精品解析：上海市实验学校南校2024-2025学年九年级上学期第一次月考考试数学试卷

SSES九年级上学期数学阶段练习 （时间100分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若线段，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，理解并掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质，两内项积等于两外项积进行判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴A、，正确，符合题意； B、，则，不符合题意； C、，则，不符合题意； D、，则，不符合题意； 故选：A ． 2. 如图，，下列比例式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：， ，即，故A选项错误；B选项正确； ，故选项D错误； ，故选项C错误； 故选B． 3. 如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果S△ADE=S四边形BCED，那么下列等式成立的是（ ） A. DE∶BC=1∶ B. DE∶BC=1∶3 C. DE∶BC=1∶4 D. DE∶BC=1∶2 【答案】A 【解析】 【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，由已知得S△ADE=S△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求对应边的比． 【详解】解：∵S△ADE=S四边形BCED， ∴S△ADE=S△ABC， ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴（）2==， ∴DE：BC=1：． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例．关键是利用平行线得出相似三角形，利用相似三角形的性质解题． 4. 如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了黄金分割比的概念，根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比作出判断．找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， 则； 或， 则． 故只有的值不可能是． 故选：D． 5. 在中，，是内上的高，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，画出图形，可得，由相似三角形的对应角相等，即可解答．熟知相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 则； 故选：C． 6. 下列各组图形必相似的是（　　） A. 任意两个等腰三角形 B. 有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形 C. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形 D. 两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据相似三角形的判定判断A、B、C、D是否可以证明相似三角形，即可判断A、B、C、D选项的正确性，即可解题． 【详解】解：A、任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误； B、两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误； C、两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形，因为不确定边长为5和边长为10的边是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误； D、两边和一边的中线均对应成比例，即可判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，因此可判定三角形相似，正确， 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形各边均对应成比例的性质． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 4与9的比例中项是_____． 【答案】±6 【解析】 【分析】设它们的比例中项是x,根据比例的基本性质得出x2=4×9，再进行计算即可. 【详解】解：设它们的比例中项是x， 则x2=4×9， x=±6． 故答案为:±6． 【点睛】本题考查了比例中项的概念,用到的知识点是比例线段的概念、比例基本性质,关键是根据有关定义和性质列出方程. 8. 如果，那么______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据题意，设，，．又因为，则可得的值，从而求得的值．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 【详解】解：设，则，， ， ． 故答案为：4． 9. 若点是线段的黄金分割点，且，则的长是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，分为和两种情况讨论即可； 【详解】解：当时， ∵点是线段的黄金分割点，且， ∴； 当时， ∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了黄金分割的概念；特别注意这里的可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键． 10. 在比例尺的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为________ 【答案】600 【解析】 【分析】此题考查比例尺，根据“实际距离＝纸上距离÷比例尺”即可求解． 【详解】解：实际距离为：． 故答案为：600 11. 在△ABC中，中线AD和中线CE相交于G，则AG：AD＝___． 【答案】2：3 【解析】 【分析】由三角形重心的概念可知，再根据重心的性质即可求得AG=2GD，AD=3GD，即可求得AG：AD． 【详解】解：∵AD、AE分别是三角形的中线， ∴G是△ABC的重心， ∴AG=2GD，AD=3GD， ∴AG：AD=2：3． 故答案为：2：3． 【点睛】本题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 12. 线段与交于点，若，则当的值为_____时，线段． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据，即可证明，进而可以证明，即可以求得，即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的证明，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求证是解题的关键． 13. 三角形的周长是，三边中点连线所组成的三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查三角形中位线定理，已知三角形的周长，根据三角形中位线定理不难求解． 熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：三角形的周长是， 三边中点连线所组成的三角形的三边长均为原三角形的一半． 三边中点连线所组成的三角形的周长是：． 故答案为:． 14. 若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们对应角的角平分线之比为___． 【答案】1：2 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4， ∴它们对应角的角平分线之比为1：=1：2， 故答案为：1：2． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形周长的比等于相似比． （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方． （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 15. 如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，过点作交于点，交于点，证明，可得，即可解答，熟练证明是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得，经检验是分式方程的解， 边上的高的长是， 故答案为：． 16. 如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、DB交于点O，如果S△AOD：S△ABD＝2：5，那么S△AOD：S△BOC＝___． 【答案】4：9 【解析】 【分析】首先根据S△AOD：S△ABD＝2：5，可得OD：BD＝2：5；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出S△AOD：S△BOC是多少即可． 【详解】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△AOD：S△ABD＝2：5， ∴OD：BD＝2：5；OD：BO＝2：3； ∵AD∥BC， ∴△AOD∽△BOC， ∵OD：BO＝2：3， ∴S△AOD：S△BOC4＝4：9． 故答案为：4：9． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，解题关键是明确相似三角形的面积比等于相似比的平方． 17. 