6.1.2 立方根（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

6.1 平方根、立方根 第6章 实 数 2. 立方根 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；（重点） 2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和 立方互为逆运算.（重点，难点） 某化工厂使用半径为 1 米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的 8 倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？ 导入新课 问题：要做一个体积为 64 cm3 的正方体模型 (如图)，它的棱长要取多少？你是怎么知道的？ 解：设正方体的棱长为 x cm，则 x3 = 64. 这就是要求一个数，使它的立方等于 64. 因为 x3 = 64， 所以 x = 4. 正方体的棱长为 4 cm. 想一想 (1) 什么数的立方等于 -8？ (2) 如果问题中正方体的体积为 5 cm3，正方体的边长又该是多少？ -2 立方根的概念及性质 1 新知探究 立方根的概念 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a 的三次方根． 立方根的表示 一个数 a 的立方根记作： 根指数 被开方数 其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略. 读作：三次根号 a， 填一填： 根据立方根的意义填空： 因为 = 8，所以 8 的立方根是（　）； 因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（　 ）； 因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）； 因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）； 因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）. 0 2 -2 0 -2 立方根的性质 正数的立方根是一个正数； 负数的立方根是一个负数； 零的立方根是零. 立方根是它本身的数有 1，-1，0； 平方根是它本身的数 只有 0. 知识要点 平方根与立方根的异同 被开方数 平方根 立方根 有两个，互为相反数 有一个，是正数 无平方根 零 有一个，是负数 零 正数 负数 零 求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数. 注意：这个根指数3 绝对不可省略. 每个数 a 都有一个立方根，记作 ，读作“三次 根号 a”. 如：x3 = 7 时，x 是 7 的立方根． a 叫作被开方数 3 叫作根指数 开立方及相关运算 2 求一个数的立方根的运算叫做“开立方”. “开立方”与“立方”互为逆运算 逆向思维 与学习开平方运算的过程一样，体现着一种重要的数学思想方法，你体会到了么？ 例1 求下列各数的立方根: (1) 27； (2)－64； (3) 0. 典例精析 解：(1) 因为 33 = 27，所以 27 的立方根是 3，即 = 3 . (2) 因为 (－4)3 = －64，所以 －64 的立方根是 －4，即 = －4 . (3) 因为 03 = 0，所以 0 的立方根是 0，即 = 0 . 求下列各式的值： 体会：对于任何数 a, a 2 4 0 -2 -3 探究1 3 23 ___ = 3 43 ___ = 温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算. 体会：对于任何数 a, a 8 27 0 -8 -27 探究2 求下列各式的值: 体会： (1) 求一个负数的立方根，可以先求出这个负数绝对值的立方根，然后再取它的相反数. (2) 负号可从“根号内” 直接移到“根号外” . 求下列各式的值: (1) ； (2) . 探究3 -0.2 -0.2 求下列各式的值： 答案：(1) 0.5； (2)－4； (3) －4； (4) 5； (5) 16. 练一练 例2 求下列各式的值： 例3 已知 x－2 的平方根是±2，2x＋y＋7 的立方根是 3，求 x2＋y2 的算术平方根． 方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出 x，y 值，再根据算术平方根的定义求解． 解：因为 x－2 的平方根是±2， 所以 x－2＝4. 所以x＝6. 因为 2x＋y＋7 的立方根是 3， 所以 2x＋y＋7＝27. 把 x＝6 代入，解得 y＝8. 因为 x2＋y2＝36＋64＝100， 所以 x2＋y2 的算术平方根为 10. 例4 用计算器求下列两数的立方根(精确到0.01)： (1) 2； (2) 7.797； (3) －17.456； (4) . 解：(1) 在计算器上依次按键： ， 显示结果是 1.259 921 05，精确到 0.01，得 SHIFT 2 = 用计算器求立方根 3 (2) 请同学们自己算出第(3)(4)题的结果. 1. 填表： 课本练习 a 1 8 27 64 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 125 216 343 512 729 1000 3.用计算器计算(精确到0.1): (1) ； (2) ； (3) (4) . 2. 求下列各数的立方根: (1) 0.729； (2) －0.729； (3) ； (4) . 解：(1) ≈3.0； (2) ≈0.7； (3) (4) ≈0.3. 解：(1) 0.9； (2) －0.9；(3) ； (4) . 立方根 立方根的概念及性质 开立方及相关运算 课堂小结 ( ) 1. 判断下列说法是否正确. × (2) 任何数的立方根都只有一个； ( ) (3) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零； ( ) × × (5) 0 的平方根和立方根都是 0 . ( ) √ (1) 25 的立方根是 5； ( ) (4)一个数的立方根不是正数就是负数； √ 课后练习 2. 求下列各式的值： 解：（1） （2） （3） 3. 求下列各式的值： 2. 4. 将体积分别为 600 cm3 和 129 cm3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 解：因为 600 + 129 = 729， 729 的立方根是 9， 所以这个正方体的棱长为 9 cm. 解： 一个数的立方根等于它本身的数有 0，1，－1. 当 1－a2＝0 时，a2＝1，则 a＝±1； 当 1－a2＝1 时，a2＝0，则 a＝0； 当 1－a2＝－1 时，a2＝2，则 a＝ . 5. 已知 ，求 a 的值． 综上，a 的值为±1，0 或 . 峰 (峰) - “，”改为“或” $$