第10章 概率 综合测评-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第十章综合测评 答案见P (时间：120分钟。满分：150分) 四 题号 三 17 总分 15 16 18 19 : 得分 显 一 、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形：②从一个三角形的三个顶点各任画一 尔 条射线，这三条射线交于一点：③实数a,b都不为0，但a+=0:④明年8月28日的最高气温高于 如 今年8月28日的最高气温.其中为随机事件的是 A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2025次出现正面朝上的概率是 1 1 A.2025 B.2026 c脱 D.2 3.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是 A.至少有一个白球，都是白球 B.至少有一个白球，至少有一个红球 长 C.至少有一个白球，红、黑球各一个 D.恰有一个白球，一个白球一一个黑球 逊 4.做掷一枚骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一 次试验中，事件A十B发生的概率为 A司 B2 c 5.已知随机事件A和B互斥，且P(AUB)=0.7,P(B)=0.2,则P(A)= A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8 6.甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 指 妆 B c D号 7.在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4.若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概 率为 A.0.28 B.0.12 C.0.42 D.0.16 8.从1,2,3,4这四个数字中依次不放回地取两个数字a,b,使得lg(3a)≥lg(4b)成立的概率是( A号 B是 c D品 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 制 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.根据所学的概率知识，下列说法正确的是 A一年按3065天计算，两名学生的生日相同的概率是品 B.5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小 373 C.乒乓球赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽 签方法是公平的 D.某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报 10从甲袋中摸出一个红球的概率是}，从乙袋中模出一个红球的概率是号，从两袋各摸出一个球，下 列结论正确的是 () A.2个球都是红球的概率为行 且.2个球不都是红球的概率为号 C2个球中至少有1个红球的概率为号 D2个球中恰有1个红球的概率为号 11.某高校从参加某次竞赛的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到的数据如频率分布表 所示. 组号 分组 频数 颜率 第一组 230,235) 8 0.16 第二组 [235,240) ① 0.24 第三组 [240,245) 15 四 第四组 [245,250) 10 0.20 第五组 [250,255) 5 0.10 合计 50 1.00 下列结论正确的是 A.表中①位置的数据是12 B.表中②位置的数据是0.3 C.在第三，四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人 D.在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中有2名学生获奖，则2人中至少有1名 是第四组的概率为0.5 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分》 12.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得 两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色玻璃球的概率为 13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数依次记为m,n,则“m>2”的概率是 14.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则任意两个相邻矩形颜色不 同的概率是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)设有一列单程北上的火车，已知停靠的站点由南至北分别为S,S,…,So,共十站.若甲在 S:站买票，乙在S:站买票.设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达站点 的集合，B表示乙可能到达站点的集合 (1)写出该事件的样本空间2： ·374· (2)写出事件A,事件B包含的样本点： (3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？ 16.(15分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)若以A表示和为6的事件，求P(A): (2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，则B与C是否为 互斥事件，试说明理由： (3)这种游戏公平吗？试说明理由。 17.(15分)袋中有大小、形状完全相同的红球，黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球或绿球的 概率是号，得到红球或黄球的概率是 (1)从中任取一球，求分别得到红球、黄球、绿球的概率： (2)从中任取一球，求得到的不是红球的概率 ·375· 18.(17分)某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育某种植物的生长情况.现分别从A, B,C三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，所得数据如表（单位：厘米）所示. A组 B组 C组 101112131415161213141516171813141516171819 假设所有植株的生长情况相互独立.