精品解析：江西省赣州市瑞金市思源实验学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年春八年级数学3月作业训练 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段a，b，c，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，以B为圆心，为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 当x______________时，二次根式有意义． 8. 最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是______． 9. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为_________． 10. 某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为________m． 11. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________． 12. 如图，已知中，，cm，cm，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为2cm/s，设运动的时间为s，当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间是______s． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 15. 如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点以顶点分别按下列要求画三角形． （1）使三角形的三边长分别为3，，；（在图①中画一个即可） （2）使三角形为钝角三角形且面积为4．（在图②中画一个即可） 16. 在计算时，小军的解题步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 （1）上述解题过程中，小军是从第________步开始出错的． （2）请你给出正确的解答过程． 17. 如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪．经过测量得知：，，，，． （1）判断∠D是不是直角，并说明理由； （2）求四边形需要铺的草坪的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． （1）若与是关于6的美好二次根式，求的值： （2）若与是关于的美好二次根式，求和的值． 19. 现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为、，斜边长为，将它们拼合为如图的形状． （1）添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ，根据面积相等，直接得等式__________从而证明勾股定理． （2）当，时，求空白部分的面积． 20. 如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为，A，B两岛的距离为． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心B为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）第6个等式：______； （2）计算：； （3）写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）； （4）若符合上述规律，请直接写出代数式的值． 22. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 六、（本大题共12分） 23. 在中，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点F． （1）如图1，当时． ①判断和的位置关系，并说明理由． ②若，求线段的长． （2）如图2，若，折叠后要使是直角三角形而是等腰三角形．求此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年春八年级数学3月作业训练 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，实数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的定义，实数的性质分别判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意； B、，原写法错误，故本选项不符合题意； C、，写法正确，故本选项符合题意； D、，原写法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列四组线段a，b，c，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握利用勾股定理的逆定理判断直角三角形的方法． 利用勾股定理的逆定理判断选项的正确性． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，可以构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 3. 如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质，，再根据直角三角形的判定及性质可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 4. 如图，，，以B为圆心，为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及坐标系中点的坐标的特征等知识点，利用勾股定理求出的长，再根据即可得解，熟练掌握利用勾股定理求出的长度是解决此题的关键． 【详解】解：， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 点， 故故选：：D． 5. 如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质，根据题意找出边长之间的数量关系是解题关键．根据正方形①的面积，得到，再根据勾股定理，分别求出，，即可求解． 【详解】解：如图标记各点， 正方形①的面积为16， ， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， 即正方形③的边长是2， 故选：A 6. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 点、、分别是、、的中点， ，， 为等边三角形，也是等边三角形， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， 在和中， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 当x______________时，二次根式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故答案是： 8. 最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，二次根式化为最简，同类二次根式的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的知识点，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式，比较简单． 9. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：由折叠的性质可得 设，， ∵长方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 10. 某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为________m． 【答案】2.2 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论． 【详解】解：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝0.7m，DE＝2.4m， ∴， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2m，AC＝AD＝2.5， ∴m， ∴BE＝AE＋AB＝0.7＋1.5＝2.2m， 故答案为：2.2． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用． 11. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________． 【答案】53 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：53． 12. 如图，已知中，，cm，cm，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为2cm/s，设运动的时间为s，当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间是______s． 