专题02 平行线中的三角板旋转模型（几何模型讲义）数学新教材湘教版七年级下册

专题02 平行线中的三角板旋转模型 在初中几何的学习中，平行线与三角形的结合一直是考察学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体。其中，“三角板旋转模型”因其动态性强、变化丰富且蕴含深刻的几何原理，成为七年级下册数学中一道独特的风景线。这一模型不仅考验学生对基础知识的掌握，更引导他们从静态的图形认知走向动态的思维探索。 3 模型趣事。 3 真题现模型 4 提炼模型 6 模型应用 7 模型1.三角板旋转模型 7 18 当三角板遇上平行线：一场关于旋转的几何趣话 在数学的王国里，几何是一片充满奇思妙想的天地。在这里，点、线、面不是冰冷的符号，而是有生命的角色。今天，我们要讲一个发生在“平行线”舞台上的有趣故事，主角是一对好伙伴——三角板。 故事的开始，是在一张洁白的纸上，两条笔直的平行线像两条永不相交的铁轨，静静地延伸向远方。它们是这片天地里最守规矩的居民，永远保持相同的距离，彼此对望，却从不相拥。 有一天，一块三角板——那是由30°、60°、90°三个角组成的“探险家”——来到了这片平行线的领地。它并不满足于静止地躺在纸上，它想探索，想旋转，想看看这个世界在转动中会呈现出怎样的模样。 于是，它选定了一个点作为自己的“旋转舞台”，开始缓缓地转动起来。它的每一条边，每一个角，在转动中都像在跳一支优雅的舞蹈。 当它的一条直角边轻轻触碰其中一条平行线时，奇妙的事情发生了。它的另一条边，就像被施了魔法一样，与另一条平行线产生了神秘的联系。原本固定的30°角，在旋转中仿佛变成了“钥匙”，打开了隐藏在平行线之间的角度之门。 你看，当它转到某个特定的角度时，它的斜边恰好与两条平行线形成了两个相等的“内错角”，就像两个调皮的孩子在玩捉迷藏，躲在平行线的两侧，却露出了相同的笑容。再转一转，它又和截线一起，构成了“同位角”，仿佛在说：“看，我们在同一位置，方向一致！” 有时候，它转得太快，差点“撞”到另一条平行线。这时，它会巧妙地调整姿态，利用“同旁内角互补”的性质，让自己平稳地“滑”过危险区。它的每一次旋转，都在验证着一个古老的几何真理：无论它如何动，只要两条主线是平行的，那些由它引发的角度关系，就像忠诚的卫士，始终坚守着不变的规律。 在这个过程中，三角板也发现了自己身上的秘密。它的60°角和30°角，在旋转中不断与平行线“对话”，有时相加，有时相减，总能算出那个“隐藏角”的大小。它仿佛是一位智慧的侦探，通过已知的线索，推理出未知的答案。 而那两条原本静止的平行线，也因为三角板的加入，变得生动起来。它们不再是孤单的铁轨，而是成了这场旋转舞剧的背景板，衬托出三角板每一次转动的精彩。 这个故事，就是数学中著名的“平行线中的三角板旋转模型”。它看似简单，却蕴含着深刻的几何原理。它告诉我们，世界是动态的，但规律是永恒的。就像三角板无论怎么转，都逃不出平行线设定的“游戏规则”。 所以，下次当你看到一副三角板和两条平行线时，不妨想象一下这个有趣的故事。也许，你也能成为那位指挥三角板跳舞的“几何魔术师”，在旋转中发现更多数学的奥秘与乐趣。 如图1所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空： ， ； (2)如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，若恰好是的，求的值； (3)如图1所示放置的三角板，现将射线绕点以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 1. 三角板旋转模型 模型结构 平行线中的三角板旋转模型，其基本结构通常由“三要素”构成：两平行直线与一副三角板。 首先，背景是两条平行线，通常由一条截线（如x轴或任意直线）截得，形成同位角、内错角、同旁内角等基本关系。这是模型的“舞台”。 其次，核心工具是一副标准三角板，即一个含30°–60°–90°角的直角三角形和一个含45°–45°–90°角的等腰直角三角形。在题目中，通常只使用其中一块，以某一点为旋转中心（如直角顶点或某一锐角顶点），在平面内进行旋转。 最后，关键元素是旋转过程中产生的动态角。当三角板绕定点旋转时，其边与平行线相交，形成新的交点和角。这些角随着旋转角度的变化而变化，但始终受到平行线性质和三角板固定内角的双重约束。 因此，整个模型的结构可以概括为：在平行线背景下，一个具有固定内角的三角形绕某点旋转，其边与平行线不断产生新的位置关系，从而构成一个动态的几何系统。 模型特点 动态中的不变性（不变量原理）：这是该模型最核心的特点。尽管三角板在不断旋转，看似杂乱无章，但某些角度之间的数量关系始终保持不变。例如，无论三角板转到哪个位置，某些由平行线性质决定的同位角或内错角始终相等；某些由三角形内角和或外角性质决定的角度和或差保持恒定。这种“动中取静”的思维方式，是解决此类问题的关键。 角度的“传递”与“转化”：旋转过程中，三角板的固定角度（如30°、45°、60°）会通过平行线的“桥梁”作用，传递到其他位置。例如，当三角板的一条边旋转至与某条平行线平行时，其夹角关系会立即转化为另一组角的关系。解题时，常需利用“等角代换”或“角的和差”将未知角转化为已知角或其组合。 分类讨论的必要性：由于旋转是360°全方位的，三角板的不同边可能落在平行线的不同区域（如两平行线之间、上方或下方），导致图形结构发生本质变化。例如，当三角板的直角边恰好与平行线垂直时，会形成特殊的矩形或直角三角形结构；而当其斜边与平行线相交时，则可能形成复杂的“飞镖”或“8字”模型。因此，必须根据旋转角度的范围进行分类讨论，画出不同情形的示意图，避免漏解。 辅助线的构造智慧：解决此类问题，常需添加辅助线。最常见的做法是“过旋转点作平行线”，从而构造出多个“三线八角”的基本图形，将分散的角集中起来。有时也需要连接某些交点，构造三角形，利用其内角和或外角性质进行推导。 模型1.三角板旋转模型 例1【实践与探究】 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为与相交于点，则为___________°． (2)操作二：保持不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点在上，点在上，点与点重合，点与点重合，若 ，求的度数． (3)操作三：将图①位置的三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当时，请完成下面两个问题： ①三角尺不动，当边与三角板的直角边平行时，___________．（直接写出所有满足条件的值） ②如图③，同时将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当边与三角板的一条直角边（边或）平行时，___________．