2.1 第2课时 垂线（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（北师大版2024）

2.1 两条直线的位置关系 第二章 相交线与平行线 第2课时 垂 线 七年级下册数学（北师版） 学习目标 1. 理解垂线、垂线段的概念，在作图中掌握点到直线的距离的概念，培养抽象能力和空间观念. 2. 会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离，发展应用能力和作图能力. 3. 掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理，培养数学思维自主思考的习惯，发展推理能力和数学表达能力. 重点：垂线的性质及点到直线的距离的定义. 难点：运用垂线的概念和性质解决实际应用问题. 知识链接 如图 ①，当直线 AB 绕点 O 逆时针旋转∠AOC = 90° 时(如图②)，你能求出其他角的度数吗? 此图形有什么特点? 此时两直线的位置有什么关系? A B O C D 图① A B O C D 图② 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 情境导入 日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？ 垂直的概念 取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 为α . 转动木条的同时观察其夹角的变化. ） α a b b b b ） α ） α ） α ） α ） α ） α ） α 1 探究新知 合作探究 (2) 当 ∠α 为 90° 的位置关系有几个？此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？ α b ） a α b ） a (1) 当 ∠α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少？ 解：145°，35°，145°；90°，90°，90°. 当∠a 为 90° 的位置关系只有一个； 此时两根木条的位置关系—— a 与 b 垂直，记作a丄b. 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直. 归纳总结 垂直的定义 记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB ） A B C D O l m 垂足 或可记作：l⊥m（或 m⊥l ）. 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直. (1) 如图，O 为直线 AB 上一点，∠AOC = ∠BOC， 那么 O C 与 AB 垂直吗? 为什么? (2) 以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗? 你知道她每一步的依据吗? 与同伴进行交流。 A B C O 我的思考过程如下： 由∠AOC = ∠BOC，且∠AOC +∠BOC = 180°， 可得∠AOC = ∠BOC = 90°，所以 OC⊥AB. → 平角的性质 → 等角替换 → 垂直的定义 思考·交流 (3) 如果 OC⊥AB，那么∠AOC = ∠BOC 吗? 为什么? 与同伴进行交流. 如果 OC⊥AB， 那么∠AOC = ∠BOC. 理由如下： 因为 OC⊥AB，根据垂直的定义可知∠AOC 和∠BOC 都是直角， 即∠AOC = 90°，∠BOC = 90°， 所以∠AOC = ∠BOC. A B C O 折一折，试一试 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗? 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 做一做 典例精析 例1 如图，已知点 O 在直线 AB 上，CO⊥DO 于点 O，若∠1 = 145°，则∠3 的度数为( ) C A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° (1) 画已知直线 l 的垂线能画几条? (2) 点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条? (3) 如果点 A 在直线 l 外呢? 合作探究 垂线的画法及基本事实 2 问题1：这样画 l 的垂线可以画几条？ 1.放 l O 如图，已知直线 l，画 l 的垂线. A 无数条 2.靠 3.画 … 问题2：如图，点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条? A l . A l . 如果点 A 在直线 l 外呢? 1.放 2.靠 3.画 O 同理： 都只能画一条垂线 点击视频观看→ 视频观看 问题3：如图，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥ l ，点 O 是垂足. 点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长短，你发现了什么? B O C A l P 垂线段最短. 线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离. O l P 归纳总结 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 典例精析 例2 如图，AC⊥BC，AC = 3，BC = 4，AB = 5. (1) 试说出点 A 到直线 BC 的距离； 点 B 到直线 AC 的距离； 解析：点 A 到直线 BC 的距离就是线段 AC 的长；点 B 到直线 AC 的距离就是线段 BC 的长； A B C 解：点 A 到直线 BC 的距离是 3； 点 B 到直线 AC 的距离是 4. 典例精析 例2 如图，AC⊥BC，AC = 3，BC = 4，AB = 5. (2) 点 C 到直线 AB 的距离是多少? 解析：过点 C 作 CD⊥ AB，垂足为 D. 点 C 到直线 AB 的距离就是线段 CD 的长，可利用面积求得. A B C D 解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D. 所以点 C 到直线 AB 的距离为 . 因为 S△ABC = BC·AC = AB·CD， 所以 5CD = 3×4，解得 CD = . 观看视频，想一想运动员的跳远成绩是怎样测量的? 你能说说其中的道理吗? 点击视频观看→ 视频观看 一、选择题 1. 如图，点B到直线AC的距离是线段（　B　） A. AB的长 B. CB的长 C. BD的长 D. AC的长 B 2. 过点A画线段BC所在直线的垂线 段，其中正确的是（　D　） D 当堂练习 3. 如图，EO⊥AB于点O，∠EOC＝40°， 则∠AOD的度数为（　C　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° C 二、填空题 4. 自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路 线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO⊥BO），路 线最短，工程造价最低， 依据是 ⁠. 垂线段最短　 5. 如图，已知直线AD，BE，CF相交于O， OG⊥AD，且∠BOC＝35°，∠FOG＝30°，则 ∠DOE＝ ⁠°. 25　 三、解答题 6. 如图，A，O，B在同一条直线上， ∠AOD∶∠DOB＝3∶1，OD平分∠COB. （1）求∠DOC的度数； 解：(1)∵∠AOD∶∠DOB＝3∶1， ∴∠DOB＝ ×180°＝45°. ∵OD平分∠COB， ∴∠DOC＝∠DOB＝45°. （2）判断AB与OC的位置关系. （2）∵∠DOC＝∠DOB＝45°， ∴∠BOC＝45°＋45°＝90°. ∴OC⊥AB，即AB与OC的位置关系是垂直. 垂线 垂线的定义 垂线的性质 在同一平面内，过一点 ______________直线与已知直线垂直 垂线段____ 垂线的画法 一放二靠三画 最短 点到直线的距离 有且只有一条 当堂小结 $$王佳楠，对，马上出场的是中国选手王佳楠，王佳楠有这个能力，也有机会上到前三名。王佳楠的表现，助跑开始冲起来。加速。漂亮漂亮漂亮漂漂亮漂亮有效。王佳楠这一跳成绩有效。我们在画面当中目测这一跳应该是已经超越腾格格鲁。肯定超越第一名了，应该在8米40左右了。我这一。跳真是精彩，上，没问题。刚才我就说他只要。只要上板再好一点。做的再精细点。一定是可以超越第一的漂亮。 首先先边线重合。然后再平移靠点。画垂线，标直角符号。首先先边线从边线重合，然后再平移靠点。画垂线，标上直角符号。