精品解析：福建省龙岩市第三中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

学院附中高二下数学第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在处的瞬时变化率为，则（ ） A B. C. D. 2. 如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（ ） A B. C. D. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为 A. -1 B. C. D. 1 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C D. 6. 已知是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（ ） （1）函数一定有三个零点； （2）函数一定有三个极值点； （3）函数有最小值； （4）函数有最大值； （5）函数的图象一定经过坐标原点． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 的最大值为 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. ，方程有解 B. 若，且有极小值点，则在上单调递减 C. 若且，则存在极大值和极小值 D. 若，则的图象是中心对称图形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点M(π，0)处的切线方程为________． 13. 设是奇函数的导函数，，且对任意都有，则_________，使得成立的x的取值范围是_________． 14. 如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 16. 已知函数. （Ⅰ）若在处有极小值，求实数的值； （Ⅱ）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围． 17. 某个体户计划经销两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销商品中所获得收益分别为万元与万元，其中，．已知投资额为零时收益为零． （1）求的值； （2）如果该个体户准备投入万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润． 18. 已知函数，. （1）判断零点个数，并说明理由； （2）若对任意的，总存在，使得成立，求a的取值范围. 19. 已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学院附中高二下数学第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在处的瞬时变化率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的意义可求得实数的值. 【详解】因为，则， 因为函数在处的瞬时变化率为，则，解得. 故选：D. 2. 如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，根据向量线性运算法则利用基底表示即可. 【详解】， 又，，， 所以. 故选：C. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误． 故选：B. 4. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为 A. -1 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】切线的斜率为，令，故切点为，代入曲线方程得. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解的定义域并判断奇偶性，然后根据的值以及在上的单调性选择合适图象. 【详解】因为，定义域为， 则为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； 由，故排除A； ，当时，可得， 当时，为增函数，故排除D. 故选：C. 6. 已知是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（ ） （1）函数一定有三个零点； （2）函数一定有三个极值点； （3）函数有最小值； （4）函数有最大值； （5）函数的图象一定经过坐标原点． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由导函数与原函数之间的关系即可判断. 【详解】根据导函数的图象可知， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以都是函数的极值点，因此（2）的说法正确； 函数的图象可能都在x轴上方，其零点个数可能是0个，即（1）的说法错误； 由以上分析知，函数的图象不一定过原点，即（5）的说法错误； 由单调性可知，和都是函数的极小值点，所以都是函数的极小值， 因此函数有最小值，且为中的较小者，无最大值， 所以（3）的说法正确，（4）的说法错误． 综上可得，只有（2）（3）的说法正确． 故选：B． 7. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数的导数，根据题意转化为有两个变号的正根，列式求解. 【详解】，，令，即， 若函数有两个极值点，即有两个变号的正根， 即，解得：. 故选：B 8. 若图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先转化“友情点对”为把时的函数图像沿着原点对称对称过去，和时函数图像的交点，即的图像和的交点，所以只要有两解即可，求导画图即可得解. 【详解】根据题意，若要求“友情点对”，可把时的函数图像关于原点对称， 研究对称过去的图像和时的图像有两交点即可， 关于原点对称的解析式为， 考查的图像和的交点， 可得，，令 ， 所以，，为减函数， ，，为增函数，， 其图象为， 故若要有两解，只要即可， 故选：A 【点睛】本题考查了新定义问题，考查了转化思想，考查了利用导数研究函数的图像，同时考查了函数对称问题，属于较难题. 本题关键点有： （1）正确理解“友情点对”； （2）正确的转化，转化为函数方程问题； （3）掌握利用导数研究单调性. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出函数的导数，继而求得处的切线的斜率，根据其正负，即可判断答案. 【详解】由可得，则， 故在处的切线倾斜角是钝角，A错误； 由可得，则， 故在处的切线倾斜角是锐角，B正确； 由可得，则， 故在处的切线倾斜角是锐角，C正确； 由可得，则， 故在处的切线倾斜角是钝角，D正确； 故选：BC 10. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据奇函数定义判断A选项，根据函数的导函数正负判断单调性可以判断B,C选项，再根据最值判断D选项. 【详解】,是奇函数,A选项正确; , ,单调递增,B选项正确; 单调递减,C选项错误; ,D选项错误. 故选:AB. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. ，方程有解 B. 若，且有极小值点，则在上单调递减 C. 若且，则存在极大值和极小值 D. 若，则的图象是中心对称图形 【答案】BCD 【解析】 【分析】A令，即可判断；B、C由，根据极值点定义，结合二次函数的性质判断即可；D判断是否恒成立. 【详解】A：当，时，，此时无解，错误； B：由，又，则开口向下， 由有极小值点，则从左侧到右侧，函数值由负变正， 综上，结合二次函数的性质知：的函数值从左到右依次由负变正，再由正变负， 所以左侧，即在上单调递减，正确； C：中，，故必有两个不等实根， 若，当，则为极大值点，为极小值点；当，则为极小值点，为极大值点；正确； D：，由的对称轴为， 则 ， 所以关于对称，正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点M(π，0)处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程. 【详解】由函数的解析式可得：， 所求切线的斜率为：， 由于切点坐标为，故切线方程为：. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积. 13. 