1.3 第1课时 平方差公式（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（北师大版2024）

1.3 乘法公式 第1课时 平方差公式 第一章 整式的乘除 七年级下册数学（北师版） 1. 经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号意识和推理能力，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理； 2. 通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算； 3. 通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想. 重点：理解并掌握平方差公式的推导和应用. 难点：掌握平方差公式的结构特征，能灵活运用公式进行计算. 学习目标 知识链接 计算： (x＋1)(y－5)＝ ； (x＋1)(x－5)＝ ； (x＋1)(x－1)＝ . xy－5x＋y－5 x²－5x＋x－5＝x2－4x－5 x²－x＋x－1＝x2－1 思考：积为何从四项变成三项又变为两项? (a + 4)(a − 4) 绘画课上，灵灵向新新借了一张边长为 a cm 的正方形彩纸.几天后还了一张宽为 (a - 4) cm， 长为 (a + 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？ (a + 4) (a - 4) 还的彩纸面积： = a2 − 4a + 4a − 42 = a2 − 42 答： 两张彩纸面积不相等. 4 解：原正方形彩纸面积为 a2 有什么特点？ ＜a2 情境导入 ① (x＋ 2)( x－ 2)； ② (1＋3a)(1－3a)； ③ (x＋5y)(x－5y)； ④ (2y＋z)(2y－z). 平方差公式的认识 算一算： ＝ x2－ 22 ＝ 12－(3a)2 ＝ x2－(5y)2 x2－4 1－9a2 x2－25y2 4y2－z2 ＝(2y)2－z2 两数的___ 两数的___ 和 差 两数____的差 平方 1 观察相乘的两个多项式有什么特点? 最终结果又有什么特点? 探究新知 前一项相同项，后一项互为相反数(也可从加减法的角度理解). 最终结果有两项，是乘式中两项的平方差，即 (相同项)²－(互为相反数的数)². 合作探究 追问 1：为什么具备这些特点的两个二项式相乘， 积会是二项式? 有的积相加为 0. 文字语言： 两个数的和×两个数的差＝这两个数的平方差. 符号语言： (a＋b)( a－b)＝a²－b². 追问 2：能否描述你们发现的规律?(分别从文字语言和符号语言角度引导) 平方差公式： 证一证：代数验证 (a + b)(a − b)＝ ＝ . a2 − b2 a2 − ab + ab − b2 知识要点 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 (0.3x)2－12 (a - b)(a + b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x) (1 + a)(-1 + a) 填一填 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)； (3) (－m＋n)(－m－n). 解：(1) (5＋6x)(5－6x) 典例精析 相同看作 a 相反看作 b ＝52－(6x)2 ＝25－36x2. (2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2. (3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2. 归纳总结 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意： (2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式. 中的各项，除符号外是否完全相同)； (1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式 例2 利用平方差公式计算： (1) ； (2) (ab + 8)(ab－8). 解：(1) 原式 = (2) 原式 = (ab)2－82 = a2b2－64. 典例精析 (1) (－7m＋8n)(－8n－7m)； (2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2. (2) 原式＝(x2－4)(x2＋4) ＝x4－16. 利用平方差公式计算： 练一练 回答下列各题： (l) (－a + b)(a + b) =_________. (2) (a－b)(b + a) = __________. (3) (－a－b)(－a + b) = ________. (4) (a－b)(－a－b) = _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 想一想 例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15. 典例精析 平方差公式的几何验证 2 如图①，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形. (1) 请表示图① 中阴影部分的面积. a b 图① a2 − b2 (2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形 (如图② )，这个长方形的长和宽分别是多少? 你能表示出它的面积吗? a b 图② 中长：a + b， 宽：a − b， 面积：(a + b)(a − b). 证一证： 经过以上求面积的过程，你能验证平方差公式吗? (a＋b)( a－b)＝a²－b² 图② 还有其他的几何方法解释吗？ a b a+b a-b a a-b b a a b b a-b 算一算！ 