆柱的高和底面直径，根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据即可求解。 【详解】56÷4＝14（分米） 14÷（1＋2＋4） ＝14÷7 ＝2（分米） 宽：2×2＝4（分米） 长：2×4＝8（分米） 体积：2×4×8＝64（立方分米） 64＝4×4×4 所以正方体的棱长是4分米。 圆柱的体积：π×（4÷2）2×4 ＝π×22×4 ＝π×4×4 ＝16π（立方分米） 所以圆柱的体积是16π立方分米。 故答案为：D 29．（2023杭州）一个长6分米、宽和高都是4分米的长方体木料，如果切出一个最大的正方体，正方体的体积是( )立方分米；如果削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方分米。 【答案】 64 25.12 【知识点】正方体的体积、圆锥的体积（容积） 【分析】长方体木料切最大的正方体，正方体的棱长等于长方体最短的棱，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积；长6分米、宽和高都是4分米的长方体木料，削成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径是4分米，高6分米，根据圆锥体积＝底面积×高，列式计算即可。 【详解】4×4×4＝64（立方分米） 3.14×（4÷2）2×6÷3 ＝3.14×22×6÷3 ＝3.14×4×6÷3 ＝25.12（立方分米） 正方体的体积是64立方分米；圆锥的体积是25.12立方分米。 30．（2022绍兴）把一个棱长为2分米的正方体铁块加工成最大的圆柱形工件，这个圆柱形工件的体积是( )立方分米。 【答案】6.28 【知识点】正方体的体积、圆柱的体积 【分析】把一个棱长为2分米的正方体铁块加工成最大的圆柱形工件，这个圆柱形工件的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆柱的体积公式，把数据代入公式即可解答。 【详解】 ＝ ＝6.28（立方分米） 所以，把一个棱长为2分米的正方体铁块加工成最大的圆柱形工件，这个圆柱形工件的体积是6.28立方分米。 圆柱的表面积及体积 31．（2024湖州）小兵有一个圆柱形水壶（如图①）。 （1）这个水壶的表面积是多少平方厘米？ （2）一个瓶子装有果汁，把瓶盖拧紧，倒置、放平如图②所示。将瓶中的果汁全部倒入小兵的水壶中，高度正好是4厘米。这个瓶子的容积是多少？（水壶、瓶子的厚度忽略不计） 【答案】（1）477.28平方厘米；（2）1004.8毫升 【知识点】小数的四则运算及法则、圆柱的体积、圆柱的表面积、体积与容积单位间的进率及换算 【分析】（1）根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，把数据代入公式解答。 （2）通过观察图形可知，这个瓶子的容积相当于一个底面直径是8厘米，高是（16＋4）厘米的圆柱的容积，根据圆柱的体积＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】（1）3.14×8×15＋3.14×（8÷2）2×2 ＝25.12×15＋3.14×42×2 ＝376.8＋3.14×16×2 ＝376.8＋100.48 ＝477.28（平方厘米） 答：这个水壶的表面积是477.28平方厘米。 （2）3.14×（8÷2）2×（16＋4） ＝3.14×42×20 ＝3.14×16×20 ＝50.24×20 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个瓶子的容积是1004.8毫升。 32．（2023温州）一个圆柱体的底面直径是4厘米，高2厘米，它的侧面积是( )平方厘米，一个底面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 25.12 12.56 50.24 【知识点】圆柱的表面积 【分析】根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的表面积=底面积×2＋侧面积，据此解答即可。 【详解】圆柱侧面积： （平方厘米） 底面积： （平方厘米） 表面积： （平方厘米） 【点睛】本题考查圆柱的侧面积和表面积，解答本题的关键是掌握圆柱的侧面积和表面积计算公式。 33．（2022绍兴）下图是一张长方形铁皮，剪下两端两个圆和中间那块长方形，正好能做成一个圆柱。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【答案】1884平方厘米 【知识点】圆柱的表面积 【分析】根据题意，是需要求圆柱体的表面积，圆柱的高等于圆的直径，依据表面积的计算公式：S圆柱体＝2πr²＋2πrh 将数值代入计算出结果即可。 【详解】S圆柱体＝2πr²＋2πrh ＝2×3.14×102＋2×3.14×10×（10×2） ＝6.28×100＋6.28×10×（10×2） ＝628＋62.8×20 ＝628＋1256 ＝1884（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是1884平方厘米。 34．（2023绍兴）求出下面这个陀螺的体积。 【答案】392.5cm3 【知识点】圆柱的体积、圆锥的体积（容积）、组合体的体积（圆柱、圆锥） 【分析】根据题意可知，陀螺由圆柱和圆锥组成，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h、圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可求出陀螺的体积。 【详解】（cm） （cm3） 陀螺的体积是392.5cm3。 35．（2024湖州）如图，以BC边为轴旋转一周，空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 【答案】B 【知识点】圆柱与圆锥体积的关系、圆锥的体积（容积）、圆柱的体积、比的意义 【分析】根据题意，以BC边为轴旋转一周，形成的整个立体图形是圆柱，阴影部分形成一个与圆柱等底等高的圆锥； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，则空白部分扫过的体积是（3－1）份； 根据比的意义可得出空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比。 【详解】（3－1）∶1＝2∶1 空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比是2∶1。 故答案为：B 36．（2023金华）如图（单位：厘米）请你从长方体和圆柱体的体积公式类推求出图中这个直柱体的体积是( )立方厘米。 【答案】192 【知识点】圆柱的体积、带有小括号的混合运算、长方体的体积、梯形面积的计算 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，长方体的底面积＝长×宽，所以长方体的体积＝底面积×高；圆柱的体积＝底面积×高；也就是长方体和圆柱的体积都可以用“底面积×高”计算；观察发现：图中这个直柱体两个底面是完全相同的等腰梯形，上下一样粗细，所以这个直柱体的体积也可以用“底面积×高”来计算。根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入相应数值计算出这个直柱体的底面积，再根据底面积×高，计算这个直柱体的体积。 【详解】（5＋11）×4÷2×6 ＝16×4÷2×6 ＝64÷2×6 ＝32×6 ＝192（立方厘米） 因此这个直柱体的体积是192立方厘米。 圆锥的体积 37．（2023金华）如图，长方形ABCD的长是4厘米。宽是3厘米，对角线AC把长方形分成阴影和空白两个三角形。以AB所在的直线为轴，把长方形旋转一周，空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是多少？ 【答案】1∶2 【知识点】比的意义、圆柱的体积、圆锥的体积（容积）、圆柱与圆锥体积的关系 【分析】根据题意可知，长方形扫过的空间是一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；空白三角形出扫过的空间是一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥，由此可知，圆柱与圆锥的等底等高；圆柱的体积是圆锥体积的3倍；阴影三角形扫过的体积等于圆柱的体积－圆锥的体积；可以将圆锥的体积看做1，那么圆柱的体积就是3，那么阴影扫过的空间的大小就是3－1＝2，据此求出空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小的比。 【详解】长方形扫过的空间是一个圆柱体；空白三角形扫过的空间是一个圆锥体；它们是等底等高； 设圆锥的体积是1； 则圆柱的体积是：1×3＝3； 阴影三角形扫过的体积是：3－1＝2； 三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是＝1∶2。 答：三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是1∶2。 38．（2023杭州）如图，直角三角形ABC如果绕AB旋转一周后得到圆锥甲，如果绕BC旋转一周后得到圆锥乙。已知，那么两个圆锥的体积( )。 【答案】4∶3 【知识点】比的意义、圆锥的体积（容积）、比的化简 【分析】绕AB旋转一周后得到圆锥甲，底面半径是BC，高是AB，绕BC旋转一周后得到圆锥乙，底面半径是AB，高是BC，已知，将AB看成3，BC看成4，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算两个圆锥的体积，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出两个圆锥的体积比，化简即可。 【详解】将AB看成3，BC看成4。 （3.14×42×3÷3）∶（3.14×32×4÷3） ＝（42×3）∶（32×4） ＝（16×3）∶（9×4） ＝48∶36 ＝（48÷12）∶（36÷12） ＝4∶3 两个圆锥的体积4∶3。 39．（2023杭州）一个圆柱形鱼缸，底面半径6厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径是3厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中（水未溢出），水面上升0.5厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【知识点】圆锥的体积（容积）、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此求出铅锤的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，即h＝3V÷πr2，据此进行计算即可。 【详解】3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷（3.14×32） ＝56.52×3÷（3.14×9） ＝56.52×3÷28.26 ＝169.56÷28.26 ＝6（厘米） 答：这个铅锤的高是6厘米。 40．（2023杭州）如图，等底等高的圆柱和圆锥叠在一起。已知圆柱和圆锥的体积一共是180立方厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？下面列式正确的是（    ）。 A．180÷4×3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆柱与圆锥体积的关系、分数的四则混合运算 【分析】根据圆柱体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，则圆柱的体积可看成3份，圆锥的体积看成1份，因此，圆柱与圆锥的体积的和有份，圆锥体积占圆柱与圆锥的和的，根据求一个数的几分之几是多少，可用乘法计算，即可得解。 【详解】A．180÷4×3，表示把180平均分为4份，求3份有多少。题意要求的是圆锥体积，即求1份有多少。所以不符合题意。 B．180×表示把180平均分为3份，求1份有多少，180是等底等高圆柱和圆锥的体积和，应占4份，所以不符合题意。 C．180×表示的是把180平均分为4份，求1份有多少，圆锥的体积就是1份，所以符合题意。 D．圆锥体积是与它等底等高的圆柱的体积的，180÷（1＋）表示的是求圆柱的体积是多少，所以不符合题意。 （立方厘米） 圆锥的体积是45立方厘米。 故答案为：C 41．（2023宁波）如图数量关系不能用方程来表示的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】长方形的周长、列简易方程、圆柱与圆锥体积的关系、三角形面积的应用 【分析】A．