1.3 第2课时 完全平方公式（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（北师大版2024）

1.3 乘法公式 第2课时 完全平方公式 第一章 整式的乘除 七年级下册数学（北师版） 学习目标 1. 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号意识和推理能力，会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算和推理； 2. 通过实例，了解完全平方公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算； 3. 通过观察图形的拼接，验证完全平方公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想. 重点：理解并掌握完全平方公式的推导和应用. 难点：掌握完全平方公式的结构特征， 能灵活运用公式进行计算. 知识链接 1. 多项式的乘法法则是什么? (a + b)(m + n)＝ ； 2. 多项式乘法法则的几何意义是什么? m n a b am + bm + an + bn 明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？ 大披萨的面积：S = π·32 = 9π . 小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π . 你发现了什么？ (2 + 1)2 ≠ 22 + 12. 所以不应该同意. 情境导入 完全平方公式 1 算一算： (1) (1 - p)2 解：原式 = ( 1 - p )( 1 - p ) = 1² - p - p + p2 = 1² - 2p + p2. (2) (m + 3)2 解：原式 = (m + 3)(m + 3) = m2 + 3m + 3m + 9 = m2 + 2×3m + 9 = m2 + 6m + 9. 解：原式= (2 + 3x)(2 + 3x) = 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2 = 4 + 2×2×3x + 9x2 = 4 + 12x + 9x2. (3) (2 + 3x)2 情境导入 追问 1：上述式子的左边有什么共同特征? 计算的结果都是几次几项式? 左式都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式. 追问 2：计算结果的每一项分别与括号里的每一项有什么关系? 结果的首尾项分别是左边括号里每项的平方，结果的中间项是括号里两项乘积的 2 倍. (1) (1 - p)2 = 1² - 2p + p2. (2) (m + 3)2= m2 + 6m + 9 (3) (2 + 3x)2 = 4 + 12x + 9x2. 比一比： 根据发现的特征，写出下面式子的答案： (1) (a＋b)2 = ； (2) (a－b)2 = . a2＋2ab＋b2 a2－2ab + b2 观察并比较(1)(2)两个式子，等式左边(右边)相同的项. (1) (a＋b)2 = (a＋b)(a＋b) = a2＋ab＋ab＋b2 = a2＋2ab＋b2 (2) (a－b)2 = [a＋(－b)]2 = a2＋a(－b)＋a(－b)＋(－b)2 = a2＋2a(－b)＋(－b)2 = a2－2ab＋b2 推导 过程验证： 议一议 追问 1：(1)(2)两个式子等式右边不同的是哪一项? 它的符号与什么有关? ＋2ab 和－2ab. 与两数中间的符号有关. (1) (a＋b)2 = a2＋2ab＋b2 (2) (a－b)2 = a2－2ab＋b2 追问 2：能否描述你们发现的规律? (分别从文字语言和符号语言角度引导) 文字语言：两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的 2 倍. 符号语言：(a±b)² = a²±2ab＋b². (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间” 知识要点 完全平方公式 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同； 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多项式. 例1 利用完全平方公式计算： 解：(2x－3)2 = =4x2 (1) (2x－3)2； ( a－b )2 = a2 － 2ab + b2 (2x)2 － 2 • (2x) • 3 + 32 －12x + 9； 典例精析 (2) (4x＋5y)2； 解： (4x＋5y)2 = (4x)2 ＋2 • (4x) • 5y ＋(5y)2 ( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2 = 16x2＋40xy＋25y2； (3) (mn－a)2. 解： (mn－a)2 = (mn)2－ 2 • mn • a＋a2 = m2n2－2amn＋a2. 1.利用完全平方公式计算： (1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2. (3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2. (2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. 练一练 思考：(a + b)2 与 (- a - b)2 相等吗? (a - b)2 与 (b - a)2 相等吗? (a - b)2 与 a2 - b2 相等吗? 为什么? 解：(-a - b)2 = (-a)2 - 2·(-a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. (b - a)2 = b2 - 2ba + a2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2. (a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等， 只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2. 想一想 完全平方公式的几何验证 2 问题：一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). (1) 四块实验田面积分别为： ， ， ， . a a b b a2 ab b2 ab (2)两种形式表示实验田的总面积： a a b b ①从整体看： 边长为 的大正方形， S大正方形＝ ； (a+b) (a+b)2 ②从部分看： 四块面积的和S＝ . a²+2ab+b² a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 和的完全平方公式： 想一想 你能根据图中的面积解释完全平方公式吗? 画一画 画一画：我们能否将上面图形中表示边长的字母稍作调整，画一个图形验证(a－b)2 =a2－2ab + b2? a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 差的完全平方公式： a−b 思考：怎样计算 1022，1972 更简便呢？ (1) 1022； (2) 1972. 解：原式 = (100 + 2)2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404. 解：原式 = (200－3)2 = 40 000－1200 + 9 = 38 809. = 1002－2×100×2 + 22 = 2002－2×200×3 + 32 想一想 方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 例2 运用乘法公式计算：(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)； = x2 – (2y – 3)2 = x2 – (4y2 – 12y + 9) = x2 – 4y2 + 12y – 9. 解：原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)] 同号 异号 a b 平方差公式 整体 典例精析 (2) ( a + b + c )2. 解：原式 = [(a + b) + c]2 方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 完全平方公式 都同号 例2 计算： (1) (x + 3)2 – x2； 解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2 = 6x + 9； 或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x) = (2x + 3)×3 = 6x + 9. 还有其他的方法吗？ 典例精析 (2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )； 解： 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3] = (a + b)2 - 32 = a2 + 2ab + b2 - 9. (3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3). 解： 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6) = x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6 = 15x + 19. (4) [( a + b) ( a - b)]2. 解： 原式 = ( a2 - b2 )2 = a4 - 2a2b2 + b4. 2. 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值. 解：因为 a＋b＝7， 要熟记完全平方公式哦！ (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9. 所以 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29， 所以 (a＋b)2＝49. 练一练 一、选择题 1. 计算 (2x－1)2 的结果是（　C　） A. 2x2＋4x＋1 B. 4x2－4x－1 C. 4x2－4x＋1 D. 4x2＋1 C 一、完全平方公式的认识 当堂练习 3. 若(x＋a)2＝x2－10x＋b，则a，b的值分别为( 　 ) A. 2，4 B. 5，－25 C. －2，25 D. －5，25 D 2. 下列各式利用完全平方公式计算正确的是（　 ） A. (x＋3)2＝x2＋9 B. (－2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2 C. (a－2b)2＝a2－2ab＋4b2 D. ( －x)2＝x2－x＋ D 6. 若a2＋ab＋b2＋M＝(a－b)2，则M＝ ⁠ ⁠. －3ab 二、填空题 4. 计算：(1) (x－2)2＝ ⁠； (2) (m＋2n)2＝ ⁠. x2－4x＋4　 m2＋4mn＋4n2　 5. 如图所示的图形验证了一个等式， 则这个等式是 ⁠. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2　 8. 已知ab＝2，求(2a＋3b)2－(2a－3b)2的值. 解：原式＝4a2＋12ab＋9b2－(4a2－12ab＋9b2) ＝24ab. 当ab＝2时，原式＝24×2＝48. 三、解答题 7. 计算：(1) (－x＋y)2； (3) (－ x－3y)2. 解：原式＝ x2＋3xy＋9y2. (2) (－xy＋5)2； 解：(1)原式＝x2－2xy＋y2. (2) 原式＝x2y2－10xy＋25. (3) 原式＝ x2＋3xy＋9y2. 一、选择题 1. 已知 α2＋β2＝1，(α＋β)2＝2，则 αβ 的值为（ 　 ） A. B. 2 C. 1 D. A 二、完全平方公式的运用 2. 已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( 　) A. 13 B. 7 C. 5 D. 11 A 3. 计算10162－2032×1018＋10182等于[提示：完全 平方公式的逆用]（　B　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 B 二、填空题 4. 运用完全平方公式计算： （1）10.12＝（ ＋ ）2＝ ⁠； （2）1982＝（ － ）2＝ ⁠. 10　 0.1　 102.01　 200　 2　 39204　 5. 如图，某广场有一块边长为(a＋b)的正方形草坪，现计划在草坪中挖一个边长为(a－b)的正方形水池，则剩余草坪的面积为 ⁠. 4ab　 6. 若x＋y＝17，xy＝60，则x2＋y2＝ ⁠， (x－y)2＝ ⁠. 169　 49　 三、解答题 7. 计算： （1）5012； 解：原式＝（500＋1）2＝5002＋2×500×1＋12＝ 250000＋1000＋1＝251001. （2）(x－y＋4)(x＋y＋4). 解：原式＝[（x＋4）－y][（x＋4）＋y]＝（x＋ 4）2－y2＝x2＋8x＋16－y2. 解：原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12 ＝250000＋1000＋1＝251001. 解：原式＝[(x＋4)－y][(x＋4)＋y] ＝(x＋ 4)2－y2＝x2＋8x＋16－y2. 8. 已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2＋b2 和ab的值.. 解：a2＋b2＝ [(a＋b)2＋(a－b)2] ＝ ×(7＋4)＝ ， ＝ ×(7－4)＝ . ab＝ [(a＋b)2－(a－b)2] 完全平方公式 文字描述 几何验证 两个数的和(差)的平方， 等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的2倍 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 多项式乘多项式 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 符号表示 c=a，d=b 当堂小结 $$