第4章 平面内的两条直线 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（湘教版2024）

小结与复习 第4章 平面内的两条直线 ÷ 七年级下册数学（湘教版） 一、对顶角 两个角有_________，并且两角的两边互为___________，具有这种特殊关系的两个角叫作对顶角. 对顶角的性质：____________. A O C B D 1 3 2 4 公共顶点 反向延长线 对顶角相等 要点梳理 二、垂线 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是_____时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的______，它们的交点叫______. 1. 垂线的定义 2. 经过直线上或直线外一点，_________一条直线与已 知直线垂直. 4. 直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫作点到 直线的距离. 3. 直线外一点与直线上各点的所有连线中，______最短. 有且只有 垂线段 长度 直角 垂线 垂足 同位角、内错角、同旁内角的结构特征： 同位角 “F ”型 内错角 “Z ”型 同旁内角 “U ”型 三、同位角、内错角、同旁内角 三线八角 四、平行线 1. 在同一平面内，___________的两条直线叫作平行线. 3. 平行于同一条直线的两条直线______. 2. 经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行. 4. 平行线的判定与性质： 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 性质 判定 没有公共点 有且只有 平行 五、平移 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2. 平移的性质： (1) 平移前后的图形的形状，大小和朝向完全相同； (2) 对应线段平行(或在同一条直线上)且相等； (3) 对应点所连线段平行(或在同一条直线上)且相等. 考点一 利用对顶角、垂线的性质求角度 例1 如图，AB⊥CD 于点 O，直线 EF 过 O 点，∠AOE = 65°，求∠DOF 的度数. 解： 因为 AB⊥CD，所以∠AOC = 90°. 因为∠AOE = 65°， 所以∠COE = 90° - 65° = 25°. 又因为∠COE =∠DOF (对顶角相等)， 所以∠DOF = 25°. B A C D F E O 考点讲练 1. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB 于点 O，OB 平分∠DOF，∠DOE = 50°，求∠AOC、∠EOF、∠COF 的度数． 解：因为 AB⊥OE，所以∠EOB = 90°. 因为∠DOE = 50°，所以∠DOB = 40°. 所以∠AOC =∠DOB = 40°. 又因为 OB 平分∠DOF， 所以∠BOF =∠DOB = 40°. 所以∠EOF =∠EOB +∠BOF = 90° + 40° = 130°. 所以∠COF =∠COD－∠DOF = 180°－80° = 100°. 针对训练 考点二 点到直线的距离 例2 如图 ，AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D，CD = 4.8 cm，AC = 6 cm，BC = 8 cm，则点 C 到 AB 的距离是 cm，点 A 到 BC 的距离是 cm，点 B 到 AC 的距离 是 cm. 4.8 6 8 解：连接 AB，作 BC⊥MN，垂足为 C， 线段 AB 和 BC 就是符合题意的线路图． 因为从 A 到 B，线段 AB 最短， 从 B 到 MN，垂线段 BC 最短，所以 AB＋BC 最短． 2. 如图所示，修一条路将 B 村庄与 A 村庄及公路 MN 连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由． 针对训练 与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”． 方法归纳 考点三 平行线的性质和判定 例3 （1）如图所示，∠1 = 72°，∠2 = 72°，∠3 = 60°，求∠4 的度数； 解：因为∠1 =∠2 = 72°， 所以 a∥b (内错角相等，两直线平行). 所以∠3 +∠4 = 180° (两直线平行，同旁内角互补). 因为∠3 = 60°，所以∠4 = 120°. a b 解：因为∠DAC =∠ACB (已知)， 所以 AD∥BC (内错角相等，两直线平行). 因为∠D +∠DFE = 180° (已知)， 所以 AD∥EF (同旁内角互补，两直线平行). 所以 EF∥BC (平行于同一条直线的两条直线互相平行). （2）已知∠DAC =∠ACB，∠D +∠DFE = 180°，试说 明：EF∥BC. A B C D E F 3. 如图 (1)，已知 AB∥CD，∠1 = 30°，∠2 = 90°，则∠3 = ____°. 4. 如图 (2)，若 AE∥CD，∠EBF = 135°，∠BFD = 60°， 则∠D = ( ) A. 75° B. 45° C. 30° D. 15° 60 D 图 (1) 图 (2) 针对训练 例4 如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是 ( ) 解析：紧扣平移的概念及性质解题. D 考点四 平移的性质 A B C D 解：设∠1 的度数为 x°，则∠2 的度数为 x°， ∠3 的度数为 8x°，根据题意可得 x°+ x°+ 8x°= 180°，解得 x = 18. 即∠1 = ∠2 = 18°. 而∠4 = ∠1 +∠2（对顶角相等）， 故∠4 = 36°. 考点五 相交线中的方程思想 例5 如图所示， 交于点 O，∠1 =∠2，∠3:∠1 = 8:1，求∠4 的度数. 4 1 2 3 O （ ） ） （ 5. 如图所示，直线 AB 与 CD 交于点 O， ∠AOC:∠AOD = 2:3，求∠BOD 的度数. A B C D O 答案：72° 方法归纳 利用方程思想解决问题 ，是几何与代数知识相结合的一种体现，它可以使解题思路清晰，过程简便. 在有关线段或角的求值问题中它的应用非常广泛. 针对训练 平面内两条直线的位置关系 两条直线相交 对顶角相等 垂线，点到直线的距离 两条直线被第 三条直线所截 两直线平行 两直线平行的性质 两直线平行的判定 同位角、内错角、同旁内角 课堂小结 两直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行的性质 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 两直线平行，同旁内角互补 两直线平行，内错角相等 平行线间的公垂线段(距离)都相等 见教材章末练习题 课后作业 $$