由图可知，上面的线段表示x，下面的一小线段表示x的，所以下面的一小段是x，上面的线段加上下面的线段等于40，可以用方程来表示； B．由图可知，大三角形和小三角形是等高的三角形，小三角形的底是4cm，大三角形的底是12cm，4是12的，小三角形的面积是大三角形的面积的，即小三角形的面积是 x，小三角形的面积加上大三角形的面积等于梯形的面积，列式为，可以用来表示； C．由图可知，圆柱的体积是x，根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，可知，圆锥的体积是x，圆柱与圆锥的体积和是40，列式为，可以用来表示； D．由图可知，长方形的长是xcm，宽是长的，所以宽是xcm，长方形的周长是40cm，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，列方程得：（x＋x）×2＝40，所以该选项不能用方程来表示。 【详解】由分析可得，选项A、B、C都可以用x＋x＝40表示，选项D不能用方程“x＋x＝40”来表示，要用方程（x＋x）×2＝40来表示。 故答案为：D 42．（2023台州）如图是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的零件，求它的体积。 【答案】50.24cm3 【知识点】圆柱与圆锥体积的关系、圆锥的体积（容积）、圆柱的体积 【分析】如图，圆柱、圆锥的底面半径相等都是2cm，圆柱、圆锥的高相等都是3cm，圆柱的体积公式是，据此可以求出圆柱的体积。等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一，据此圆锥体积可求，组合图形的体积是两部分体积之和，据此解答。 【详解】 （cm3） 它的体积是50.24cm3。 旋转体问题 43．（2022温州）如下图，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是( )。 【答案】1∶2 【知识点】圆柱与圆锥体积的关系、比的意义、旋转三要素及旋转图形、圆锥的认识及特征 【分析】根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，可把阴影部分旋转后得到的立体图形的体积看作1份，空白部分旋转后得到的立体图形的体积看作（3－1）份，根据比的意义，从而求解。 【详解】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍， 则1∶（3－1）＝1∶2 所以阴影部分旋转后得到的立体图形的体积与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是1∶2。 【点睛】此题主要考查图形的旋转，圆柱体和圆锥体的体积计算，关键是熟悉等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍的知识点。 44．（2022浙江）图中长方形ABCD绕CD所在直线旋转一周后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是（    ）。 A．12∶1 B．11∶1 C．3∶1 D．4∶1 【答案】B 【知识点】圆锥的体积（容积）、圆柱的体积、旋转三要素及旋转图形 【分析】长方形ABCD绕CD所在直线旋转一周后，所形成的立体图形是一个圆柱体，圆柱的底面半径是4厘米，高是6厘米，图形乙旋转一周是一个圆锥体，底面半径是2厘米，高是6厘米，甲部分的体积就是圆柱的体积减去圆锥的体积，再利用比的意义解答即可。 【详解】π×42×6－π×22×6× ＝16π×6－4π×2 ＝96π－8π ＝88π（立方厘米） 乙部分形成的立体图形的体积： π×22×6× ＝4π×6× ＝24π× ＝8π（立方厘米） 88π∶8π ＝（88π÷8π）∶（8π÷8π） ＝11∶8 所以，甲、乙两部分所形成立体图形的体积比是11∶1。 故答案为：B 【点评】解答此题的关键是理解平面图形旋转后的立体图形是什么图形，再根据圆柱和圆锥的体积公式解答。 45．（2021湖州）下图中，以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】旋转三要素及旋转图形、圆锥的认识及特征、圆柱的认识及特征 【分析】第一步：先仔细观察四个选项中即将旋转的图形具有哪些特征；第二步：想象四个选项以一条直线为轴旋转， 形成的几何体。 【详解】 A．为直角三角形，以直角三角形的一条直角边为轴旋转，形成的几何体为圆锥； B．为长方形，以长方形一条边为轴旋转，形成的几何体为圆柱； C．为梯形，以梯形的上底为轴旋转，形成一个里面被挖去一个圆锥的圆柱； D．为半个椭圆形，以这半个椭圆形的一条边为轴旋转，形成的几何体为不规则的球体。 故答案为：B 【点睛】本题通过训练学生“由几何图形想象出实物的形状”，来帮助学生建立空间观念。提高他们的创新能力。这一过程可能不那么顺利，要循序渐进的引导。 46．（2022浙江）如图，长方形的长4厘米、宽3厘米，对角线把长方形分成阴影和空白两个三角形。以宽所在的直线为轴，把长方形旋转一周，空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小的比是（    ）。 A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶2 【答案】B 【知识点】圆柱与圆锥体积的关系、比的应用 【分析】长方形整体围绕AB旋转形成圆柱体，空白三角形扫过形成一个圆锥体，形成的圆柱体和圆锥体等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；可以将圆锥的体积看做1份，那么圆柱的体积就是3份，那么阴影扫过的空间的大小就是3－1＝2份，据此求出空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小的比。 【详解】空白三角形扫过的空间大小是1份 阴影三角形扫过的空间的大小是3－1＝2份 则空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小的比为1∶2。 故答案为：B 【点睛】此题考查等底等高圆柱和圆锥体积之间的关系。 47．（2023浙江）长方形的长和宽分别是4cm和3cm，以4cm这条边为轴旋转一周，可以得到一个( )，把它锯成一个圆锥，体积最大是( )。 【答案】 圆柱 37.68 【知识点】圆锥的体积（容积）、圆柱与圆锥体积的关系 【分析】根据题意可知，以长方形的一条边为轴旋转一周得到一个圆柱。以4厘米的边为轴旋转一周得到的圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米；圆柱的体积公式：，一个圆柱锯成圆锥，这个圆锥一定是与圆柱等底等高的，圆锥是体积最大时，是同底等高圆柱体积的三分之一，所以先求出圆柱的体积，再乘上三分之一即可解答。 【详解】 （立方厘米） 所以可以得到一个圆柱，把它锯成一个圆锥，体积最大是37.68立方厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆柱、圆锥的特征，以及圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 48．（2022杭州）如图所示，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是（    ）。 A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶1 【答案】B 【知识点】比的意义、圆柱与圆锥体积的关系 【分析】一个长方形绕轴旋转一周，可以得到一个圆柱，而一个直角三角形绕直角边旋转一周，可以得到一个圆锥，根据题意可知，这个两个图形等底等高，根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，据此可知，圆锥的体积是1份，而圆柱的体积是3份，阴影部分的体积是圆锥的体积，空白部分的体积是圆柱比圆锥多的体积，据此写出它们的比即可。 【详解】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍， 1∶（3－1） ＝1∶2 将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是1∶2。 故答案为：B 【点睛】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用。 图形变换 轴对称 49．（2024杭州）请在方格纸中画一个圆，让它和已有正方形组成一个轴对称图形。 【答案】见详解 【知识点】轴对称的认识及辨认、圆的概念及特点 【分析】根据轴对称图形的意义，可以以正方形对边中点连线上（包括两条连线的交点）的任一点或对角线上（包括两条对角线的交点）的任一点为圆心，以不同的长度为半径画圆，画出的圆和已有正方形组成一个轴对称图形。 【详解】如图： （答案不唯一） 50．（2022绍兴）以下每组图前后两个之间的运动方式分别属于（    ）。    A．平移、轴对称、轴对称 B．平移、旋转、轴对称 C．平移、旋转、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【答案】D 【知识点】旋转与旋转现象、平移与平移现象、轴对称的认识及辨认 【分析】在同一个平面内，如果一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，那么这样的图形运动就叫做图形的平移运动，简称平移，平移不改变图形的形状和大小； 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转； 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可。 【详解】前后两个之间的运动方式属于平移； 前后两个之间的运动方式属于轴对称； 前后两个之间的运动方式属于旋转。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了图形的平移、旋转以及轴对称，熟练掌握平移、旋转和轴对称的特点是解答此题的关键。 51．（2022浙江）长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 【答案】29.6 【知识点】阴影部分的周长和面积、周长的认识和大小比较、图形的折叠问题、轴对称的认识及辨认 【分析】如下图，由题意可知：△ABD折叠后落在△A′BD的位置，即A′D＝AD＝4.8cm，A′B＝AB＝10cm，阴影部分的周长＝A′D＋A′B＋DC＋BC，即阴影部分的周长＝（长＋宽）×2，把长方形长、宽的数据代入计算即可。    【详解】（10＋4.8）×2 ＝14.8×2 ＝29.6（cm） 所以阴影部分的周长是29.6cm。 【点睛】解决此题关键是明确折叠前后对应边相等。 52．（2021金华）圆中两端都在圆上的线段是（    ）。 A．一定是圆的半径 B．一定是圆的直径 C．对称轴 D．无法确定 【答案】D 【知识点】轴对称的认识及辨认、圆的概念及特点 【分析】圆的半径是圆心和圆上任一点的连线；只有一端在圆上；圆的直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，圆的直径也是圆的对称轴，如果圆上两端点不通过圆心的线段，就不是圆的直径，也就不是对称轴，据此解答。 【详解】根据分析可知，圆中两端都在圆上的线段一定不是圆的半径； 且圆中两端点没有明确通过圆心，所以不能确定是圆的直径，也就不是对称轴。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查圆的半径、直径和圆的对称轴。 53．（2021台州）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）。 A．长方形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．圆 【答案】B 【知识点】轴对称的认识及辨认 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此根据平面图形的特点进行分析。 【详解】A．长方形是轴对称图形； B．平行四边形不是轴对称图形； C．等边三角形是轴对称图形； D．圆是轴对称图形。 故答案为：B 【点睛】关键是掌握轴对称和各种平面图形的特点。 54．（2021台州）小明将一张正方形纸片上下对折后再左右对折，如下图所示在上面刻下一个“5”，展开后得到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的折叠问题、轴对称的认识及辨认 【分析】动手按照图示顺序操作一下，先左右对折，再上下对折，由轴对称图形的性质可知，剪出来的图形，当展开后都是关于折痕成轴对称，又因是对折两次，所剪去的图形离两条折痕交点的距离是一样的，由此判定选择即可。 【详解】 在图上面刻下一个“5”，展开后得到的图形是。 