从A,B,C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，B组选 出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙. (1)求丙的高度小于15厘米的概率： (2)求甲的高度大于乙的高度的概率. 19.(17分)在路上、在餐厅里、在公交车上，随处可见低头玩手机的人，这种“低头族现象”冲击了人们 面对面交流的温情，也对人们的健康构成一定的影响.为此，某报社发起一项专题调查，记者随机采 访了M名市民，得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间（单位：h),根据此数据作出频数 的统计表和频率分布直方图如下所示 分组 颜数 颜率 [0,0.5) 4 0.10 网苹1阳 [0.5,1) 加 [1,1.5) 10 [1.5,2) 6 0.15 [2,2.5) 0.10 &55223时h [2.5,3] 2 0.05 合计 M (1)求出表中的M,p及图中a的值： (2)试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间（同一组的数据用该组的中间值作代表）： (3)在所取样本中，从一天内低头玩手机的时间不少于2的市民中任取2人，求两人在一天内低 头玩手机的时间都在区间[2,2.5)内的概率. ·376又√/2128.60≈46， 红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 故标准差约为46,268一46=222（天），268+46 项不成立；在C项中，至少有一个白球和红、黑球 314(天)，所以这100只日光灯的使用寿命大部分 各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生， 落在222~314天之间，故可在第222天到第314 是互斥而不对立的两个事件，故C项成立；在D 天内统一更换较合适. 项中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事 19.解析(1)因为(Q0.0002+0.0004十0.0003+0.0001D× 件能同时发生，不是互斥事件，故D项不成立.故 50=0.5所以a=108-0.05.又0.05X 选C项， 4.C解析由于样本点的总数为6，故P(A)=2 500=0.25,所以月收入在[4000,4500)内的频率 6 为0.25，所以100人中月收入在[4000,4500)内 ,PB--号从而PB=1-PB)=1-号 的应抽取的人数为0.25×100=25. (2)因为0.0002×500=0.1,0.0004×500=0.2， 寻又A与B互斥，故P(A+B)=P(A)+ 0.0005×500=0.25,0.1+0.2=0.3<0.5, P(团)=号+日景故选C项 0.1十0.2+0.25=0.55>0.5，所以中位数在区 间[3500,4000)内，所以样本数据的中位数是 5.A解析因为随机事件A和B互斥，且P(AUB)= 0.7,P(B)=0.2,所以P(A)=P(AUB)-P(B)= 3500+0.5-01t0.2》=3900(元). 0.0005 0.7-0.2=0.5,所以PA)=1-P(A)=1-0.5 (3)样本数据的平均数为(2750×0.0002+3250× 0.5.故选A项. 0.0004+3750×0.0005+4250×0.0005+ 6.A解析样本空间为{（甲送给丙，乙送给丁）， 4750X0.0003+5250×0.0001)×500=3900(元). (甲送给丁，乙送给丙)，（甲送给丙，乙送给丙）， (甲送给丁，乙送给丁)}，其中甲、乙将贺年卡送 第十章综合测评 给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送 1,B解析任取三条线段，这三条线段可能组成直 给同一人的概率P=号=：故选A项 角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随 7.B解析甲、乙两人考试相互独立，则甲未通过 机事件；从一个三角形的三个顶点各任画一条射 而乙通过的概率P=(1一0.7)×0.4=0.12.故 线，三条射线可能不相交、交于一点、交于两点、 选B项 交于三点，故②为随机事件；若实数a,b都不为 8.C解析因为1g(3a)≥lg(4b),所以3a≥4b>0. 0,则a2十b一定不等于0，故③为不可能事件： 从1,2,3,4这四个数字中不放回地依次取两个 由于明年8月28日还未到来，故明年8月28日 数字所包含的样本点有(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3， 的最高气温可能高于今年8月28日的最高气 1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2) 温，也可能低于今年8月28日的最高气温，还可 (3,4),(4,3),共12个，符合条件3a≥4b的有(2， 能等于今年8月28日的最高气温，故④为随机 1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),共6个， 事件.故选B项. 2.D解析抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第 所以所求概率P=品之：故选C项， 2025次，有两种结果，即正面朝上、反面朝上，每 9.AC解析一年按365天计算，每个人的生日只 种结果等可能出现，故所求概率为·故选D项。 占其中一天，故两名学生的生日相同的概率是 3.C解析在A项中，至少有一个白球和都是白球 365,故A项正确；5张奖券中有一张有奖，甲先 两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A项不 抽，乙后抽，两个人抽到有奖奖券的可能性相等， 成立；在B项中，至少有一个白球和至少有一个 故B项错误；从1~10共10个数字中各抽取1 ·390· 个，每个数字被抽到的概率是相同的，因此可以 (6,1),(5,2),(6,2),共6种，则“m>2n”的概率 用来比较大小，这种抽签方法是公平的，故C项 P= 61 366 正确；某人花100元买福利彩票，中奖或者不中奖 都有可能，但事先无法预料，故D项错误.故选 路系片 AC项. 14.解析由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2. 10.ACD解析设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 样本点有111,112,121,122,211,212,221,222， A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A,则PA)= 共8种，其中任意两个相邻矩形颜色不同的结 号PA)=司，且A,A相互独立，在A项中， 果有121,212，共2种，故所求概率P=号- 2个球都是红球为AA,其概率为号×2=言 俗系升 A项正确；在B项中，“2个球不都是红球”是“2 15.