专题07 A字模型与8字模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（重庆专用）

专题7 A字模型与8字模型 A字模型与8字模型，常在选择或填空题考察求线段长度、线段比值、面积比值等，有时也会结合解答题进行考察。 2 模型1.A字模型 2 模型2.8字模型 6 9 模型1.A字模型 条件： 结论：. 条件： 结论：. 证明： ∵， ∴，， ∴. 例1．如图，与位似，点A是它们的位似中心，且位似比为，已知的周长为2，则的周长是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C． 【解答】解：∵与是以点A为位似中心的位似图形， ∴， ∵与的位似比为， ∴与的相似比为， 则与的周长比为， ∵周长为2， ∴的周长是：4． 故选：C． 例2．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉 亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离为1.6米，凉亭顶端 离地面的距离为1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身 高为1.7米．那么城楼的高度为（　　） A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米 【答案】B． 【解答】解：过点A作于点M，交于点N， 由题意得：米，（米），米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴城楼的高度为：（米）． 故选：B． 例3．如图，矩形中，，，E为的中点，F为上一点，，且． 对角线与交于点G，则的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为矩形，，E为的中点， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴，， 过点G作于点H，如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴①，②， 联立①②得：， 解得：， 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 模型2.8字模型 条件：与交于点O，（或一组内错角相等） 结论：. 条件：与交于点O，（或一组内错角相等） 结论：. 证明：∵， ∴， ∵， ∴. 例1．如图，，直线a，b相交于点G，与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F， 下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：A．由得到，故A正确； B．由得到，故B正确； C．由得到推出，故C错误； D．由得到，推出，故D正确． 故选：C． 例2．如图，在中，点G是上的三等分点，连接并延长交于点F，交的延长线于 点E，若，则（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D． 【解答】解：∵点G是上的三等分点， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，，， 由，得，即， ∴，， 由，得，， ∴， ∴． 故选：D． 例3．如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，， 则的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∵E是边的中点， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．如图，和是位似图形，位似中心是O，若，，那么（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 2．如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，与位似，点O为位似中心，若，，则的长为（　　） A．15 B．20 C．10 D．5 4．如图，光源E在横杆的正上方，且到横杆的距离为0.5m，在灯光下的影子，．已 知，，则横杆到的距离为（　　） A．1.3m B．1.5m C．1.8m D．2m 5．如图，已知D、E分别是的，边上的点，，且， 那么等于（　　） A． B． C． D． 6．如图，，直线分别交，于A，B两点，直线分别交，，于点C，D，E， 则下列说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在坐标系中，两个南开校徽图标是位似图形，位似中心是点O，①号校徽与②号校徽的位 似比为．点在②号校徽上，则在①号校徽上与点M对应的N点坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度 为6m，则为（　　） A．3m B．6m C．4.5m D．9m 10．大约在2400年前，墨子与其弟子做了历史上第1个小孔成像的实验，如图1．并在《墨经》中记载： “景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为20cm，像距为30cm，蜡 烛火焰倒立的像的高度是12cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm 11．如图，在平行四边形中，E为上一点，且，与相交于点F，， 则为（　　） A．9 B．12 C．27 D．36 12．如图，在矩形中，点E是对角线上一点，连接并延长交于点F，过点E作交于点G，若，，，则（　　） A． B． C． D． 13．如图，已知中，，点D，E分别是，的中点，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 14．如图，小明站在两路灯、之间的点F处，两路灯底部的距离，两路灯的高度均为 8m，小明身高，他在路灯下的影子FM＝1m，在路灯下的影子为， 则　 　． 15．如图，在中，，，在右侧作正方形，连接，若O为 的中点，连接并延长，与相交于点F，则长为 　 　． 16．如图，D，E分别是的边，上的点，且，，则下列结论正确的 是 　 　． ①；②；③；④ 17．如图，在等腰直角中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折 得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则的长为 　 　． 18．如图，在中，，，D是边上一点（点D不与A、B重合）．将 沿着翻折，点B的对应点为点E，交于点F．如果，则　 　． 19．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角 形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F， 记正方形的面积为，正方形的面积为.若，则用含k的式子表示 的值是 　 　． 20．如图，在四边形中，，E为上一点，，的延长线交于点F，． （1）求证：； （2）若，直接写出和的周长之比． 21．如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F． （1）证明：； （2）若，，，求的长． 22．如图，中，D在上，E在上，，F在上，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，G在上，，求证：． 23．【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证：． 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，交于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． （1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程； （2）【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出： 如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值． 请你写出解答过程． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 A字模型与8字模型 A字模型与8字模型，常在选择或填空题考察求线段长度、线段比值、面积比值等，有时也会结合解答题进行考察。 2 模型1.A字模型 2 模型2.8字模型 6 9 模型1.A字模型 条件： 结论：. 条件： 结论：. 证明： ∵， ∴，， ∴. 例1．如图，与位似，点A是它们的位似中心，且位似比为，已知的周长为2，则的周长是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C． 【解答】解：∵与是以点A为位似中心的位似图形， ∴， ∵与的位似比为， ∴与的相似比为， 则与的周长比为， ∵周长为2， ∴的周长是：4． 故选：C． 例2．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉 亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离为1.6米，凉亭顶端 离地面的距离为1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身 高为1.7米．那么城楼的高度为（　　） A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米 【答案】B． 【解答】解：过点A作于点M，交于点N， 由题意得：米，（米），米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴城楼的高度为：（米）． 故选：B． 例3．如图，矩形中，，，E为的中点，F为上一点，，且． 对角线与交于点G，则的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为矩形，，E为的中点， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴，， 过点G作于点H，如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴①，②， 联立①②得：， 解得：， 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 模型2.8字模型 条件：与交于点O，（或一组内错角相等） 结论：. 条件：与交于点O，（或一组内错角相等） 结论：. 证明：∵， ∴， ∵， ∴. 例1．如图，，直线a，b相交于点G，与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F， 下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：A．由得到，故A正确； B．由得到，故B正确； C．由得到推出，故C错误； D．由得到，推出，故D正确． 故选：C． 例2．如图，在中，点G是上的三等分点，连接并延长交于点F，交的延长线于 点E，若，则（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D． 