课时作业5 向量的数量积-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

课时作业(五) 向量的数量积 答案见Pos lI基础训练ll 7.已知al-2bl=2,且向量a与向量b的夹角为 1.已知lal-1,lbl=2,a与b的夹角为,则a·b 时,向量xa十b与向量a-3b _ 互相垂直. A.1 B.2 8.已知a,b为单位向量,且a·b-0,若c=2a- C.3 D.4 5.则向量a与向量c的夹角θ的余弦值为 2.已知平面向量a与b的夹角为60{},|al-2 ( lbl-1,则la-2b- ) 9.已知a-4,b-5. A.3 B.2 (1)当a//时,求a与的数量积 C.4 D.12 (2)当ab时,求a与b的数量积; 3.(参选)下面给出的关系式中,正确的是 (3)当a与b的夹角为60时,求a与b的数量积 A.0a-0 B.a·b-b.a C.a2-lal2 D. (a+b)·c-a·c+b.c 4.如图,在太极图中,A,B分别为太极图中的最低 点和最高点,AB经过大圆和小圆的圆心,目两个 小圆的圆心是线段AB的两个四等分点(异干 AB的中点),过A作黑色小圆的切线,切点为C 则向量AB在向量AC上的投影向量为 10.已知向量a,b的夹角为120{},且al-2,bl= 3,记m=3a-2b,n-2a+bb (1)若nn.求实数的值; (2)当- 8时,求向量m与n的夹角0. A.6AC B.4AC C.4/2AC D.3/2AC 5.已知e,e是单位向量,若le-4e=V13,则e 与e。的夹角为 ) A.30{ B.60{ C.90* D. 120{ 6.在△ABC中,D为边BC的中点,且AD.c 5.|AB-6,则AC- ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 ·157. I能力提升] II拓展探究 11.已知单位向量a,b的夹角为60{*},则在下列向量 15.若向量a与e不共线,el=1,对任意的/ER 中,与b垂直的是 ( ) a十el<a一tel恒成立,则 ( ) A.a+2b B. 2a+b A.ae B.a(a十e) C.a-2b D.2a-b C.eI(a十e) D. (a-e)I(a十e) 12.(参选)已知向量a,b满足a·b-1,lbl-1,且 16.设向量e,e满足le=2,e|-1,e,的夹 la+b-v7,则 ( ) 角为60{},若向量2te十7e与向量e十t:的夹 A. lal-2 B.al(a-b) 角为钝角,求实数:的取值范围 C.a与b的夹角为 D.a与b的夹角为开 13.已知向量a,b为单位向量,且a·b-一 -},向量 c与a十b共线,则a十cl的最小值为 14.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若 AM-2,求OA·(OB+OC)的最小值.12.D解ǖ设A正=kA.0≤k≤1，则A花=k(C+2)= 课时作业（五） AC+2A-A]=2A店-kAC,固为A正=AA店+AC 所以26， k.所以1=入-=流，又0<≤1，所以0≤3≤ 1.A解析由题意得a·b=ab1cos于-12×2=1.故 选A项 3.故选BCD项 13.D解析延长OB到D,使OB=BD,延长C到E,使CC- 2.B解析由题意得a-2b=(a-2b)2-a-4a·b十4- CE,连接AD.DE,AE,因为Oi+2O店+2元=0，所以Oi+ a-4alb1s60+4b=4-4X2X1×号+4=4，所以 OD十OE=0,所以O为△ADE的重心，所以设S△wD= a-2b=2.故选B项. Sae=5aE=S.则Sm=S6m=号S.Sar=s.所 3.BCD解析因为数与向量相乘的积为向量，即0a=0,所以 A项错误：向量的数量积运算满足交换律，所以a·b=b·a, 以S=1S+1s+工s。天S,所以=S 所以B项正确；根据数量积的定义知=allalcos0=a,所 -=5. 以a2=a,所以C项正确：向量的数量积运算满足分配律， 所以D项正确.故选CD项. 故选D项 4,B解析如图，记黑色小圃的圆心为O,则AB=4Ad,因为 A可在AC上的投影向量为AC,所以向量AB在向量AC上的 投影向量为4AC故选B项. 14.解折由题意得P求-P+Q求=2PA+2成=2(P0+ OA)+2(BO+OR)=2(PO+OR)+2(OA+BO)=2 PR+ 2(a-b),所以P求=-2(a-b)=2(b-a). 5.B解析设e与e2的夹角为0，由题意知e1=|e|=l, e-4e2=13,所以e-4e3=e12-8e·e+16e2= 13,解得e·6=号，所以1X1Xc0s0-=号，又0≤0<180， 所以0=60°.故选B项. 6,C解因为D为边BC的中点，所以AD-号(A店+A, C市=Ci=(-AC,所以A市.市=(B+ 15.解根据条件知AC=1A衣，A店=A成又G=号A店 A0·A-AO=}(1A-aC)=(36 专A记.所以心-+.又M.GN三点共线，所以 AC1)=5,解得AC1=4.故选C项. +-1由题高知>0>0.所以3+y=(ar+0: 7.服罚由题意得1b=1,a·b=2X1Xc0s经=-1.周为a十 b与a-3b互相垂直，所以(a+b)·(a-3b)=a2-3a· (层+场)-青+5+≥音+2V号·孟共， 3 b十ba-3h=4以+3以-1-3=7以-4=0，所以= 当且仅当号-密即)=x时，等号成立.故3x十y的最 俗系身 小值为+23 8.解析因为c=2a一5b,a·b=0,所以a·c=2a-5a·b= 3 2,c2=4a2-45a·b+5|b12=9,所以|c|=3,所以 俗墓4十23 3 0日治-灵。