故答案为：B 【点睛】解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，最好是动手操作一下，再进一步找出规律解决问题。 平移 55．（2024杭州）程序员在给机器人设计行进路线图，下图中每个小正方形的对角线代表的长是10m，机器人从☆的位置向西偏南45°方向移动20m，机器人将移动到点（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用数对表示位置、作平移后的图形、根据方向、角度和距离确定物体的位置 【分析】根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，再根据平移的特征，把☆向西偏南45°方向移动20m，确定出☆移动后的位置，再根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此解答。 【详解】20÷10＝2 平移后的位置如图所示： 因此，机器人将移动到点（3，3）。 故答案为：C 56．（2023金华）按要求操作。 （1）已知图中A点的位置是（3，9），那么B点位置是（    ）。 （2）将图①先向左平移2格，再向下平移4格后得到图②。 （3）以直线L为对称轴，作图①的轴对称图形，得到图③。 （4）将图①绕点C逆时针旋转90°，得到图④。 （5）在图中空白处，画出图①按2∶1的比例放大后得到的图⑤。 【答案】（1）（5，5） （2）见详解 （3）见详解 （4）见详解 （5）见详解 【知识点】作旋转后的图形、作平移后的图形、补全轴对称图形、图形的放大与缩小 【分析】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示B点的位置。 （2）根据平移的特征，把图①的各顶点分别先向左平移2格，再向下平移4格，依次连接即可得到平移后的图形②。 （3）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图①的各顶点关于对称轴L的对称点后，依次连接各点得到图形③。 （4）根据旋转的特征，将图①绕点C逆时针旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形④。 （5）图①是一个底为2、高为4的三角形，按2∶1的比例放大，即图①的底和高都要乘2，求出放大后三角形的底和高，据此画出放大后的三角形。 【详解】（1）已知图中A点的位置是（3，9），那么B点位置是（5，5）。 （2）图①先向左平移2格，再向下平移4格后得到图②，如下图。 （3）以直线L为对称轴，作图①的轴对称图形，得到图③，如下图。 （4）将图①绕点C逆时针旋转90°，得到图④，如下图。 （5）放大后三角形的底是：2×2＝4 放大后三角形的高是：4×2＝8 图①按2∶1的比例放大后得到的图⑤，如下图。 57．（2023温州）图中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）如果D点的位置用数对表示为（4，6），那么A点的位置表示为（    ），B点的位置表示为（    ）。 （2）请画出把梯形ABCD先向右平移6格，再向上平移2格后的图形。 （3）画出梯形ABCD绕B点逆时针旋转后的图形。 （4）以直线a为对称轴，画出图形ABCD的另一半，使之成为轴对称图形。这个轴对称图形的面积（    ）平方厘米。 【答案】（1）（3，4）（6，4） （2）（3）见详解 （4）画图见详解；10平方厘米 【知识点】用数对表示位置、作旋转后的图形、作平移后的图形、补全轴对称图形 【分析】（1）D点的位置用数对表示为（4，6），由图中可知，A点的位置是D点的向左边移动1格，再向下移动2格，所以A点的位置为（3，4）；B点的位置是A点向右移动3格，所以B点的位置为（6，4）。 （2）要画出移动后的图形，就要先找准点，分别找出ABCD四个点移动后的对应位置，再连接对应点。 （3）注意是绕B点逆时针旋转，找准B点，再逆时针转，在画图的时候也是先找到对应点，然后连线。 （4）由图可以看出，画出ABCD的另一半之后，就是一个梯形，数方格可以得出这个梯形的上底是4厘米，下底是6厘米，高是2厘米，再根据梯形的面积公式可以求出梯形面积。 【详解】（1）A点的位置表示为（3，4），B点的位置表示为（6，4）。 （2）（3）如图： （4）如图， （4＋6）×2÷2 ＝10×2÷2 ＝20÷2 ＝10（平方厘米） 这个轴对称图形的面积10平方厘米。 58．（2022杭州）看图操作。 （1）图中的半圆，它的圆心O1可以用数对（  ，  ）表示；它的周长是（    ）厘米。 （2）画出将半圆向右平移2格，向下平移2格后的图形；将这个图形的圆心标为O2。 （3）按2∶1画出这个半圆放大后的图形。 【答案】（1）（3，7）；10.28；（2）见详解；（3）见详解 【知识点】用数对表示位置、作平移后的图形、圆的周长及应用、图形的放大与缩小 【分析】（1）用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；据此表示出O1；半圆的周长＝πr＋2r，据此求出半圆的周长； （2）平移的形状、大小不变，根据平移的特征，把半圆的圆心向右平移2格，向下平移2格，再据此画出对应的半圆即可； （3）这个半圆按2∶1放大，则先把半径扩大到原来的2倍，已知半圆的半径是2厘米，用2×2即可求出扩大后的半径，据此画出放大后的半圆。 【详解】（1）图中的半圆，它的圆心O1可以用数对（3，7）表示，半圆的半径是2厘米； 3.14×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） （2）平移后的半圆如下图； （3）2×2＝4（厘米） 如图： 【点睛】本题主要考查了数对表示位置的方法，半圆的周长、图形的平移以及图形的放大，要熟练掌握每个知识点。 59．（2022金华）图形与变换。 （1）画出图形A按放大后的图形。 （2）画出图形B绕点O顺时针旋转后得到的图形C。 （3）画出图形B向左平移4格后得到的图形D。 【答案】（1）（2）（3）画图见详解。 【知识点】作旋转后的图形、作平移后的图形、图形的放大与缩小 【分析】（1）在方格纸上按一定的比例将图形放大的方法：一看原图形各边占几格。图形A底边占2格，底边上的高占1格；二按已知比计算出放大图的各边占几格，图形A按2∶1放大后，底边占2×2＝4格，底边上的高占1×2＝2格；三按计算出的边长画出原图形的放大图。 （2）在方格纸上画简单图形旋转90°后的图形的方法：①找出原图形的几个关键点所在的位置。图形B是梯形，4个顶点为关键点；②根据对应点旋转90°，对应线段长度不变来找出关键点旋转后的对应点；③顺次连接所画出的对应点，就能得到旋转后的图形。 （3）在方格中画简单图形平移后的图形的方法：①在原图形上选几个能决定图形形状和大小的点。可选图形B的4个顶点；②按要求把所选的点向规定的方向平移规定的格数。把图形B的4个顶点都向左平移4格；③根据原图形的形状顺次连接平移后的点。 【详解】（1）（2）（3）画图如下： 【点睛】放大或缩小后的图形与原来的图形相比，它们的内角大小不变，只是边长和周长都相应地放大或缩小了。在平移和旋转的过程中，物体的形状、大小都不发生变化，只是位置发生了变化。 60．（2021温州）观察下图，完成相应问题。 （1）以虚线为对称轴，画出图形A的轴对称图形。 （2）画出图形A向下平移3格后的图形。 （3）画出图形A按2∶1放大后的图形。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 【知识点】作平移后的图形、补全轴对称图形、图形的放大与缩小 【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的左边画出图A的关键对称点，依次连结、涂色即可； （2）根据平移的特征，把图A的各顶点分别向下平移3格，依次连结、涂色即可得到平移后的图形； （3）找出图形每条边线段的长度，数出有几个格，把它们分别乘2即可。 【详解】（1）（2）（3）作图如下： 【点睛】本题考查图形的放大与缩小、作轴对称图形、作平移后的图形，关键是对称点（对应点）位置的确定。 旋转与视图分析 61．（2024湖州）看图回答问题。（图中每个小正方形的边长是1厘米） （1）图中点A的位置是（2，4），点B的位置是（    ）；如果再添一个点C，和A、B两点构成一个等腰直角三角形，那么点C的位置可以是（     ）。 （2）线段AB绕点B逆时针旋转（    ）时，点A运动到点A＇（5，1），点A走了（    ）厘米。 【答案】（1）（5，4）；（2，1） （2）90°；4.71 【知识点】圆的周长的应用、用数对表示位置、等腰三角形和等边三角形的认识及特征、旋转三要素及旋转图形 【分析】（1）根据用数对表示物体位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点B的位置。 根据等腰直角三角形的特征可知，三角形ABC的两条腰相等，且有一个内角是直角；据此找出点C的位置，并用数对表示。 （2）点A要运动到点A＇（5，1），根据旋转的知识，线段AB绕点B逆时针旋转90°时，点A运动到点A＇，点A走的距离是一个半径为3厘米的圆周长的，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 【详解】（1）图中点A的位置是（2，4），点B的位置是（5，4）； 如果再添一个点C，和A、B两点构成一个等腰直角三角形，那么点C的位置可以是（2，1）。（答案不唯一） （2）线段AB绕点B逆时针旋转90°时，点A运动到点A＇（5，1）。 2×3.14×3×＝4.71（厘米） 点A走了4.71厘米。 62．（2023嘉兴）钟面上分针长12cm，从9：00——9：15，分针旋转了( )度，分针的针尖走了( )cm。 【答案】 90 18.84 【知识点】圆的周长的应用、旋转三要素及旋转图形 【分析】钟面一个大格是30度，从9：00——9：15，分针旋转了3个大格，一个大格的度数×旋转的大格数＝旋转的度数； 分针长度相当于圆的半径，从9：00——9：15，分针旋转了个圆，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出旋转一圈的距离，乘即可。 【详解】30×3＝90（度） 2×3.14×12＝75.36（cm） 75.36×＝18.84（cm） 钟面上分针长12cm，从9：00——9：15，分针旋转了90度，分针的针尖走了18.84cm。 63．（2023杭州）如图中，若点A的位置用数对表示，那么点B的位置可以用数对（    ）表示。线段绕A点顺时针旋转90°，在下图中用阴影表示出线段扫过部分的图形。阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（6，5）；画图见详解；12.56 【知识点】画圆、用数对表示位置、扇形的周长和面积、旋转三要素及旋转图形 【分析】点A的位置用数对表示，说明点A在第2列第5行，根据图中点B与它的距离，点B在第6列第5行，根据数对“先列后行”的特点写出数对即可。 线段绕A点顺时针旋转90°，扫过部分的图形是一个以点A为圆心，以AB为半径，圆心角是90°的扇形，据此画图。扇形的面积＝πr2×，据此代入数据计算。 【详解】通过分析可得：点B的位置可以用数对（6，5）表示； 线段扫过部分如下图所示： 3.14×42× ＝3.14×16× ＝12.56（平方厘米） 则阴影部分的面积是12.56平方厘米。 64．（2023绍兴）有一堆正方体形状的纸箱，从三个不同的方位看到的形状如下图。那么这堆纸箱至少有( )个。 【答案】9 【知识点】物体三视图的认识、通过三视图还原立体图 【分析】根据从上面看到的形状可知，这堆纸箱的底部有4个纸箱；根据从前面和左面看到的形状可知，这堆纸箱有2排3层，前面一排有2列3层，每列有3个纸箱，一共6个纸箱，后面一排有2列，至少有3个纸箱，据此解答。 【详解】 分析可知，或者。 3＋3＋2＋1＝9（个） 所以，这堆纸箱至少有9个。 65．（2023杭州）下面这个几何体，从左边观察看到的图形，是由( )个小正方形组成的。想一想，至少再摆上( )个小立方体，它就能拼成一个长方体了。 【答案】 5 8 【知识点】物体三视图的认识、从不同位置观察单个物体 【分析】（1）从左边观察此立体图形分为三层，一层和二层都是有2个小正方，三层有1个正方形，算出总共有几个小正方形即可。 （2）现有立体图形从正面看高是3层，底下一排也有3个小正方形，要变成长方体那么填满这3排即可。填满后小正方体每层有6个，总共3层，总个数3×6＝18个。现有小正方体个数第一层6个，第二层3个，第三层1个，现有个数为6＋3＋1＝10个。填满后的总个数减去现有的个数即可。 【详解】（1）2＋2＋1＝5（个） （2）3×6－（6＋3＋1） ＝3×6－10 ＝18－10 ＝8（个） 即，这个几何体，从左边观察看到的图形，是由5个小正方形组成的。至少再摆上8个小立方体，它就能拼成一个长方体了。 66．（2022绍兴）下面三幅图，从右面观察，所看到的形状完全相同。