2.2 立方根（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（湘教版2024）

2.2 立方根 第2章 实 数 ÷ 七年级下册数学（湘教版） 学习目标 1. 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.（重点） 2. 能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和 立方互为逆运算.（难点） 某化工厂使用半径为 1 米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的 8 倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？ 情境导入 问题：要做一个体积为 27 cm3 的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？ 解：设正方体的棱长为 x cm，则 这就是要求一个数，使它的立方等于 27. 因为 所以 x = 3. 正方体的棱长为 3 cm. 想一想 (1) 什么数的立方等于 -8？ (2) 如果问题中正方体的体积为 5 cm3，正方体的边长又该是多少？ -2 立方根的概念及性质 1 探究新知 立方根的概念 如果一个数 b，使得 b3 = a，那么b 叫作 a 的一个立方根，也叫作三次方根．a 的立方根记作 　 . 立方根的表示 一个数 a 的立方根可以表示为： 读作：立方根号 a，或三次根号 a. 填一填： 根据立方根的意义填空： 因为 = 8，所以 8 的立方根是（　）； 因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（　 ）； 因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）； 因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）； 因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）. 0 2 -2 0 -2 0.5 0.5 6 立方根的性质 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零. 立方根是它本身的数有 1，-1，0； 平方根是它本身的数 只有 0. 知识要点 平方根与立方根的异同 被开方数 平方根 立方根 有两个，互为相反数 有一个，是正数 无平方根 零 有一个，是负数 零 正数 负数 零 求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数 注意：这个根指数3 绝对不可省略. 每个数 a 都有一个立方根，记作 ，读作“三次 根号 a”. 如：x3 = 7 时，x 是 7 的立方根． a 叫作被开方数 3 叫作根指数 开立方及相关运算 2 9 求一个数的立方根的运算叫作“开立方”. “开立方”与“立方”互为逆运算 逆向思维 与学习开平方运算的过程一样，体现着一种重要的数学思想方法，你体会到了么？ 例1 分别求下列各数的立方根： 1， ，0，-0.064． 由于 (-0.4)3 = -0.064，因此 . 解： 由于 13 = 1，因此 ； 由于 ，因此 ； 由于 03 = 0，因此 ； 典例精析 求下列各式的值： 体会：对于任何数 a , a 2 4 0 -2 -3 探究1 3 23 ___， = 3 43 ___， = 温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算. 体会：对于任何实数 a， a 8 27 0 -8 -27 探究2 求下列各式的值： 体会： (1) 求一个负数的立方根，可以先求出这个负数绝对值的立方根，然后再取它的相反数； (2) 负号可从“根号内”直接移到“根号外”. 求下列各式的值: (1) ； (2) 探究3 -0.2 -0.2 求下列各数的值： (1) 0.5. (2)－4. (3) －4. (4) 5. (5) 16. 练一练 例2 求下列各式的值： 例3 已知 x－2 的平方根是±2，2x＋y＋7 的立方根是 3，求 x2＋y2 的算术平方根． 方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出 x，y 值，再根据算术平方根的定义求解． 解: 因为x－2 的平方根是±2， 所以 x－2 ＝ 4. 所以 x ＝ 6. 因为2x＋y＋7 的立方根是 3， 所以2x＋y＋7 ＝ 27. 把 x ＝ 6 代入，解得 y ＝ 8. 因为x2＋y2 ＝ 36＋64 ＝ 100， 所以 x2＋y2 的算术平方根为 10. 例4 用计算器求下列各数的立方根：343， -1.331. 用计算器求立方根 解：依次按键： 显示：7 所以 4 3 3 = SHIFT 依次按键： 显示：-1.1 所以 1 (-) . 3 1 3 = SHIFT 3 例5 用计算器求 的近似值（精确到 0.001）. 解 ： 依次按键： 显示：1.25992105 所以 = 2 SHIFT 议一议 1. 下列等式是否成立? 与同学交流你的看法. (1) a ； (2) a. 成立. 立方根 立方根的概念及性质 开立方及相关运算 课堂小结 (1) 25 的立方根是 5. ( ) ( ) 1. 判断下列说法是否正确： × (2) 任何数的立方根都只有一个. ( ) (3) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么 这个数一定是零. ( ) × × (5) 0 的平方根和立方根都是 0. ( ) √ (4) 一个数的立方根不是正数就是负数. √ 课堂练习 21 2.求下列各式的值 解：(1) (2) (3) 3.求下列各式的值： (4) 原式 = -5 + 5 - 5 - 5 = -10. 4.将体积分别为 600 cm3 和 129 cm3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 解：因为 600 + 129 = 729， 729 的立方根是 9， 所以这个正方体的棱长为 9 cm. 解：一个数的立方根等于它本身的数有 0，1，－1. 当 1－a2＝0 时，a2＝1，则 a＝±1； 当 1－a2＝1 时，a2＝0，则 a＝0； 当 1－a2＝－1 时，a2＝2，则 a＝ . 5. 已知 ，求 a 的值． 综上，a 的值为±1，0 或 . $$