1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理（Word教案）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（湘教版2024）

第一章 整式的乘法 1.2.3　运用乘法公式进行计算和推理 1．会熟练地运用乘法公式进行计算；能正确地根据题目要求选择不同的乘法公式进行计算． 2．通过学习运用乘法公式进行计算，提高学生对乘法公式综合运用的能力，特别是观察、分析、解决问题的能力． 3．运用乘法公式解决代数推理类问题． 4．在学习的过程中，培养学生实事求是、科学、严谨的学习态度． 重点：综合运用平方差和完全平方公式进行多项式乘法的计算． 难点：正确选择乘法公式进行计算并规范书写解答过程． 一、情境导入 1．我们学过了哪些乘法公式？ (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 2．怎样计算：(a＋2b－c)(a－2b＋c). 二、合作探究 探究点：运用乘法公式进行计算 【类型一】 乘法公式的综合运用 计算： (1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)； (2)(a＋b)2－2(a＋b)(a－b)＋(a－b)2； (3)(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)； (4)(2a＋b)2(b－2a)2. 解析：(1)可添加(2－1)，与首项结合起来用平方差公式，再把结果依次与下一项运用平方差公式； (2)逆用完全平方公式，能简化运算； (3)两个因式都是三项式，且各项的绝对值对应相等，所以可先运用平方差公式； (4)先利用积的乘方把原式变形为[(b＋2a)(b－2a)]2，再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开，然后再利用完全平方公式展开即可． 解：(1)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(24－1)(24＋1)…(216＋1)＝232－1； (2)原式＝[(a＋b)－(a－b)]2＝(a＋b－a＋b)2＝4b2； (3)原式＝[x－(2y－3z)][x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－(4y2－12yz＋9z2)＝x2－4y2＋12yz－9z2； (4)原式＝[(b＋2a)(b－2a)]2＝(b2－4a2)2＝b4－8a2b2＋16a4. 方法总结：运用乘法公式计算时，先要分析式子的特点，找准合适的方法，能起到事半功倍的作用．同时由于减少了运算量，能提高解题的准确率． 【类型二】 运用乘法公式求值 如图，立方体每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等．若18的对面写的是a，14的对面写的是b，35的对面写的是c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值． 解析：根据相对两个面所写的两数之和相等可得a－b，a－c，b－c的值，然后逆用完全平方公式对代数式进行整理，最后代入数值计算即可得到结果． 解：根据相对两个面所写两数之和相等，可得18＋a＝14＋b，即a－b＝－4，18＋a＝35＋c，即a－c＝19，14＋b＝35＋c，即b－c＝21.∴2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)＝(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝(－4)2＋172＋212＝16＋289＋441＝746.∴a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝×746＝373. 方法总结：本题主要考查了完全平方公式的运用，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，本题根据质数的定义判断出c的值是解题的关键． 已知a－b＝3，b－c＝2，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值． 解析：根据已知先求出a－c的值，然后根据(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)求解． 解：因为a－b＝3，b－c＝2，所以a－c＝5.因为(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝9＋4＋25＝38，所以2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝38.因为a2＋b2＋c2＝1，所以2－2(ab＋bc＋ca)＝38.所以ab＋bc＋ca＝－18. 方法总结：运用乘法公式求值，往往涉及乘法公式的变形，并把其中某部分看作一个整体，如把a2＋b2与2ab看作一个整体，利用列方程或列方程组求解． 【类型三】 运用乘法公式进行代数推理 在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图①是2023年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字形框架任意框住月历中的5个数(如图①中的阴影部分)，将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：7×21－6×22＝________，4×18－3×19＝________，不难发现，结果都等于________．(请完成填空) (2)设“Z”字形框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对(1)中的规律加以说明． 解析：(2)用含x的式子表示出A，B，D，E.再用乘法公式化简． 解：(1)15　15　15 (2)因为“Z”字形框架中位置C上的数为x，所以A，B，D，E四个数依次为x－8，x－7，x＋7，x＋8.由题意得(x－7)(x＋7)－(x－8)(x＋8)＝(x2－49)－(x2－64)＝x2－49－x2＋64＝15，故(1)中的规律正确． 方法总结：观察几个式子或图表中的规律，列出代数式，再利用乘法公式化简，解释说明规律． 三、板书设计 运用乘法公式进行计算和推理 1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 本节课学习了运用乘法公式进行计算和推理，计算时要注意两个方面，一是正确运用公式，判断题目所给出的式子是否适用公式进行计算，运用公式时是用平方差公式还是完全平方公式；二是注意运算的准确性，运算时必须细心，注意符号及项数，避免出现错误．在教学中可采取小组竞赛的方式进行，提高学生的积极性和主动性． 学科网（北京）股份有限公司 $$