( ) 【答案】× 【知识点】物体三视图的认识 【分析】观察物体，第一个从右面看会看到两层，下面一层2个小正方形，上面有1个小正方形右齐；第二个从右面看会看到两层，下面一层2个小正方形，上面有1个小正方形右齐，第三个从右面看会看到两层，下面一层2个小正方形，上面一层1个小正方形左齐，据此即可判断。 【详解】前两个物体的右视图为，第三个物体的右视图为，看到的形状不完全相同，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查学生的空间想象能力，能将视图画出是解题的关键。 几何规律探究 图形序列 67．（2024宁波）用6根同样的小棒可以摆一个正六边形，照图这样摆下去，摆7个正六边形需要( )根小棒，摆个正六边形需要( )根小棒。 【答案】 36 /1＋5n 【知识点】数与形（探索规律）、图形的变化规律 【分析】观察可知，从第二个正六边形开始每增加一个正六边形就需要增加5根小棒，如下图所示，第一个正六边形也有这5根小棒，可知1个正六边形就有1个5根再加1根，2个正六边形就有2个5根再加1根，3个正六边形就有3个5根再加1根7个正六边形就有7个5根再加1根小棒，个正六边形就有个5根再加1根小棒，据此解答。 【详解】 （根） 5n＋1（或1＋5n） 用6根同样的小棒可以摆一个正六边形，照图这样摆下去，摆7个正六边形需要36根小棒，摆个正六边形需要5n＋1（或1＋5n）根小棒。 68．（2023杭州）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半……以此类推。 (1)阴影部分的面积是( )。 (2)计算：＝( )。 【答案】(1) (2) 【知识点】图形的变化规律、算式的规律 【分析】（1）根据题意，大正方形的面积为1，则部分①的面积是，②的面积是，③的面积是……以此类推，④的面积是，⑤的面积是，⑥的面积是，阴影部分的面积等于部分⑥的面积，据此解答； （2）将转化为，转化为，转化为……，转化为，据此代入原式化简求解即可。 【详解】（1） 即阴影部分的面积是。 （2） 所以， 69．（2023嘉兴）把边长是1厘米的小正方形按下图这样摆放： (1)第⑧幅图一共摆了( )个这样的小正方形。 (2)第⑨幅图的周长是( )厘米。 (3)第⑩幅图的面积是( )平方厘米。 【答案】(1)36 (2)36 (3)55 【知识点】数与形、图形的变化规律 【分析】（1）观察后发现，图①有1个小正方形；图②有1＋2个小正方形；图③有1＋2＋3个小正方形……则图⑧有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8个小正方形。 （2）由图知，图①的周长是边长为1厘米的一个小正方形的周长；图②周长是相当于边长为2厘米正方形的周长；图③周长是相当于边长为3厘米正方形的周长；图⑨周长是相当于边长9厘米小正方形的周长。 （3）第⑩幅图共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10个小正方形组成，求得小正方形的个数，即可知第⑩幅图的面积。 【详解】（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8 ＝（1＋8）×8÷2 ＝9×4 ＝36（个） 第⑧幅图一共摆了（36）个这样的小正方形。 （2）9×4＝36（厘米） 第⑨幅图的周长是（36）厘米。 （3）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝（1＋10）×10÷2 ＝11×5 ＝55（个） 1×1×55 ＝1×55 ＝55（平方厘米） 第⑩幅图的面积是（55）平方厘米。 【点睛】找出图形的排列规律，根据图形排列规律列出算式是解答本题的关键。 70．（2023温州）如图所示，按照这样的规律摆下去，摆5个三角形要用 根小棒。 【答案】11 【知识点】数与形、图形的变化规律 【分析】摆1个三角形用3根小棒，摆2三角形只需增加2根小棒，摆3个三角形只需再增加2根小棒……摆n个三角形需要（2n＋1）根小棒。 【详解】2×5＋1＝10＋1＝11（根） 则摆5个三角形要用11根小棒。 【点睛】解答此题的关键是找出三角形个数与需要的小棒根数的关系。 71．（2021宁波）观察下面的点阵图规律，点阵图（10）中有( )个点。 【答案】33 【知识点】图形的变化规律、数与形 【分析】观察图形，第1个点阵图中有（1＋2＋3）个点，第2个点阵图中有（2＋3＋4）个点 ，第3个点阵图中有（3＋4＋5）个点，依次类推，即可求出第10个点阵图中有（10＋11＋12）个点，据此解答。 【详解】10＋11＋12＝33（个） 【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字。 72．（2021湖州）如图所示，第①幅图有2颗☆，第②幅图有8颗☆，第③幅图有18颗☆。 (1)第④幅图有( )颗☆。 (2)当有200颗☆时，这是第( )幅图。 【答案】(1)32 (2)⑩ 【知识点】数与形、图形的变化规律 【分析】第①幅图中☆的颗数表示成；第②幅图中☆的颗数表示成2＋4＋2＝2×4＝2×22；第③幅图中☆的颗数表示成2＋4＋6＋4＋2＝2×9＝2×32；……；由此可得。第④幅图中☆的颗数是2×42＝32（颗）；当有200颗☆时，200÷2＝100（颗），100＝10×10，故第⑩幅图中有200颗☆。 【详解】（1）2×42＝32（颗） （2）200÷2＝100（颗），100＝10×10 【点睛】本题主要考查学生的推理能力，关键要发现其中的规律。 拼接与阴影面积 73．（2023温州）如图，把一个圆转化成近似的长方形。 (1)把一个圆拼成一个近似的长方形后，周长增加了12cm。增加的12cm实际上是( )的长度。 (2)这个近似长方形的长是( )cm，圆的面积是( )。 【答案】(1)2个半径 (2) 18.84 113.04 【知识点】圆的面积、圆的周长的应用、平面图形的拼接 【分析】把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，长方形的面积等于圆的面积，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；那么长方形的2条长等于圆的周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加了2条宽的长度，即增加了2个半径的长度，用增加的周长除以2，求出宽，也就是圆的半径；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，求出长方形的长；然后根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，求出这个圆的面积。 【详解】（1）一个圆拼成一个近似的长方形后，周长增加了12cm。增加的12cm实际上是2个半径的长度。 （2）12÷2＝6（cm） 3.14×6×2÷2 ＝18.84×2÷2 ＝37.68÷2 ＝18.84（cm） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（cm2） 这个近似长方形的长是18.84cm，圆的面积是113.04cm2。 74．（2022宁波）研究圆的面积时，丁丁把圆分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形（如下图1）。这个长方形的周长比原来圆的周长增加了10cm，原来圆的周长是( )cm；明明将同样大小的圆剪拼成一个近似梯形（如下图2），这个梯形的面积是( )cm2。 【答案】 31.4 78.5 【知识点】平面图形的拼接、圆的面积及应用、圆的周长及应用、长方形的周长 【分析】根据题意，把一个圆剪拼成一个近似长方形，则长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，长方形的周长比原来圆的周长多了2个宽即2个半径；先用增加的周长除以2，即可求出圆的半径；然后根据圆的周长公式C＝2πr，求出原来圆的周长； 将同样大小的圆剪拼成一个近似梯形，则梯形的面积等于这个圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，即是这个梯形的面积。 【详解】长方形的宽（圆的半径）：10÷2＝5（cm） 圆的周长：2×3.14×5＝31.4（cm） 梯形的面积（圆的面积）： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 原来圆的周长是31.4cm，这个梯形的面积是78.5cm2。 【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程的应用，明确把一个剪拼成一个近似长方形或近似梯形，拼成的图形的面积等于圆的面积，拼成的图形的周长比原来圆的周长大。 75．（2020湖州）把一个直径是8厘米的圆剪接成近似的长方形（如下图），这个长方形的长是( )厘米，长方形的周长是( )厘米。 【答案】 12.56 33.12 【知识点】平面图形的拼接、圆的周长及应用、长方形的周长 【分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，从而可知，这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，利用圆的周长公式求出圆的周长后，再加上直径，即可求出长方形的周长，据此即可求解。 【详解】3.14×8÷2＝12.56（厘米） 3.14×8＋8 ＝25.12＋8 ＝33.12（厘米） 即这个长方形的长是12.56厘米，长方形的周长是33.12厘米。 【点睛】此题考查的是对通过长方形的面积公式来推导圆的面积公式这个过程的熟练掌握。 76．（2023嘉兴）如下图，李叔叔将两块完全相同的长方体钢坯分别加工成2个和8个的圆柱形的钢模。比一比两种加工方法削去的钢材体积，（    ）。 A．①大 B．②大 C．一样大 D．不能比较 【答案】C 【知识点】圆柱的体积、小数与整数的乘法、立体图形的切拼（圆柱） 【分析】假设长方体的宽是4，高是1。①中每个圆柱的底面半径是4÷2，高是1。②中每个圆柱的底面半径是4÷2÷2，高是1。圆柱体积＝底面积×高，由此求出①和②中每个圆柱的体积，再分别乘2、乘8，求出总的体积。长方体体积固定，加工成的圆柱的体积和越大，则削去的越少，反之则越多。 【详解】令长方体的宽是4，高是1， ①中2个圆柱的体积和： 3.14×（4÷2）2×1×2 ＝3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12 ②中8个圆柱的体积和： 3.14×（4÷2÷2）2×1×8 ＝3.14×12×8 ＝3.14×1×8 ＝25.12 那么，①中圆柱的体积和与②中圆柱的体积和相等，长方体的体积是一定的，则说明削去的体积一样大。 故答案为：C 77．（2024杭州）按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为（    ）（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正方形的面积、圆的面积、求组合图形中阴影部分的面积、数与形（探索规律） 【分析】观察图形可知，第1幅图，阴影部分的面积等于1个边长是2r正方形面积－1个半径为r的圆的面积；面积＝4r2－πr2，可以写成：1×（4－π）r2； 第2幅图阴影部分面积等于1个边长为2r的正方形和－2个半径为r的圆的面积和；面积＝2×4r2－2×πr2，可以写成：2×（4－π）r2； 第3幅图阴影部分面积等于3个边长为2r的正方形面积和－3个半径为r的圆的面积和；面积＝3×4r2－3×πr2，可以写成：3×（4－π）r2； …… 由此可知，第n幅图阴影部分面积等于n个边长为2r的正方形面积和－n个半径为r的圆的面积和，即n×（4－π）r2，据此求出第10幅图阴影部分面积。 【详解】根据分析可知，第n幅图阴影部分面积为：n×（4－π）r2； 则第10幅图中阴影面积可以表示为10×（4－π）r2。 故答案为：D 78．（2024衢州）求下图阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】14.88cm2 【知识点】圆的面积、含圆的组合图形的面积、梯形面积的计算、求组合图形中阴影部分的面积 【分析】先列式8÷2＝4（cm），求得半圆的半径，也相当于梯形的高； 然后根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，半圆的面积：S＝πr2÷2，代入数据分别计算； 再用梯形面积面积－半圆面积，即可求出阴影部分的面积。 【详解】8÷2＝4（cm） （8＋12）×4÷2－42×3.14÷2 ＝20×4÷2－16×3.14÷2 ＝40－25.12 ＝14.88（cm2） 阴影部分的面积是14.88cm2。 位置与方向 数对 79．（2023嘉兴）画一画，算一算。 （1）如果图中点A的位置用数对（5，9）表示，那么点B的位置可以用数对（    ）表示。 （2）画出△ABC绕点B顺时针旋转后的图形。 （3）以AB为轴，将△ABC旋转一周，旋转形成图形的体积是（    ）立方厘米。 