8.3.2 平方差公式（Word教案）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

第8章　整式乘法与因式分解 8.3.2　平方差公式 1．了解平方差公式的几何背景，会推导平方差公式，并能运用平方差公式进行简单的计算． 2．经历探索平方差公式的过程，进一步体会转化、数形结合等思想方法，培养学生观察、归纳、猜测、验证等能力． 重点：平方差公式的推导和应用． 难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 　1.教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则． 学生积极举手回答． 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 　2.教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式． 二、合作探究 探究点：平方差公式 【类型一】 直接应用平方差公式进行计算 利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4). 解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25. (2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2. (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2. (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 【类型二】 应用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式计算： (1)20×19； (2)13.2×12.8. 解析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算． 解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399. (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键． 【类型三】 运用平方差公式进行化简求值 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x，y的值代入进行计算即可得解． 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算． 【类型四】 平方差公式的几何背景 如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________. 解析：∵左图中阴影部分的面积是a2－b2，右图中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可以验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释． 【类型五】 平方差公式的实际应用 王大伯家把一块边长为a(a＞4)米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可． 解：李大妈吃亏了，理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了． 方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题． 三、板书设计 1．平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差． 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2．平方差公式的运用 本节课通过利用平方差公式进行计算，及用几何方法证明公式的正确性，让学生理解平方差公式，并能用平方差公式解决实际问题．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成． 学科网（北京）股份有限公司 $$