2.1 第2课时 无理数（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（湘教版2024）

我们都知道一个小的数减去一个大的数，正数就不够用了。于是我们定义了负数树的家族扩大到了有理数的范围。那你有没有担心过，如果有一天一只打遍天下无敌手的有理数也不够用了，要怎么办？这个问题古人早就遇到过了，他们不仅遇到了，还因此酿成了一场危机和惨案。这还要从2500多年前的古希腊说起。古希腊时期经常被称为人类文明的童年时期，那时人类刚刚摆脱野蛮状态不久，认识事物的方式也就比较天真，结果就是他们认为世界的本源是水啊、火啊这种看得见摸得着的东西。但是有那么一群人，在思想上跳过的童年，直接进入了中学二年级，他们就是毕达哥拉斯学派的成员。他们认为世界的本源不是那些具有实体的东西而抽象的数，不过他们对数的认识都限于有理数的范围内。这是因为他们对数的认识都是从生活经验中得到的。比如市场上买几个苹果、土豆，就有了整数的概念。要是买半张饼或者大半罐蜂蜜，就有了分数的概念。所以毕达哥拉斯学派认为宇宙万物都只能通过整数和整数比，也就是分数解释，并且对有理数的各种规则掌握，还可以让他们获得与神灵接触的钥匙。于是他们就成立了一个人数众多的神秘团体，团体中的人都要现身于这种拜有理数教，这种算算题拜拜有理数的日子一直持续到公元前400年左右。学派中出现了一个震惊当时数学界的叛逆，他发现了一个神秘的树，这个人名叫西伯斯，据说是毕达哥拉斯本人的学生。他的老师有一项了不起的发现，就是直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个发现后来被称为达哥拉斯定理，也就是我们大天朝说的勾股定理，我们初二会详细学习它。讽刺的是，也正是这个让毕达哥拉斯学派扬名数学史的定理，当时却动摇了学派的信仰。西伯斯发现，当一个等腰直角三角形的直角边是一的时候，它的斜边长度怎么找也找不到，因为这个数必须要满足平方是二这个条件，可谁的平方是二呢，无论是1234这种整数，还是一又2分之1、一又3分之1、一又4分之1这种分数，都无法确切的表明这个平方是二的数。西伯斯搜肠刮肚做了各种可能的尝试，最后终于意识到一个严峻的问题，有理数不够用了。西伯斯感觉新世界的大门向他敞开了，于是开始研究这个神秘墅。最终他证明了这个平方是二的数确实不是有理数，只能用一个新数来表示。这就是数学史上第一个无理数根号2。这个神秘墅的发现让毕达哥拉斯学派大为震惊，传说这群用有理数解释万物的人实在无法接受无理数的存在，于是以渎神的罪名把西伯斯沉入了大海。毕达哥拉斯学派虽然中2，但他们的数学知识在当时是最尖端的，也就是说，当时的人们对数的认识都局限在有理数内。西伯斯虽然死了，但他发现的根号二却在当时的数学界掀起了轩然大波，动摇了树的基本概念，形成了一次颠覆认识的大危机，史称第一次数学危机。虽然有理数和无理数的名字只差了一个字，但实际上对有理数的认识基本上是从生活经验中总结而来，而无理数的发现却脱胎于数学本身的规则，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。可以说，从这里开始，数学这个迷人的游戏才算是真正的the game is on。这也就是为什么祖冲之爷爷推算出了派的小数点后七位是这么牛的事儿了，没想到吧，我们熟悉的派可也是高端洋气的无理数哦。故事讲完了，下面就轮到你了，让我们一起在这一章认识无理数和他的家族吧。 2.1 平方根 第2课时 无理数 第2章 实 数 ÷ 七年级下册数学（湘教版） 学习目标 1. 理解无理数的概念，能正确地判断一个数是不是 无理数.（重点） 2. 能快速地利用计算器求一个无理数的近似值． （难点） 点击视频开始播放 → 情境导入 观察与思考 将一个长为 4 cm，宽为 2 cm的长方形纸片剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？ 正方形的面积为 8 cm2， 由于 22 = 4，32 = 9， 又 4＜8＜9， 且面积较大的正方形的边长也较大， 因此面积为 8 cm2 的正方形的边长不是整数. 思考：正方形的边长怎么表示呢？是个什么样的数呢？ 活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 1 1 无理数的认识 1 探究新知 5 还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 问题1：设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？ 追问1：a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？ 因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2. 从“数”的角度： 因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4， 所以 12 < a2 < 22. 所以 1< a < 2，故 a 不是整数. 7 追问2：a 可能是分数吗？ ① a 是分母为 2 的分数吗？ ② a 是分母为 3 的分数吗？ ③ a 是分母为 4 的分数吗？ ④ a 是分母为多少的分数？ 归纳：a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数. 8 思 考 观察下列结果： 12 = 1， 22 = 4； 1.42 = 1.96 1.52 = 2.25 1.412 = 1.9881 1.422 = 2.0164 1 .414²=1.999396， 1.415²=2.002225; 1.4142²=1.99996164， 1.4143²=2.00024449; … … (1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围; (2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数? 解：由于12<2，2<22，所以1<<2. 