【答案】（1）（5，5） （2）见详解 （3）37.68 【知识点】用数对表示位置、作旋转后的图形、圆锥的体积（容积）、圆锥的认识及特征 【分析】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 （2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （3）以AB为轴，将△ABC旋转一周，旋转形成的图形是圆锥，圆柱的高是AB，圆锥的底面半径是BC，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详解】（1）如果图中点A的位置用数对（5，9）表示，点B与点A同列，点A的行数减去4是点B的行数，因此点B的位置可以用数对（5，5）表示。 （2）作图如下： （3）3.14×32×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 ＝37.68（立方厘米） 旋转形成图形的体积是37.68立方厘米。 80．（2023杭州）小明家所在街区的平面图如下（每个小方格的边长均表示）。 （1）小明家在学校的（    ）偏（    ）（    ）°的方向上。 （2）这个平面图的比例尺是（    ），从医院到银行的实际距离是（    ）米。 （3）超市的位置用数对表示，请在图上标出超市的位置。 （4）超市的免费送货上门的服务半径是2千米。小丽家能否享受免费送货上门服务？请用画图、文字或计算来说明理由。 【答案】（1）西偏北45； （2）1∶50000；1500 （3）（4）见详解 【知识点】根据数对找位置、图上距离与实际距离的换算、根据方向、角度和距离确定物体的位置、比例尺应用 【分析】（1）根据平面图，我们可以看到小明家位于学校的西方偏北方向，小明家点的位置跟学校是位于正方形对角线方向，正方形4个角都为直角，可以确定为45°，据此解答即可。 （2）从图上我们可以看到，每个小方格的边长均表示1cm，图上给出0—500米（即1厘米相当于实际距离500米）的参考距离，而图上医院到银行的距离是3个小方格，即3厘米，先把单位换算500米＝50000厘米，我们就可以得到比例尺1∶50000（即1cm代表500米）。因此，从医院到银行的实际距离：图上距离× 500，据此解答即可。 （3）超市的位置用数对（4，3）表示，即在平面图的第4列第3行。我们可以在该位置标出超市。 （4）超市的免费送货上门服务半径是2千米，即2000米，小丽家的位置位于（8，1）， 超市位于（4，3），将超市、小丽家连成一个直角三角形，根据斜边一定是直角三角形的三条边中最长的，据此解答即可。 【详解】（1）小明家在学校的西偏北45°的方向上。 （2）这个平面图的比例尺是1∶50000，医院到银行的实际距离是：3× 500＝1500（米） （3）超市的位置用数对（4，3）表示 （4） 根据比例尺与位置关系， AC之间的距离为4个小方格，1个小方格为500米，AC＝4×500＝2000米，根据直角三角形ACB中，斜边一定是直角三角形的三条边中最长的；AB＞AC。 答：小丽家不能享受免费送货上门服务。 81．（2022浙江）如图，点A所在的位置是（5，5）。 （1）那么点C所在的位置是（ ， ），将A、B、C三点依次连接形成封闭图形，记作图①； （2）将图①绕A点逆时针旋转90°，得到图②； （3）将图①按2∶1放大，画在右边空的方格里。 【答案】（1）（9，5）；作图见详解 （2）（3）见详解 【知识点】图形的放大与缩小、作旋转后的图形、用数对表示位置 【分析】（1）数对的第一个数表示列，第二个数表示行，点C与点A同行，列数在点A右侧第4列，据此确定点C的列数，用数对表示出点C的位置即可；根据要求依次连接A、B、C三点，标记图①即可； （2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可； （3）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。 【详解】（1）5＋4＝9，点C所在的位置是（9，5），作图如下： （2）（3） 82．（2022金华）按要求作图并填空。    （1）画出图形①绕点A沿逆时针方向旋转180°后的图形②。以1格为单位，如果点B的数对是（1，1），那么旋转后点B的对应点B′的位置，可以用数对（    ）表示。 （2）如果把图形①按2∶1放大，请画出放大后的图形③，图形③和图形①的面积比是（    ）。 【答案】（1）图形见详解；（5，5）； （2）图形见详解；4∶1 【知识点】图形的放大与缩小、三角形的面积、作旋转后的图形、用数对表示位置 【分析】（1）根据题目要求确定旋转中心（点A）、旋转方向（逆时针）、旋转角度（180°），分析所作图形，找出构成图形的关键边，按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边，依次连接组成封闭图形，并标出图形②和B点的对应点B′，最后用（列数，行数）表示出B′的位置； （2）图形①的底为3格，放大后底为3×2＝6格，图形①的高为2格，放大后高为2×2＝4格，放大前后图形的形状不变；利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出原来和现在三角形的面积，最后求出它们的面积比，据此解答。 【详解】作图如下：    （1）由图可知，B′在B的右边第4列，B′的列数为1＋4＝5，B′在B的上边第4行，B′的行数为1＋4＝5，B′的位置用数对表示为（5，5）。 （2）图形①：3×2÷2＝3 图形③：6×4÷2＝12 12∶3＝（12÷3）∶（3÷3）＝4∶1 所以，图形③和图形①的面积比是4∶1。 【点睛】掌握旋转和放大图形的作图方法、三角形的面积计算公式、数对的表示方法是解答题目的关键。 83．（2022湖州）下图中小格子的边长是1cm。    （1）在三角形ABC中，如果点B的位置是（10，5），那么C点的位置是（    ）。 （2）画出三角形ABC绕B顺时针旋转180°后的图形。 （3）画一条线段，把长方形分成一个三角形和一个梯形，使得三角形的面积与梯形的面积比是2∶3。 【答案】（1）（14，5） （2）见详解 （3）见详解 【知识点】用数对表示位置、作旋转后的图形、按比分配问题 【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行及“点B的位置是（10，5）”可知，点B在第10列，第5行，则点C在第14列，第5行，据此用数对表示出点C的位置。 （2）根据旋转的特征，三角形ABC绕点顺时针旋转180°，点B的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （3）把长方形长的2倍平均分成（2＋3）份，先用除法求出1份的长度，再用乘法求出2份的长度。（即三角形底的长度）、3份的长度（即梯形上、下底之和），然后即可画图出线段。 【详解】（1）在三角形ABC中，如果点B的位置是（10，5），那么C点的位置是（14，5）。 （2）见（3）下面左图。 （3）5×2÷（2＋3） ＝10÷5 ＝2 2×2＝4 2×3＝6 面积之比： （4×2÷2）∶（6×2÷2） ＝4∶6 ＝2∶3 三角形的底占4格，梯形的上、下底之和占6格。画图如下。    【点睛】此题考查的知识点：数对与位置、作旋转一定度数后的图形、三角形面积的计算、梯形面积的计算、按比例分配问题。 84．（2022绍兴）（1）用数对表示下图中点A、C所在的位置A（    ，    ），C（    ，    ）。 （2）已知A、C两点是平行四边形ABCD的其中两个顶点（另外两个顶点B、D也都在方格点上），且这个平行四边形的面积是18平方厘米，请先确定顶点B、D的位置，并将这个平行四边形画出来（再用铅笔涂上颜色）。 【答案】（1）（2，1）；（8，5）； （2）B（2，4）；D（8，2）（答案不唯一）；图形见详解 【知识点】平行四边形的面积、画平行四边形、用数对表示位置 【分析】（1）用数对表示物体的位置时，括号里面先写列数，再写行数，中间用逗号隔开，即（列数，行数）； （2）点A在第2列，点C在第8列，可以把平行四边形的高看作8－2＝6厘米，底＝平行四边形的面积÷高，平行四边形的底为18÷6＝3厘米，在点A的正上方数出3厘米找到点B，在点C的正下方数出3厘米找到点D，最后依次连接A、B、C、D，据此解答。 【详解】（1）由图可知，点A在第2列第1行，用数对表示为（2，1），点C在第8列第5行，用数对表示为（8，5）。 （2）分析可知，点B的位置为（2，4），点D的位置为（8，2）。（答案不唯一） 【点睛】掌握用数对表示物体位置的方法并熟练运用平行四边形的面积计算公式是解答题目的关键。 路线规划 85．（2023温州）周六下午，宏宏约强强一起去书店。 （1）宏宏从家里出发，沿（    ）偏（      ）°方向走（    ）米到达公园，再向（    ）方向走400米到达书店。 （2）强强家在书店的东偏南30°方向800米处，请在图中画出强强家的位置。 【答案】（1）北；东65；600；正东 （2）见详解 【知识点】根据方向、角度和距离描述路线图、根据方向、角度和距离确定物体的位置 【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离200米。 （1）从图中可知，宏宏家与公园相距3厘米，则实际相距（200×3）米，结合方向、角度和距离描述宏宏从家到公园的路线图。 （2）在书店的东偏南30°方向上画800÷200＝4厘米长的线段，即是强强家。 【详解】（1）200×3＝600（米） 宏宏从家里出发，沿北偏东65°（或东偏北25°）方向走600米到达公园，再向正东方向走400米到达书店。 （2）800÷200＝4（厘米） 作图如下： 86．（2023杭州）如图是石家庄地铁2号线部分线路图。 如果张医生从塔坛站乘坐地铁2号线去北国商城站，先向( )偏( )°方向坐1站到石家庄站，再向( )偏( )°方向坐( )站到欧韵公园站，最后向( )方向坐( )站到北国商城站。 【答案】 北 西30 北 东60 2 正北 3 【知识点】根据方向、角度和距离描述路线图 【分析】描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，描述到下一个目标所行走的方向和距离。据此根据地图“上北下南，左西右东”的规定，结合角度和距离描述路线。 【详解】通过分析可得：张医生从塔坛站乘坐地铁2号线去北国商城站，先向北偏西30°方向坐1站到石家庄站，再向北偏东60°方向坐2站到欧韵公园站，最后向正北方向坐3站到北国商城站。 87．（2023温州）第十九届亚运动于2023年9月在浙江举行，温州龙湾奥体中心成为本次亚运会足球小组赛分赛场地，我市轨道交通S1、S2线全力助力亚运盛会。 （1）从龙湾国际机场出发，乘坐轨道交通S1线，可以直达奥体中心。奥体中心在龙湾国际机场（    ）偏（    ）30°方向距离（    ）km处。 （2）轨道交通S2线共分布20个站点。其中沙城站在龙湾国际机场站西偏南35°方向大约6km处。请在图中画出沙城站所在的位置。 【答案】（1）西；北；6；（2）见详解 【知识点】根据方向、角度和距离描述路线图、根据方向、角度和距离确定物体的位置 【分析】（1）图中1小段代表实际3km，以龙湾国际机场为观测点，奥体中心在西偏北30°方向上，距离龙湾国际机场有2段长度； （2）以龙湾国际机场为观测点，沙城站在西偏南35°方向上，距离龙湾国际机场6km，也就（6÷3）段距离，据此确定沙城站的位置。 【详解】（1）3×2＝6（km） 奥体中心在龙湾国际机场西偏北30°方向距离6km处。 （2）沙城站所在的位置如下： 88．（2023浙江）某公园摆渡车的行驶路线是从正门向正东行驶3km后，再向西偏南60°方向行驶2km，然后向正西方向行驶3km，驶回正门，正确的路线图是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据方向、角度和距离描述路线图、根据方向、角度和距离画线路图 【分析】逐一分析选项中的路线图，与题目中对摆渡车行驶路线的描述进行对比，即可选出正确答案。 【详解】A．从正门向正东行驶3km后，再向西偏南60°方向行驶2km，然后向正西方向行驶3km，最后向东偏北60°方向，即北偏东30°方向行驶（2km）驶回正门，符合题意； B．从正门向正东行驶1km后，向东偏南方向行驶……不符合题意； C．从正门向正东行驶3km后，向东偏南方向行驶……不符合题意； D．从正门向正东行驶4km后，……不符合题意。 故答案为：A 89．（2022杭州）（1）小明家在的学校的（    ）偏（    ）（    ）方向上，距离是（    ）。 （2）妈妈去上班的路线如下：从家出发先向北偏东30°方向行2千米，再东行3千米，最后向南偏东70°方向行4千米到达单位。请画出妈妈的上班路线图。 【答案】（1）东；南；40°或南；东；50°，3千米； （2）图见详解 【知识点】根据方向、角度和距离画线路图、根据方向、角度和距离确定物体的位置 【分析】（1）先测量学校到小明家在图上有3厘米的距离，转化为3千米；再测量出学校位于小明家西偏北40°方向上，然后根据位置的相对性可知：小明家在学校的东偏南40°方向上，距离是3千米； （2）先把2千米、3千米、4千米分别转化为2厘米、3厘米、4厘米，再结合具体的方向及角度，确定好妈妈上班途中经过的位置，即可得出妈妈的上班路线图。 