合作探究 例1 用平方差公式进行计算： (1) 103×97； (2) 118×122. 解：103×97 = (100＋3)(100－3) = 1002－32 = 10000 － 9 = 9991. 解：118×122 = (120－2)(120＋2) = 1202－22 = 14400－4 = 14396. 注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用. 典例精析 例2 计算： (1) a2(a + b)(a－b) + a2b2； (2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3). 解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2 = a4－ a2b2 + a2b2 = a4. (2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x) = 4x2－25－4x2+6x = 6x－25. 典例精析 (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？ (3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ (a + 1)(a − 1) = a2 − 1 想一想： (1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点： 7×9 = 11×13 = 79×81 = ______ 8×8 = 12×12 = 80×80 = ______ 自主探究 63 143 6399 64 144 6400 例3 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2， 改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16. 因为 a2＞a2－16，所以 李大妈吃亏了. 典例精析 一、选择题 1. 计算 (x＋2y)(x－2y) 的结果是（　B　） A. x2－2y2 B. x2－4y2 C. 2y2－x2 D. 4y2－x2 B 2. 下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式计算 的是（　B　） A. (a＋1)(a－1) B. (2x－3)(－2x＋3) C. (2y－ )( ＋2y) D. (3m－2n)(－3m－2n) B 一、平方差公式的认识 当堂练习 3. 若M(2x－5y)＝4x2－25y2，则M表示的式子为( 　) A. (－2x＋5y) B. (2x－5y) C. (－2y－5x) D. (2x＋5y) D 二、填空题 4. 计算： (1) (x－1)(x＋1)＝ ⁠； (2) (m－n)(－m－n)＝ ⁠. 5. 若x－y＝4，x＋y＝7，则x2－y2＝ ⁠. x2－1　 n2－m2　 28　 三、解答题 6. 计算： (1) (－c＋ab)(－c－ab)；＝（－c）2－（ab）2＝ (2) (3a－ b)(－3a－ b).（－ b＋3a）（－ b－3a）＝（－ b）2－（3a）2＝ b2－9a2. 解：(1) 原式＝(－c)2－(ab)2＝c2－a2b2. (2) 原式＝(－ b＋3a)(－ b－3a) ＝(－ b)2－(3a)2＝ b2－9a2. 7. 先化简，再求值： (2x－3y)(3y＋2x)－(4y－3x)(3x＋4y)， 其中x＝2，y＝1. 解：原式＝4x2－9y2－（16y2－9x2）＝4x2－9y2－ 16y2＋9x2＝13x2－25y2. ∵x＝2，y＝1， ∴原式＝13×22－25×12＝27. 解：原式＝4x2－9y2－(16y2－9x2) ＝4x2－9y2－16y2＋9x2＝13x2－25y2. ∵x＝2，y＝1， ∴原式＝13×22－25×12＝27. 一、选择题 1. 计算 (300－1)(300＋1) 的结果是(　B　) A. 89998 B. 89999 C. 89996 D. 99991 B 二、平方差公式的运用 2. 如图①，在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成如图②所示的长方形.通过计算剪拼前后阴影部分的面积，可以验证的等式是（　A　） A A. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 B. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C. (a－b)2＝a2－2ab＋b2 D. a(a－b)＝a2－ab 二、填空题 3. 若(x＋1)(x－1)－x2＝x，则x＝ ⁠. 4. 有三个连续的偶数，中间一个是a，则它们的积 是 ⁠. －1　 a3－4a　 三、解答题 5. 用平方差公式进行计算： (1) 999×1001＋1； (2)1232－124×122； 1000000. 解：(1)原式＝(1000－1)(1000＋1)＋1 ＝10002－12＋1＝1000000. (3)3 ×2 . (2) 原式＝1232－(123＋1)(123－1) ＝1232－1232＋12＝1. (3) 原式＝(3＋ )(3－ )＝32－( )2＝8 . 6. 计算： (1) (a＋2b)(a－2b)－ b(a－8b)；原式＝a2－4b2－ (2) 3(2a＋1)(2a－1)－4a(a－2). 解：(1) 原式＝a2－4b2－ ab＋4b2＝a2－ ab. (2) 原式＝3(4a2－1)－4a2＋8a ＝12a2－3－4a2＋8a ＝8a2＋8a－3. 平方差公式 文字描述 几何验证 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 (a + b)(a－b) = a2－b2 多项式乘多项式 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 符号表示 c=a，d=-b 当堂小结 $$