【答案】5.5或6或6.6 【解析】 【分析】根据B、C、Q三个点分别为等腰三角形顶角的顶点情况进行分类讨论即可． 【详解】解：①当 时（如图） 则， ∵， ∴，，AC= ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒， ②当时（如图）， 则， ∴秒， ③当时（如图），过点作于点， 则， 所以， 故， 所以， ∴秒， 由上可知，当为5.5秒或6秒或6.6秒时，为等腰三角形 故答案为：5.5或6或6.6 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将二次根式化成最简二次根式，然后将被开方数相同的二次根式进行合并． （2）先计算二次根式的乘除，并将得到的二次根式化成最简二次根式，然后将被开方数相同的二次根式进行合并． 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题主要考查二次根式乘除及加减运算法则，关键在于通过二次根式的乘除运算法则，将二次根式化成最简二次根式． 14. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式是解题的关键； （1）直接把x，y的值代入即可求解； （2）先求解，再根据完全平方公式变形，再代入求值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； ∴ ； 15. 如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点以顶点分别按下列要求画三角形． （1）使三角形的三边长分别为3，，；（在图①中画一个即可） （2）使三角形为钝角三角形且面积为4．（在图②中画一个即可） 【答案】（1） 即为所求，如图： （2） 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作图-网格作图，掌握相关知识是解题的关键． （1）先在正方形网格中取线段长为整数的线段，然后根据勾股定理找出点的位置； （2）先在正方形网格中取，然后由三角形的面积公式入手求得边上的高线的长度；最后根据钝角三角形的定义确定点的位置． 【小问1详解】 解：先在正方形网格中取线段长为整数的线段，然后根据勾股定理找出点的位置，依次连接三点， 由网格可知，， ， ； 【小问2详解】 由网格可知，， 根据三角形的面积公式知， ，即， 解得：， 取格点，依次连接，是符合题意的钝角三角形（答案不唯一）． 16. 在计算时，小军的解题步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 （1）上述解题过程中，小军是从第________步开始出错的． （2）请你给出正确的解答过程． 【答案】（1）第二步 （2） 解：原式 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 对于（1），根据去括号法则，去掉“”和括号后，括号内的每一项都变号判断即可； 对于（2），先化简，再去括号，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：第二步去括号后，括号内的每一项都要变号，所以第二步开始出错； 故答案为：第二步； 【小问2详解】 略 17. 如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪．经过测量得知：，，，，． （1）判断∠D是不是直角，并说明理由； （2）求四边形需要铺的草坪的面积． 【答案】（1） 解：是直角，理由如下： 连接， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， 是直角三角形，； （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理分析得出答案； （2）直接利用直角三角形面积求法分析得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 四边形需要铺的草坪的面积为． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． （1）若与是关于6的美好二次根式，求的值： （2）若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 19. 现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为、，斜边长为，将它们拼合为如图的形状． （1）添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ，根据面积相等，直接得等式__________从而证明勾股定理． （2）当，时，求空白部分的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： ， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：即； 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：根据题意得：空白部分的面积为 ， 当，时，原式． 20. 如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为，A，B两岛的距离为． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心B为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点D，在中，利用勾股定理可求出，，再在中，利用勾股定理即可求出，从而解决问题； （2）由，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间． 【小问1详解】 解：过点C作于点D， 由题意可得：， ， ， 在中， ， 由勾股定理得：， ， 解得： 在中， ， 由勾股定理得：， 答：B，C两岛的距离为； 【小问2详解】 解：会受影响， 以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风影响岛屿C持续时间为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）第6个等式：______； （2）计算：； （3）写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）； （4）若符合上述规律，请直接写出代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） ， 证明如下： ； （4）的值为2或30 【解析】 【分析】（1）结合题目所给等式即可求得答案； （2）结合所给等式利用二次根式的乘法法则计算即可； （3）结合所给等式猜想第n个等式，然后进行证明即可； （4）将原式变形后根据所得规律求得a，b的值，将其代入中计算即可． 【小问1详解】 解：由题干中所给等式可得第6个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：， 即， 符合所得规律， ， 解得：或，， 那么或， 即的值为2或30． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 22. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】（1） （2）①；②直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 ①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 六、（本大题共12分） 23. 在中，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点F． （1）如图1，当时． ①判断和的位置关系，并说明理由． ②若，求线段的长． （2）如图2，若，折叠后要使是直角三角形而是等腰三角形．求此时的度数． 【答案】（1）①；② （2）的值为、、 【解析】 【分析】（1）①由折叠可知，由平行可知，根据三角形内角和得到，再由，利用等量代换可求，即可求解； ②设则由折叠可知，在中，利用勾股定理得到，解得，则，，再由，得到，即可求出； （2）设，，则，由折叠可知，，，即可得到三个内角分别为，，，三个内角分别为，，，再根据是直角三角形而是等腰三角形，分情况讨论，根据角度列方程求解即可． 【小问1详解】 ①，理由如下： 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设则 由折叠可知， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，，则， 由折叠可知，，， ∴，， ， ∴三个内角分别为，，， 三个内角分别为，，， ∵是直角三角形而是等腰三角形， ∴当时，即，是等腰直角三角形，此时，则； 当时，则，整理得， 当时，，得到，联立，解得，不合题意； 当时，，，联立，解得，此时； 当时，，，联立，解得，此时； 当时，此时，不成立； 综上所述，的值为、、． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $