专题01 相交线与平行线中的角度模型（三线八角、M型、铅笔头型、锯齿型、三角板拼接型）-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（山东专用）

专题01 相交线与平行线中的角度模型 （三线八角、M型、铅笔头型、锯齿型、三角板拼接型） 目录 模型解读 1 【模型一】三线八角模型 2 【模型二】M型 2 【模型三】铅笔头型 2 【模型四】锯齿型 3 【模型五】三角板拼接型 3 真题导航 3 【模型一】三线八角模型 3 【模型二】M型 9 【模型三】铅笔头型 10 【模型四】锯齿型 15 【模型五】三角板拼接型 18 模考精练 25 在几何学中，相交线与平行线是基础而重要的概念。 当两条直线相交时，它们之间形成的角度关系构成了三线八角模型，这一模型帮助我们理解和计算相交线之间的角度关系。 M型角度模型则常见于平行线被一条横截线所截的情形，通过这一模型，我们可以推导出平行线间同位角、内错角、同旁内角的关系。 铅笔头型角度模型是另一种在几何证明中常见的角度组合，它通常涉及两条相交线和一个由它们形成的锐角或钝角三角形。 锯齿型角度模型则更为复杂，它通常包含多条相交线和多个角度，需要仔细分析和推理才能找出其中的角度关系。 三角板拼接型角度模型则是利用三角板上的固定角度（如30度、45度、60度等）来构造和证明几何图形中的角度关系。这种模型在解决几何问题时非常有用，尤其是当需要精确计算角度时。 掌握这些角度模型对于解决相交线与平行线中的几何问题至关重要。不仅简化了问题的分析过程，还清晰了解题路径。 【模型一】三线八角模型 三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系 【模型二】M型 模型特点：是平行线间一点， 四条线段构成一个形如的图形（凹进去） 【模型三】铅笔头型 【模型四】锯齿型 【模型五】三角板拼接型 其特点在于能够灵活利用三角板上的特定角度，通过拼接组合来模拟和解析复杂的几何角度问题，通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数。 【模型一】三线八角模型 【典例】1．（2023·山东青岛·中考真题）如图，直线，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键． 【典例】2．（2022·山东淄博·中考真题）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（    ） A．23° B．25° C．27° D．30° 【答案】B 【分析】先根据平行线的性质，由得到∠BAE=∠DFE=50°，然后根据三角形外角性质计算∠E的度数． 【详解】解：∵，∠BAE＝50°， ∴∠BAE=∠DFE=50°， ∵CF＝EF， ∴∠C=∠E， ∵∠DFE=∠C+∠E=50°， ∴∠E=25°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【典例】3．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 【典例】4．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键． 【典例】5．（2022·山东济南·中考真题）如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（    ） A．45° B．50° C．57.5° D．65° 【答案】B 【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等）， ∵EC平分∠AED， ∴∠AEC=∠CED=∠1， ∵∠1=65°， ∴∠CED =∠1=65°， ∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案． 【典例】6．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 【答案】/65度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【典例】7．（2022·山东枣庄·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点在射线上，，则 ．    【答案】25 【分析】根据平行线的性质知，结合图形求得的度数． 【详解】解：， ． ， ． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 【典例】8．（2022·山东济宁·中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得，根据等量等量代换得，进而根据邻补角性质即可求解． 【详解】解：如图 l1l2，l2l3， ，， ， ∠1＝， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【模型二】M型 【典例】1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 【典例】2．（2023·山东东营·中考真题）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（        ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的外角的性质求得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【典例】3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（   ） A．70° B．65° C．35° D．50° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决． 【详解】解：作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2， ∵∠1=30°，∠2=35°， ∴∠BCF=30°，∠FCE=35°， ∴∠BCE=65°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 【模型三】铅笔头型 【典例】1．（2022·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（    ）    A．27° B．53° C．57° D．63° 【答案】D 【分析】根据题意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED． 【详解】解：如图所示： ∵AE//BF， ∴∠EAB=∠ABF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD，∠ABC=90°， ∴∠ABF+27°=90°， ∴∠ABF=63°， ∴∠EAB=63°， ∵AB//CD， ∴∠AED=∠EAB=63°． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 【典例】2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点A在直线上，点B在直线上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边对等角求出∠BAC的度数，然后根据平行线的性质求出∠ABD的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵AB=BC， ∴∠BAC=∠C=25°， ∵， ∴∠ABD=∠1=60°， ∴∠2=180°-∠C-∠BAC-∠ABD=180°-25°-25°-60°=70°， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确求出∠BAD和∠ABD的度数是解题的关键． 【典例】3．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 【典例】4．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n = °． 【答案】 【分析】过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是． 【详解】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB， ∵AB∥CD，AB∥PM ∵AB∥PM∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°， ∴∠1+∠APC+∠3=360°； （2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB， ∵AB∥CD， ∵AB∥PM∥QN∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°； ∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°； 根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补． 即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 【模型四】锯齿型 【典例】1．如图，直线，，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”．根据三角形的外角定理可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【典例】2．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论． 【详解】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB, ∵CGAB,DHAB, ∴CGDHAB, ∵ABEF, ∴ABEFCGDH, ∵CGAB, ∴∠BCG=α, ∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α, ∵CGDH, ∴∠CDH=∠GCD=β-α, ∵HDEF, ∴∠HDE=γ, ∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°, ∴γ+β-α=90°, ∴β=α+90°-γ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质． 【典例】3．如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】过C作CQAB，得出ABDECQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项． 【详解】解：过C作CQAB， ∵ABDE， ∴ABDECQ， ∵∠A=30°， ∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°， ∴∠ECQ=110°-30°=80°， ∴∠E=180°-80°=100°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 【典例】4．如图，，，则，和的数量关系是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点C，D作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【模型五】三角板拼接型 【典例】1．（2023·山东淄博·中考真题）将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质，得，由外角定理，得，可推证，从而求得． 【详解】解：如图，∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C    【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等，三角形外角性质；由平行线的性质得到等角是解题的关键． 【典例】2．（2023·山东济南·中考真题）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数． 【详解】解：如下图进行标注，   ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键． 【典例】3．（2023·山东泰安·中考真题）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，过点O作，则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【典例】4．（2023·山东日照·中考真题）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， 在中，， ∵， 故， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 【典例】5．（2023·山东·中考真题）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，得出，进而． 【详解】由图知， ∴ 故选：B    【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键． 【典例】6．（2023·山东·中考真题）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质及平角可进行求解． 【详解】解：如图：    ∵，， ∴， ∵，， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【典例】7．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【典例】8．（2022·山东德州·中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数． 【详解】 解：∵含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，如图所示： ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【典例】9．（2022·山东东营·中考真题）如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数． 【详解】解：由题意得∠ABC=90°， ∵∠1=40°， ∴∠3=180°-∠1-∠ABC=50°， ∵， ∴∠2=∠3=50°， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，过的边上一点作．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理，先由垂线的定义得出，再由平行线的性质得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故选：B． 2．（2024·山东济南·三模）如图，直线，点B在直线n上，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，由平角定义得到． 【详解】解：如图，    ∵， ， ， ， ． 故选：C． 3．（2024·山东济南·模拟预测）如图，，．若，则的度数为（      ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质和对顶角相等，解题的关键是熟练运用平行线的性质； 根据平行线的性质找的已知角和的关系求解即可． 【详解】 ，，， ， ， ， 故选：A．    4．（2024·山东菏泽·二模）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，结合，，计算即可，本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故选B． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，已知直线，是等边三角形，顶点在直线上，顶点在直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，由平行线的性质得，由等边三角形的性质得，进而根据平角定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 6．（2024·山东淄博·一模）如图，在五边形中，，，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质和多边形内角和，根据，可求得，结合多边形的内角和，即可求得答案． 【详解】∵, ∴. ∵多边形为五边形, ∴多边形的内角和. ∴ . 故选：B 7．（2024·山东临沂·二模）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平角的定义、平行线的性质，由平角的定义得出，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，平面镜与成一定的夹角，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质求角度是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 9．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的可得，根据平角的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 10．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，一个角的三角板的直角顶点恰好在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质及平行线的性质可知，最后利用三角形外角的性质解答即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握等腰直角三角形的性质及平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选． 11．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，交通标志表示的“箭头”图形中，，，，，则图中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质、等角的补角相等，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．利用平行线的判定与性质得到，，进而利用平行线的性质和等角的补角相等得到，，进而可求解． 【详解】解：过I作， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 12．（2024·山东临沂·三模）如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、三角板中角的计算，根据平行线的性质可得，即，即可求解． 【详解】解：如图，∵， ∴， 即， ∴， 故选：B． 13．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点处．若．则的度数是（　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质和折叠的性质，掌握折叠的性质，是解题的关键． 根据平行可得到的值，再根据折叠后，即可求得的度数． 【详解】解：， ， ， 由折叠得：， 故选：D． 14．（2024·山东济南·模拟预测）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键． 如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：，， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 15．（2024·山东滨州·模拟预测）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、与三角板有关的角度的计算、求补角，先由平行线的性质得出，，求出，得出，即可得解． 【详解】解：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的补角的度数是， 故选：B． 16．（2024·山东济南·模拟预测）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成形状，，在上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，过点D作交于点F，根据题意可得，，因此，最后由三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】过点D作交于点F， 入射角等于反射角， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， 故选：B． 17．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，正六边形内部有一个正五形，且，直线经过、，则直线与的夹角的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、正多边形以及四边形内角和定理，设直线与交于点，与交于点，利用正多边形的性质及内角和定理得出，，由平行线的性质可得的度数，结合邻补角互补可得出的度数，利用四边形内角和为可求出，即可得出结论．利用平行线的性质及邻补角互补，找出的度数是解题的关键． 【详解】解：如图，设直线与交于点，与交于点， ∵六边形为正六边形，五边形为正五边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴直线与的夹角的余角的度数是：． 