湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次核心素养测评数学试题

常德市一中2025年上学期高二年级核心素养测评 数学 时量：120分钟 满分：150分 命题人：高二备课组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 2．若双曲线方程为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 4．在等比数列中，已知前n项和=，则的值为 A．－1 B．1 C．－5 D．5 5．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 6．已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 7．设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 8．中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16个全等的边长为1的小正方形）和凸出的16个半圆所组成，如图，点A是大正方形的一条边的四等分点，点C是大正方形的一个顶点，点B是凸出的16个半圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9．已知数列的前项和，则（    ） A．不是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 10．如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（　　） A． B．与平面所成角的正弦值为 C．二面角的余弦值为 D．平面截正方体所得的截面周长为 11．第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆：和椭圆：的离心率相同，且.则下列正确的是（    ） A． B． C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则 D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在等比数列中，若，，则使的的最小值 ． 13．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 . 14．已知曲线的方程是，给出下列四个结论： ①曲线与两坐标轴有公共点； ②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点，在曲线上，则的最大值是； ④曲线围成图形的面积大小在区间内． 所有正确结论的序号是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线． 16．(15分)设等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 17．(15分)如图，在四棱锥中，//，，，． (1)若E为PB的中点，证明：//平面． (2)若二面角为，求二面角的余弦值． 18．(17分)如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得∆ABC的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为. （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）求的最小值及此时点的坐标. 19．(17分)如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项得差都大于，则称这个数列为“”数列. （1）若数列为“数列”，且，，，求实数的取值范围； （2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由； （3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“数列”，，，当数列不是“数列”时，试判断数列是否为“数列”，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常德市一中2025年上学期高二年级核心素养测评参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D D C B C C A BC BD ACD 填空题：12．11 13．6 14．②③ 14、根据题意，曲线的方程是，必有且， 当，时，方程为， 当，时，方程为， 当，时，方程为， 当，时，方程为， 作出图象： 依次分析个结论： 对于①，由于，，曲线与坐标轴没有交点，故①错误； 对于②，由图可知，曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确； 对于③，若点，在曲线上，则当且仅当、与圆弧所在的圆心共线时取得最大值， 故的最大值是圆心距加两个半径，为，故③正确； 对于④，当，时，方程为与坐标轴的交点，， 则第一象限面积为， 故总的面积大于，故④错误．故答案为：． 解答题：15．C的方程为，C是长轴长为，短轴长为的椭圆（除去长轴两个端点）． 16． (1) (2) 17．(1)证明见解析；(2) 17、（1）取的中点，连接， 因为为的中点，根据中位线可知，//，． 又因为//，，所以//，， 所以四边形CDFE为平行四边形，从而//， 又平面PAD，平面，所以//平面． （2）取的中点 ，连接 ，依题意可得，，根据二面角的定义可知． 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如下空间直角坐标系， 则，，， ，．设平面的法向量为， 则，即，令，得． 易知是平面的一个法向量．因为， 所以二面角的余弦值为． 18．（1）2，；（2），. (1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为. (2)设， 设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得： ，故：， ， 设点C的坐标为，由重心坐标公式可得： ，， 令可得：，则.即， 由斜率公式可得：， 直线AC的方程为：， 令可得：， 故， 且， 由于，代入上式可得：， 由可得，则， 则 . 当且仅当，即，时等号成立. 此时，，则点G的坐标为. 19．（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）答案见解析. （1），，解得或， ∴的取值范围是； （2）假设存在等差数列为“数列”， 设公差为，由，可得， 由题意可得对一切恒成立，即都成立， ∵，且， ∴，与矛盾，故不存在等差数列为“数列”； （3）设等比数列的公比为，则且每一项均为正整数，且， ∴，，由，即在中，为最小项；同理，在中，为最小项， 由为“数列”，可知只需，即， 又不是“数列”且为最小项，则，即 综上，，可得，或，； ①当，时，，则 令，则， 令，则， ∴，即，又， ∴对任意的都有，即数列为“数列”； ②当，时，，则，显然为递减数列，，故数列不是“数列”； 综上，当，时，数列是“数列”；当，时，数列不是“数列”. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$