1.2 第2课时 多项式的乘法（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（北师大版2024）

1.2 整式的乘法 第一章 整式的乘除 第2课时 多项式的乘法 七年级下册数学（北师版） 1. 经历探索整式乘法运算法则的过程，进一步体会类比方法的作用，以及乘法分配律在整式乘法运算中的作用； 2. 能借助图形解释整式乘法的法则，发展几何直观； 3. 能进行简单的整式乘法运算，发展运算能力. 重点：理解单项式乘多项式、多项式乘以多项式的运 算法则. 难点：能够熟练运用单项式乘多项式、多项式乘多项 式的运算法则进行计算并解决实际问题. 学习目标 1.单项式乘单项式的实质是什么？ 单项式与单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法 乘法交换律和结合律 转化 2. 计算： (1) －5xy2·xy； (2) 5x3y·(－3xy)². 解：(1) 原式 = • x2y3 = －x2y3. (2) 原式 = 5x3y • 9x2y2 = 45x5y3. 知识链接 我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算 (－12)×(－－)，那么怎样计算 2x·(3x²－2x＋1) 呢? (2x＋1)(3x²－2x＋1) 呢? (－12)×(－－) ＝(－12)×－(－12)×－(－12)× ＝－6＋4＋3 ＝1. 新知导入 问题：宁宁作了一幅画，所用纸的大小如图所示，她在纸的左、右两边各留了 x m 的空白，怎样用不同形式表示这幅画的画面面积? x m nx m x m x m 单项式乘多项式 1 探究新知 x m nx m x m x m 方式一：可以先表示出画面的长与宽，由此得到画面的面积为 ； 方式二：也可以用纸的面积减去空白处的面积，由此得到画面的面积为 . 由此你可以得到什么？ ( ) 你能用运算律解释 吗？ ( ) 单项式乘法法则 乘法分配律 通过以上经验，你能总结出单项式乘多项式的运算 法则吗?小组讨论得出结果. 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 注意：（1）依据是乘法分配律； （2）结果的项数与原多项式的项数相同. 知识要点 单项式乘多项式的法则 p ( a + b + c ) pb + pc pa + 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加. 例1 计算： (1) 2ab (5ab2 + 3a2b)； (2) ( －2ab) · ； 解：原式 = 2ab · 5ab2 + 2ab · 3a2b = 10a2b3 + 6a3b2. 解：原式 = 典例精析 (3) 5m2n (2n + 3m－ n2)； (4) 2(x + y2z + xy2z3) · xyz. 解：原式 = 5m2n · 2n + 5m2n · 3m + 5m2n · (－n2) = 10m2n2 + 15m3n－ 5m2n3. 解： 原式 = (2x + 2y2z + 2xy2z3) · xyz = 2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4. 例2 先化简，再求值： 5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中 a＝2. 解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2 方法总结：在计算时要注意先化简然后再代值计算． 整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项． 当 a＝2 时，原式＝－82. ＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2 ＝－28a2＋15a， 典例精析 1. 计算：－2x2·( xy + y2 ) － 5x(x2y－xy2). 注意：(1) 将 2x2 与 5x 前面的“－”看成性质符号； (2) 单项式与多项式相乘的结果中，应将 同类项 合并. 解：原式 = (-2x2)·xy + (-2x2)·y2 + (-5x)·x2y + (-5x)·(-xy2) = -2x3y + (-2x2y2) + (-5x3y) + 5x2y2 = -7x3y + 3x2y2. 练一练 多项式乘多项式 2 问题：如图1是一个长和宽分别为 m，n 的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加 a，b，所得长方形(图2)的面积怎样用不同形式表示? m n 图 1 m n a b 图 2 你能用不同的形式表示所拼图的面积吗? 方法一：用不同的形式表示所拼图的面积： m n a b ① (m + a)( n + b) ③ m( n + b) + a( n + b) ② n(m + a) + b(m + a) ④ mn + mb + an + ab 于是得到 (m + a)( n + b)＝n(m + a) + b(m + a) ＝m( n + b) + a( n + b)＝mn + mb + an + ab 合作探究 ＝ mn + mb + an + ab. 