【解答】解：∵点G是上的三等分点， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，，， 由，得，即， ∴，， 由，得，， ∴， ∴． 故选：D． 例3．如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，， 则的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∵E是边的中点， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．如图，和是位似图形，位似中心是O，若，，那么（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C． 【解答】解：∵和是位似图形，位似中心为O，， ∴， ∵， ∴的面积为：12． 故选：C． 2．如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：A．与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确； B．与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确； C．与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确； D．与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误． 故选：D． 3．如图，与位似，点O为位似中心，若，，则的长为（　　） A．15 B．20 C．10 D．5 【答案】C． 【解答】解：∵， ∴． ∵与位似，点O为位似中心， ∴，且． ∴． ∵， ∴． 故选：C． 4．如图，光源E在横杆的正上方，且到横杆的距离为0.5m，在灯光下的影子，．已 知，，则横杆到的距离为（　　） A．1.3m B．1.5m C．1.8m D．2m 【答案】A． 【解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵点E到的距离是0.5m，设离地面的距离为：x m， ∴点E到的距离为m， ∴， 解得：， 故选：A． 5．如图，已知D、E分别是的，边上的点，，且， 那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，，直线分别交，于A，B两点，直线分别交，，于点C，D，E， 则下列说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A选项不符合题意，D选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴B选项不符合题意，C选项符合题意， 综上，C选项符合题意， 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：∵，， ∴，， ∵以原点O为位似中心放大后得到， ∴与的相似比是， ∴与的面积的比是． 故选：D． 8．如图，在坐标系中，两个南开校徽图标是位似图形，位似中心是点O，①号校徽与②号校徽的位 似比为．点在②号校徽上，则在①号校徽上与点M对应的N点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵①号校徽与②号校徽的位似比为，点在②号校徽上， ∴在①号校徽上与点M对应的N点坐标为，即． 故选：C． 9．如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度 为6m，则为（　　） A．3m B．6m C．4.5m D．9m 【答案】D． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10．大约在2400年前，墨子与其弟子做了历史上第1个小孔成像的实验，如图1．并在《墨经》中记载： “景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为20cm，像距为30cm，蜡 烛火焰倒立的像的高度是12cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm 【答案】B． 【解答】解：设蜡烛火焰的高度为x cm， 由相似三角形对应高的比等于相似比可得：， 解得：， ∴蜡烛火焰的高度为8cm， 故选：B． 11．如图，在平行四边形中，E为上一点，且，与相交于点F，， 则为（　　） A．9 B．12 C．27 D．36 【答案】D． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 12．如图，在矩形中，点E是对角线上一点，连接并延长交于点F，过点E作交于点G，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：过点E作，垂足为N，延长交于点M， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 经检验：，都是原方程的根，（舍去）， ∴，， ∴， 故选：B． 13．如图，已知中，，点D，E分别是，的中点，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B． 【解答】解：∵点D，E分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴①的结论正确； ∵， ∴， ∴， ∴． ∴②的结论正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴③的结论正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴④的结论不正确． 综上，正确的结论有3个：①②③， 故选：B． 14．如图，小明站在两路灯、之间的点F处，两路灯底部的距离，两路灯的高度均为 8m，小明身高，他在路灯下的影子FM＝1m，在路灯下的影子为， 则　 　． 【答案】． 【解答】解：由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．如图，在中，，，在右侧作正方形，连接，若O为 的中点，连接并延长，与相交于点F，则长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：如图所示，过A作于G，交于H， ∵中，，， ∴， ∴中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，D，E分别是的边，上的点，且，，则下列结论正确的 是 　 　． ①；②；③；④ 【答案】①③． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴③正确，符合题意； ∵，， ∴，． ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴， 即， ∴①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴②错误，不符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴④错误，不符合题意． 综上所述，正确的结论有①，③． 故答案为：①③． 17．如图，在等腰直角中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折 得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：如图所示，过作于D，作于E， 又∵， ∴四边形是矩形． 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 中，， 即， 解得（不合题意），， ∴，． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可得，． 故答案为：． 18．如图，在中，，，D是边上一点（点D不与A、B重合）．将 沿着翻折，点B的对应点为点E，交于点F．如果，则　 　． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴， 根据折叠的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 19．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角 形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F， 记正方形的面积为，正方形的面积为.若，则用含k的式子表示 的值是 　 　． 【答案】． 【解答】解：如图，过A作交延长线于点G， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 20．如图，在四边形中，，E为上一点，，的延长线交于点F，． （1）求证：； （2）若，直接写出和的周长之比． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴； （2）解：由（1）知：，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴和的周长之比． 21．如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F． （1）证明：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵点E是边的中点， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，点E是边的中点，， ∴， ∴， ∴． 22．如图，中，D在上，E在上，，F在上，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，G在上，，求证：． 【答案】证明见解析． 【解答】（1）证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：延长至H使，由（1）得， ∴，， 延长至I使，连接，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证：． 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，交于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． （1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程； （2）【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出： 如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值． 请你写出解答过程． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：利用甲同学的证明思路． 过D作交于K，如图， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵D是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴． ∴； （2）解：连接，如图， ∵N，K是的三等分点， ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴，， 设，则． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$