（直接写出所有满足条件的值） 例2已知两条平行线，，一块直角三角尺，且点不可能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的顶点分别放在上，若，则的度数为___________； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，且与线段交于点，若，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，请直接写出射线与所夹锐角的度数． 例3一副三角板的三个内角分别是，，和，，，按如图1叠放在一起，若固定三角形，改变三角形ACD的位置其中点A位置始终不变，可以摆成不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，，并说明理由； (2)如图3中，当______时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出的度数及平行的直线． 例4某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动． (1)如图1，________； (2)当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数； 1．如图，三角板与三角板如图摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上，同时旋转两块三角板，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则时间的值为______秒． 2．先将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，，，，再将三角板绕点A顺时针转动，直到边与在同一条直线上时，停止转动．在转动的过程中，当两块三角板恰有两边平行时，的度数为______． 3．两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间____秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 4．将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 5．综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． (1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； (2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 6．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 7．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 8．综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 9．将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，． (1)如图1，与的数量关系是______，理由是______； (2)如图1，点在上，若，求的度数； (3)如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方时，探究以下问题： ①当时，求出的度数； ②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接角度所有可能的值． 10．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线中的三角板旋转模型 在初中几何的学习中，平行线与三角形的结合一直是考察学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体。其中，“三角板旋转模型”因其动态性强、变化丰富且蕴含深刻的几何原理，成为七年级下册数学中一道独特的风景线。这一模型不仅考验学生对基础知识的掌握，更引导他们从静态的图形认知走向动态的思维探索。 3 模型趣事。 3 真题现模型 4 提炼模型 6 模型应用 7 模型1.三角板旋转模型 7 18 当三角板遇上平行线：一场关于旋转的几何趣话 在数学的王国里，几何是一片充满奇思妙想的天地。在这里，点、线、面不是冰冷的符号，而是有生命的角色。今天，我们要讲一个发生在“平行线”舞台上的有趣故事，主角是一对好伙伴——三角板。 故事的开始，是在一张洁白的纸上，两条笔直的平行线像两条永不相交的铁轨，静静地延伸向远方。它们是这片天地里最守规矩的居民，永远保持相同的距离，彼此对望，却从不相拥。 有一天，一块三角板——那是由30°、60°、90°三个角组成的“探险家”——来到了这片平行线的领地。它并不满足于静止地躺在纸上，它想探索，想旋转，想看看这个世界在转动中会呈现出怎样的模样。 于是，它选定了一个点作为自己的“旋转舞台”，开始缓缓地转动起来。它的每一条边，每一个角，在转动中都像在跳一支优雅的舞蹈。 当它的一条直角边轻轻触碰其中一条平行线时，奇妙的事情发生了。它的另一条边，就像被施了魔法一样，与另一条平行线产生了神秘的联系。原本固定的30°角，在旋转中仿佛变成了“钥匙”，打开了隐藏在平行线之间的角度之门。 你看，当它转到某个特定的角度时，它的斜边恰好与两条平行线形成了两个相等的“内错角”，就像两个调皮的孩子在玩捉迷藏，躲在平行线的两侧，却露出了相同的笑容。再转一转，它又和截线一起，构成了“同位角”，仿佛在说：“看，我们在同一位置，方向一致！” 有时候，它转得太快，差点“撞”到另一条平行线。这时，它会巧妙地调整姿态，利用“同旁内角互补”的性质，让自己平稳地“滑”过危险区。它的每一次旋转，都在验证着一个古老的几何真理：无论它如何动，只要两条主线是平行的，那些由它引发的角度关系，就像忠诚的卫士，始终坚守着不变的规律。 在这个过程中，三角板也发现了自己身上的秘密。它的60°角和30°角，在旋转中不断与平行线“对话”，有时相加，有时相减，总能算出那个“隐藏角”的大小。它仿佛是一位智慧的侦探，通过已知的线索，推理出未知的答案。 而那两条原本静止的平行线，也因为三角板的加入，变得生动起来。它们不再是孤单的铁轨，而是成了这场旋转舞剧的背景板，衬托出三角板每一次转动的精彩。 这个故事，就是数学中著名的“平行线中的三角板旋转模型”。它看似简单，却蕴含着深刻的几何原理。它告诉我们，世界是动态的，但规律是永恒的。就像三角板无论怎么转，都逃不出平行线设定的“游戏规则”。 所以，下次当你看到一副三角板和两条平行线时，不妨想象一下这个有趣的故事。也许，你也能成为那位指挥三角板跳舞的“几何魔术师”，在旋转中发现更多数学的奥秘与乐趣。 