精品解析：天津市北辰区实验中学2024—2025学年下学期九年级结课考试数学试题

北辰区实验中学2024—2025学年第二学期九年级结课考试 数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 计算的结果等于（ ） A. 3 B. C. 2 D. 2. 如图，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( ) A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》是我国古代著名数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C D. 10. 如图，是等边三角形，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C D. 12. 如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（水平地面为轴，单位：），有下列结论：①出球点离点的距离是；②羽毛球最高达到；③羽毛球横向飞出的最远距离是；其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 计算(5x3y)2的结果等于__________________． 14. 计算的结果等于______． 15. 一个不透明袋子中装有10个球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是_________． 16. 若一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行，且过点，则一次函数的解析式为______． 17. 如图，E是正方形对角线上一点，过点E作的垂线，交于点F，以，为边作矩形，连接， （1）的长为___________； （2）若，则的长为_________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （1）线段的长为______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O及上的一点P使得．，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）：______． 三、简答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ． 20. 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　　　，图①中m的值是　　　　； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 21. 已知在中，弦与直径交于点P． （Ⅰ）如图①，若，求的度数． （Ⅱ）如图②，过点D作的切线交的延长线于点Q．若，求的度数． 22. 综合与实践活动中，要测量一个信号塔高度，如图，信号塔前有一段高为的台阶，已知的长为5米，高为3米，点在同一条水平直线上．在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长； ②求塔高度（，结果保留整数）． 23. 下面图象所反映的过程是：张强家、早餐店、体育场依次在同一条直线上．张强从家出发匀速跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后，又匀速步行去早餐店吃早餐，然后匀速散步回到家，其中x表示张强离开家的时间，y表示张强离家的距离． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 张强离开家的时间/ 5 8 15 20 40 张强离家的距离/ 1 2 （2）填空： ①张强从家出发到体育场的速度为________； ②张强在体育场运动的时间为_______； ③张强从体育场到早餐店的速度为_______； ④当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为________． （3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式， 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等边三角形，点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过边的中点． （1）如图①，点B的坐标为_______；点D的坐标为_______； （2）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在的外部，且矩形与重叠部分为五边形时，，与分别相交于点F和点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为抛物线上的一动点，且位于直线下方， ①当的面积最大时，求点M的坐标； ②当时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北辰区实验中学2024—2025学年第二学期九年级结课考试 数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 计算的结果等于（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的除法．根据有理数的除法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2. 如图，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看有两层，底层是3个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了无理数的估算．根据无理数的估算方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在3和4之间． 故选：C 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键． 【详解】解：A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选C． 5. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为； 故选B 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，根据60度和30度角的正切值分别为和进行求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的法则是解题的关键．先把异分母分式通分，化成同分母分式，然后按照同分母分式的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数自变量的大小，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由即可得到答案． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D． 9. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 10. 如图，是等边三角形，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图方法可知，是的垂直平分线，则根据等边三角形的性质只能得到． 【详解】解：由作图方法可知，是的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故A正确，对于B、C、D条件不足，不能证明成立，不符合题意， 故选：A． 11. 如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转得，即可判断；根据是的外角，可得，可判断；根据为旋转角，得出，可判断；根据，，可得，可判断，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到， ∴，，， ∵点旋转后的对应点恰好在直线上， ∴，故选项正确； ∵是的外角， ∴， ∴，故选项不正确； ∵为旋转角， ∴，故选项正确； ∵，， ∴，故选项正确； 故选：． 12. 如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（水平地面为轴，单位：），有下列结论：①出球点离点的距离是；②羽毛球最高达到；③羽毛球横向飞出的最远距离是；其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．令，可得点，可判断①；把函数解析式化为顶点式可得判断②；再令，可判断③． 