解析(1)2={S,S2,S3,S,S,S,S,S,S,So 个球都是红球”的对立事件，其概率为吕，B项 (2)A={S4,S5,S6,S,S8,S,S1o},B={S,S8 Sg,S10). 错误；在C项中，2个球中至少有1个红球的概 (3)铁路局需要准备从S1站发车的车票9种， 率为1-P(AP(B)=1-号×号-号，C项正 从S2站发车的车票8种，…，从Sg站发车的 确；在D项中，2个球中恰有1个红球的概率为 车票1种，合计9十8十…+2十1=45（种）.故铁 号×号十号×号-2D项正疏：故选ACD项 路局需为列车准备45种北上的车票 16.解析(1)甲、乙出手指都有5种可能，因此样本 11.AB解析①位置的数据为50-(8+15+10十5)= 点的总数为5×5=25，事件A包括甲、乙出的 12,A项正确：@位置的数据为品-03，B项正 手指的样本，点有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)， 确；由分层随机抽样得，第三、四、五组参加考核 3,3),共5个，所以PA)=是-号 的人数分别为3,2,1，C项错误；设上述6人为 (2)B与C不是互斥事件.因为事件B与C可以 a,b,c,d,e,f(其中第四组的两人分别为d,e), 同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合 则从6人中任取2人的样本，点有ab,ac,ad,ae, 题意，所以B与C不是互斥事件， af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共l5个， (3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的 记“2人中至少有1名是第四组的”为事件A,则 样本点的总数为13，即(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2 事件A所含的样本点有9个，所以PCA)=品 2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (5,1),(5,3),(5,5). 号，故2人中至少有1名是第四组的概率为 5 所以甲赢的概率为是乙高的就率为号 D项错误.故选AB项. 所以这种游戏规则不公平。 12.解析取得两个同颜色玻璃球包括两个红玻璃球 17.解析(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、绿 或两个绿玻璃球，故取得两个同颜色玻璃球的 球为事件A,B,C,由题意可知事件A,B,C为互斥 概率P=5十。西 718 P(A)+P(B)+P(C=1, 俗系是 事件，根据已知得PA+P(C=号 解得 13.解析将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向 P(A+PB 上的，点数依次记为m,n,则共有6×6=36（种） 结果，满足“m>2n”的有(3,1)，(4,1)，(5,1)， P)=2,P(B)=号，P(C=,所以从中任 ·391· 取一球，得到红球，黄球，绿球的概率分别是， 间[2.5,3]内的人为b,b2,则任取2人的样本点 有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b),(a1,bz) 17 312 (a2,a3),(a2,a),(a2,b),(a2,b2),(a3,a4) (2)事件“得到不是红球”可表示为事件A,由 (aa,b),(aa,b2),(a4,b),(a4,b2),(b,b2),共 (1)得P()=1-P(A)= 2,故得到的不是红 1 15个，其中两人在一天内低头玩手机的时间都 在区间[2,2.5)内的样本，点有(a1,a2),(a1,a3), 球的概率为品 (a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a,a4),共6个，所 以两人在一天内低头玩手机的时间都在区间 18.解析设事件A:为“甲是A组的第i株植物”，事 件B为“乙是B组的第i株植物”，事件C为 [2,25)内的概率P-是-号， “丙是C组的第i株植物”，i=1,2,…,7.由题意 模块综合测评 可知PA)=P(B)=PC)=7,i=1,2,,7. (1)设事件D为“丙的高度小于15厘米”，由题意 1.D 阁析由题知，2=2开-2+D2-） 3+4i_(3+4i)(2-iD_10+5i 5 知D=CUC2,又C与C2互斥，所以事件D的 2十i,所以z=2一i,虚部为一1.故选D项. 概率PD)=P(GUC)=P(G)+PC)-号 2.A解析因为O为矩形ABCD对角线的交点，则 (2)设事件E为“甲的高度大于乙的高度” 0为AC的中点，所以0心=号AC=2A+O= 由题意知E=AB UAB UAB UA B UABU A.B UA:B.UA B UA,B UA:B. 号B成+Dd-号a十e故选A项， 所以事件E的概率P(E)=P(AB)十P(AB)十 3.A解析该单位党员一周学习党史时间中，8出 P(A B)+P(A:B)+P(AB)+P(AsB2)+ 现的次数最多，众数是8，学习时间小于10小时 P(A,B2)+P(A6B3)+P(A,B3)+P(A,B,)= 的比例是6+9+10=62.5%<75%，小于11小 40 10P(AB)=10P(A)P(B)=18 49 时的比例是6+9+10+8=82.5%>75%，因此 19.解析(1)因为分组[0,0.5)内的频数是4，频率 40 第75百分位数是10.故选A项. 是0.10，所以总0.10，得M=40.因为频教之 4.B解析如图，连接AC1,A1D,因为AC∥A1C, 和为M=40,所以4十m+10十6+4十2=40，得 所以∠AC1D或其补角为异面直线AC与C:D m=14.所以分组[0.5,1D内的频率p一得-普 所成的角，在△A1DC1中，A1D=C1D=AC1,所 0.35.因为a是分组[0.5,1)内频率与组距的商， 以∠ACD=受故选B项。 所以a=击-8要=0.7 (②)由1可得a-8=0,25,设这40名市民一 天内低头玩手机的平均时间为x,则x=0.25X 0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+ 2.25×0.1+2.75×0.05=1.225. 5.C解析如图，当点C位于垂直于平面AOB的 (3)所取样本中，一天内低头玩手机的时间不少 直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球 于2h的市民共有6人，设一天内低头玩手机的 时间在区间[2,2.5)内的人为a1,a2,a3,a4,在区 0的径为R光时6=6m×号×号× ·392·