第一章 整式的乘除 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（北师大版2024）

小结与复习 第一章 整式的乘除 七年级下册数学（北师版） 研究路径 数 代数式 研究方法 定义 相关概念及性质 运算 联系应用 实数 定义、分类 定义、分类 大单元知识体系 整式 绝对值、倒数、相反数 系数、次数、同类项 实数的运算 解决问题的全过程 类比思想 数形结合 从具体到抽象 从特殊到一般 模型思想 化归思想 整式的运算 1. 幂的乘法运算法则 法则名称 文字表示 式子表示 同底数幂的乘法 同底数幂相乘， 底数 ，指数 . am • an＝ (m、n 为正整数) 幂的乘方 幂的乘方，底数 ，指数 . (am)n＝ (m、n 为正整数) 积的乘方 积的乘方，等于把积的每个因式分别 ，再把所得的幂 . (ab)n＝ (n 为正整数) am＋n amn anbn　 不变 相乘 相加 不变 相乘 乘方 要点梳理 [注意] (1) 其中的 a、b 可以是单独的数、单独的字母，还可以是一个任意的代数式； (2) 这几个法则容易混淆，计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则． 2．同底数幂的除法法则 (3) 同底数幂相除， 底数不变，指数相减. (a≠0， m、n为任意整数) (1) 任何不等于零的数的零次幂都等于 1. (2) 负整数指数幂： ( a≠0，n 为正整数 ) 3．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的________， _____________分别相乘，对于只在一个单项式 中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一 个　 　. 单项式与多项式相乘，用　　 和_______的每 一项分别相乘，再把所得的积　 　. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 _______与另一个多项式的　 　相乘，再把所 得的积　 　. 系数 相同字母的幂 因式 单项式 多项式 相加 每一项 每一项 相加 4．乘法公式 公式名称 平方差公式 完全平方公式 文字表示 两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方的差 两数和(差)的平方，等于这两数的______加上(减去)________的 2 倍 式子表示 (a＋b)(a－b)＝ (a±b)2＝　　 平方和 这两数积 a2－b2 a2±2ab＋b2 公式的 常用变形 a2＝　 　(a－b)＋b2； b2＝　　－(a＋b) (a－b). a2＋b2＝(a＋b)2－ ，　　 或(a－b)2＋ 　； (a＋b)2＝(a－b)2＋ .　 (a＋b) 2ab 2ab 4ab [点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算； (2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式． a2 考点一 幂的乘法运算 例1 计算： (1) (2a)3(b3)2 · 4a3b4； (2) (－8)2024×(0.125)2023. 解：(1) 原式 = 8a3b6 ×4a3b4 = 32a3+3b6+4 = 32a6b10. (2) 原式 = (－8)×(－8)2023×(0.125)2023 = (－8)×(－1)2023 = 8. = (－8)×[(－8)×0.125]2023 考点讲练 幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方.这三种运算性质贯穿全章，是整式乘法的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正. 1. 下列计算不正确的是 ( ) A. 2a3 · a = 2a4 B. (－a3)2 = a6 C. a4 · a3 = a7 D. a2 · a4 = a8 D 针对训练 方法总结 2. 计算：0.252023×(－4)2023－8100×0.5301. 解：原式 = [0.25 ×(－4)]2023－(23)100×0.5300×0.5 解：∵ 420 = (42)10 =1610， 3. 比较大小：420 与 1510 . ∴ 420 > 1510. 1610 > 1510， = －1－0.5 = －1.5. = －1－(2×0.5)300×0.5 考点二 整式的乘法 例2 计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y，其中 x = 1，y = 3. 【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中， 一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则. 解：原式= (x3y2－x2y－x2y + x3y2) ×3x2y = (2x3y2－2x2y) ×3x2y = 6x5y3－6x4y2 . 当 x = 1，y = 3 时，原式= 6×27－6×9 = 108. 整式的乘法主要包括单项式乘单项式、单项式乘多项式及多项式乘多项式，其中单项式乘单项式是整式乘法的基础，必须熟练掌握它们的运算法则. 