如图1所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空： ， ； (2)如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，若恰好是的，求的值； (3)如图1所示放置的三角板，现将射线绕点以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2) (3)存在，的值为或30 【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）用含n的式子表示出旋转后和的度数，根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； （2）解：由题意得，旋转后， ∵旋转后恰好是的， ∴， 解得； （3）解：由题意，得：，； 如图所示， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图所示， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或30． 1. 三角板旋转模型 模型结构 平行线中的三角板旋转模型，其基本结构通常由“三要素”构成：两平行直线与一副三角板。 首先，背景是两条平行线，通常由一条截线（如x轴或任意直线）截得，形成同位角、内错角、同旁内角等基本关系。这是模型的“舞台”。 其次，核心工具是一副标准三角板，即一个含30°–60°–90°角的直角三角形和一个含45°–45°–90°角的等腰直角三角形。在题目中，通常只使用其中一块，以某一点为旋转中心（如直角顶点或某一锐角顶点），在平面内进行旋转。 最后，关键元素是旋转过程中产生的动态角。当三角板绕定点旋转时，其边与平行线相交，形成新的交点和角。这些角随着旋转角度的变化而变化，但始终受到平行线性质和三角板固定内角的双重约束。 因此，整个模型的结构可以概括为：在平行线背景下，一个具有固定内角的三角形绕某点旋转，其边与平行线不断产生新的位置关系，从而构成一个动态的几何系统。 模型特点 动态中的不变性（不变量原理）：这是该模型最核心的特点。尽管三角板在不断旋转，看似杂乱无章，但某些角度之间的数量关系始终保持不变。例如，无论三角板转到哪个位置，某些由平行线性质决定的同位角或内错角始终相等；某些由三角形内角和或外角性质决定的角度和或差保持恒定。这种“动中取静”的思维方式，是解决此类问题的关键。 角度的“传递”与“转化”：旋转过程中，三角板的固定角度（如30°、45°、60°）会通过平行线的“桥梁”作用，传递到其他位置。例如，当三角板的一条边旋转至与某条平行线平行时，其夹角关系会立即转化为另一组角的关系。解题时，常需利用“等角代换”或“角的和差”将未知角转化为已知角或其组合。 分类讨论的必要性：由于旋转是360°全方位的，三角板的不同边可能落在平行线的不同区域（如两平行线之间、上方或下方），导致图形结构发生本质变化。例如，当三角板的直角边恰好与平行线垂直时，会形成特殊的矩形或直角三角形结构；而当其斜边与平行线相交时，则可能形成复杂的“飞镖”或“8字”模型。因此，必须根据旋转角度的范围进行分类讨论，画出不同情形的示意图，避免漏解。 辅助线的构造智慧：解决此类问题，常需添加辅助线。最常见的做法是“过旋转点作平行线”，从而构造出多个“三线八角”的基本图形，将分散的角集中起来。有时也需要连接某些交点，构造三角形，利用其内角和或外角性质进行推导。 模型1.三角板旋转模型 例1【实践与探究】 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为与相交于点，则为___________°． (2)操作二：保持不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点在上，点在上，点与点重合，点与点重合，若 ，求的度数． (3)操作三：将图①位置的三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当时，请完成下面两个问题： ①三角尺不动，当边与三角板的直角边平行时，___________．（直接写出所有满足条件的值） ②如图③，同时将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当边与三角板的一条直角边（边或）平行时，___________．（直接写出所有满足条件的值） 【答案】(1) (2) (3)①或；②秒或秒或秒 【分析】（1）由三角板的度数得到，利用三角形的内角和求出的度数，即可利用对顶角相等得到结果； （2）过点作，设，则，利用平行线的性质得到，即，由，列式求解即可； （3）①分类讨论的位置利用平行线的性质列方程求解即可； ②分类讨论和的位置，利用平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴； （2）设，则， 过点作，如图所示： ∴， ∵ ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得， 即； （3）①：如图，当在上方时，延长交于点，如图所示： 根据题意得， 当时，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 当在下方时，如图所示： 此时， ∴， 解得， 综上所述，或； ②解：当，且在上方时，如图，延长交于点， 根据题意得：，， ∴， 由条件可知， 即， 解得； 当，且在下方时，如图，延长交于点， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图，延长交于点， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上，的值为秒或秒或秒． 例2已知两条平行线，，一块直角三角尺，且点不可能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的顶点分别放在上，若，则的度数为___________； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，且与线段交于点，若，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，请直接写出射线与所夹锐角的度数． 【答案】(1)120 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）过点作，推出．根据平行线的性质得出则．求出，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ． 又， ， ， 故答案为：120； （2）解：如图，过点作，    ∵， ． ． ． 又， ， ． （3）解：如图，当点在上方时，交于点，    设，则， ∴， 解得． ∴； 如图，当点在下方时，延长交于点，    设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 例3一副三角板的三个内角分别是，，和，，，按如图1叠放在一起，若固定三角形，改变三角形ACD的位置其中点A位置始终不变，可以摆成不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，，并说明理由； (2)如图3中，当______时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出的度数及平行的直线． