8.3.1 完全平方公式（Word教案）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

第8章　整式乘法与因式分解 8.3.1　完全平方公式 1．了解完全平方公式的几何背景，会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算． 2．经历探索完全平方公式的过程，体会数形结合思想，发展观察、交流、猜测、验证等能力． 重点：体会完全平方公式的发现和推导过程，运用完全平方公式． 难点：理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式． 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 计算： (1)(x＋1)2; (2)(x－1)2； (3)(a＋b)2; (4)(a－b)2. 由上述计算，你发现了什么结论？ 二、合作探究 探究点：完全平方公式 【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算 利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2. 解析：直接运用完全平方公式进行计算即可． 解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2. (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，尾平方，乘积两倍在中央”． 【类型二】 构造完全平方式 若36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值． 解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值． 解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y.∴m＋1＝±60.∴m＝59或－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 【类型三】 运用完全平方公式进行简便计算 利用完全平方公式计算： (1)992; (2)1022. 解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算；(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算． 解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801. (2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404. 方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算． 【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值 若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1. (1)求＋的值； (2)求(x2＋1)(y2＋1)的值． 解析：(1)先去括号，再整体代入，即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案． 解：(1)∵(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，∴x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1，4xy＝9－1＝8.∴xy＝2.∴＋＝＝＝＝. (2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10. 方法总结：所求的展开式中都含有xy或x＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解． 【类型五】 完全平方公式的几何背景 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(　　) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此恒等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C. 方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 【类型六】 与完全平方公式有关的探究问题 如图是杨辉三角系数图，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察图中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数． (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， 则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6. 解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1，4，6，4，1；(a＋b)5的各项系数依次为1，5，10，10，5，1；因此(a＋b)6的各项系数依次为1，6，15，20，15，6，1，故填20. 方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键． 三、板书设计 1．完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 2．完全平方公式的运用 本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆． 学科网（北京）股份有限公司 $$