6.2 第2课时 实数的运算和大小比较（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

6.2 无理数和实数 第6章 实 数 第2课时 实数的运算及大小比较 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、倒数、 绝对值的意义；(重点) 2.理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适 用，能进行实数的大小比较．(重点、难点) 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ ， 0，1.414， ， ， ， ， 0.1010010001…（相邻两个 1 之间逐次增加一个 0）. 是有理数， 是无理数. 思考：有理数可以做加、减、乘、除、乘方运算，实数可以吗？ （相邻两个 1 之间逐次增加一个 0） 导入新课 思考1：如图，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达 A 点，则数轴上表示点 A 表示的数是多少？ 因为圆的周长为 π，数轴上此点 A 表示的是无理数 π. 0 -2 -1 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● A 实数与数轴上的点 1 新知探究 思考2：如图，以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心、这个正方形对角线的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作点A，那么，点 A 表示什么数? A 1 0 2 4 3 -1 -2 1 点 A′ 是画弧时与数轴的另一交点，它表示什么数？ A′ 推广：由上可知，无理数和有理数一样也可以用数轴上的点来表示. 这可以说明： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 反过来，还可以说明： 数轴上每一个点都表示唯一的一个实数. 上面两个结论结合起来可以简洁地说成： 实数和数轴上的点一一对应. 如果在数轴上表示正实数、零、负实数，它们分别应该在数轴上的什么位置呢？ www.czsx.com.cn 例1 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，若点 A 是线段 BC 的中点，求点 C 所表示的实数． 解：因为数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ， 所以点 B 到点 A 的距离为 1＋ . 则点 C 到点 A 的距离为 1＋ . 设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x， 所以－1－x ＝ 1＋ ， 所以 x ＝ －2－ 本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点 A 是线段 BC 的中点时，点 C 到点 A 的距离等于点 B 到点 A 的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值． 方法总结 例2 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有 ( ) A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 解析：因为 ≈ 1.414，所以 和 5.1 之间的整数有 2，3，4，5，所以 A，B 两点之间表示整数的点共有 4 个. C 例3 分别写出： 解：(1) － 的相反数是 ， 的相反数是 －. (1) －， 的相反数； (2) －， 的倒数； (2) － 的倒数是 －， 的倒数是 . (3) ，3.14－π 的绝对值； (3) 的绝对值是 3， 3.14－π 的绝对值 是 π－3.14 . (4) 绝对值为 的实数. (4) 绝对值为 的实数是 ± . 1. 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反数是 . 2. -π 的绝对值是 ， = ， = . 练一练 1. 若 a 是一个实数，则实数 a 的相反数为 -a. 2. ① 一个正实数的绝对值是它本身； ② 一个负实数的绝对值是它的相反数； ③ 0 的绝对值是 0. 归纳总结 填空：设 a，b，c 是任意实数，则 （1）a + b = （加法交换律）； （2）(a + b) + c = （加法结合律）； （3）a + 0 = 0 + a = ； （4）a + (-a) = (-a) + a = ； （5）ab = （乘法交换律）； （6）(ab)c = （乘法结合律）； b + a a + (b + c) a 0 ba a(bc) （7） 1 · a = a · 1 = ； a 实数的运算 2 （8）a(b + c) = （乘法对于加法的分配律）， (b + c)a = （乘法对于加法的分配律）； （9）实数的减法运算规定为 a - b = a + ； （10）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满足 a · b = b · a = 1，我们把 b 叫做 a 的＿＿＿； （11）实数的除法运算（除数 b≠0），规定为 a÷b = a · ； （12）实数有一条重要性质：如果 a≠0，b≠0，那么 ab＿＿0. ab + ac ba + ca (-b) 倒数 ≠ 每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数. 0 的平方根是 0. 在实数范围内，负数没有平方根. 在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同. 实数的平方根与立方根的性质： 此外，前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立. 总结归纳 例4 近似计算： 【方法总结】在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 例如： 与 互为相反数； 与 互为倒数； 实数的性质 3 思考：实数怎么比较大小呢？ 与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 原点 0 正实数 负实数 < 实数的大小比较 4 1. 正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 2. 两个正数，绝对值大的数较大； 3. 两个负数，绝对值大的数反而小. 与有理数一样，在实数范围内： 总结归纳 ，2 分别可以看作是面积为 5，4 的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此 同样，因为 5 < 9， 所以 不用计算器， 与 2 比较哪个大？与 3 比较呢？ 议一议 例5 在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们. -1， -2， 5. -1 -2 5 由数轴上各点的位置，得 熟记常见数的算术平方根的约数值有助于解题. 归纳 合作交流 你会比较 与 的大小吗？ 解：因为 ＜ ＜ ，所以＜ ＜. ＜ －2 ＜ ＜ 课本练习 1.如图，已知一个实数 a 在数轴上的位置为点 A，则下列说法错误的是( ). (A) a 的相反数是 -a (B) a 的倒数是 (C) a 的绝对值是 a (D) a 的绝对值是 -a A C 2.近似计算(精确到 0.01)： (1)+； (2) × - 2. (2) × - 2≈×2.449 - 2×1.732 ＝0.61225 - 3.464=2.85175≈ - 2.85. 3.比较下列各组数中两个数的大小: (1) -，-；(2)；(3) ，. 解：(1) 解：(1) -＞-；(2)；(3) ＜. 实数 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样 实数与数轴上点的一一对应 实数的运算 实数的运算律 用计算器计算 实数的大小比较 课堂小结 2. 点 A 在数轴上表示的数为 ，点 B 在数轴上对应 的数为 ，则 A，B 两点的距离为_____. （3） 的相反数是______，绝对值是______. 1. 填空： （1）3.14 的相反数是_______，绝对值是_______； （2） 的相反数是______，绝对值是______； 课后练习 4. 估计 与 6 的大小. 所以 > 6. 解： 因为 37 > 36， 3. 用计算器计算（精确到 0.01）： （1） ； （2） ； （3） . 解：(1) (2) (3) $$