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等和外角的性质即可得到答案； （2）根据内错角相等两直线平行可得结论； （3）根据同旁内角互补，两直线平行得到结论． 本题属于三角形综合题，主要考查了平行线的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1， ，， ， ， ∴； （2）解：当时，，理由如下： ， ， ∴； 故答案为：； （3）解： ①如图4，当时，；理由如下： ∵， ， ∴ 当时，； ②如图5，当时，；理由如下： ∵， ∴， 当时，； ③如图6，当时，；理由如下： ∵ ∴ ∴， 当时，； ④如图7，当时，；理由如下： 连接BC， ∵ ， ， ， ∴， 当时，； ⑤如图8，当时，；理由如下： ∵ ∴， 当时，； ⑥如图9，当时，；理由如下： ∵ ， ∴， 当时，； ⑦如图10，当时，； ∵ 与AD重合， ∴， ∴， 当时，； ⑧如图11，当时，；理由如下： ∵， ∴， 当时， 例4某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动． (1)如图1，________； (2)当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数； 【答案】(1) (2)，图见解析 【分析】本题主要考查了三角板中角度的相关计算，根据平行线的性质求角的度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）利用平角的定义求解即可． （2）利用平行的性质得出，即可求出，再结合已知条件利用平角的定义即可求出． 【详解】（1）解：∵，． ∴， 故答案为：； （2）解：三角板的位置如下图： ∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 1．如图，三角板与三角板如图摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上，同时旋转两块三角板，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则时间的值为______秒． 【答案】或 【分析】分为两种情况进行分析，情况一：当时，过点作，交于点，延长与交于点，根据平行线的性质求出，，，，根据三角形内角和是，列出方程求解即可；情况二：当时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，根据平行线的性质求出，，，，根据三角形内角和是，列出方程求解即可． 【详解】根据题意可得，，， 情况一：当时，过点作，交于点，延长与交于点，如图： 则，， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得． 情况二：当时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，如图： 则，， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得． 综上，当与平行时，t的值为或． 2．先将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，，，，再将三角板绕点A顺时针转动，直到边与在同一条直线上时，停止转动．在转动的过程中，当两块三角板恰有两边平行时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据题意可分，，和四种情况，分别画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∴； 如图所示，当， ∴， ∴； 如图所示，当时， ∴； 如图所示，当， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 3．两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间____秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 【答案】2或14 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，注意分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论：①当第一次平行于时；②当第二次平行于时，画出图形，根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示：当第一次平行于时， ∵， ∴， ∴（秒）； 如图所示：当第二次平行于时， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴（秒）； 综上，旋转时间或秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行 故答案为：2或14． 4．将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【详解】解：由题意得：，， （1）当时， 如图所示：延长交于点， ①在上方， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：（舍去）； 如图：当时，延长交于点， ①在上方，度， ，， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②在下方，度， ，，， ， ， ， ， ， 即，解得：（舍去）， 综上可知：所有满足条件的的值为：或， 故答案为：或． 5．综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． (1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； (2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得：，由，得出， 再得出，即可求解； （2）过点E作，得到，得出，，即可求解； （3）分两种情况讨论如下：①当点E在上方时，当点E在下方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点E作， 依题意得：， ， ， ， ， ， ． （3）解：分两种情况讨论如下： ①当点E在上方时，设交于点H，如图所示： 依题意得：， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ； 当点E在下方时，延长交于点H，如图所示： 依题意得：， 设，则， ， ， ， 解得：， ， ， 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 6．