精品解析：福建省福州市连江第一中学2024-2025学年高二下学期3月适应性练习数学试题

连江一中2024－2025学年度第二学期3月适应性练习 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 2. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为 A. （1,1] B. （0,1] C. [1，+∞） D. （0，+∞） 【答案】B 【解析】 【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 3. 下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数的正负决定原函数的增减性，从而可判断出函数图象 【详解】解：导函数的正负决定原函数的增减，由导数图象知， 原函数的单调性是递减、递增、递减，符合此规律的只有 A， 故选：A 4. 如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图设溶液高度和液面半径，用表示液体体积得到方程，求出，依题，对其求导，赋值即得时液体高度的瞬时变化率. 【详解】 设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，如图可得， ,则，即， 则由，解得. 由，当时，， 即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为. 故选：A. 5. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（ ） A. 9 B. 7 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可结合向量的模长公式求解. 【小问1详解】 由题意可得， , 故， 故选：D 6. 若定义在R上的函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据题意，求得其单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】构造函数，则，故在上单调递减； 又，故可得，则，即，解得， 故不等式解集为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，以及利用函数单调性求解不等式，解决本题的关键是根据题意构造函数，属中档题. 7. 已知点为直线上的一点，、分别为圆与圆：上的点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】分别求得圆的圆心坐标和半径，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为， 可得圆心距，故两圆相离， 所以，当共线时，取得最小值， 故的最小值为. 故选：C. 8. 已知函数，若在上单调递增，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意对于恒成立，转化为对于恒成立，求出即可. 【详解】由题意知，的定义域为， 所以， 因为在上单调递增， 所以对于恒成立， 即对于恒成立， 又函数在R上单调递增，故， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设切点坐标，利用导数求得切线方程，代入已知点的坐标，求解切点横坐标，则答案可求. 详解】由，得， 设切点坐标为，则， 则过切点的切线方程为， 把点代入，可得， 整理得：，即或. 当时，切线方程为; 当时，切线方程为. 故选：BC. 10. 已知数列满足，（），的前项和为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，利用构造法判断得是等比数列，进而利用等比数列的通项公式与求和公式，结合分组求和法即可得解. 【详解】对于AB，因为数列中，，（）， 则，， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，故A错误，B正确； 对于C，，即有，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 当时，在上存在唯一极大值点 C. 存在，使得有且仅有2个零点 D. 存在，使得有且只有一个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，利用导数的几何意义，即可判定A正确；当时，求得， 令，结合导数的符号和极值点的概念，可 判定B错误；当时，先判定函数在没有零点，再由零点的定义和函数与的图象的交点个数，可判定C正确；当时，根据对数函数的性质，可判定D正确. 【详解】对于A中，当时，可得，所以，即切点为， 由，可得切线的斜率为， 所以在处的切线方程为，所以A正确； 对于B中，当时，可得， 令，可得在为单调递增函数， 由，所以存在，使得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以在区间上有唯一的极小值点，所以B错误； 对于C中，当时，函数，且， 当时，，函数单调递增， 所以，即函数在没有零点； 在，令，即， 由函数和的图象，如图所示， 可得当时，；当时，； 当时，，所以在上仅有两个零点， 综上可得，当时，函数有且仅有2个零点，所以C正确； 对于D中，当时，函数， 根据对数函数的性质，可得函数的图象与轴仅有一个交点， 即当时，函数有且只有一个零点，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的运算法则，结合常见函数的导数公式、代入法进行求解即可. 【详解】由， 所以， 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则的值为__________ ． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据焦点到准线的距离为求出，确定抛物线方程及焦点坐标，已知是线段AB的中点，则用点差法求出斜率，利用和两点也确定斜率，最后利用两个斜率相等求出参数的值. 【详解】由题知，，故抛物线方程为． 设，易知， 则，由点差法可得 又是线段AB的中点，所以，所以直线l的斜率 因为直线l过焦点，所以，可得． 故答案为：. 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接求导得，再设新函数，讨论和的情况，求出函数的极值点，则由题转化为，解出即可. 