【详解】解：当时，， ∴点， ∴出球点离点的距离是，故①正确； ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为， ∴羽毛球最高达到，故②正确； 当时，， 解得：， ∴点， ∴羽毛球横向飞出的最远距离是，故③错误； 故选：C 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 计算(5x3y)2的结果等于__________________． 【答案】25x6y2 【解析】 【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：(5x3y)2=25x6y2， 故答案为：25x6y2． 【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方运算，解题的关键是掌握法则：积的乘方，等于积中各因式乘方的积；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 14. 计算的结果等于______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式计算进而得出答案． 【详解】解：（-2）（+2） =（）2-4 =3-4 =-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，正确运用乘法公式是解题关键． 15. 一个不透明袋子中装有10个球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用白球的个数除以球的总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有10个球，其中白球有3个， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是， 故答案为：． 16. 若一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行，且过点，则一次函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求直线的解析式以及两条直线平行或相交的问题，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 根据平行得到不变，则解析式为，再代入即可求解． 【详解】解：∵一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行， ∴解析式为， 代入得：， 解得：， ∴解析式为， 故答案为：． 17. 如图，E是正方形对角线上一点，过点E作的垂线，交于点F，以，为边作矩形，连接， （1）的长为___________； （2）若，则的长为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，利用正方形的性质，证明，根据矩形的性质易得，即可证得，得到，进而证得矩形是正方形，再根据正方形性质证得，，，然后由全等三角形判定（边角边）可证得，即可得到，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，找到对应边的关系； （2）如图，过点作，垂足为，由正方形性质易得是等腰直角三角形，求得，再根据，得，然后根据勾股定理得，计算即可得出答案，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理解三角形． 【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 四边形是正方形， ，， ， ， ，，，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， 又， ， ， 故答案为：； （2）如图，过点作，垂足为， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 故答案为． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （1）线段的长为______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O及上的一点P使得．，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）：______． 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据中位线的性质得出是的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得，根据圆周角即可得出． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 故答案为：． （2）解：如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 根据点与点在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点，，，，使得， ∴，均为直径， ∴与交点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接， 则点为的中点， 连接并延长与相交于点，取格点，则为的中点， 由于，则是的中点； 连接并延长与相交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，平行线分线段成比例定理等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 三、简答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）移项，合并得出不等式的解集； （2）移项、合并、系数化为1得出不等式解集； （3）根据不等式在数轴上的表示方法表示出两个解集即可； （4）根据公共部分确定不等式组的解集即可 小问1详解】 解不等式①，得； 故答案为：x>-2 【小问2详解】 解不等式②，得； 故答案为：x≥3 【小问3详解】 不等式组的解集在数轴上表示出来为： 【小问4详解】 原不等式组的解集为． 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解决本题的关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 20. 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　　　，图①中m的值是　　　　； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【答案】（1）50； 32；（2）16；10；15；（3）608人． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量：4+16+12+10+8=50（人）；根据扇形统计图得出m的值：； （2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可． （3）根据样本中捐款10元的百分比，从而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【详解】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人）， m=100-20-24-16-8=32； 故答案为：50； 32． （2）∵， ∴这组数据的平均数为：16． ∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次， ∴这组数据的众数为：10． ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15， ∴这组数据的中位数为：， （3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%， ∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数有1900×32%=608人． ∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608人． 【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 21. 已知在中，弦与直径交于点P． （Ⅰ）如图①，若，求的度数． （Ⅱ）如图②，过点D作的切线交的延长线于点Q．若，求的度数． 【答案】（Ⅰ）70°；（Ⅱ）115° 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接．由圆周角定理推论可知．再根据题意结合三角形外角性质可求出，最后再由圆周角定理可知，即可求出大小． （Ⅱ）连接．由圆周角定理可知，再由切线的性质可知．即．根据题意易求出，．