【详解】（1）3×1＝3（千米） 小明家在学校的东偏南40°方向上，或者南偏东50°方向上，距离是3千米； （2）2÷1＝2（厘米） 3÷1＝3（厘米） 4÷1＝4（厘米） 如图： 【点睛】考查了根据方向、角度及距离确定物体位置的方法，在画路线图时，画好的地点是下一个位置的观测点。 90．（2022舟山）根据描述，画出完整的路线图。 从起点出发，先向西偏北45°方向跑6km，再向正西方向跑8km，再向东偏南20°方向跑6km，最后向南偏西40°方向跑6km达到终点。 【答案】见详解 【知识点】根据方向、角度和距离画线路图 【分析】根据题意，结合“上北下南，左西右东”方向可知，先向西偏北45°方向跑6km，6÷2＝3，所以把线段分成三等份；再向正西方向跑8km，8÷2＝4，所以把线段分成四等份；再向东偏南20°方向跑6km，6÷2＝3，所以把线段分成三等份；最后向南偏西40°方向跑6km达到终点，6÷2＝3，所以把线段分成三等份。 【详解】6÷2＝3；8÷2＝4 如图： 【点睛】 此题考查了学生根据描述角度、方向、距离画出路线图的能力。 确定位置 91．（2023宁波） （1）如图直角三角形ABC中，C点在B点的（    ）偏（    ）（    ）°方向上。 （2）把三角形ABC按2∶1放大，画在右边空白处。 （3）画出三角形ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形。 （4）旋转后的三角形与B点对应的那个点用数对表示为（    ）。 【答案】（1）北；东；45 （2）（3）图见详解 （4）（4，9） 【知识点】用数对表示位置、作旋转后的图形、根据方向、角度和距离确定物体的位置、图形的放大与缩小 【分析】（1）以B点为观测点，根据“上北下南，左西右东”及正方形的对角线把直角平均分成两个45°的角，据此解答； （2）按2∶1放大，那么三角形的各边均扩大到原来的2倍，据此画出放大后的图形； （3）根据旋转的特征，所得的图形绕A点按逆时针旋转90°后，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形； （4）数对的表示方法：（列数，行数），根据数对找出与B点对应的那个点在方格中的对应位置解答即可。 【详解】（1）如图直角三角形ABC中，C点在B点的北偏东45°方向上。 （2）（3）作图如下： （4）旋转后的三角形与B点对应的那个点用数对表示为（4，9）。 92．（2022杭州）如图A（8，4）、B（20，10）是直线l上的两个点。（单位：厘米） （1）如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝（      ）。 （2）直线l上的点P（，），和成（      ）比例。 （3）用点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形（z是一个整数），这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？ 【答案】（1）90 （2）正 （3）904.32立方厘米 【知识点】解比例、圆锥的体积（容积）、正比例的意义及辨识、根据数对找位置 【分析】（1）因为C点（，45）也在l这条直线上，可以与A点或B点组成比例方程，并求解，求出的值。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （3）根据“等腰三角形的两条腰相等”以及点D的位置是（z，4），根据数对的知识可知，点D与点A在同一行，由此得出点D在图中的位置； 因为这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形是圆锥；由点A、点B的数对，得出横轴、纵轴每格表示的长度，进而得出圆锥的底面半径和高，然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个圆锥的体积。 【详解】（1）＝ 解：4＝8×45 4＝360 ＝360÷4 ＝90 如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝90。 （2）＝＝…＝2（一定） 那么直线l上的点P（，），＝2，比值一定，和成正比例。 （3）如下图，点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形ABD。 横轴的每格表示： （20－8）÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 纵轴的每格表示： （10－4）÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 圆锥的底面半径：3×4＝12（厘米） 圆锥的高：3×2＝6（厘米） ×3.14×122×6 ＝×3.14×144×6 ＝904.32（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是904.32立方厘米。 【点睛】（1）列出比例方程，并解比例。 （2）本题考查正比例的意义及辨识方法，也可以通过图象判断两种量是否成正比例。 （3）先根据等腰三角形的特征以及数对的知识找到D点的位置，再判断旋转而成的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式解答。 93．（2022浙江）前进小学正在举办班班有歌声比赛！大合唱时红红站在第3列第2行，用数对表示，小明站在红红正后方第一个位置上，小明的位置用数对表示是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据数对找位置 【分析】小明站在红红正后方第一个位置上，则小明的行数比红红多1，小明站在第3列第3行，用数对表示位置括号内先写列再写行，据此分析即可。 【详解】小明的位置用数对表示为（3，3）。 故答案为：B 【点睛】解决问题的关键在于明确小明站在红红正后方是行数多1。 94．（2021宁波）图中一个小正方形的对角线表示1m，则点（0，0）北偏东45°方向5m处是点( )；点（2，5）南偏东45°方向3m处是点( )。 【答案】 （5，5） （5，2） 【知识点】根据数对找位置、用数对表示位置、根据方向、角度和距离确定物体的位置 【分析】用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。 根据题意，在点（0，0）北偏东45°方向上画5÷1＝5条对角线的长度，即是5m处，用数对表示这个点的位置； 先找到点（2，5）的位置，在这个位置的南偏东45°方向画3÷1＝3条对角线的长度，即是3m处，再用数对表示这个点的位置。 【详解】如图： 一个小正方形的对角线表示1m，则点（0，0）北偏东45°方向5m处是点（5，5）； 点（2，5）南偏东45°方向3m处是点（5，2）。 【点睛】本题考查数对与位置的知识以及根据方向、角度和距离确定物体的位置。 95．（2021温州）写出各边方格图上点的位置（一个小正方形的对角线长5米） ①点（0，0）东偏北45°方向15米处是点A（    ）； ②点B西偏北45°方向15米处是点C（    ）； 点B在点D（    ）北偏东45°方向15米处。 ③连接A、B、C、D，这是一个（    ）形。 【答案】①（3，3）； ②（6，6）；（6，0）； ③见详解；正方 【知识点】根据数对找位置、用数对表示位置、根据方向、角度和距离确定物体的位置、正方形的概念及特点 【分析】①根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，一个小正方形的对角线长5米，15÷5＝3，即距离0点位置有3个对角线的长度；数对的表示方法：（列数，行数），找出此时点A在方格中对应的列数和行数，再用数对表示出来。 ②一个小正方形的对角线长5米，15÷5＝3，B、C两点间的距离有3个对角线的长度；再以点B为观测点，在点B西偏北45°方向上，找到点C的位置，再用数对表示出来即可。点B在点D北偏东45°方向15米处，从相对位置上看，点D在点B南偏西45°方向15米处，同样距离3个对角线的长度，以点B为观测点，根据方向、角度、距离确定出点D的位置，并用数对表示出来。 ③根据数对找出各点在方格中的对应位置，依次连接各点，根据各个平面图形的特征，即可判断这个图形是什么图形。 【详解】15÷5＝3 ①点（0，0）东偏北45°方向15米处是点A（3，3）； ②点B西偏北45°方向15米处是点C（6，6）； 点B在点D（6，0）北偏东45°方向15米处。 ③作图如下： 这是一个正方形。 【点睛】掌握数对的表示方法以及根据方向、角度、距离确定物体位置的方法是解答题目的关键。 96．（2021杭州）动手操作。 （1）在上面的方格图中标出点A（7，2）、B（11，6）、C（13，6）、D（13，2），再依次连接各点围成封闭图形。 （2）画出这个封闭图形绕A点逆时针方向旋转90°后的图形。 【答案】见详解 【知识点】根据数对找位置、作旋转后的图形 【分析】（1）根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此找到A、B、C、D四点，然后顺次连接即可； （2）把该图形绕点A逆时针旋转90°后，点A的位置不动，其余各部分均绕点A按相同方向旋转相同的度数即可。 【详解】（1）如图： （2）如图： 【点睛】本题考查旋转和用数对表示位置，明确第一个数字表示列，第二个数字表示行是解题的关键。 一、填空题（共20分） 1．（2023绍兴）线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离( )米，已知用这个比例尺画的绍兴地铁“2号线”全长36.7厘米，那么，绍兴地铁“2号线”实际全长( )千米。 【答案】 1000 36.7 【知识点】比例尺的意义、图上距离与实际距离的换算、千米和米之间的进率与换算 【分析】 根据比例尺的意义可知，线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离1千米，那么图上36.7厘米就相当于实际距离36.7千米。 【详解】1千米＝1000米 36.7×1＝36.7（千米） 填空如下： 线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离（1000）米，已知用这个比例尺画的绍兴地铁“2号线”全长36.7厘米，那么，绍兴地铁“2号线”实际全长（36.7）千米。 2．（2023衢州）汽车的轮子都是( )形，这是因为( )，而且车轮的车轴一般都安装在( )位置。 【答案】 圆 圆容易滚动 圆心 【知识点】圆的概念及特点 【分析】因为圆形车轮容易滚动，比较省力，而将车轴装在车轮的中心，是因为在一个圆中，圆心到圆上每一点的距离都相等，即车轴到地面的距离保持不变，可使车辆平稳行驶。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 汽车的轮子都是圆形，这是因为圆容易滚动，而且车轮的车轴一般都安装在圆心位置。 3．（2023杭州）在括号里填上合适的单位。 一个鸡蛋的质量大约是50( )    一瓶牛奶的净含量大约是250( ) 【答案】 克/g 毫升/mL 【知识点】体积、容积单位的选择、质量单位的选择 【分析】计量比较轻的物体的质量用“克”作单位，所以计量一只鸡蛋的重量用“克”作单位比较合适； 十几滴水的容量大约是1毫升，所以计量一盒牛奶的容量用“毫升”作单位比较合适；据此解答。 【详解】一个鸡蛋的质量大约是50克； 一瓶牛奶的净含量大约是250毫升。 4．（2024杭州）一个直角三角形三条边长的比是3∶4∶5，这个三角形的周长是36厘米，最长的边是 厘米，三角形的面积是 平方厘米。 【答案】 15 54 【知识点】三角形面积的计算、三角形的分类、比的应用 【分析】已知周长是36厘米，对应（3＋4＋5）份，先用36÷（3＋4＋5）求出1份的长度。再分别求出3份、4份、5份的长度。在一个直角三角形中，斜边最长，两条直角边（短边）分别是这个直角三角形的底和高。最后根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据，即可求出面积。 【详解】36÷（3＋4＋5） ＝36÷12 ＝3（厘米） 3×3＝9（厘米） 3×4＝12（厘米） 3×5＝15（厘米） 12×9÷2＝54（平方厘米） 最长的边是15厘米，三角形的面积是54平方厘米。 5．（2024宁波）把一张平方分米的正方形纸，对折再对折后，沿折痕剪成若干张同样大的小纸片，每张小纸片的面积是( )平方分米，每张小纸片面积占原纸片面积的( )。 【答案】 /0.2 /四分之一 【知识点】分数与整数的除法、图形的折叠问题 【分析】把正方形纸对折再对折后，相当于把正方形纸平均分成了四份，那么每张小纸片面积占原纸片面积的四分之一，用原纸片面积除以4就是每张小纸片的面积，据此解答。 