如图，，且，交于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由于，而，由此根据相似的性质即可求出，同理求出，即可解答，熟练证明相关的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：，且， ， ，， 设，则， ， ， ， 故答案为：． 18. 若与相似，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据与相似进行分类讨论，即可解答，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：与相似，， 故可分两种情况， 当时， 可得，即， ； 当时， 可得，即， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出是解决问题的关键． 由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结论． 【详解】解： ∵， ， ， ， ． 故． 20. 如图，梯形中，∥，对角线、交于点，∥交延长线于点，求证：． 【答案】 证明：∵∥， ∴， 又∵∥， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】通过∥可得到，再根据∥可得到，从而得到答案； 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，准确证明是解题的关键． 21. 如图，在中，，点为的中点，，垂足为点交于点． （1）求证：； （2）求斜边的长． 【答案】（1） 解：点为的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，勾股定理，熟练证明是解题的关键． （1）利用角度的转换得到，即可解答； （2）利用相似三角形的性质，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， ． 22. 如图，已知中，，点在边上，且，点为边的中点，连接、．求证：． 【答案】 证明：点为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，点为边的中点，而，得到，，又，即，于是得到，等线段代换即可得到结论，熟知有两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等是解题的关键． 【详解】略 23. 如图，，于点，，，且，求： （1）的长； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）根据已知得出，根据（1）的结论得出，，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． ， ， ； 【小问2详解】 ， ，， ， 又，，则， ． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 24. 如图，在梯形中，，，是腰上的一点，连接． （1）如果，求的度数； （2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解此题的关键是准确地作出辅助线与数形结合思想的应用，难度适中． （1）首先延长与，然后根据相似三角形的判定和性质，求得是等边三角形，即可得为， （2）可利用面积法求解，因为如果三角形的高相等，则其面积的比等于其底的比，所以可求得与的比． 【小问1详解】 解：如图，延长、相交于点， ， ， ． ．设，则． ． ， ，． ，为的中点． ， ． ， 梯形为等腰梯形， ， ， 为等边三角形． ； 【小问2详解】 解：如图，延长、相交于点， ， ， ， 设，则，， ， 解得，，． 与等高， ． 设，则，， ． ． ． 25. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点(与点A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G、交CD于点M． （1）如图1，联结BD，求证：，并写出的值； （2）联结EG，如图2，若设，求y关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当M为边DC的三等分点时，求的面积． 【答案】；；或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）作EH⊥AC于H，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理和相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式； （3）分CM＝CD和CM＝CD两种情况，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，又∠EBM＝45°， ∴∠GBC＋∠DBM＝45°，∠EBD＋∠DBM＝45°， ∴∠GBC＝∠EBD，又∠EDB＝∠GCB＝45°， ∴△DEB∽△CGB， ∴DE：CG＝BD：BC＝； （2）如图2，作EH⊥AC于H， 则AH＝EH＝x， ∵△DEB∽△CGB， ∴， ∴CG＝（6−x）， ∴HG＝AC−AH−CG＝3， ∵EG2＝EH2＋HG2， ∴； （3）当CM＝CD＝2时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB， ∴， ∴CG＝， ∴DE＝3，则AE＝3， ∴AH＝EH＝， ∵AD∥BC， ∴， ∴AF＝2， ∴GF＝AC−AF−CG＝， ∴S△EGF＝×FG×EH＝， 当CM＝CD＝4时， ， ∴CG＝， ∴DE＝，则AE＝， AH＝EH＝， ∵， ∴AF＝， ∴GF＝AC−AF−CG＝， ∴S△EGF＝×FG×EH＝． 综上,S△EGF=或 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质的应用、正方形的性质的应用，正确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ SSES九年级上学期数学阶段练习 （时间100分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若线段，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，下列比例式中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果S△ADE=S四边形BCED，那么下列等式成立的是（ ） A. DE∶BC=1∶ B. DE∶BC=1∶3 C. DE∶BC=1∶4 D. DE∶BC=1∶2 4. 如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A. B. C. D. 5. 在中，，是内上的高，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 下列各组图形必相似的是（　　） A. 任意两个等腰三角形 B. 有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形 C. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形 D. 两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 4与9的比例中项是_____． 8. 如果，那么______． 9. 若点是线段的黄金分割点，且，则的长是________． 10. 在比例尺的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为________ 11. 在△ABC中，中线AD和中线CE相交于G，则AG：AD＝___． 12. 线段与交于点，若，则当的值为_____时，线段． 13. 三角形的周长是，三边中点连线所组成的三角形的周长是______． 14. 若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们对应角的角平分线之比为___． 15. 如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是______ 16. 如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、DB交于点O，如果S△AOD：S△ABD＝2：5，那么S△AOD：S△BOC＝___． 17. 如图，，且，交于，则______． 18. 若与相似，且，则______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知，求． 20. 如图，梯形中，∥，对角线、交于点，∥交延长线于点，求证：． 21. 如图，在中，，点为的中点，，垂足为点交于点． （1）求证：； （2）求斜边的长． 22. 如图，已知中，，点在边上，且，点为边的中点，连接、．求证：． 23. 如图，，于点，，，且，求： （1）的长； （2）． 24. 如图，在梯形中，，，是腰上的一点，连接． （1）如果，求的度数； （2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值． 25. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点(与点A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G、交CD于点M． （1）如图1，联结BD，求证：，并写出的值； （2）联结EG，如图2，若设，求y关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当M为边DC的三等分点时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $