精品解析：上海市嘉定区第二中学2024-2025学年高一下学期第一次质量检测数学试题

嘉定二中2024-2025学年度第二学期第一次质量检测 高一数学试卷 命题人：高一数学组 2025年3月 一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为____________弧度. 2. 函数过定点________. 3. 若角的终边过点，则_________． 4. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______． 5. 已知第二象限角，那么 为第_______________象限角 6. 不等式的解集为________. 7. 方程的解集是______． 8. 记，那么______. 9. 若函数在上有零点，则实数m的取值范围是_____________． 10. 已知，若实数且，则的最小值是______． 11. 已知满足，，都有，则实数取值范围为______． 12. 已知函数，，若函数有6个零点，则实数取值范围为__________. 二、单选题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（ ） A. B. C. D. 15. 已知幂函数图像过点,则关于此函数的性质下列说法错误的是( ) A. 在上单调递减 B. 既不是奇函数也不是偶函数 C. 的值域为 D 图像与坐标轴没有交点 16. 已知函数，则下列说法正确的个数是（ ） ①定义域为； ②的值域为； ③； ④有两个零点，且. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知，求下列各式的值. （1）； （2） 18. 集合. （1）当时，求； （2）已知，求的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． （1）求的值： （2）求的值． 20. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （2）解不等式； （3）若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围． 21. 对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． （1）分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； （2）设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 （3）设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 嘉定二中2024-2025学年度第二学期第一次质量检测 高一数学试卷 命题人：高一数学组 2025年3月 一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为____________弧度. 【答案】1 【解析】 【分析】根据弧长公式结合已知条件求解即可 【详解】半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为弧度， 故答案为：1 2. 函数过定点________. 【答案】 【解析】 【分析】由，令即可得解. 【详解】由题意得，函数，令，即时，解得，即函数的图象过定点. 故答案为：. 3. 若角的终边过点，则_________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式即可求得. 详解】依题意，， 则. 故答案为：. 4. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，讨论、结合包含关系求参数，即可得参数取值范围. 【详解】由题设，又， 若，则； 若，则，则，或； 综上， 故答案为： 5. 已知第二象限角，那么 为第_______________象限角 【答案】一或三 【解析】 【分析】根据题意推得，再对是偶数或奇数分类讨论即可得解. 【详解】因为是第二象限，所以，得， 当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角. 故答案为：一或三 6. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式化为，再将分式不等式等价变形可得不等式解集为. 【详解】将不等式变为，即，可得； 等价于，解得，即； 所以不等式解集为. 故答案为： 7. 方程解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】由方程，可得， 因为，所以或. 故答案为：或. 8. 记，那么______. 【答案】1. 【解析】 【分析】根据对数运算法则，化简原式，求值. 【详解】 . 故答案为：1 【点睛】本题考查对数运算法则，意在考查基本公式，属于基础题型. 9. 若函数在上有零点，则实数m的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首次按钮根据零点定义可得在上有解，参变分离可得，通过换元可得，由求范围即可得解. 【详解】由， 得， 令， 得， 所以. 故答案为 ： 10. 已知，若实数且，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明为奇函数，由可得，利用基本不等式常数代换技巧求解的最小值. 【详解】函数，定义域为R， ，则为奇函数， 若实数且，函数单调递增， 则有，即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 11. 已知满足，，都有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，都有， 所以在上为增函数， 当时，，易知函数在上为增函数； 当时，则，解得， 综上，，则a的取值范围为， 故答案为：． 12. 已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】画出的图象如下： 因为最多两个零点， 即当，或时，有两个不等零点， 要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点， 则且， 即的两个不等零点， 则要满足，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 二、单选题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，充分性成立， 反过来，当时，或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 14. 已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的性质把不等式转化为，通过举例说明BCD是错误的即可. 【详解】且，关于x的不等式①， 当，时，不等式①的解集为，排除C； 当，，时，不等式①的解集为，排除B； 当，，时，恒成立，不等式①的解集为，排除D. 故选：A 15. 已知幂函数图像过点,则关于此函数的性质下列说法错误的是( ) A. 在上单调递减 B. 既不是奇函数也不是偶函数 C. 的值域为 D. 图像与坐标轴没有交点 【答案】C 【解析】 【分析】求出幂函数的解析式,从而判断函数的奇偶性和单调性,即可求得答案. 【详解】设(是常数) 幂函数图像过点 对于A,因为,根据幂函数图像可知:在上单调递减,故A正确; 对于B,因为,可得既不是奇函数也不是偶函数,故B正确; 对于C,因为,可得值域为,故C错误; 对于D,,根据幂函数图像可知:图像与坐标轴没有交点,故C正确. 综上所述, C错误. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了根据幂函数上的点求幂函数解析式,及其判断函数相关性质,解题关键是掌握幂函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 16. 已知函数，则下列说法正确的个数是（ ） ①的定义域为； ②的值域为； ③； ④有两个零点，且. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，求出函数的定义域可判断；对于②，判断的单调性，并结合极限思想可判断；对于③，根据的解析求出计算可判断；对于④，利用零点存在性定理结合函数的单调性可得存在，使得，结合③计算可判断. 【详解】对于①，由，解得且， 所以函数的定义域为，故①错误； 对于②，由， 所以函数在和上均为单调递增函数， 当时，，当从小于1的方向逼近1时，， 所以函数的值域为，故②正确； 对于③，， 即，故③正确； 对于④，因为函数在和上均为单调递增函数， 又， ， 所以存在，使得， 又，则，结合③可得， 即也是的零点，则，所以，故④正确； 综上所述：正确的个数 3个. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知，求下列各式的值. （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）先利用诱导公式化简可求值； （2）利用1的代换可得原式，再化为的表达式可求值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 18. 集合. （1）当时，求； （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）解不等式求出结合A，根据集合的并集运算，即可得答案； （2）根据题意可得，讨论B是否为空集，列出相应不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题知，， 因为，即，解得， 所以， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由题知， 由（1）得，， 由题得，， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得 综上，或. 19. 在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． （1）求的值： （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得两点的横坐标，然后求得. （2）利用诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，角、的终边分别与单位圆交于，两点， 且，两点的纵坐标分别为，， 所以. 所以. 【小问2详解】 由（1）得， ， . 20. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （2）解不等式； （3）若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）严格单调递增；证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义及指数函数的性质即得； （2）利用函数单调性即得； （3）由题可得方程有且只有一个正数根，分，讨论，利用二次函数的性质可得. 【小问1详解】 根据题意，在R上单调递增； 证明：任取，且， 则， ∵，∴，∴．即， 故函数在R上单调递增； 【小问2详解】 根据题意，函数．则，， ∵，∴， 又函数在上单调递增，则有， 故不等式的解集为． 【小问3详解】 根据题意，若关于的方程只有一个实根， 即方程有且只有一个实数解． 令，则，问题转化为：方程有且只有一个正数根， ①当时，，不合题意， ②当时，若，则或，若，则，符合题意； 若，则，不合题意， 若，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根， 即，解得； 综上，实数的取值范围是． 21. 对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． （1）分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； （2）设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 （3）设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 【答案】（1）①不是，②是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中定义判断①②即可； （2）分析可知在上是严格减函数．且恒成立，求出函数在上的值域，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）当时，化简函数的解析式，结合题中定义可证得结论成立；然后就、两种情况讨论，结合题中定义进行推导，说明定义不成立，即可证得结论成立. 【小问1详解】 ①不是，②是，理由如下： 对于①，，取，则， 所以两个函数不是“在上的函数对”； 对于②，在上是严格减函数， 当时，，则，故此时的函数值恒大于零， 所以这两个函数是“在上的函数对”. 【小问2详解】 由题意函数在上是严格减函数，且在上恒成立， 故有在上恒成立， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 证明：当时， ， 因为函数、在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 得在上是严格减函数，且对任意恒成立. 当时， 在上恒成立， 取，得，不成立； 此时函数和不是“在上的函数对”． 当时，则， 当时，， 取，得， 所以函数在上不是减函数， 此时函数和不是“在上的函数对”． 综上，的值有且仅有一个. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$