【详解】正方形纸对折后得到原正方形纸的，再对折得到原正方形纸一半的一半即原正方形纸的。 （平方分米） 故每张小纸片的面积是平方分米，每张小纸片面积占原纸片面积的。 6．（2024嘉兴）一个圆形花坛的直径是8m，在它的周围修一条宽1m的小路，小路的面积是( )m2。 【答案】28.26 【知识点】圆环的面积 【分析】已知一个圆形花坛的直径是8m，则花坛的半径r是8÷2＝4m；在它的周围修一条宽1m的小路，则外圆的半径R是4＋1＝5m； 求小路的面积，就是圆环的面积；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可求解。 【详解】8÷2＝4（m） 4＋1＝5（m） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（m2） 小路的面积是28.26m2。 7．（2024宁波）如下图，把圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形。这个长方形的长为6.28分米，宽是( )分米。原来圆的面积是( )平方分米。 【答案】 2 12.56 【知识点】圆的面积、圆的周长、平面图形的分割、圆的概念及特点 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆沿半径分成若干等份，然后拼成一个近似的长方形，这个长方形的面积等于圆的面积，长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，已知长方形的长，即圆周长的一半，根据圆的周长公式，可知圆周长的一半＝，用6.28除以可得半径即宽，再根据圆的面积公式，代入数据计算即可得解。 【详解】（分米） （平方分米） 如下图，把圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形。这个长方形的长为6.28分米，宽是2分米。原来圆的面积是12.56平方分米。 8．（2023嘉兴）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是EC的中点，三角形甲的面积与三角形乙的面积比是( )；如果三角形甲的面积是2平方厘米，那么正方形ABCD的面积是( )平方厘米。 【答案】 1∶2 16 【知识点】比的意义、分数与整数的除法、三角形面积的计算 【分析】连接FD，根据等底等高的三角形面积相等可知，三角形甲的面积等于三角形FED的面积，而三角形FED的面积是三角形乙面积的一半；三角形甲的面积是2平方厘米，则三角形乙的面积是2×2＝4（平方厘米），三角形乙的面积占正方形ABCD面积的，所以正方形ABCD的面积为4÷，据此解答。 【详解】如图：连接FD E是AD的中点，则AE＝ED，所以三角形甲的面积等于三角形FED的面积。 F是EC的中点，则EF＝EC，则三角形FED的面积是三角形乙面积的一半，所以三角形甲的面积是三角形乙面积的一半，则三角形甲的面积与三角形乙的面积比是1∶2。 2×1＝4（厘米） 4÷ ＝4×4 ＝16（平方厘米） 如果三角形甲的面积是2平方厘米，那么正方形ABCD的面积是16平方厘米。 【点睛】此题主要考查三角形的面积，明确等底等高的三角形面积相等是关键。 9．（2022杭州）如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径。 (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是( )。 (2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次滚动情况记录如下：﹢2、﹣1、﹢4、﹣6、﹢3。当圆片结束运动时，此时点A所表示的数是( )。 【答案】(1)﹣π (2)4π 【知识点】正负数在数轴上的表示、利用正负数解决实际问题、圆的周长 【分析】（1）圆片沿数轴向左滚动半周，即滚动了半圆的距离，根据半圆弧长＝2πr÷2＝πr可以计算出滚动距离，注意圆片沿数轴向左滚动，要添上“﹣”； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数。先把﹢2、﹣1、﹢4、﹣6、﹢3这些数加起来，得﹢2，相当于圆片从初始位置向右滚动了2周，再根据圆的周长＝2πr，求出一周的长度，再乘2就可以得到此时所表示的数。 【详解】（1）2π×1÷2 ＝2π÷2 ＝π 因为圆片是向左滚动半周，所以点C表示的数是﹣π。 （2）2－1＋4－6＋3＝2 即圆片向右滚动了2周。 此时点A所表示的数是：2π×1×2＝4π 【点睛】本题主要考查了数轴以及正数负数以及圆周长公式，有理数的加减运算的实际应用。正确得出圆滚动后的位置是解题的关键。 10．（2022杭州）一个正方体木块和一个圆柱形的木块高相等，体积比是1∶1。如果把正方体木块削成尽可能大的圆柱体形，把圆柱形木块削成尽可能大的长方体。削成的圆柱体和长方体体积比是( )。（得数保留π） 【答案】π2∶8 【知识点】圆柱的体积、比的化简、长方体的体积、正方体的体积 【分析】根据题意，一个正方体木块和一个圆柱形的木块高相等，体积比是1∶1，即正方体与圆柱的体积相等，根据正方体的体积公式V＝a3，圆柱的体积公式V＝πr2h，推导出正方体的棱长和圆柱的底面半径的关系。 把正方体木块削成尽可能大的圆柱体形，那么削成圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积； 把圆柱形木块削成尽可能大的长方体，长方体的高等于正方体的棱长，长方体的底面是正方形时面积最大，求出长方体的底面积，再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出长方体的体积； 然后根据比的意义写出削成的圆柱体和长方体体积比，并化简比。 【详解】设正方体木块的棱长是a，圆柱形木块的底面半径是r； 正方体木块的体积是a3； 圆柱形木块的体积是πr2a； a3＝πr2a，则a2＝πr2，即r2＝； 把正方体木块削成尽可能大的圆柱体形，那么削成的圆柱体体积是： π×（）2×a＝ 把圆柱形木块削成尽可能大的长方体，长方体的底面是正方形时面积最大，如下图： 正方形的面积：2r×r÷2×2＝2r2 长方体的体积：2r2×a＝2××a＝ ∶ ＝∶ ＝（×4π）∶（×4π） ＝π2∶8 削成的圆柱体和长方体体积比是π2∶8。 【点睛】本题考查正方体、长方体、圆柱的体积公式以及比的意义、化简比的应用。理解把正方体木块削成尽可能大的圆柱体形时，圆柱的底面直径、高与正方体棱长的关系；把圆柱形木块削成尽可能大的长方体，长方体的底面是正方形时面积最大，掌握外圆内方的正方形面积的求法。 二、判断题（共10分） 11．（2014浙江）三角形的面积等于平行四边形面积的一半。( ) 【答案】× 【知识点】平行四边形面积的计算、三角形面积的计算 【分析】平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，三角形与平行四边形等底等高时，三角形的面积是平行四边形面积的一半，据此解答。 【详解】根据分析，只有三角形与平行四边形等底等高时，三角形的面积等于平行四边形面积的一半，原题说法错误。 故答案为：× 12．（2016浙江）半圆的周长就是其所属圆周长的一半。( ) 【答案】× 【知识点】半圆的周长 【分析】周长是指封闭图形一周的长度，据此得出半圆的周长＝圆周长的一半＋直径；据此判断。 【详解】如图： 半圆的周长等于其所属圆周长的一半加上一条直径的长度。 原题说法错误。 故答案为：× 13．（2014浙江）棱长是6厘米的正方体的表面积和体积相等。( ) 【答案】× 【知识点】正方体的体积、正方体表面积的计算 【分析】物体表面面积的总和，叫做物体的表面积；体积是指物体所占空间的大小；正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，据此分析解答。 【详解】表面积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 体积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 棱长是6厘米的正方体，虽然它的体积和表面积的数值相等，但是表面积和体积是两种不同的量，无法进行比较，所以棱长是6厘米的正方体的表面积和体积无法比较。 原题干说法错误。 故答案为：× 14．（2022绍兴）有2cm、3cm、4cm、5cm的小棒各一根，可以拼成4个不同的三角形。( ) 【答案】× 【知识点】三角形三边关系 【分析】从这四根小棒中任选3根，可以有2cm、3cm、4cm或者2cm、3cm、5cm或者3cm、4cm、5cm或者2cm、4cm、5cm这4种选法，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边进行分析，看哪几种选法可以拼成三角形，据此判断。 【详解】因为2＋3＝5＞4，所以2cm、3cm、4cm可以拼成一个三角形； 因为2＋3＝5，所以2cm、3cm、5cm不能拼成一个三角形； 因为3＋4＝7＞5，所以3cm、4cm、5cm可以拼成一个三角形； 因为2＋4＝6＞5，所以2cm、4cm、5cm可以拼成一个三角形。 因此有2cm、3cm、4cm、5cm的小棒各一根，可以拼成3个不同的三角形，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 15．（2017杭州）如图，有3个大小相同的圆，它们的阴影部分周长一样长．( ) 【答案】√ 【知识点】含多边形的组合图形的周长 【分析】观察图形可知，第一个图形中阴影部分的周长，等于这个圆的周长，第二个图形中阴影部分的周长也等于这个圆的周长，第三个图形的周长，也等于这个圆的周长，由此即可判断． 【详解】观察图形可知：（1）图1中阴影部分的四个圆弧的长度加起来正好等于圆的周长； （2）图2中阴影部分外外圈是圆的周长的一半，内圈3个小半圆弧长之和等于大半圆的弧长，所以阴影部分的周长等于圆的周长； （3）图3中大半圆内的两个白色小半圆的弧长之和等于大半圆的弧长相等，所以图中阴影部分的周长等于圆的周长， 因为三个圆的大小相等，所以阴影部分的周长一样长． 故答案为正确． 三、选择题（共10分） 16．（2023绍兴）下列图形都以AB所在的直线为轴旋转一周，其中能形成圆锥的共有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】圆锥的认识及特征 【分析】以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 【详解】 A．AB是直角三角形的一条直角边，那么以AB所在的直线为轴旋转一周，能形成圆锥； B． AB是直角三角形的斜边，那么以AB所在的直线为轴旋转一周，不能形成圆锥； C． AB是直角三角形的一条直角边，那么以AB所在的直线为轴旋转一周，能形成圆锥； D． AB是等腰三角形的一条腰，那么以AB所在的直线为轴旋转一周，不能形成圆锥。 所以能形成圆锥的共有2个。 故答案为：B 17．（2024湖州）如图，瓶中容纳了（    ）是550mL的纯净水。 A．质量 B．面积 C．体积 D．容积 【答案】C 【知识点】容积的认识、体积的认识 【分析】A．表示物体有多重叫做质量。 B．物体所占平面图形的大小，叫做它们的面积。 C．物体所占空间的大小叫做物体的体积。 D．容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。 【详解】550mL是指瓶中水的体积，所以瓶中容纳了体积是550mL的纯净水。 故答案为：C 18．（2023绍兴）下图每个小方格的面积都是1cm2，图（    ）阴影部分的面积最小。 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含多边形的组合图形的面积、梯形面积的计算、三角形面积的计算、借助方格比较图形的面积 【分析】已知每个小方格的面积都是1cm2，根据正方形的面积＝边长×边长可知，正方形的边长是1cm2。 A．阴影部分的面积＝2个阴影平行四边形的面积＋阴影三角形的面积； B．阴影部分的面积＝大正方形的面积－2个空白三角形的面积； C．阴影部分的面积＝4个阴影三角形的面积＋阴影小正方形的面积； D．阴影部分的面积＝2个阴影三角形的面积＋阴影梯形的面积； 根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求出各选项中阴影部分的面积，再比较大小，找出哪个图形的阴影部分的面积最小。 【详解】因为1＝1×1，所以每个小方格的边长是1cm。 A．1×1×2＋1×1÷2 ＝2＋0.5 ＝2.5（cm2） 阴影部分的面积是2.5cm2。 B．3×3－3×2÷2×2 ＝9－6 ＝3（cm2） 阴影部分的面积是3cm2。 C．1×1÷2×4＋1×1 ＝2＋1 ＝3（cm2） 阴影部分的面积是3cm2。 D．2×1÷2＋（1＋2）×1÷2＋1×1÷2 ＝1＋3×1÷2＋0.5 ＝1＋1.5＋0.5 ＝3（cm2） 阴影部分的面积是3cm2。 2.5＜3 阴影部分的面积最小。 