一景故夫角0的余孩位为号 16.解(1)由A是BC的中点，得Oi-号(O成+，从而 图号 -2O-O成=2a-h.由D是OB的三等分点且靠近点 9.解粉(1)因为a∥b,所以若a与b同向，则a·b=a bcos0° B,得0i-号O成，从肠元-六-0D=(2a-b)-号b=2a 4×5=20:若a与b反向，则a·b=|alblcos180°=4×5X (-1)=一20.综上，a与b的数量积为士20. (2)当a⊥b时，a·b=al|bcos90°=0. (3)当a与b的夹角为60°时，a·b=|a1bcos60°=4×5× (2)由C,E,D三点共线，可设元=D元，又元=元 1 =10. O成=(2a-b)-a=(2-0a-b,元=2a-号b从而(2 10.解析(1)由题意得a·b=a1bcs120°=一3，因为m⊥n,所 X0一bn2a号b)小，又ab不共线，所以11-音知 2-1=24, 以m·n=(3a-2b)·(2a十b)=6c+(3k-4)a·b-2h2= 24一3(3k-4)-18k-0.解得k=4 3 得=亭 (②)当k=号时，n=2a+号6，所以m·n=-36,周为m= ·308· √(3a-2b)=9G-12a·b+46=65,n=45,所以 21=λ，=-√14， s0m:n-合又c0小，所0-等 2e1+7e=(e十e2),a<0,则7=t,即 4所 3 A<0, 2 1.山D照由已知可得ab=60°=1X1×专 以实1的取值花国是(-7。-四)U(-,)】 合国为a+2b)·b=a·b+26=号+2X1=号0，所以 课时作业（六） A项不特合题喜：因为(2a+b)·b=2a·b+b=2X号十 1.B解析只要平面内一对向量不共线，就可以作为表示该平 1=2≠0，所以B项不符合题意：因为(a一2b)·b=a·b 面向量的一个基底，故①不正确，②正确：因为零向量与任意 26=号-2×1=-号≠0，所以C项不特合题意：因为 一个向量平行，所以③正确.故选B项 2.ABD解析a不能用b表示，故a,b不共线，所以A项符合： (2a-b)·b=2a·b-6=2X号-1=0，所以D项符合题 a不能用b表示，所以a,b不共线，故B项符合；a=一b,故 a,b共线，所以C项不符合：a不能用b表示，故a,b不共线， 意，故选D项. 所以D项符合.故选ABD项. 12.AC解析由a十b=7,得a+b2=7,即a2+2a·b+ 3.B解析由已知得(2x一y-5)a+(-x十2y十4)b=0.因为a F=7,又a·b=1,b=1,所以a2=4,所以|a=2,故A 项正确：因为a·(a一b)=a一a·b=4-1=3,所以a与 与6不共线，且都是非零向量，所以2工一0，。所以 1-x+2y+4=0, a一b创不套直，故B项错误sa,b-8合-之又0区 x十y=1.故选B项. 4.D解析在△CEF中，E亦-E心+C市，因为点E是DC的中 (a,b>≤，所以a与b的夹角为牙，故C项正确D项错误. 故选AC项. 点，所以元-2元因为点F是BC上靠近点B的一个三等 13.解析因为向量c与a十b共线，所以设c=t(a十b)(1∈R), 分点，所以市=号成所以成=元+号成=号A证+ 所以a+c=(t+1)a+b,所以(a+c)2=(t+1)'m+2(t+ 1)a·b+tb=(t+1)2-t(t+1)+2=+t+1= 号Di=号成-号成故选D项 (什号)广+≥是所以1a+e≥得所以a+e的最小 5.B解析在△ABC中，B=2P心，则AP-AB+Bd=AB+ 号成=+号花-恋)=号成+号花.又市=恋+ 霸号 心，且.不共线则=号一号所以是=合故选 B项. 14.解折知图.0A.(O亦+d=20A.0M=-210A1·OM≥ -2·(i+od)=-2.(AM)=-2,当oi= OM时，等号成立.故Oi·(O成+心的最小值为-2. B 6解析若a,b能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，即 对任意k∈R,a≠b,所以入≠4.所以实数入的取值范国为 15.C解析由a+e≤a一e|可得a十e|2≤a-e|2,整理 (一9,4)U(4,十0∞). 可得a2十e+2a·ea十fe2-2a·e.图为e=1,所以 答率(-∞，4)U(4,十∞) -2a·e-2a·e-1>0.因为对任意的t∈R,|a+e≤a 7.解析设p=xm十yn=x(2a-3b)十y(4a一2b)=(2x十4y)a十 e恒成立，所以对任意的t∈R,f一2a·e-2a·e-1≥0 (-3x一2y)b,又p=3a十2b,所以由平面向量基本定理得 恒成立，所以△=(-2a·e)2-4(-2a·e-1)≤0，即(a· e+1)2≤0，所以a·e+1=0.因为e=1,所以a·e+e= 12x十4y=3,n解得 4 所以p=一m十8 7 13 -3.x-2y=2, 0,所以e·(a十e)=0,所以e⊥(a十e).故选C项. 16.解析由向量2e1十7e与向量e十e:的夹角为钝角，得 2e+7e）:（e+e)<0,即(2e1+7e)·(e+e:)<0, 12te+7ez lle+tez 化简得21+151十7<0，画出函数y=2+151+7的图象， 8照新由题意得，D成=号D成=号(A花-AD)=号(A心 如图所示 }A)=ga心名A迹=-名a+g& -名a+名b 9.服折由题意知Aò-0元-AC-2a,B0-Oi=)B筋 若2P+151+7<0,则1（-7，-令）.当夹角为元时，也 名b,所以A店=A0+O成=A0-0=a-号b,成 有(2e1十7e)·(e1十e:)<0,但此时夹角不是纯角，设 B0+0元=a+号b, ·309·