1.2.1 平方差公式（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（湘教版2024）

1.2 乘法公式 第1章 整式的乘法 1.2.1 平方差公式 ÷ 七年级下册数学（湘教版） 学习目标 1. 理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2. 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简 单的运算.（难点） 多项式与多项式是如何相乘的？ (x ＋ 3)( x＋5) = x2＋5x＋3x＋15 = x2＋8x＋15. ( a + b )( m + n ) = am + an + bm + bn 复习导入 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少 5 米，相邻的另－边增加 5 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他 把这事和邻居们－讲，大家都说： “张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你觉得张老汉是否吃亏了? 情境导入 ① (x + 1)( x - 1)； ② (m + 2)( m - 2)； ③ (x + y)(x - y)； ④ (5y + z)(5y - z). 算一算：看谁算得又快又准. 平方差公式 合作探究 1 探究新知 ② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 ③ (x + y)(x - y) = x2 - y2 ④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 ① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ = x2－12 = m2－22 = x2－y2 = (5y)2－z2 用自己的语言叙述你的发现. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. (x + y)(x − y) = x2 − y2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (x – y) (x + y) = x2 − y2， (y + x)(−y + x ) = x2 − y2. 平方差公式： 知识要点 平方差公式 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个 多项式等． (x + y)(x - y) = x2 - y2 相同为 x 相反为 y 适当交换 合理加括号 例1 计算：(1) ( 2x ＋1)( 2x －1 )； (2) (x＋2y)(x－2y). 解：(1) 将平方差公式中的 x 用 2x 代替，y 用 1 代替， 可得 典例精析 分析：(1)(2)中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可利用该公式进行计算. (2x＋1)(2x－1)＝ (2x)2－12 ＝4x2－1. 看作 x 看作 y 例1 计算： (2) ( x ＋ 2y )( x － 2y ). 解：将平方差公式中的 y 用 2y 代替，可得 典例精析 (x＋2y)(x－2y)＝ x2－(2y)2 ＝x2－4y2. 看作 y 例2 运用平方差公式计算: . 解：将平方差公式中的 x 用 －2x 代替，y 用 y 代替，可得 ＝ ＝. 练一练：口答下列各题： (l) (－x + y)(x + y) =_________. (2) (x－y)(y + x) = _________. (3) (－x－y)(－x + y) = ________. (4) (x－y)(－x－y) = _________. x2－y2 x2－y2 y2－x2 y2－x2 填一填： x y x2－y2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 (0.3x)2－12 (x + y)(x - y) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x) (1 + a)(-1 + a) 例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a). 典例精析 解：由平方差公式得 (4a＋b)(－b＋4a)＝(4a＋b)(4a－b) ＝(4a)2－b2 ＝16a2－b2. 方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式的形式． (1) (－7m＋8n)(－8n－7m)； (2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2. (2) 原式＝(x2－4)(x2＋4) ＝x4－16. 练一练 利用平方差公式计算： 将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？ (a + b)(a − b) = a2 − b2 平方差公式的几何验证 2 合作探究 a a b b a + b a - b b b 几何验证平方差公式 a a b b a2 - b2 a b b b (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 a - b a - b a a a2 b a a2 - b2 a b b a a b 1 2 (a+b)(a-b) 1 2 (a+b)(a-b) b a a b (a+b)(a-b) = a2-b2 自主探究 想一想： (1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点： 6×8 = 48 14×16 = 224 69×71 = 4899 7×7 = 49 15×15 = 225 70×70 = 4900 平方差公式的运用 3 (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母 表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ (a − 1)(a + 1) = a2 − 1 例4 计算：(1) 1002×998； 解：由于1002×998 = (1000＋2)(1000－2) 注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 典例精析 于是由平方差公式得 (1000＋2)(1000－2) = 10002－22 = 1000000－4 = 999996 因此 1002×998 = 999996. 例4 计算： (2) 118×122. 解：118×122 = (120－2)(120＋2) = 1202－22 = 14400－4 = 14396. 注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 典例精析 例5 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算． 例6 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2， 改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16. 因为a2＞a2－16，所以李大妈吃亏了． 本课开头张老汉的故事你能解释原因了吗？ 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 课堂小结 1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算 ? (1) (a + b)(a  b)； (2) (a − b)(b − a)； (3) (a + 2b)(2b + a)； (4) (a − b)(a + b)； (5) (2x + y)(y − 2x). (不能) (不能) (不能) ( 能 ) (不能) − (a2 − b2) = − a2 + b2 课堂练习 2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1) (x + 2)(x－2) = x2－2； (2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4. 不对 改正：x2－4 不对 改正方法①： 原式 = －[(3a + 2)(3a－2)] = －(9a2－4) = －9a2 + 4. 改正方法②： 原式 = (－2－3a)(－2 + 3a) = (－2)2－(3a)2 = 4－9a2. 3. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( ) A. a = b B. a＞b C. a＜b D. a≤b 4. 97×103 = ( )×( ) = ( ). 5. (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是______. 100－3 100 + 3 1002－32 x = 4 B (1) (a + 3b)(a - 3b)； 解：原式 = (2a + 3)(2a－3) = (2a)2－32 = 4a2－9. = a2－9b2. 解：原式 = a2－(3b)2 (2) (3 + 2a)(－3 + 2a)； 6. 利用平方差公式计算： (3) (－2x2－y)(－2x2 + y)； 解：原式 = (－2x2 )2－y2 = 4x4－y2. (4) (－5 + 6x)(－6x－5). 解：原式 = (－5 + 6x)(－5－6x) = (－5)2－(6x)2 = 25－36x2. 解：(1) 原式＝(50＋1)(50－1)＝502－12 ＝2500－1＝2499. (3) 原式＝(9x2－16)－(6x2＋5x－6) ＝3x2－5x－10. (1) 51×49； (3) (3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3)(3x - 2). (2) 13.2×12.8； 7. 利用平方差公式计算： (2) 原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22 ＝169－0.04＝168.96. 2. 若 A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)，则 A 的值是______． 解析：A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) ＝(2－1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) ＝(22－1)(22 + 1)(24 + 1) ＝(24－1)(24 + 1) ＝28－1＝256－1＝255． 255 能力拓展： 1. 计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2). 解：原式＝(x2－y2)(x2 + y2)＝x4－y4. $$