或 (m + a)( n + b) ＝ m(n + b) + a( n + b) 方法二：把 (m + a) 和 ( n + b) 看成一个整体，利用乘法分配律： m n a b (m + a)( n + b) ＝(m + a)n + (m + a)b ＝ mn + mb + an + ab. 你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗? 小组讨论得出结果. 议一议 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 追问：以 (a + b)(m + n) 为例，能否用字母呈现出多 项式与多项式相乘的法则? 1 2 3 4 (a + b)(m + n) = am 1 2 3 4 + an + bm + bn 例3 计算：(1) (1－x)(0.6－x)； (2) (2x + y)(x－y)； 解： (1) 原式= 1×0.6－1×x－x · 0.6 + x · x = 0.6－x－0.6x + x2 = 0.6－1.6x + x2. (2) 原式= 2x·x－2x · y + y · x－ y · y = 2x2－2xy + xy－y2 = 2x2－xy－y2. 典例精析 解：原式= x · x2－x · xy + xy2 + x2y－xy2 + y · y2 = x3－x2y + xy2 + x2y－xy2 + y3 = x3 + y3. 注意：(1)漏乘；(2)符号问题；(3)最后结果应化成 最简形式(是同类项的要合并). (3) (x + y)(x2－xy + y2). 观察思考 (1) 如图，一幅边长为 a m 的正方形风景画，左右各留有 x m 的长方形空白区域做装饰，中间画面的面积是多少平方米? 解：中间画面的面积为： a(a－x×2) =a2－ax. a a x x (2) 如图，一幅长为 a m、宽为 b m 的长方形风景画，画面的四周留有空白区域做装饰，其中四角均是边长为 x m 的正方形，正中间画面的面积是多少平方米? 解：中间画面的面积为： (a－2x)(b－2x) =ab－2ax－2bx+4x2. a x x b 例4 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中 a＝－1，b＝1. 解：原式＝ a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b) 方法总结：化简求值的题型，一定要注意先化简， 再求值，不能先代值，再计算． 当 a＝－1，b＝1 时，原式＝－8＋2－15＝－21. ＝ －8b3＋2a2b＋15ab2. ＝ a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 一、选择题 1. 计算 a(a－b) 的结果为（　C　） A. －a2－ab B. －a2＋ab C. a2－ab D. a2＋ab 2. 计算 (x－5y)(x＋4y) 的结果是（　C　） A. x2－20y2 B. x2－9xy－20y2 C. x2－xy－20y2 D. x2＋xy－20y2 C C 当堂练习 3. 若 (x＋k)(x－4) 的积中不含有x的一次项， 则k的值为（　B　） A. 0 B. 4 C. －4 D. 2 B 二、填空题 4. 计算： (1) (2a－b)·(－2ab)＝ ⁠ ⁠； (2) (a＋1)(b＋1)＝ ⁠. 5. (1) 当x＝3 时，x(x＋1)－x2＝ ⁠； (2) 若xy＝12，x＋y＝13，则 (x＋1)(y＋1)＝ ⁠. －4a2b＋2ab2 ab＋a＋b＋1　 3　 26　 6. 某农户租两块土地种植沃柑.第一块是边长为am 的正方形，第二块是长为 (a＋10) m，宽为 (a＋5) m 的长方形，则第二块比第一块的面积多 m2. (15a＋50)　 三、解答题 7. 计算：(1) －a2b(2a－ab＋3b)；原式＝－2a3b＋a3b2－3a2b2. (2) (x＋1)2－x(x－2). 解：原式＝x2＋x＋x＋1－x2＋2x＝4x＋1. 解：(1) 原式＝－2a3b＋a3b2－3a2b2. (2) 原式＝x2＋x＋x＋1－x2＋2x＝4x＋1. 8. 先化简，再求值： (a－b)(a＋2b)－(3a＋b)(a－3b)， 其中a＝－2，b＝－1. ＝11. 解：原式＝a2＋2ab－ab－2b2－(3a2－9ab＋ab－3b2) ＝a2＋ab－2b2－3a2＋8ab＋3b2 ＝－2a2＋9ab＋b2. 当 a＝－2，b＝－1 时， 原式＝－2×(－2)2＋9×(－2)×(－1)＋(－1)2 ＝－8＋18＋1＝11. 多项式的乘法 单项式乘多项式 单项式乘单项式 多项式乘多项式 (a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 转化 转化 当堂小结 $$