故选：A． 二、填空题 18．（2024·山东·模拟预测）如图，直线，且分别与的两边相交，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先利用平行线的性质求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数即可求解． 【详解】解：如图，∵直线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（2025·山东济南·模拟预测）如图，，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记两直线平行同位角相等； 先求出的同位角的度数，再求的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：55． 20．（2024·山东济宁·一模）如图，直线于点．若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，延长交于点，由可得，由可得，利用三角形内角和定理即可求出的度数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线中的角度模型 （三线八角、M型、铅笔头型、锯齿型、三角板拼接型） 目录 模型解读 1 【模型一】三线八角模型 2 【模型二】M型 2 【模型三】铅笔头型 2 【模型四】锯齿型 3 【模型五】三角板拼接型 3 真题导航 3 【模型一】三线八角模型 3 【模型二】M型 5 【模型三】铅笔头型 6 【模型四】锯齿型 7 【模型五】三角板拼接型 8 模考精练 11 在几何学中，相交线与平行线是基础而重要的概念。 当两条直线相交时，它们之间形成的角度关系构成了三线八角模型，这一模型帮助我们理解和计算相交线之间的角度关系。 M型角度模型则常见于平行线被一条横截线所截的情形，通过这一模型，我们可以推导出平行线间同位角、内错角、同旁内角的关系。 铅笔头型角度模型是另一种在几何证明中常见的角度组合，它通常涉及两条相交线和一个由它们形成的锐角或钝角三角形。 锯齿型角度模型则更为复杂，它通常包含多条相交线和多个角度，需要仔细分析和推理才能找出其中的角度关系。 三角板拼接型角度模型则是利用三角板上的固定角度（如30度、45度、60度等）来构造和证明几何图形中的角度关系。这种模型在解决几何问题时非常有用，尤其是当需要精确计算角度时。 掌握这些角度模型对于解决相交线与平行线中的几何问题至关重要。不仅简化了问题的分析过程，还清晰了解题路径。 【模型一】三线八角模型 三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系 【模型二】M型 模型特点：是平行线间一点， 四条线段构成一个形如的图形（凹进去） 【模型三】铅笔头型 【模型四】锯齿型 【模型五】三角板拼接型 其特点在于能够灵活利用三角板上的特定角度，通过拼接组合来模拟和解析复杂的几何角度问题，通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数。 【模型一】三线八角模型 【典例】1．（2023·山东青岛·中考真题）如图，直线，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【典例】2．（2022·山东淄博·中考真题）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（    ） A．23° B．25° C．27° D．30° 【典例】3．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例】4．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【典例】5．（2022·山东济南·中考真题）如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（    ） A．45° B．50° C．57.5° D．65° 【典例】6．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 【典例】7．（2022·山东枣庄·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点在射线上，，则 ．    【典例】8．（2022·山东济宁·中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是 ． 【模型二】M型 【典例】1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2023·山东东营·中考真题）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（        ）    A． B． C． D． 【典例】3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（   ） A．70° B．65° C．35° D．50° 【模型三】铅笔头型 【典例】1．（2022·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（    ）    A．27° B．53° C．57° D．63° 【典例】2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点A在直线上，点B在直线上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例】3．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例】4．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n = °． 【模型四】锯齿型 【典例】1．如图，直线，，则 (    ) A． B． C． D． 【典例】2．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【典例】3．如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【典例】4．如图，，，则，和的数量关系是 ．    【模型五】三角板拼接型 【典例】1．（2023·山东淄博·中考真题）将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【典例】2．（2023·山东济南·中考真题）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【典例】3．（2023·山东泰安·中考真题）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【典例】4．（2023·山东日照·中考真题）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 【典例】5．（2023·山东·中考真题）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（    ）    A． B． C． D． 【典例】6．（2023·山东·中考真题）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【典例】7．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【典例】8．（2022·山东德州·中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例】9．（2022·山东东营·中考真题）如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，过的边上一点作．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·三模）如图，直线，点B在直线n上，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·山东济南·模拟预测）如图，，．若，则的度数为（      ）      A． B． C． D． 4．（2024·山东菏泽·二模）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，已知直线，是等边三角形，顶点在直线上，顶点在直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东淄博·一模）如图，在五边形中，，，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东临沂·二模）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，平面镜与成一定的夹角，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 10．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，一个角的三角板的直角顶点恰好在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，交通标志表示的“箭头”图形中，，，，，则图中的度数是（　　） A． B． C． D． 12．（2024·山东临沂·三模）如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 13．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点处．若．则的度数是（　  ） A． B． C． D． 14．（2024·山东济南·模拟预测）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　 　） A． B． C． D． 15．（2024·山东滨州·模拟预测）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 16．（2024·山东济南·模拟预测）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成形状，，在上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为（ ） A． B． C． D． 17．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，正六边形内部有一个正五形，且，直线经过、，则直线与的夹角的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 18．（2024·山东·模拟预测）如图，直线，且分别与的两边相交，若，则的度数为 ． 19．（2025·山东济南·模拟预测）如图，，若，则的度数为 °． 20．（2024·山东济宁·一模）如图，直线于点．若，则的度数是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$