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）平分，理由见解析；（3）或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出的度数； （2）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出平分； （3）依题意有以下4中情况：①当，且点C在的右侧时，则，由此可得出的度数；②当，且点C在的上方时，则；③当，且点C在的左侧时，则，④当，且点C在的下方时，则，由此可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）平分； 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）依题意有以下4中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ∴， ∴； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ∴； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ∴， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ∴， ∴， 综上所述：的度数是或或或． 7．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 【答案】（1）；（2）40或100；（3）15 或105 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理． （1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到； （2）当在上方时，延长交于T，先由平行线的性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可； （3）分解析中两种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分以下两种情况： 如图所示，当在上方时，延长交于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有， ∴； 综上所述，当旋转到时，t的值是40或100； （3）分以下两种情况： 如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，设直线分别交、于P、T， 此时，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 综上：所有满足条件的t的值为15 或105． 8．综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）45，75（2）或（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）当时，有则， 当时，，即可解答； （2）分类讨论： ①当时，②当时，③当时， 逐一分析，即可解答； （3）令与的交点为M， 与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答． 【详解】解：（1）当时，如图，有 ∴． 当时，如图，有 ∴． 故答案为：45，75． （2）①当时，如图，有 ， ∵，， ∴， 解得， ∴． ②当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 即， 解得． ③当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）不变化，理由如下： 令与的交点为M， 与的交点为N，如图 ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 9．将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，． (1)如图1，与的数量关系是______，理由是______； (2)如图1，点在上，若，求的度数； (3)如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方时，探究以下问题： ①当时，求出的度数； ②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接角度所有可能的值． 【答案】(1)相等；同角的余角相等 (2) (3)①；②、、、 【分析】本题考查了平行线的性质，几何图形中的角度计算，余角的性质： （1）根据余角的性质进行解答即可； （2）根据角度之间的关系进行解答即可； （3）①根据题意画出图形，过点C作，利用平行线的性质进行解答即可；②分别画出图形，利用平行线的性质求出的度数即可； 解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ∴， 故答案为：相等；同角的余角相等； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，如图： ， 过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②存在，的度数可能是、、、， 当时，如图所示： ， ∴， ∴根据解析（1）可知； 当时，如图所示： ， ∴； 当时，如图所示： ， ∴， ∴； 当时，如图所示： ， ∴， ∴； 综上分析可知，的度数可能是、、、． 10．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)①，② (2)，理由见解析 (3)、、、、 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，三角形内角和定理，角的和差计算． （1）①由角的和差运算求解即可；②由角的和差运算求解即可； （2）由角的和差运算求解即可； （3）分五种情况讨论，根据平行线的性质，三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：① ，， ， ， ， 故答案为：； ② ，， ， ， 故答案为：； （2）解：猜想：， 理由如下： ， 又 ， ， 即； （3）解：的度数为、、、、． 理由：当时，如图1所示： ， ； 当时，如图2所示： ； 当时，如图3所示： ， ； 当时，如图4所示： ， ； 当时，延长交于，如图5所示： ， ，， ， ． 综上：所有满足条件的的度数为、、、、． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $