1.1.2 幂的乘方（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（湘教版2024）

1.1 整式的乘法 第1章 整式的乘法 1.1.2 幂的乘方 ÷ 七年级下册数学（湘教版） 学习目标 1.理解并掌握幂的乘方法则.（重点） 2.会运用幂的乘方法则进行幂的乘方的运算.（难点） 地球、木星、太阳可以近似地看作是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和 102 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？ 你知道 (102)3 等于多少吗？ V球 = πr3， 其中 V 是球的体积，r 是球的半径. 情境导入 10 103 ＝边长2 ＝边长×边长 S正 问题1 请分别求出下列两个正方形的面积： 幂的乘方 S小 ＝10×10 ＝102 ＝103×103 S大 ＝ (103)2 ＝ 103+3 ＝ 106 ＝ 1 探究新知 问题2 请根据乘方的定义及同底数幂的乘法填空， 观察计算的结果，你能发现什么规律？证明你的猜想. (32)3 = ___ ×___ ×___ = 3（ ）+（ ）+（ ） = 3（ ）×（ ） = 3（ ）. 32 32 32 2 2 2 2 3 6 猜想：(am)n =_____. amn 证一证： ( am )n n 个 am n 个 m 幂的乘方法则 (am)n = amn (m，n 都是正整数). 即幂的乘方，底数______，指数＿__＿. 不变 相乘 例1 计算： (1) (105)2； 解：(1) (105)2 = 105×2 = 1010. (2) (a2)4 = a2×4 = a8. (3) (xm)4 = xm·4 = x4m. (3) (xm)4(m是正整数)； (2) (a2)4； (4) -(a3)4； (4) -(a3)4 = -a3×4 = -a12. (6) [(-a)3]4. (5) [(x + y)2]3； (5) [(x + y)2]3 = (x + y)2×3 = (x + y)6. (6) [(-a)3]4 = (-a)3×4 = (-a)12=a12. 典例精析 方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式． 议一议 下列计算对不对? 如果不对，应怎样改正? (1) (a2)5 = a7 (2) (a3)2 = a9 (1) 错误. (a2)5 = a10. (2) 错误. (a3)2 = a6. (-a5)2 表示 2 个 -a5 相乘，结果没有负号. 比一比 (-a2)5 和 (-a5)2 的结果相同吗? 为什么? 不相同. (-a2)5 表示 5 个 -a2 相乘，其结果带有负号. n 为偶数， n 为奇数. 想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？ 幂的乘方法则拓展： ＝( a6 )4 ＝ a24 [ ( y5 )2 ]2 =______ = ______； [ ( x5 )m ]n =______=_______. 练一练： ( y10 )2 y20 ( x5m )n x5mn (2) a2 (－a)2 (－a2)3＋a10 例2 计算： (1) (a4)3 · a3； (2) a2 (－a)2 (－a2)3＋a10. 解：(1) (a4)3 · a3 = a12 · a3 = a15. = －a2 · a2 · a6＋a10 = －a10＋a10 = 0. 先乘方，再乘除 先乘方，再乘除，最后算加减 典例精析 方法总结：与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项． 例3 已知 10m＝3，10n＝2，求下列各式的值. (1) 103m； (2) 102n ； (3) 103m＋2n. 解：(1) 103m＝(10m)3＝33＝27. (2) 102n＝(10n)2＝22＝4. (3) 103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108. 方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后整体代换求值即可. (1) 已知 x2n＝3，求 ( x3n )4 的值； (2) 已知 2x＋5y－3＝0，求 4x · 32y 的值． 解：(1) ( x3n )4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729. (2)因为 2x＋5y－3＝0， 所以 2x＋5y＝3. 所以4x · 32y＝(22)x · (25)y＝22x · 25y＝22x＋5y＝23＝8. 变式训练 例4 比较 3500，4400，5300 的大小. 解析：这三个幂的底数不同，指数也不相同，不能直接比较大小，通过观察，发现指数都是 100 的倍数，故可以考虑逆用幂的乘方法则. 解：3500 = (35)100 = 243100，4400 = (44)100 = 256100， 5300 = (53)100 = 125100. 因为 256100 > 243100 > 125100， 所以4400 > 3500 > 5300. 方法总结：比较底数大于 1 的正整数指数幂的大小的方法有两种： (1) 底数相同，指数越大，幂就越大； (2) 指数相同，底数越大，幂就越大. 故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数或同指数的幂，然后再去比较大小. 幂的乘方 法则 (am)n = amn ( m，n 都是正整数) 注意 幂的乘方，底数不变，指数相乘 幂的乘方与同底数幂的乘法的 区别：(am)n = amn；am﹒an = am+n 幂的乘方法则的逆用： amn = (am)n = (an)m 课堂小结 1. ( x4 )2 等于 ( ) A．x6 B．x8 C．x16 D．2x4 B 2. 下列各式的括号内，应填入 b4 的是 ( ) A．b12＝(　　)8 B．b12＝(　　)6 C．b12＝(　　)3 D．b12＝(　　)2 C 课堂练习 3. 下列计算中，错误的是 ( ) A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6 B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7 C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n D．[(a－b)3]2＝(a－b)6 B 4．如果 ( 9n )2＝312，那么 n 的值是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 B 5. 计算： (1) (102)8； (2) (xm)2； (3) [(－a)3]5 (4)－(x2)m. 解：(1) (102)8＝1016. (2) (xm)2＝x2m. (3) [(－a)3]5＝(－a)15＝－a15. (4) －(x2)m＝－x2m. 6. 计算： (1) 5(a3)4－13(a6)2； (2) 7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2； (3) [(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9. 解：(1) 原式＝5a12－13a12＝－8a12. (2) 原式＝－7x9 · x7＋5x16－x16＝－3x16. (3) 原式＝(x＋y)18－(x＋y)18＝0. 7. 已知 3x + 4y - 5 = 0，求 27x · 81y 的值. 解：因为 3x + 4y - 5 = 0， 所以3x + 4y = 5. 所以 27x · 81y = (33)x · (34)y = 33x · 34y = 33x+4y = 35 = 243.　 8. 已知 a = 355，b = 444，c = 533，试比较 a，b，c 的大小. 解：a = 355 = (35)11 = 24311， b = 444 = (44)11 = 25611， c = 533 = (53)11 = 12511. 因为256 > 243 > 125， 所以b > a > c. 拓展提升 $$