再根据三角形外角性质可求出，即求出的大小． 【详解】（Ⅰ）如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∵，， ∴ ∴． ∴． （Ⅱ）如图，连接． ∵， ∴， ∵切于点D， ∴，即． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆周角定理及其推论，切线的性质以及三角形外角性质．正确的连接辅助线是解答本题的关键． 22. 综合与实践活动中，要测量一个信号塔的高度，如图，信号塔前有一段高为的台阶，已知的长为5米，高为3米，点在同一条水平直线上．在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长； ②求塔的高度（，结果保留整数）． 【答案】（1） （2）①；②31米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含45度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）①在中，利用锐角三角函数定义求得，进而可求解；②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 中，，， ， 即的长为； 【小问2详解】 ①由题意得， 在中，，， ， ， 即的长为； ②过点作，垂足为， 根据题意，， 所以四边形是矩形． ，，， 在中，， ， ， 解得． 答：信号塔的高约为31米． 23. 下面图象所反映的过程是：张强家、早餐店、体育场依次在同一条直线上．张强从家出发匀速跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后，又匀速步行去早餐店吃早餐，然后匀速散步回到家，其中x表示张强离开家的时间，y表示张强离家的距离． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 张强离开家的时间/ 5 8 15 20 40 张强离家的距离/ 1 2 （2）填空： ①张强从家出发到体育场的速度为________； ②张强在体育场运动的时间为_______； ③张强从体育场到早餐店的速度为_______； ④当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为________． （3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式， 【答案】（1）1.6，2，1.2；（2）①0.2；②10；③0.08；④3或55；（3）当时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】（1）由函数图象中的数据进行计算，即可求解； （2）由函数图象中的数据及图中体现的数量关系，进行分析计算即可求解； （3）根据题意及待定系数法即可求解． 【详解】（1）由函数图象得： 当0≤x≤10时，设y＝ax， 把（10，2）代入得2=a×10， 解得a=0.2， ∴当0≤x≤10时，， ∴当x＝5时，y＝1；当x＝8时，y＝1.6；当x＝20时，y＝2；当x＝40时，y＝1.2； 故答案为：1.6，2，1.2； （2）由函数图象结合题意得： ①张强从家出发到体育场的速度为=0.2； ②张强在体育场运动的时间为20-10=10； ③张强从体育场到早餐店的速度为； ④当40＜x≤70时，设y＝mx＋n，将（40，1.2）、（70，0）代入得 解得， ∴当20＜x≤30时，， 当y=0.6时，，解得x=55 =0.6，解得x=3 ∴当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为3或55． 故答案为：①0.2；②10；③0.08；④3或55； （3）由（1）得当时，； 当时，； 当20＜x≤30时，设y＝kx＋b，将（20，2）、（30，1.2）代入得 解得， ∴当20＜x≤30时，， 综上，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等边三角形，点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过边的中点． （1）如图①，点B的坐标为_______；点D的坐标为_______； （2）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在的外部，且矩形与重叠部分为五边形时，，与分别相交于点F和点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）过点B作于，记射线与交于点，中点记为N，由是等边三角形得到，，然后解直角三角形得到，，故；解直角三角形求出，则由矩形的性质得到，那么； （2）①由平移可得，则，那么，，同理，故由，求得，当点与点重合时，此时矩形与重叠部分为四边形，，故使得矩形与重叠部分为五边形时，则；当点恰好落在上时， 在中，，，则，那么，故t的取值范围为；②分类讨论，通过解直角三角形分别求出关于的函数表达式，借助于一次函数或二次函数的性质求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：过点B作于，记射线与交于点，中点记为N， ∵是等边三角形，点， ∴，， ∴，， ∴； ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点N为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①如图： 由平移可得， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴同理， ∴， ∴， 当点与点重合时，此时矩形与重叠部分为四边形，， 故使得矩形与重叠部分为五边形时，则； 当点恰好落在上时，如图： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴t的取值范围为； ②当时，此时矩形与重叠部分为四边形， 此时，在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，由①得：， 对称轴为直线，而开口向下， ∴当时，随着的增大而增大， ∴时，，时，， ∴； 当时，此时矩形与重叠部分为六边形，如图： 由上可知， 此时在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，开口向下， ∴， 当时，， 当时，， ∴； 当时，此时矩形与重叠部分为五边形，如图： 同上可求 ∴， ∵对称轴为直线，开口向下， ∴当，随着的增大而减小， ∴时，；时，， ∴， 综上所述：． 【点睛】本题考查了动点类的分析问题，涉及矩形的性质，解直角三角形，二次函数的性质，一次函数的性质，等边三角形的性质，难度很大，解题的关键在于分类讨论，对画图找临界位置要求非常高． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为抛物线上的一动点，且位于直线下方， ①当的面积最大时，求点M的坐标； ②当时，求点M的坐标． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分别把点和点的坐标代入建立关于、的方程组，解方程组求出、的值即可求出抛物线解析式； （2）①先求出点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的解析式；设点则有，过点M作轴，交于点Q，，交直线于点，然后根据三角形面积公式列出二次函数关系式，即可求出的面积最大时点M的坐标； （3）②先求出点D的坐标为，延长交x轴于点G，延长交y轴于点H，证明，再求出直线关系式为为最后联立方程组求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线过点， 解得 ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 ①∵抛物线解析式为 ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入， 得解得 ∴直线的解析式为． 如图①，过点M作轴，交于点Q， 设点则有， ∴当时，的面积最大，最大值为． ②∵抛物线的解析式为 ∴点D的坐标为． 如图②，延长交x轴于点G，延长交y轴于点H， ∵直线为， ∴当时，． ∴． ∵， ∴． 即：． 在△与中， ∴． ∴． ∴点G的坐标为． 设直线的关系式为 由于直线经过点， 得解得 ∴直线关系式为为 将与联立方程，得 解得：（不符合题意，舍去） 当时， ∴点M的坐标为 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数关系式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形面积公式，深入理解题意是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$