设是奇函数的导函数，，且对任意都有，则_________，使得成立的x的取值范围是_________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】有奇偶性可求得第一空；设，利用导数求得函数的单调性，再根据单调性解不等式即可． 【详解】解：∵是奇函数，∴， 设，则，， ∴在上单调递减， 由得，即， ∴，得， 故答案为：3；． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题． 14. 如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上最大值与最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数，再利用导数的几何意义求切线方程；（2）首先利用导数判断函数的单调性，根据单调性求函数的最大值和最小值，端点时可能的最大值，再通过做差比较大小，求最大值. 【详解】（1），， 所以，函数的图象在点处的切线的斜率为， ，所以，函数的图象在点处的切线方程为， 即； （2），. 当时，；当时，. 所以，， 因为，， 所以，，则， 所以，函数在上的最大值为. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题. 16. 已知函数. （Ⅰ）若在处有极小值，求实数的值； （Ⅱ）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题可得，解方程组求得答案；（Ⅱ）在定义域内单调递增即在上恒成立，所以恒成立，进而求得答案． 【详解】（Ⅰ） 依题意得，即 解得，故所求的实数； （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ∵在定义域内单调递增 ∴在上恒成立 即恒成立 ∵时，， ∴ 所以实数的取值范围为. 【点睛】本题考查导函数极值点以及利用导函数解答恒成立问题，属于一般题． 17. 某个体户计划经销两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中，．已知投资额为零时收益为零． （1）求的值； （2）如果该个体户准备投入万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润． 【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】(1)利用已知条件通过f(0)=0，g(0)＝0即可得出a、b的值． (2)设投入B商品的资金为x万元(0＜x≤5) 则投入经销A商品的资金为(5－x)万元， 设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10，(0＜x≤5)通过函数的导数，求出函数的最值即可． 【详解】(1)由投资额为零时收益为零， 可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0， 解得a＝2，b＝1. (2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)． 设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)， 则投入经销A商品的资金为(5－x)万元， 设所获得收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)． S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2. 当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增； 当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减． 所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元． 所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元． 【点睛】本题主要考查利用导数解决实际问题，在实际问题中一定要注意构造的函数其定义域．例如涉及“人”，其定义域要为非负整数． 18. 已知函数，. （1）判断的零点个数，并说明理由； （2）若对任意的，总存在，使得成立，求a的取值范围. 【答案】（1）0，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数单调区间，计算最值得到答案. （2）根据函数单调性得到，确定函数在时单调递增，计算值域得到，解得答案. 【小问1详解】 ，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， ，故函数没有零点. 【小问2详解】 ，单调递减，故，即； 当时，恒成立，故函数单调递增， 故，即， 故，则，解得，即. 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的零点问题，恒成立和能成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将恒成立和能成立问题转化为函数的值域的关系是解题的关键. 19. 已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）. 【解析】 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围. 【详解】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单调递增；上单调递减； （2）[方法一]最优解】：分离参数 ,设函数, 则,令，得, 在内,单调递增； 在上,单调递减； , 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是, 所以的取值范围是. [方法二]：构造差函数 由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解． 构造函数，求导数得． 当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意； 当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为． 由于， 当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即． 构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且． 所以，实数a的取值范围为． [方法三]分离法：一曲一直 曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解． 因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点． ①当时，与只有一个交点，不符合题意． ②当时，取上一点在点的切线方程为，即． 当与为同一直线时有得 直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点． 记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所以当且时有． 综上所述，实数a的取值范围为． [方法四]：直接法 ． 因为，由得． 当时，在区间内单调递增，不满足题意； 当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减． 因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即． 令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即． 故实数a的范围为．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题， 方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解. 方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成与两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论． 方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$