故答案为：A 19．（2024杭州）羊圈占地是一个长方形，长3米，宽2米，羊圈周围是草地。现在用一根1米长的绳子栓羊，栓在图中（    ）位置，羊能吃到的草最多。 A．①宽的中点处 B．②转角处 C．③长的中点处 D．④长的处 【答案】B 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】分情况讨论： 羊在①位置：是以①为圆心，1米为半径的半圆的面积； 羊在②位置：是以②为圆心，1米为半径的扇形的面积； 羊在③位置：是以③为圆心，1米为半径的半圆的面积； 羊在④位置：以④为圆心，1米为半径的扇形的面积和半径是0.25米的扇形的面积的和； 羊在①②③位置，半径相同，只有②占圆的面积最大，②和④位置相比较，②的位置可以看成是1米为半径的半圆的面积和半径是1米的扇形的面积的和，相比较②的位置羊能吃到的草最多。 【详解】对比四个位置的扇形的面积，可以得出羊在②位置的面积最大，吃到草的面积就最大。 故答案为：B 20．（2023杭州）如图，已知边长为6的正方形，E为的中点，P为的三等分点，则的面积是（    ）。 A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】三角形的面积、分数乘整数 【分析】根据图中得：先找出BC边上的中点为F，连接EF，即EF＝AB＝DC＝6。过P点分别作BC边、DC边上的高，因为P为CE的三等分点，则EF是BC边上的高的3倍，ED是DC边上的高的3倍，根据三角形面积＝底×高÷2，可计算出△BCP、△DCP以及△BCD的面积，则△BDP面积＝△BCD－△BCP－△DCP，据此计算得出答案。 【详解】作出如图辅助线： F点为BC边的中点，PG为经过P点BC边上的高，PH为经过P点CD边上的高。此时PG＝EF，PH＝ED，正方形边长为6，则AB＝BC＝CD＝AD＝6，ED＝3。△BCP面积为：，△DCP面积为：，△BCD面积为：，则△BDP面积为：。 故答案为：B 四、计算题（共12分） 21．（2022金华）下面是一个长方体的展开图，请计算它的表面积和体积。（单位：分米）    【答案】88平方分米；48立方分米 【知识点】长方体的展开图、长方体的表面积、长方体的体积 【分析】根据长方体展开图的特征可知，长方体的长为（16－2－2）÷2分米，宽为4分米，高为2分米，把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝a×b×2＋a×h×2＋b×h×2，和长方体的体积公式：V＝a×b×h中，计算出长方体的表面积和体积。 【详解】（16－2－2）÷2 ＝12÷2 ＝6（分米） 6×4×2＋6×2×2＋4×2×2 ＝48＋24＋16 ＝88（平方分米） 6×4×2＝48（立方分米） 即长方体的表面积是88平方分米，体积是48立方分米。 22．（2023金华）求下图中阴影部分的周长。 【答案】28.56cm 【知识点】含圆的组合图形的周长 【分析】根据图示，该阴影的周长等于正方形的两条边加上圆的周长；圆的周长＝2πr，代入数据解答即可。 【详解】8＋8＋3.14×8×2× ＝16＋25.12×2× ＝16＋50.24× ＝16＋12.56 ＝28.56（cm） 图中阴影部分的周长28.56cm。 23．（2022浙江）求图中阴影部分的面积（图中，长方形内有一个最大的半圆，半圆内有一个最大的长方形）。 【答案】35.75cm2 【知识点】含圆的组合图形的面积、求组合图形中阴影部分的面积 【分析】 如图，求出图中阴影部分的面积，除以2就是所求阴影部分的面积。阴影部分的面积＝大正方形面积－空白部分的面积，空白部分的面积＝圆的面积－小正方形的面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，将小正方形分成2个完全一样的等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，乘2就是小正方形的面积，据此列式计算。 【详解】空白部分的面积：3.14×（10÷2）2－10×5÷2×2 ＝3.14×52－50 ＝3.14×25－50 ＝78.5－50 ＝28.5（cm2） 阴影部分的面积：10×10－28.5 ＝100－28.5 ＝71.5（cm2） 所求阴影部分的面积：71.5÷2＝35.75（cm2） 阴影部分的面积是35.75cm2。 【点睛】关键是看懂图示，转化成完整的图形后，再求阴影部分的面积。 五、作图题（共12分） 24．（2021浙江）你能用一条直线把下图中的涂色部分分成面积相等的两部分吗？请在图中画一画。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【知识点】圆的概念及特点、平面图形的分割 【分析】由图可知，用一条直线将涂色部分分成面积相等的两部分，那么涂色部分要平分，圆形白色部分也要平分；连接长方形的两条对角线，过圆心与对角线的交点画一条直线即可将图形平分为面积相等的两部分；据此解答。 【详解】连接长方形的对角线，过圆心与对角线的交点画一条直线即可； 作图如下： 【点睛】此题考查了圆形的知识，关键是有一定的观察能力。 25．（2023衢州）分别画出从正面、上面、左面看到的形状。 【答案】见详解 【知识点】三视图的画法 【分析】从正面看有2行，下边1行3个小正方形，上边1行靠右1个小正方形；从上面看有2行，后边1行3个小正方形，前边1行靠右1个小正方形；从左面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠右1个小正方形。 【详解】 26．（2023杭州）按要求在方格中作图。 （1）根据给定的对称轴画出图形的另一半。 （2）画出将这个轴对称图形按2∶1放大后的图形。 【答案】见详解 【知识点】图形的放大与缩小、补全轴对称图形 【分析】（1）画出轴对称图形的另一半，根据轴对称图形的特征可知，沿着对称轴对折，另一半与已知图形完全重合，可以找到左边图形的几个关键点，再通过数格子的形式在右边找出离对称轴距离相同的关键点，再把这些关键点连接起来即可。 （2）把这个轴对称图形按2∶1放大，即把原来的图形各个边都放大到原来的2倍，据此即可画出此图。 【详解】（1）（2）如下图所示： 六、解答题（共36分） 27．（2023绍兴）一个底面内直径是4厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18厘米，这个瓶子的容积是多少？ 【答案】314立方厘米 【知识点】圆柱的容积 【分析】这个瓶子的容积＝底面直径是4厘米，高是7厘米的圆柱的容积＋底面直径是4厘米，高是18厘米的圆柱的容积，根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（4÷2）2×7＋3.14×（4÷2）2×18 ＝3.14×22×7＋3.14×22×18 ＝3.14×4×7＋3.14×4×18 ＝12.56×7＋12.56×18 ＝87.92＋226.08 ＝314（立方厘米） 答：这个瓶子的容积是314立方厘米。 28．（2024嘉兴）如下图，在半圆形空地上有一个三角形区域种植郁金香。郁金香的种植面积为12平方米，其余部分铺草坪。草坪的面积是多少平方米？ 【答案】 25.68平方米 【知识点】圆的面积、含圆的组合图形的面积、三角形面积的计算 【分析】观察可知，草坪的面积等于半圆面积减三角形面积，已知三角形是直角等腰三角形，两条直角边都等于半圆的半径，根据的逆运算，用三角形面积乘2得到r2，再根据圆的面积公式，圆的面积除以2可得到半圆的面积，代入数据计算即可得解。 【详解】r2＝（平方米） （平方米） 答：草坪的面积是25.68平方米。 29．（2024杭州）妈妈教兰兰“一剪成裙”的伞裙制作方法：先取一块边长是1.6米的正方形布，把它按照图①对折，按照图②再对折，变成一个小正方形。然后分别以小正方形的边长、边长画圆弧并剪下，得到如图④的圆环，再折出裙褶、加上裙腰就是一条伞裙了。    （1）做出来的裙长是多少？（裙腰不算在内） （2）裙身的裙褶完全打开，平铺的面积是多少？ 【答案】（1）0.6米；（2）1.884平方米 【知识点】圆的面积、圆环的面积、圆的概念及特点 【分析】（1）看图可知，裙长是剪出来的大圆的半径减去小圆的半径。根据折叠过程可知，大圆的半径是正方形边长的一半，小圆的半径是大圆半径的。据此，用正方形边长除以2，先求出大圆半径。再将大圆半径乘，求出小圆半径。将大圆半径减去小圆半径，即可求出裙长； （2）圆面积＝πr2，据此分别求出大圆和小圆的面积，再将大圆面积减去小圆的面积，即可求出裙身的面积。 【详解】（1）1.6÷2＝0.8（米） 0.8×＝0.2（米） 0.8－0.2＝0.6（米） 答：做出来的裙长是0.6米。 （2）3.14×0.82－3.14×0.22 ＝3.14×0.64－3.14×0.04 ＝2.0096－0.1256 ＝1.884（平方米） 答：裙身的裙褶完全打开，平铺的面积是1.884平方米。 30．（2024衢州）下图是某小学的田径场示意图，跑道分为直道和弯道，其中弯道部分是半圆形。 （1）请计算阴影部分的活动场地面积。 （2）如果你沿着最内圈跑道跑1圈，要跑多少米？ （3）如果每条跑道的宽度是1.2米，那么进行400米跑步比赛时，第二跑道与第一跑道的起跑线（起跑线设在直道上）应相距多少米？ 【答案】（1）6962.5平方米 （2）357米 （3）7.536米 【知识点】圆的面积的应用、圆的周长的应用、长方形的面积 【分析】（1）阴影部分的活动场面积等于直径是50米的圆的面积与长是100米，宽是50米的长方形面积的和；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 （2）沿最内圈跑即求最内圈的周长，即长方形的两个长的和与直径是50米的圆的周长的和；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 （3）第二跑道的周长等于直径是（50＋1.2）米的圆的周长＋2条长方形的长的和；第一跑道的周长等于直径是50米的圆的周长＋2条长方形的长的和，求第二跑道与第一跑到的起跑线应相差多少米，就是求直径是（50＋1.2×2）米的圆的周长与直径是50米的圆的周长的差，把数据代入圆的周长公式，分别求出两个圆的周长，再相减，即可解答。 【详解】（1）3.14×（50÷2）2＋50×100 ＝3.14×252＋5000 ＝3.14×625＋5000 ＝1962.5＋5000 ＝6962.5（平方米） 答：阴影部分的活动场地面积是6962.5平方米。 （2）3.14×50＋100×2 ＝157＋200 ＝357（米） 答：沿着最内圈跑道跑一圈要跑357米。 （3）3.14×（50＋1.2×2）－3.14×50 ＝3.14×（50＋2.4）－157 ＝3.14×52.4－157 ＝164.536－157 ＝7.536（米） 答：第二跑道与第一跑道的起跑线应相距7.536米。 31．（2023宁波）王师傅做了一个底面积为240平方厘米的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化大致如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸（    ）分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 【答案】①10 ②15厘米 ③300立方厘米 【知识点】圆锥的体积（容积）、单式折线统计图、长方体、正方体的容积、时、分、秒有关的计算 【分析】①从液面高度与时间的关系图中可知，9：00往长方体油漆缸里放入铁质圆锥零件，9：00～9：05油漆液面上升，9：05～9：10油漆液面高度不变，9：10以后，油漆液面高度降低，由此可知，油漆缸在9：10开始渗漏，据此求解。 ②把铁质圆锥零件放入油漆缸中，油漆上升部分的体积等于圆锥零件的体积。 从图中可知，放入圆锥零件后，液面上升了（18－15）厘米，根据V＝abh求出液面上升部分的体积，也就是圆锥零件的体积； 由圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，求出圆锥零件的高。 ③从两幅图中可知，油漆缸长20厘米、宽20厘米、高15厘米，根据V＝abh求出油漆的体积； 从液面高度与时间的关系图中可知，油漆缸是从9：10开始渗漏，直至9：30油漆全部漏完，用时20分钟；用油漆的体积除以20，即是平均每分钟漏掉油漆的体积。 【详解】①9时10分－9时＝10分钟 圆锥零件浸入油漆缸10分钟后开始渗漏。 ②20×20×（18－15） ＝20×20×3 ＝1200（立方厘米） 1200×3÷240 ＝3600÷240 ＝15（厘米） 答：铁质圆锥的高度是15厘米。 ③20×20×15 ＝400×15 ＝6000（立方厘米） 9时30分－9时10分＝20分 6000÷20＝300（立方厘米） 答：油漆平均每分钟漏掉300立方厘米。 【点睛】读懂液面高度与时间的关系图，灵活运用长方体的体积公式、圆锥的体积公式是解题的关键。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$