【详解】因为，，令， 函数有两个极值点，则在区间上有两个不等实数根， 又， 当时，，则函数在区间单调递增， 因此在区间上不可能有两个实数根，舍去， 当时，令，解得， 令，解得，此时函数在单调递增， 令，解得，此时函数在单调递减， 当时，函数取得极大值， 当趋近于0与趋近于时，，要使在区间上有两个实数根， 则，解得， 实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值： （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）对求导，再利用极值的定义得到与，从而列式即可得解； （2）利用导数判断的单调性，再利用的单调性可求得其最大值，从而得解. 【小问1详解】 因为函数在处有极值，且， 所以，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）得：，， 又， 令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增 故的最大值是或， 而，， 故函数的最大值是2. 16. 在等差数列中，，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，且.令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，由此求得. （2）先求得，利用裂项求和法求得. 【小问1详解】 设的公差为. 因为，所以① 因，所以， 整理得，② 联立①，②并解得，. 所以. 【小问2详解】 因为③， 所以当时，④. ③④得. 所以 所以，而，解得，即. 所以是公比为3的等比数列. 所以. 则 . 所以 . 17. 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件. （1）将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 【答案】（1）；（2）当定价为元时，一个星期的商品销售利润最大. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件先确定出每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值之间的关系，然后根据(售价成本降价值)(多卖出的商品件数)得到的解析式，同时注意定义域； （2）根据列出关于的表格，分析出的单调性和极值，再结合端点值确定出取最大值时对应的的值即可. 【详解】解：（1）设一星期多卖出的商品件数为t件，设， 由题意知，解得. 由题意知，； （2） 9072 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 且， 因为，所以当时，商品销售利润最大，此时定价为元. 所以当定价为元时，一个星期的商品销售利润最大. 【点睛】思路点睛：利用导数解决生活中优化问题的基本思路： （1）将实际问题利用函数进行抽象表达，并注意函数定义域； （2）利用导数解决函数的最值问题； （3）根据函数的最值得到优化问题的答案. 18. 已知双曲线C：的离心率为，右顶点为，A，B为双曲线C右支上两点，且点A在第一象限，以AB为直径的圆经过点 （1）求C的方程； （2）证明：直线AB恒过定点； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，由垂直得斜率关系，代入化简即可. 【小问1详解】 右顶点，， 设双曲线的焦距为2c，因为双曲线C的离心率， 解得，，； 【小问2详解】 设，，因为A，B为双曲线C右支上两点，故直线AB斜率不为0， 所以设直线， 联立，得， 其中 ， 即 ， ， 以AB为直径的圆经过点E， 直线AE的斜率，直线BE的斜率， ，即， ， 即， 化简得， 当时，直线经过点E，不符条件，舍去， ， 直线必过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 函数，. （1）求函数的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区； （2）构造函数，，把不等式的恒成立转化为，求得，结合分析函数的单调性并确定最小值为，再利用函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，则，在上单增， 的递增区间为； 当时，令，则；令，则. 的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 当时，令，， 则，， 由题意，得. 因为， 令，则；令，则， 在上递减，在上递增， ， 故 在上递增， 又， ， 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 连江一中2024－2025学年度第二学期3月适应性练习 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数y=x2㏑x单调递减区间为 A. （1,1] B. （0,1] C. [1，+∞） D. （0，+∞） 3. 下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（ ） A. 9 B. 7 C. 3 D. 6. 若定义在R上的函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为直线上一点，、分别为圆与圆：上的点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 2 D. 1 8. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，（），的前项和为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 当时，在上存在唯一极大值点 C. 存，使得有且仅有2个零点 D. 存在，使得有且只有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 13. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则的值为__________ ． 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值： （2）求函数在区间上的最大值. 16. 在等差数列中，，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，且.令，求数列的前n项和. 17. 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件. （1）将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 18. 已知双曲线C：的离心率为，右顶点为，A，B为双曲线C右支上两点，且点A在第一象限，以AB为直径的圆经过点 （1）求C方程； （2）证明：直线AB恒过定点； 19. 函数，. （1）求函数的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$