4. 一个长方形的长是 a－2b + 1，宽为 a，则长方形的 面积为 . a2－2ab + a 针对训练 方法总结 考点三 整式的乘法公式的运用 例3 先化简，再求值：[(x－y)2 + (x + y)(x－y)]－2x2， 其中 x = 3，y = 1.5. 【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号 内的，再进行整式的除法运算. 解：原式 = (x2－2xy + y2 + x2－y2)－2x2 当 x = 3，y = 1.5 时，原式 = －9. = (2x2－2xy) －2x2 =－2xy. 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度. 方法总结 5. 求方程 (x－1)2－(x－1)(x + 1) + 3(1－x) = 0 的解. 解：原方程可化为－5x + 5 = 0，解得 x = 1. 6. 已知 x2 + 9y2 + 4x－6y + 5 = 0，求 xy 的值. 解：∵ x2 + 9y2 + 4x－6y + 5 = 0， 针对训练 ∴ ∴ x + 2 = 0，3y－1 = 0，解得 x =－2，y = ∴ (x2 + 4x + 4) + (9y2－6y + 1)=0. ∴(x + 2)2 + (3y－1)2 = 0. 考点四 本章数学思想和解题方法 转化思想 例4 计算：(1)－2a·3a2b3 · (2) (－2x + 5 + x2 )·(－6x3 ). 【解析】(1)单项式乘单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘单项式可以转化为单项式乘单项式. 解：(1) 原式 = (2) 原式 = (－2x) · (－6x3) + 5 · (－6x3) + x2 · (－6x3) = 12x4－30x3－6x5. 将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式×多项式 单项式×多项式 单项式×单项式 有理数的乘法和同底数幂的乘法. 7. 计算：(4a－b)•(－2b)2. 解：原式 = (4a－b) • 4b2 = 16ab2－4b3. 针对训练 方法总结 转化 转化 转化 整体思想 例5 若 2a + 5b－3 = 0，则 4a · 32b = . 【解析】已知条件是 2a + 5b－3 = 0，无法求出 a，b的值因此可以逆用积的乘方先把 4a · 32b. 化简为含有与已知条件相关的部分，即 4a · 32b = 22a · 25b = 22a+5b.把 2a + 5b 看作一个整体，因为 2a + 5b - 3 = 0，所以 2a + 5b = 3，所以 4a · 32b = 23 = 8. 8 在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看作一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错. 8. 若 xn = 5，则 (x3n)2－5(x2)2n = . 12500 9. 若 x + y = 2，则 = . 2 针对训练 方法总结 例6 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 . b a a a b b b b b a-b a 数形结合思想 a2－b2 = (a + b)(a－b) 【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影部分可知其面积是两个正方形的面积差(a2－b2)，又由于图中梯形的上底是 2b，下底是 2a，高为 a－b，所以梯形的面积是 (2a + 2b)(a－b) ÷2 = (a + b)(a－b)，根据面积相等，得乘法公式 a2－b2 = (a + b)(a－b). 本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形. 由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起． 方法总结 10.我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形 的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可 以用这种形式来表示，例如 (2a + b)(a + b) = 2a2 + 3ab + b2，就可以用图① 和图② 等图形的面积表示. a a a b b ab ab ab a2 a2 b2 图① b2 a2 a2 ab ab ab a a a b b 图② 针对训练 （2）请画一个几何图形，使它的面积能表示 (a + b)(a + 3b) = a2 + 4ab + 3b2. （1）请写出图③ 所表示的代数恒等式； b b a a b a ab ab ab ab ab a2 a2 b2 b2 图③ 图④ a2 b a ab ab ab ab b2 b2 b2 (2a + b)(a + 2b) = 2a2 + 5ab + 2b2； a b b b 幂的运算 乘法公式 整式的乘除 积的乘方 平方差公式 多项式与单项式相乘、相除 完全平方公式 整式的乘除法 单项式与单项式相乘、相除 多项式与多项式相乘 同底数幂相乘 幂的乘方 同底数幂相除 当堂小结 见教材本章复习题 课后练习 $$