由于1.42<2<1.52，所以1.4<<1.5. 同理可得，1.41<<1.42， 1.414<<1.415，1.4142<<1.4143. (1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围; (2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数? 解：若将 写成一个小数，则由(1)可以猜测它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数. 知识要点 事实上， = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式，从而它不是一个有理数.像这样，若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数. 例如，，，π 是正无理数， ，，π 是负无理数. 类似于有理数分类， 无理数也分为正无理数和负无理数. 议一议 下面的说法正确吗? 如果不正确，请说明理由. (1) 无限小数都是有理数； (2) 无理数都是无限小数； (3) 带根号的数都是无理数； (4) 无理数都是带根号的数. 答：(1) 不正确. 如 = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，属于无理数 (2) 正确. (3) 不正确. 如 = 2 属于有理数. (4) 不正确. 如 π. 练一练 1. 把下列各数分别填入相应的集合内： 0.101， 有理数集合 无理数集合 ．．． ．．． （每两个3之间依次增加一个7） （每两个3之间依次增加一个7） 我们常见的无理数的有以下三种形式： (1) 化简后含有 π 的数； (2) 开不尽方的数开方所得结果； (3) 有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0） …… 总结归纳 例1 设 n 为正整数，且 n＜ ＜n＋1，则 n 的值为( 　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：根据特殊有理数找出最接近的平方数，问题可得到解决． 因为 ＜ ＜ ， 所以 8＜ ＜9， 所以 n＝8. D 典例精析 方法总结：开不尽平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围． 练一练： 写出一个比－3大的无理数：_________. 问题：怎么用小数近似地表示一个无理数呢？ 例如 π = 3.141592653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到 π≈3.14，π≈3.142，…，我们称 3.14，3.142 分别是 π 的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值. 用计算器求算术平方根 2 问题：怎么求一个正数的算术平方根或它的近似值呢？ 3.14，3.142 ，3.1416，... 都是 π 的近似值，称它们为近似数. 知识要点 例2 用计算器求下列各式的值. (1) (2) （精确到小数点后面第三位）. 解：(1) 依次按键： 显示：32 所以 1 2 0 4 = (2) 依次按键： 显示：2.828427125 所以 8 = 2.用计算器比较下面两数的大小： (1) (2) 解：(1) 3.236067978. (2) 3.339148045. 练一练 20 总结归纳 由于(±)2 = a，则对于任意一个非负数 a，先开平方，然后再平方，最后的结果仍等于 a. 做一做 = a 成立吗？ 若不成立，请举例说明. 当 a≥0 时， = a 成立. 当 a＜0 时， = a 不成立. → 无理数 化简后含有 π 的数 有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0） 开不尽方的数开方所得结果 用计算器计算 ↓ 概念 …... 课堂小结 1. 下列各数： 1， (相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1)中，无理数的有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【解析】无限不循环小数是无理数，其中 (相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1) 是无理数，其它是有理数. A 课堂练习 23 【解析】因为 3.14 是小数， 是分数， 是无限循环小数，所以选项 A，B，D 都是有理数； 是无限不循环小数，所以是无理数. 2. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. 3.14 B. C. D. C (1) 有限小数是有理数. ( ) (2) 无限小数都是无理数. ( ) (3) 无理数都是无限小数. ( ) (4) 有理数是有限小数. ( ) 3. 判断题： ╳ √ √ ╳ 4. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ） A.面积为 25 的正方形 B.面积为 的正方形 C.面积为 8 的正方形 D.面积为 1.44 的正方形 C 用计算器计算 ：显示 2.4494897， 所以 . 5.用计算器求下列各式的值： 6. 面积为 6 cm2的正方形，它的边长是多少？用计算器 求边长的近似值（精确到 0.001 cm）. 正方形的面积是 6 cm2，因此它的边长为 cm. 解： 解： 解： 7. 用计算器分别求 的近似值 (精确到0.001). 8. 借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？ 利用你发现的规律直接写出结果： 4···4442 3···3332 + = 5···555. 5555. = 2 2 3333 4444 + $$